Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený

Matematika 5

FSV UK, ZS 2018-19

Miroslav Zelený

1. Stabilita ˇrešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variaˇcního poˇctu

3. Globální extrémy

4. Teorie optimálního ˇrízení 5. R ˚uzné

1. Stabilita ˇrešení soustav diferenciálních rovnic

Budeme uvažovat rovnici

x⁰(t) = f(x(t)), (1.1) kdef je zobrazení definované na neprázdné otevˇrené množin ˇeG ⊂Rⁿ s hodnotami vRⁿ. Soustavy tvaru (1.1) se nazývajíautonomní.

V dalším budeme pˇredpokládat, žef ∈ C¹(G,Rⁿ), tj. složkyf1, . . . ,fn zobrazeníf jsou tˇrídyC¹ naG.

Definice

Rekneme, žeˇ a∈G jestacionární bod rovnice(1.1), jestližef(a) = o.

Budeme uvažovat rovnici

x⁰(t) = f(x(t)), (1.1) kdef je zobrazení definované na neprázdné otevˇrené množin ˇeG ⊂Rⁿ s hodnotami vRⁿ. Soustavy tvaru (1.1) se nazývajíautonomní.

V dalším budeme pˇredpokládat, žef ∈ C¹(G,Rⁿ), tj.

složkyf1, . . . ,fn zobrazeníf jsou tˇrídyC¹ naG.

Definice

Rekneme, žeˇ a∈G jestacionární bod rovnice(1.1), jestližef(a) = o.

Budeme uvažovat rovnici

x⁰(t) = f(x(t)), (1.1) kdef je zobrazení definované na neprázdné otevˇrené množin ˇeG ⊂Rⁿ s hodnotami vRⁿ. Soustavy tvaru (1.1) se nazývajíautonomní.

V dalším budeme pˇredpokládat, žef ∈ C¹(G,Rⁿ), tj.

složkyf1, . . . ,fn zobrazeníf jsou tˇrídyC¹ naG.

Definice

Rekneme, žeˇ a∈G jestacionární bod rovnice(1.1), jestližef(a) =o.

Definice

Rekneme, že stacionární bodˇ a∈G rovnice (1.1) je

stabilní, jestliže pro každéε >0 existujeδ >0 takové, že pro každé maximální ˇrešeníx rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak< δ platí:

(a) definiˇcní obor ˇrešeníx obsahuje intervalh0,+∞); (b) kx(t)−ak< εprot ∈ h0,+∞);

nestabilní, jestliže není stabilní,

asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navíc existuje∆>0 takové, že pro každé maximální ˇrešení x rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak<∆platí

limt→+∞x(t) = a.

Definice

Rekneme, že stacionární bodˇ a∈G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každéε >0 existujeδ >0 takové, že pro každé maximální ˇrešeníx rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak< δ platí:

(a) definiˇcní obor ˇrešeníx obsahuje intervalh0,+∞); (b) kx(t)−ak< εprot ∈ h0,+∞);

nestabilní, jestliže není stabilní,

asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navíc existuje∆>0 takové, že pro každé maximální ˇrešení x rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak<∆platí

limt→+∞x(t) = a.

Definice

Rekneme, že stacionární bodˇ a∈G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každéε >0 existujeδ >0 takové, že pro každé maximální ˇrešeníx rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak< δ platí:

(a) definiˇcní obor ˇrešeníx obsahuje intervalh0,+∞);

(b) kx(t)−ak< εprot ∈ h0,+∞);

nestabilní, jestliže není stabilní,

asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navíc existuje∆>0 takové, že pro každé maximální ˇrešení x rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak<∆platí

limt→+∞x(t) = a.

Definice

Rekneme, že stacionární bodˇ a∈G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každéε >0 existujeδ >0 takové, že pro každé maximální ˇrešeníx rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak< δ platí:

(a) definiˇcní obor ˇrešeníx obsahuje intervalh0,+∞);

(b) kx(t)−ak< εprot ∈ h0,+∞);

nestabilní, jestliže není stabilní,

asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navíc existuje∆>0 takové, že pro každé maximální ˇrešení x rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak<∆platí

limt→+∞x(t) = a.

Definice

Rekneme, že stacionární bodˇ a∈G rovnice (1.1) je stabilní, jestliže pro každéε >0 existujeδ >0 takové, že pro každé maximální ˇrešeníx rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak< δ platí:

(a) definiˇcní obor ˇrešeníx obsahuje intervalh0,+∞);

(b) kx(t)−ak< εprot ∈ h0,+∞);

nestabilní, jestliže není stabilní,

asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navíc existuje∆>0 takové, že pro každé maximální ˇrešení x rovnice (1.1) spl ˇnujícíkx(0)−ak<∆platí

limt→+∞x(t) = a.

V ˇeta 1.1

Necht’A∈M(n×n).

