Didaktický test

(1)

MATEMATIKA

MAMZD16C0T01

DIDAKTICKÝ TEST

Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 %

1

Základní informace k zadání zkoušky

• Didaktický test obsahuje 26 úloh.

• Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu.

• Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu, bez řešení rovnic a úprav algebraických výrazů.

• U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

• Odpovědi pište do záznamového archu.

• Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení.

• Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení.

• První část didaktického testu (úlohy 1–15) tvoří úlohy otevřené.

• Ve druhé části didaktického testu (úlohy 16–26) jsou uzavřené úlohy, které obsahují nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.

• Za neuvedené řešení či za nesprávné řešení úlohy jako celku se neudělují záporné body.

2

Pravidla správného zápisu odpovědí

2.1

Pokyny k otevřeným úlohám

• Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí.

• Je-li požadován celý postup řešení, uveďte jej do záznamového archu. Pokud uvedete pouze výsledek, nebudou vám přiděleny žádné body.

• Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny.

• Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

2.2

Pokyny k uzavřeným úlohám

• Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku.

• Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole.

• Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí 1

A B C D E

17

A B C D E

17

(2)

2

1 bod Množina A obsahuje všechna reálná čísla, která jsou menší nebo rovna 5.

1

Pro množinu B platí: Bൌ ሺെ͹Ǣ ͸ሻ.

Zapište intervalem A׫B.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2

Nádrž se plní několika stejně výkonnými čerpadly. Dvě čerpadla by prázdnou nádrž naplnila za ݔ hodin (ݔ ൐ Ͳ).

(CZVV)

1 bod Vyjádřete v hodinách, za jak dlouho by prázdnou nádrž naplnilo

2

݊ čerpadel (݊ א ۼ).

1 bod Pro ݔ א ܀ zjednodušte:

3

͵ݔ ήʹݔ െ Ͷ

͸ െ ቀݔ

͵ቁ^ଶ ൌ

(3)

max. 2 body Pro ܽ א ܀ ך ሼͲǢ ͷሽ zjednodušte:

4

ͳܽ െ ͷ

ܽ^ଶ

͵ܽ െ ͳͷൌ

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.

max. 2 body V oboru ܀ řešte:

5

ʹݔ^ଶ െ ݔ െ ͵

ʹݔ^ଶെ ʹ െ ͳ ൌ Ͳ

(4)

4

1 bod V oboru ܀ řešte:

6

െʹ ݔ െ ʹ൑ Ͳ

1 bod Pro kladné veličiny ܽǡ ܾǡ ܿ platí:

7

ܿ ൌ ܽ െ ܾ ήܿ ʹ

Z uvedeného vztahu vyjádřete veličinu ܿ.

(5)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8

Úhlopříčky kosočtverce KLMN leží na souřadnicových osách. Platí:KሾͲǢെ͵ሿǡLሾͷǢ Ͳሿ.

(CZVV)

max. 3 body 8

V soustavě souřadnic Oxy sestrojte kosočtverec KLMN. 8.1

V záznamovém archu obtáhněte vše propisovací tužkou.

Vypočtěte obsah kosočtverce.

8.2

Zapište obecnou rovnici přímky KL. 8.3

y

O x

1 1

(6)

6

Stupně vítězů představují těleso, které vzniklo připojením dvou kvádrů ke krychli.

Stěna krychle má obsah 25 dm². Pokud by se oba postranní kvádry postavily na sebe, vytvořily by stejnou krychli, jako je ta mezi nimi.

(CZVV)

max. 2 body 9

Vypočtěte v dm³ objem tělesa (stupňů vítězů).

9.1

Čtvercová lepicí fólie má stejný obsah jako jedna stěna krychle. Lepicími fóliemi 9.2

se má pokrýt celé těleso (stupně vítězů) s výjimkou stěny ležící na zemi. Fólie je možné stříhat.

Určete minimální počet lepicích fólií potřebných k pokrytí.

(7)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 10–11

Z kvádru ABCDEFGH se vyřízne jehlan ABCDV. Vrchol V je středem stěny EFGH.

(CZVV)

1 bod Určete, kolikrát je objem kvádru větší než objem jehlanu.

10

1 bod Platí: |BD|ൌ Ͷξ͹ cm, |BV|ൌ ͺ cm.

11

Vypočtěte v cm výšku v jehlanu.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 Kapela prodala za plnou cenu 1

3 všech CD. Se slevou pak prodala 3

4 zbývajících CD.

(CZVV)

1 bod Vypočtěte, jakou část všech CD kapela prodala se slevou.

12 E V

H G

F

B

C A

D

V

B

C A

D

(8)

8

Ve firmě je 200 zaměstnanců, mezi nimiž je 140 techniků. Průměrný plat techniků je M. Průměrný plat zbývajících 60 zaměstnanců firmy je o 50 % vyšší než průměrný plat techniků.

(CZVV)

max. 2 body Vyjádřete průměrný plat všech zaměstnanců firmy v závislosti

13

na veličině M.

Petr s Radkem si chtějí koupit stejnou knihu.

Petrovi ke koupi knihy 250 korun chybí, Radkovi naopak 150 korun přebývá.

Radek má třikrát více korun než Petr.

(CZVV)

max. 3 body Užitím rovnice nebo soustavy rovnic vypočtěte cenu knihy.

14

(9)

max. 3 body Pro ݔ א ܀ určete definiční obor rovnice (podmínky) a rovnici vyřešte.