Stacionární bod o rovnicex⁰ =Ax je asymptoticky stabilní, práv ˇe když<λ <0pro každé vlastní ˇcísloλ maticeA.

Stacionární bod o rovnicex⁰ =Ax je stabilní, práv ˇe když<λ ≤0pro každé vlastní ˇcísloλmaticeAa pokud<λ =0, pak násobnostλje rovna

n−h(λI−A).

V ˇeta 1.1

Necht’A∈M(n×n).

Stacionární bod o rovnicex⁰ =Ax je asymptoticky stabilní, práv ˇe když<λ <0pro každé vlastní ˇcísloλ maticeA.

Stacionární bod o rovnicex⁰ =Ax je stabilní, práv ˇe když<λ ≤0pro každé vlastní ˇcísloλmaticeAa pokud<λ =0, pak násobnostλje rovna

n−h(λI−A).

V ˇeta 1.2 (Ljapunov)

Necht’f ∈ C¹(G,Rⁿ)aaje stacionární bod rovnice (1.1).

Oznaˇcme

A= ∂fi

∂xj

(a)

i=1..n,j=1..n

. Pak platí:

Jestliže každé vlastní ˇcíslo maticeAmá zápornou reálnou ˇcást, paka je asymptoticky stabilní bod rovnice (1.1).

Jestliže alespo ˇn jedno vlastní ˇcíslo maticeAmá kladnou reálnou ˇcást, pak jeanestabilní bod rovnice (1.1).

V ˇeta 1.2 (Ljapunov)

Necht’f ∈ C¹(G,Rⁿ)aaje stacionární bod rovnice (1.1).

Oznaˇcme

A= ∂fi

∂xj

(a)

i=1..n,j=1..n

. Pak platí:

Jestliže každé vlastní ˇcíslo maticeAmá zápornou reálnou ˇcást, paka je asymptoticky stabilní bod rovnice (1.1).

Jestliže alespo ˇn jedno vlastní ˇcíslo maticeAmá kladnou reálnou ˇcást, pak jeanestabilní bod rovnice (1.1).

λ₁>0, λ2>0, λ16=λ₂

λ₁<0, λ2<0, λ16=λ₂

λ₁<0< λ₂

λ₁∈C\R,<λ₁>0

λ₁∈C\R,<λ₁<0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

x

2. Úvod do varia ˇcního po ˇctu

2.1 Derivování funkcí na vektorových prostorech

Definice

Necht’X je vektorový prostorF :X →R,a∈X,h∈X. Derivací funkceF v bod ˇeave sm ˇeruh rozumíme

δF(a,h) = lim

t→0

F(a+th)−F(a)

t ,

pokud limita existuje vlastní.

Definice

Necht’X je reálný vektorový prostor,M ⊂X,a∈M aF je reálná funkce definovaná alespo ˇn naM. ˇRekneme, že a jebod minima(resp. bod maxima) funkceF na množin ˇe M, jestliže pro každéx ∈M platíF(x)≥F(a)(resp.

F(x)≤F(a)).

V ˇeta 2.1

Necht’ X je vektorový prostor, F :X →Ra a∈X . Jestliže má F v bod ˇe a extrém (tj. minimum nebo maximum), pak pro každé h∈X platí, žeδF(a,h)neexistuje nebo je rovna nule.

Definice

Necht’X je reálný vektorový prostor,M ⊂X,a∈M aF je reálná funkce definovaná alespo ˇn naM. ˇRekneme, že a jebod minima(resp. bod maxima) funkceF na množin ˇe M, jestliže pro každéx ∈M platíF(x)≥F(a)(resp.

F(x)≤F(a)).

V ˇeta 2.1

Necht’ X je vektorový prostor, F :X →Ra a∈X . Jestliže má F v bod ˇe a extrém (tj. minimum nebo maximum), pak pro každé h∈X platí, žeδF(a,h)neexistuje nebo je rovna nule.

2.2 Derivování integrálu

Definice

Necht’M ⊂Rⁿ. ˇRekneme, že funkcef jestejnom ˇern ˇe spojitá naM, jestliže platí

∀ε >0∃δ >0∀x,y ∈M,||x −y||< δ : |f(x)−f(y)|< ε.

V ˇeta 2.2

Necht’ K ⊂Rⁿ je kompaktní a f :K →Rje spojitá na K . Potom f je stejnom ˇern ˇe spojitá na K .

2.2 Derivování integrálu

Definice

Necht’M ⊂Rⁿ. ˇRekneme, že funkcef jestejnom ˇern ˇe spojitá naM, jestliže platí

∀ε >0∃δ >0∀x,y ∈M,||x −y||< δ : |f(x)−f(y)|< ε.

V ˇeta 2.2

Necht’ K ⊂Rⁿ je kompaktní a f :K →Rje spojitá na K . Potom f je stejnom ˇern ˇe spojitá na K .

V ˇeta 2.3

Necht’ f: (a,b)×(c,d)→Rje spojitá a∂₁f (= parciálni derivace podle první prom ˇenné) je také spojitá na (a,b)×(c,d). Necht’ϕ: (a,b)→(c,d)je funkce, která má v každém bod ˇe vlastní derivaci. Necht’ x0∈(c,d).

Položme

K(y) = Z ϕ(y)

x₀

f(y,x)dx pro y ∈(a,b). Potom má funkce K v každém bod ˇe intervalu(a,b) vlastní derivaci a platí

K⁰(y) = Z ϕ(y)

x₀

∂₁f(y,x)dx+f(y, ϕ(y))ϕ⁰(y), y ∈(a,b).

V ˇeta 2.3

Necht’ f: (a,b)×(c,d)→Rje spojitá a∂₁f (= parciálni derivace podle první prom ˇenné) je také spojitá na (a,b)×(c,d). Necht’ϕ: (a,b)→(c,d)je funkce, která má v každém bod ˇe vlastní derivaci. Necht’ x0∈(c,d).

Položme

K(y) = Z ϕ(y)

x₀

f(y,x)dx pro y ∈(a,b).

Potom má funkce K v každém bod ˇe intervalu(a,b) vlastní derivaci a platí

K⁰(y) = Z ϕ(y)

x₀

∂₁f(y,x)dx+f(y, ϕ(y))ϕ⁰(y), y ∈(a,b).

V ˇeta 2.3

Necht’ f: (a,b)×(c,d)→Rje spojitá a∂₁f (= parciálni derivace podle první prom ˇenné) je také spojitá na (a,b)×(c,d). Necht’ϕ: (a,b)→(c,d)je funkce, která má v každém bod ˇe vlastní derivaci. Necht’ x0∈(c,d).

Položme

K(y) = Z ϕ(y)

x₀

f(y,x)dx pro y ∈(a,b).

Potom má funkce K v každém bod ˇe intervalu(a,b) vlastní derivaci a platí

K⁰(y) = Z ϕ(y)

x₀

∂₁f(y,x)dx+f(y, ϕ(y))ϕ⁰(y), y ∈(a,b).

2.3 Základní úloha variaˇcního poˇctu

Formulace základní úlohy varia ˇcního po ˇctu (P1).

Dáno:T ∈R,T >0;A,Z ∈R;F ∈ C²(h0,Ti ×R×R)

Hledáme takovéy ∈ C¹(h0,Ti),y(0) = A,y(T) =Z, že hodnota

V(y) = Z T

0

F(s,y(s),y⁰(s))ds je minimální (resp. maximální).

2.3 Základní úloha variaˇcního poˇctu

Formulace základní úlohy varia ˇcního po ˇctu (P1).

Dáno:T ∈R,T >0;A,Z ∈R;F ∈ C²(h0,Ti ×R×R) Hledáme takovéy ∈ C¹(h0,Ti),y(0) = A,y(T) =Z, že hodnota

V(y) = Z T

0

F(s,y(s),y⁰(s))ds je minimální (resp. maximální).

V ˇeta 2.4 (nutná podmínka pro extrém)

Necht’ y je bodem extrému pro (P1). Pak y je ˇrešením rovnice

(ER1) Fy(t,y,y⁰) = d

dtFy⁰(t,y,y⁰).

Lemma 2.5

Necht’ funkceϕ∈ C(h0,Ti)je nezáporná a RT

0 ϕ(s)ds=0. Pakϕ=0nah0,Ti.

Lemma 2.6 (základní lemma variaˇcního poˇctu)

Necht’ a,b∈ C(h0,Ti)a Z T

0

(a(t)h(t) +b(t)h⁰(t))dt =0 pro každou funkci h∈ C¹(h0,Ti)spl ˇnující

h(0) =h(T) =0. Pak funkce b má nah0,Tiderivaci a platí zde b⁰ =a.

Lemma 2.5

Necht’ funkceϕ∈ C(h0,Ti)je nezáporná a RT

0 ϕ(s)ds=0. Pakϕ=0nah0,Ti.

Lemma 2.6 (základní lemma variaˇcního poˇctu)

Necht’ a,b∈ C(h0,Ti)a Z T

0

(a(t)h(t) +b(t)h⁰(t))dt =0 pro každou funkci h∈ C¹(h0,Ti)spl ˇnující

h(0) =h(T) =0. Pak funkce b má nah0,Tiderivaci a platí zde b⁰ =a.

Lemma 2.7

Necht’ T a F jsou jako v (P1), y,u ∈ C¹(h0,Ti). Necht’

zobrazení G:C¹(h0,Ti)→Rje definováno takto:

G(u) = Z T

0

F(t,y(t) +u(t),y⁰(t) +u⁰(t))dt.

Potom

δG(o,h) =

Z T

0

Fy(t,y(t),y⁰(t))·h(t)+Fy⁰(t,y(t),y⁰(t))·h⁰(t) dt pro libovolné h∈ C¹(h0,Ti).