15

ͺ െ ʹ ൌሺʹݔ െ ʹሻ ʹ

(10)

10

Obrazec se skládá z tmavé a bílé plochy. Tmavou plochu tvoří část čtverce ABCD a půlkruh s průměrem AD. Bílou plochu tvoří kruh se středem B a průměrem XY.

Platí: ȁABȁ ൌ 40 cm, ȁXYȁ ൌ 20 cm.

(CZVV)

max. 2 body Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1ʹ16.4), zda je

16

pravdivé (A), či nikoli (N).

A N Obsah tmavého půlkruhu je ͶͲͲɎ cm².

16.1

Obsah bílého kruhu je polovinou obsahu tmavého půlkruhu.

16.2

Obsah bílé části čtverce ABCD je ʹͷɎ cm². 16.3

Obsah bílého kruhu je ʹͲͲɎ cm². 16.4

A

D C

X B

Y

(11)

Svisle rostoucí strom je vysoký 39 m. Místo pozorování P je od paty kmene stromu vzdáleno 101 m a od vrcholu stromu 128 m. Z místa pozorování P se strom od paty kmene po jeho vrchol jeví v zorném úhlu ߮.

(CZVV)

2 body Jaká je velikost zorného úhlu ߮?

17

(Výsledek je zaokrouhlen na celé stupně, tloušťku stromu zanedbáváme.) 14°

A)

18°

B)

21°

C)

23°

D)

38°

E)

Rotační válec má průměr podstavy 12 cm a obsah pláště 60Ɏ cm².

(CZVV)

2 body Jaký je objem válce?

18

39 m

߮ 128 m

101 m

P

(12)

12

2 body V aritmetické posloupnosti platí:

19

ܽ_௡ ൌ ͷ െ ͳͲ݊

ͲǡͶ ǡkde݊ א ۼ

Jaká je diference posloupnosti?

ͳʹǡͷ A)

ͷ B)

െͷ C)

െͳʹǡͷ D)

െʹͷ E)

Kocourkovští chtěli prodat stroj za 200 000 Kč, ale za tuto cenu ho nikdo nekoupil.

Proto pevně stanovili počet procent, o který se každodenně sníží prodejní cena stroje z předchozího dne.

Po čtvrtém snížení, kdy cena klesla na 81 920 Kč, stroj konečně prodali.

(CZVV)

2 body O kolik korun se cena snížila poprvé?

20

o méně než 30 000 Kč A)

o 30 000 Kč B)

o 35 000 Kč C)

o 40 000 Kč D)

o více než 40 000 Kč E)

(13)

2 body Doplňte do rámečků taková celá čísla, aby platila rovnost:

21

ቀ͵ݔ ൅ ቁ^ଶ ൌ ݔ^ଶ ൅ ͸Ͳݔ ൅

Jaký je součet všech tří čísel doplněných do rámečků?

23 A)

113 B)

119 C)

939 D)

jiný součet E)

2 body Je dána rovnice s neznámou ݔ א ܀:

22

ͳ

ʹݔ െ ͳൌ ݔ

Do kterého intervalu patří oba kořeny rovnice?

ۃെ͵ǡͶǢെͲǡ͸ۄ A)

ۃെͳǡʹǢ Ͳǡ͸ۄ B)

ۃെͲǡͻǢ Ͳǡͻۄ C)

ۃെͲǡ͸Ǣ ͳǡʹۄ D)

do žádného z uvedených E)

(14)

14

2 body Je dána rovnice s neznámou ݊ א ۼ:

23

ͺͲǨ ͻǨ ൅ͺͲǨ

ͳͲǨ ൌ݊ ή ͺͲǨ ͳͲǨ

Jaké je řešení rovnice?

ͳͳ A)

ͳͲ B)

ͻ C)

ͺ D)

jiné řešení E)

Ze 3 chlapců a 4 dívek se losují dva hráči do hry. První vylosovaný bude kapitán, druhý kormidelník.

(CZVV)

2 body Jaká je pravděpodobnost, že kapitánem bude chlapec?

24

ͳ A) ͹

͵

͹ B)

Ͷ C) ͹

ͳ D) ͵

jiná pravděpodobnost E)

(15)

max. 4 body Přiřaďte ke každému grafu funkce (25.1–25.4) odpovídající

25

předpis funkce (A–F).

25.1 25.2

25.3 25.4

ݕ ൌ ʹ ݔ^ିଵ A)

ݕ ൌ െݔ ʹ^ିଵ B)

ݕ ൌ ʹ^ିଵή ݔ 25.1 _____

C)

ݔ ^ିଵ

O 1 1

x y

O 1

1 x

y

O 1 1

x y

O1 1

x y

(16)

16

V rovině jsou umístěny vektory ݑሬԦ ൌKLሬሬሬሬԦ a ݒԦ ൌMNሬሬሬሬሬሬԦ. K, L, M, N jsou mřížové body.

(CZVV)

max. 3 body Ke každému vektoru (26.1−−−−26.3) doplňte souřadnice (A–E) tak,

26

aby byla splněna uvedená podmínka.

vektor ܽԦ, kde ܽԦ ൌ ʹݑሬԦ _____

26.1

vektor ܾሬԦ, kde ܾሬԦ ൌ ݑሬԦ ൅ ݒԦ _____

26.2

vektor ܿԦ, kde ܿԦ ή ݑሬԦ ൌ Ͳ _____

26.3

ሺͶǢ ʹሻ A)

ሺʹǢ Ͷሻ B)

ሺʹǢെͶሻ C)

ሺെʹǢെͶሻ D)

ሺെͶǢ ʹሻ E)

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. K

M N

O L

1

1 x

y

ݑሬԦ ݒԦ