Lemma 2.7

Necht’ T a F jsou jako v (P1), y,u ∈ C¹(h0,Ti). Necht’

zobrazení G:C¹(h0,Ti)→Rje definováno takto:

G(u) = Z T

0

F(t,y(t) +u(t),y⁰(t) +u⁰(t))dt. Potom

δG(o,h) =

Z T

0

Fy(t,y(t),y⁰(t))·h(t)+Fy⁰(t,y(t),y⁰(t))·h⁰(t) dt pro libovolné h∈ C¹(h0,Ti).

2.4 Pevný koncový ˇcas a volná koncová hodnota

Formulace úlohy (P2).

Dáno:T ∈R,T >0;A∈R;F ∈ C²(h0,Ti ×R×R)

Hledáme takovéy ∈ C¹(h0,Ti),y(0) = A, že hodnota V(y) =

Z T

0

F(s,y(s),y⁰(s))ds je minimální (resp. maximální).

2.4 Pevný koncový ˇcas a volná koncová hodnota

Formulace úlohy (P2).

Dáno:T ∈R,T >0;A∈R;F ∈ C²(h0,Ti ×R×R) Hledáme takovéy ∈ C¹(h0,Ti),y(0) = A, že hodnota

V(y) = Z T

0

F(s,y(s),y⁰(s))ds je minimální (resp. maximální).

V ˇeta 2.8

Necht’ y je bodem extrému pro (P2). Pak y spl ˇnuje Fy(t,y,y⁰) = d

dtFy⁰(t,y,y⁰), (ER1) Fy⁰(T,y(T),y⁰(T)) =0. (ER2)

2.5 Isoperimetrická úloha

Formulace úlohy (P3).

Dáno:T ∈R,T >0;A,Z ∈R;B∈R;

F ∈ C²(h0,Ti ×R×R)

Hledáme takovéy ∈ C¹(h0,Ti)spl ˇnujícíy(0) = A, y(T) =Z,

Z T

0

G(t,y,y⁰) = B, že hodnota

V(y) = Z T

0

F(s,y(s),y⁰(s))ds je minimální (resp. maximální).

2.5 Isoperimetrická úloha

Formulace úlohy (P3).

Dáno:T ∈R,T >0;A,Z ∈R;B∈R;

F ∈ C²(h0,Ti ×R×R)

Hledáme takovéy ∈ C¹(h0,Ti)spl ˇnujícíy(0) = A, y(T) =Z,

Z T

0

G(t,y,y⁰) =B, že hodnota

V(y) = Z T

0

F(s,y(s),y⁰(s))ds je minimální (resp. maximální).

V ˇeta 2.9

Necht’ y je bodem extrému pro (P3). Pak y spl ˇnuje bud’

Gy(t,y,y⁰) = d

dtGy⁰(t,y,y⁰), (I) nebo existujeλ∈R, že y spl ˇnuje

Fy(T,y(T),y⁰(T))−λGy(T,y(T),y⁰(T)) = d

dt Fy⁰(t,y,y⁰)−λGy⁰(t,y,y⁰)

. (II)

3. Posta ˇcující podmínky pro extrém

3.1 Globální extrémy

Definice

Necht’X je vektorový prostor aV :X →Rje funkcionál.

Rekneme, žeˇ V jekonkávní (resp. konvexní) naX, jestliže

∀x,y ∈X∀t ∈ h0,1i: V(tx+(1−t)y)≥tV(x)+(1−t)V(y)

(resp.

∀x,y ∈X∀t ∈ h0,1i: V(tx+(1−t)y)≤tV(x)+(1−t)V(y)).

3.1 Globální extrémy

Definice

Necht’X je vektorový prostor aV :X →Rje funkcionál.

Rekneme, žeˇ V jekonkávní (resp. konvexní) naX, jestliže

∀x,y ∈X∀t ∈ h0,1i: V(tx+(1−t)y)≥tV(x)+(1−t)V(y) (resp.

∀x,y ∈X∀t ∈ h0,1i: V(tx+(1−t)y)≤tV(x)+(1−t)V(y)).

V ˇeta 3.1

Necht’ V :X →Rje konkávní. JestližeδV(x,h) =0pro každé h∈X , pak V má v x maximum.

V ˇeta 3.2

Necht’ F ∈ C²(h0,Ti ×R×R).

(K) Necht’ pro každé t ∈ h0,Tije funkce [y,y⁰]7→F(t,y,y⁰)konkávní.

Pak je funkcionál V: C¹(h0,Ti))→Rdefinovaný pˇredpisem

V :y 7→ Z T

0

F(t,y,y⁰)dt konkávní.

V ˇeta 3.1

Necht’ V :X →Rje konkávní. JestližeδV(x,h) =0pro každé h∈X , pak V má v x maximum.

V ˇeta 3.2

Necht’ F ∈ C²(h0,Ti ×R×R).

(K) Necht’ pro každé t ∈ h0,Tije funkce [y,y⁰]7→F(t,y,y⁰)konkávní.

Pak je funkcionál V: C¹(h0,Ti))→Rdefinovaný pˇredpisem

V :y 7→ Z T

0

F(t,y,y⁰)dt konkávní.

V ˇeta 3.1

Necht’ V :X →Rje konkávní. JestližeδV(x,h) =0pro každé h∈X , pak V má v x maximum.

V ˇeta 3.2

Necht’ F ∈ C²(h0,Ti ×R×R).

(K) Necht’ pro každé t ∈ h0,Tije funkce [y,y⁰]7→F(t,y,y⁰)konkávní.

Pak je funkcionál V: C¹(h0,Ti))→Rdefinovaný pˇredpisem

V :y 7→

Z T

0

F(t,y,y⁰)dt konkávní.

V ˇeta 3.3

Necht’ F v (P1) spl ˇnuje (K). Pak je (ER1) postaˇcující podmínkou pro maximum.

3.2 Postaˇcující podmínky pro lokální extrém

Definice

Normovaným lineárním prostoremrozumíme dvojici (X,||.||), kdeX je vektorový prostor (nadR) a||.||je norma naX, tj. zobrazení||.||:X → h0,+∞)spl ˇnující

∀x ∈X :||x||=0⇔x =o,

∀x ∈X∀λ ∈R: ||λx||=|λ| · ||x||,

∀x,y ∈X : ||x+y|| ≤ ||x||+||y||.

3.2 Postaˇcující podmínky pro lokální extrém

Definice

Normovaným lineárním prostoremrozumíme dvojici (X,||.||), kdeX je vektorový prostor (nadR) a||.||je norma naX, tj. zobrazení||.||:X → h0,+∞)spl ˇnující

∀x ∈X :||x||=0⇔x =o,

∀x ∈X∀λ ∈R: ||λx||=|λ| · ||x||,

∀x,y ∈X : ||x+y|| ≤ ||x||+||y||.

3.2 Postaˇcující podmínky pro lokální extrém

Definice

Normovaným lineárním prostoremrozumíme dvojici (X,||.||), kdeX je vektorový prostor (nadR) a||.||je norma naX, tj. zobrazení||.||:X → h0,+∞)spl ˇnující

∀x ∈X :||x||=0⇔x =o,

∀x ∈X∀λ ∈R: ||λx||=|λ| · ||x||,

∀x,y ∈X : ||x+y|| ≤ ||x||+||y||.

3.2 Postaˇcující podmínky pro lokální extrém

Definice

Normovaným lineárním prostoremrozumíme dvojici (X,||.||), kdeX je vektorový prostor (nadR) a||.||je norma naX, tj. zobrazení||.||:X → h0,+∞)spl ˇnující

∀x ∈X :||x||=0⇔x =o,

∀x ∈X∀λ ∈R: ||λx||=|λ| · ||x||,

∀x,y ∈X : ||x+y|| ≤ ||x||+||y||.

Definice

Necht’(X,||.||)je normovaný lineární prostor, f :X →Ra x0 ∈X. ˇRekneme, žef má v bod ˇex0

lokální maximum, jestliže existujer >0 takové, že

∀x ∈X,||x−x0||<r : f(x)≤f(x0);

ostré lokální maximum, jestliže existujer >0 takové, že

∀x ∈X,0<||x−x0||<r : f(x)<f(x0). Analogicky definujemelokální minimum aostré lokální minimum.

Definice

Necht’(X,||.||)je normovaný lineární prostor, f :X →Ra x0 ∈X. ˇRekneme, žef má v bod ˇex0

lokální maximum, jestliže existujer >0 takové, že

∀x ∈X,||x−x0||<r : f(x)≤f(x0);

ostré lokální maximum, jestliže existujer >0 takové, že

∀x ∈X,0<||x−x0||<r : f(x)<f(x0).

Analogicky definujemelokální minimum aostré lokální minimum.

Definice

Necht’(X,||.||)je normovaný lineární prostor, f :X →Ra x0 ∈X. ˇRekneme, žef má v bod ˇex0

lokální maximum, jestliže existujer >0 takové, že

∀x ∈X,||x−x0||<r : f(x)≤f(x0);

ostré lokální maximum, jestliže existujer >0 takové, že

∀x ∈X,0<||x−x0||<r : f(x)<f(x0).

Analogicky definujemelokální minimumaostré lokální minimum.

V ˇeta 3.4

Necht’ y ˇreší (ER1) v úloze (P1). Jestliže je matice Fyy(t,y(t),y⁰(t)) Fyy⁰(t,y(t),y⁰(t))

Fyy⁰(t,y(t),y⁰(t)) Fy⁰y⁰(t,y(t),y⁰(t))

negativn ˇe definitní pro každé t ∈ h0,Ti, pak y je bodem ostrého lokálního maxima.

4. Teorie optimálního ˇrízení

Definice

Rekneme, že funkceˇ f jepo ˇcástech spojitána intervalu h0,Ti, jestliže existuje d ˇelení 0=t0 <t1 <· · ·<tn=T takové, žef|_(ti,ti+1)je spojitá na(ti,ti+1)pro každé

i ∈ {0, . . . ,n−1}a v krajních bodech existují vlastní limity.

Rekneme, že funkceˇ f jepo ˇcástech diferencovatelná na intervaluh0,Ti, jestliže existuje d ˇelení

0=t0 <t1 <· · ·<tn=T takové, žef|_(ti,ti+1)má na(ti,ti+1) vlastní derivaci a v krajních bodech existují pˇríslušné jednostranné vlastní derivace pro každéi ∈ {0, . . . ,n−1}.

Definice

Rekneme, že funkceˇ f jepo ˇcástech spojitána intervalu h0,Ti, jestliže existuje d ˇelení 0=t0 <t1 <· · ·<tn=T takové, žef|_(ti,ti+1)je spojitá na(ti,ti+1)pro každé

i ∈ {0, . . . ,n−1}a v krajních bodech existují vlastní limity.

Rekneme, že funkceˇ f jepo ˇcástech diferencovatelná na intervaluh0,Ti, jestliže existuje d ˇelení

0=t0<t1<· · ·<tn=T takové, žef|_(ti,ti+1)má na(ti,ti+1) vlastní derivaci a v krajních bodech existují pˇríslušné jednostranné vlastní derivace pro každéi ∈ {0, . . . ,n−1}.

Formulace úlohy (P4)

Dáno:

T ∈R,T >0;A∈R;

F ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁F,∂₂F jsou spojité; f ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁f,∂₂f jsou spojité; U je omezený uzavˇrený interval.

Formulace úlohy (P4)

Dáno:

T ∈R,T >0;A∈R;

F ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁F,∂₂F jsou spojité;

f ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁f,∂₂f jsou spojité; U je omezený uzavˇrený interval.

Formulace úlohy (P4)

Dáno:

T ∈R,T >0;A∈R;

F ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁F,∂₂F jsou spojité;

f ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁f,∂₂f jsou spojité;

U je omezený uzavˇrený interval.

Formulace úlohy (P4)

Dáno:

T ∈R,T >0;A∈R;

F ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁F,∂₂F jsou spojité;

f ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁f,∂₂f jsou spojité;

U je omezený uzavˇrený interval.

Formulace úlohy (P4)

Dáno:

T ∈R,T >0;A∈R;

F ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁F,∂₂F jsou spojité;

f ∈ C(h0,Ti ×R×R),∂₁f,∂₂f jsou spojité;

U je omezený uzavˇrený interval.

Hledámey po ˇcástech diferencovatelnou na intervalu h0,Tiaupo ˇcástech spojitou na h0,Titakové, že

y(0) = A,

y⁰(t) = f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

u(t)∈ U pro každét ∈ h0,Ti, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey po ˇcástech diferencovatelnou na intervalu h0,Tiaupo ˇcástech spojitou na h0,Titakové, že

y(0) = A,

y⁰(t) = f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

u(t)∈ U pro každét ∈ h0,Ti, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey po ˇcástech diferencovatelnou na intervalu h0,Tiaupo ˇcástech spojitou na h0,Titakové, že

y(0) = A,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

u(t)∈ U pro každét ∈ h0,Ti, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey po ˇcástech diferencovatelnou na intervalu h0,Tiaupo ˇcástech spojitou na h0,Titakové, že

y(0) = A,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

u(t)∈ U pro každét ∈ h0,Ti,

Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey po ˇcástech diferencovatelnou na intervalu h0,Tiaupo ˇcástech spojitou na h0,Titakové, že

y(0) = A,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

u(t)∈ U pro každét ∈ h0,Ti, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

V ˇeta 4.1 (Pontrjagin ˚uv princip maxima)

Necht’ u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t 7→λ(t), že pro H(t,y,u, λ) = F(t,y,u) +λf(t,y,u)(tzv.

hamiltonián) platí:

(PM1) pro každé t ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜∈ U platí

H(t,y(t),u(t), λ(t))≥H(t,y(t),u, λ(t)),˜

(PM2) y⁰ = ∂H

∂λ (stavová rovnice), (PM3) λ⁰ =−∂H

∂y (pohybová rovnice), (PM4) λ(T) = 0(podmínka transverzality).

V ˇeta 4.1 (Pontrjagin ˚uv princip maxima)

Necht’ u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t 7→λ(t), že pro H(t,y,u, λ) = F(t,y,u) +λf(t,y,u)(tzv.

hamiltonián) platí:

(PM1) pro každé t ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U platí

H(t,y(t),u(t), λ(t))≥H(t,y(t),u, λ(t)),˜

(PM2) y⁰ = ∂H

∂λ (stavová rovnice), (PM3) λ⁰ =−∂H

∂y (pohybová rovnice), (PM4) λ(T) = 0(podmínka transverzality).

V ˇeta 4.1 (Pontrjagin ˚uv princip maxima)

Necht’ u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t 7→λ(t), že pro H(t,y,u, λ) = F(t,y,u) +λf(t,y,u)(tzv.

hamiltonián) platí:

(PM1) pro každé t ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U platí

H(t,y(t),u(t), λ(t))≥H(t,y(t),u, λ(t)),˜

(PM2) y⁰ = ∂H

∂λ (stavová rovnice),

(PM3) λ⁰ =−∂H

∂y (pohybová rovnice), (PM4) λ(T) = 0(podmínka transverzality).

V ˇeta 4.1 (Pontrjagin ˚uv princip maxima)

Necht’ u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t 7→λ(t), že pro H(t,y,u, λ) = F(t,y,u) +λf(t,y,u)(tzv.

hamiltonián) platí:

(PM1) pro každé t ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U platí

H(t,y(t),u(t), λ(t))≥H(t,y(t),u, λ(t)),˜

(PM2) y⁰ = ∂H

∂λ (stavová rovnice), (PM3) λ⁰ =−∂H

∂y (pohybová rovnice),

(PM4) λ(T) = 0(podmínka transverzality).

V ˇeta 4.1 (Pontrjagin ˚uv princip maxima)

Necht’ u je bod maxima v úloze (P4). Pak existuje funkce t 7→λ(t), že pro H(t,y,u, λ) = F(t,y,u) +λf(t,y,u)(tzv.

hamiltonián) platí:

(PM1) pro každé t ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U platí

H(t,y(t),u(t), λ(t))≥H(t,y(t),u, λ(t)),˜

(PM2) y⁰ = ∂H

∂λ (stavová rovnice), (PM3) λ⁰ =−∂H

∂y (pohybová rovnice), (PM4) λ(T) = 0(podmínka transverzality).

4.2 Postaˇcující podmínky

V ˇeta 4.2

Princip maxima je postaˇcující podmínkou pro extrém v úloze (P4), jestliže

F a f jsou diferencovatelné,

F a f jsou konkávní v(y,u),

bud’ f je lineární v y a v u neboλ(t)≥0pro každé t ∈ h0,Ti.

4.2 Postaˇcující podmínky

V ˇeta 4.2

Princip maxima je postaˇcující podmínkou pro extrém v úloze (P4), jestliže

F a f jsou diferencovatelné, F a f jsou konkávní v(y,u),

bud’ f je lineární v y a v u neboλ(t)≥0pro každé t ∈ h0,Ti.

4.2 Postaˇcující podmínky

V ˇeta 4.2

Princip maxima je postaˇcující podmínkou pro extrém v úloze (P4), jestliže

F a f jsou diferencovatelné, F a f jsou konkávní v(y,u),

bud’ f je lineární v y a v u neboλ(t)≥0pro každé t ∈ h0,Ti.

4.3 Problémy s více stavovými prom ˇennými

Formulace úlohy (P4’) Dáno:

T ∈R,T >0;y⁰∈Rⁿ;

F ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m); f ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m,Rⁿ); U₁, . . . ,U_m ⊂R.

4.3 Problémy s více stavovými prom ˇennými

Formulace úlohy (P4’) Dáno:

T ∈R,T >0;y⁰∈Rⁿ; F ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m);

f ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m,Rⁿ); U₁, . . . ,U_m ⊂R.

4.3 Problémy s více stavovými prom ˇennými

Formulace úlohy (P4’) Dáno:

T ∈R,T >0;y⁰∈Rⁿ; F ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m);

f ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m,Rⁿ);

U₁, . . . ,U_m ⊂R.

4.3 Problémy s více stavovými prom ˇennými

Formulace úlohy (P4’) Dáno:

T ∈R,T >0;y⁰∈Rⁿ; F ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m);

f ∈ C¹(h0,Ti ×Rⁿ×R^m,Rⁿ);

U₁, . . . ,U_m ⊂R.

Hledámey = [y1, . . . ,yn], kde složky jsou po ˇcástech diferencovatelné funkce na intervaluh0,Ti,

a funkci u= [u1, . . . ,um]s po ˇcástech spojitými složkami nah0,Ti takové, že

y(0) = y⁰,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

uj(t)∈ Uj pro každét ∈ h0,Ti,j =1, . . . ,m, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey = [y1, . . . ,yn], kde složky jsou po ˇcástech diferencovatelné funkce na intervaluh0,Ti, a funkci u= [u1, . . . ,um]s po ˇcástech spojitými složkami nah0,Ti takové, že

y(0) = y⁰,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

uj(t)∈ Uj pro každét ∈ h0,Ti,j =1, . . . ,m, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey = [y1, . . . ,yn], kde složky jsou po ˇcástech diferencovatelné funkce na intervaluh0,Ti, a funkci u= [u1, . . . ,um]s po ˇcástech spojitými složkami nah0,Ti takové, že

y(0) = y⁰,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

uj(t)∈ Uj pro každét ∈ h0,Ti,j =1, . . . ,m, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey = [y1, . . . ,yn], kde složky jsou po ˇcástech diferencovatelné funkce na intervaluh0,Ti, a funkci u= [u1, . . . ,um]s po ˇcástech spojitými složkami nah0,Ti takové, že

y(0) = y⁰,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

uj(t)∈ Uj pro každét ∈ h0,Ti,j =1, . . . ,m, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey = [y1, . . . ,yn], kde složky jsou po ˇcástech diferencovatelné funkce na intervaluh0,Ti, a funkci u= [u1, . . . ,um]s po ˇcástech spojitými složkami nah0,Ti takové, že

y(0) = y⁰,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

uj(t)∈ U_j pro každét ∈ h0,Ti,j =1, . . . ,m,

Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

Hledámey = [y1, . . . ,yn], kde složky jsou po ˇcástech diferencovatelné funkce na intervaluh0,Ti, a funkci u= [u1, . . . ,um]s po ˇcástech spojitými složkami nah0,Ti takové, že

y(0) = y⁰,

y⁰(t) =f(t,y(t),u(t))pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny,

uj(t)∈ U_j pro každét ∈ h0,Ti,j =1, . . . ,m, Z T

0

F(t,y(t),u(t))dt je maximální.

V ˇeta 4.3 (Pontrjagin ˚uv princip maxima pro (P4’))

Necht’ vektorová funkceu = (u1, . . . ,um)je bodem maxima v úloze (P4’).

Pak existuje vektorová funkce λ:h0,Ti →Rⁿ, že pro hamiltonián

H(t,y,u,λ) = F(t,y,u) +λ^Tf(t,y,u) platí:

V ˇeta 4.3 (Pontrjagin ˚uv princip maxima pro (P4’))

Necht’ vektorová funkceu = (u1, . . . ,um)je bodem maxima v úloze (P4’). Pak existuje vektorová funkce λ:h0,Ti →Rⁿ, že pro hamiltonián

H(t,y,u,λ) = F(t,y,u) +λ^Tf(t,y,u) platí:

(PM1) pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U1× · · · × Um platí

H(t,y(t),u(t),λ(t))≥H(t,y(t),u,˜ λ(t)),

(PM2) y_i⁰ = ∂H

∂λ_i, i =1, . . . ,n(stavová rovnice), (PM3) λ⁰_i =−∂H

∂yi

, i =1, . . . ,n (pohybová rovnice), (PM4) λ_i(T) =0, i =1, . . . ,n (podmínka transverzality).

(PM1) pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U1× · · · × Um platí

H(t,y(t),u(t),λ(t))≥H(t,y(t),u,˜ λ(t)),

(PM2) y_i⁰ = ∂H

∂λ_i, i =1, . . . ,n(stavová rovnice),

(PM3) λ⁰_i =−∂H

∂yi

, i =1, . . . ,n (pohybová rovnice), (PM4) λ_i(T) =0, i =1, . . . ,n (podmínka transverzality).

(PM1) pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U1× · · · × Um platí

H(t,y(t),u(t),λ(t))≥H(t,y(t),u,˜ λ(t)),

(PM2) y_i⁰ = ∂H

∂λ_i, i =1, . . . ,n(stavová rovnice), (PM3) λ⁰_i =−∂H

∂yi

, i =1, . . . ,n (pohybová rovnice),

(PM4) λ_i(T) =0, i =1, . . . ,n (podmínka transverzality).

(PM1) pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U1× · · · × Um platí

H(t,y(t),u(t),λ(t))≥H(t,y(t),u,˜ λ(t)),

(PM2) y_i⁰ = ∂H

∂λ_i, i =1, . . . ,n(stavová rovnice), (PM3) λ⁰_i =−∂H

∂yi

, i =1, . . . ,n (pohybová rovnice), (PM4) λ_i(T) =0, i =1, . . . ,n (podmínka transverzality).

(PM1) pro každét ∈ h0,Tivyjma koneˇcné množiny a pro každéu˜ ∈ U1× · · · × Um platí

H(t,y(t),u(t),λ(t))≥H(t,y(t),u,˜ λ(t)),

(PM2) y_i⁰ = ∂H

∂λ_i, i =1, . . . ,n(stavová rovnice), (PM3) λ⁰_i =−∂H

∂yi

, i =1, . . . ,n (pohybová rovnice), (PM4) λ_i(T) =0, i =1, . . . ,n (podmínka transverzality).