Том 2 2, выпуск 2 2020 ВЛАДИКАВКАЗСКИЙМАТЕМАТИЧЕСКИЙЖУРНАЛ

(1)

Ю Ж Н Ы Й М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й И Н С Т И Т У Т

ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

Том 22, выпуск 2 2020

http://www.vlmj.ru

(2)

S O U T H E R N M A T H E M A T I C A L I N S T I T U T E

ISSN-1814-0807 (Online)

VLADIKAVKAZ MATHEMATICAL

JOURNAL

Volume 22, Issue 2 2020

http://www.vlmj.ru

(3)

Владикавказский научный центр РАН, Владикавказ, Россия Ответственный секретарь

Е. К. БАСАЕВА

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Владикавказ, Россия

Редакционная коллегия

А. В. АБАНИН С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ

Южный федеральный университет, Институт математики Сибирского Ростов-на-Дону, Россия отделения РАН, Новосибирск, Россия

ХОСЕ БОНЕТ Г. Г. МАГАРИЛ-ИЛЬЯЕВ

Политехнический университет, Московский государственный

Валенсия, Испания университет им. М. В. Ломоносова,

Москва, Россия Н. А. ВАВИЛОВ

Санкт-Петербургский государственный В. Д. МАЗУРОВ

университет, Санкт-Петербург, Россия Институт математики Сибирского отделения РАН, Новосибирск, Россия А. О. ВАТУЛЬЯН

Южный федеральный университет, В. Е. НАЗАЙКИНСКИЙ

Ростов-на-Дону, Россия Институт проблем механики

им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия С. К. ВОДОПЬЯНОВ

Институт математики Сибирского С. Г. САМКО

отделения РАН, Новосибирск, Россия Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия;

Е. И. ГОРДОН Университет Алгарве, Фаро, Португалия

Университет Восточного Иллинойса,

Чарльстон, США ФАМ ЧОНГ ТИЕН

Вьетнамский национальный

А. И. КОЖАНОВ университет, Ханой, Вьетнам

Институт математики Сибирского

отделения РАН, Новосибирск, Россия В. Г. ТРОИЦКИЙ Альбертский университет,

В. А. КОЙБАЕВ Эдмонтон, Канада

Северо-Осетинский государственный

университет им. К. Л. Хетагурова, С. М. УМАРХАДЖИЕВ

Владикавказ, Россия Академия наук Чеченской Республики,

Грозный, Россия Ю. Ф. КОРОБЕЙНИК

Южный математический ЛЕ ХАЙ ХОЙ

институт — филиал ВНЦ РАН, Наньянский технологический

Владикавказ, Россия университет, Сингапур

Адрес редакции:362027, Владикавказ, Маркуса, 22 Телефон: (8672) 50-18-06; E-mail:rio@smath.ru Зав. редакцией:В. В. БОЗРОВА

Журнал основан в 1999 г. Выходит четыре раза в год Электронная версия:www.vlmj.ru

Зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций:

свид. ПИ № ФС77-70008 от 31 мая 2017 г.;

свид. ЭЛ № ФС77-70171 от 21 июня 2017 г.

c

Владикавказский научный центр РАН, 2020

(4)

ANATOLY G. KUSRAEV

Vladikavkaz Scientiﬁc Centre of the Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Editorial Executive Secretary ELENA K. BASAEVA

Southern Mathematical Institute of VSC RAS, Vladikavkaz, Russia

Editorial Board

ALEXANDER V. ABANIN VICTOR D. MAZUROV

Southern Federal University, Sobolev Institute of Mathematics

Rostov-on-Don, Russia of Siberian Branch of the RAS,

Novosibirsk, Russia JOS´E BONET

Universitat Polit`ecnica de Val`encia, VLADIMIR E. NAZAIKINSKII

Valencia, Spain Ishlinsky Institute for Problems

in Mechanics RAS, Moscow, Russia EVGENY I. GORDON

Eastern Illinois University, Charleston, USA STEFAN G. SAMKO

Universidade do Algarve, Faro, Portugal;

LE HAI KHOI Southern Federal University,

Nanyang Technological University, Singapore Rostov-on-Don, Russia

VLADIMIR A. KOIBAEV PHAM TRONG TIEN

North Ossetian State University, Vietnam National University,

Vladikavkaz, Russia Hanoi, Vietnam

YURII F. KOROBEYNIK VLADIMIR G. TROITSKY

Southern Mathematical University of Alberta, Edmonton, Canada Institute VSC RAS,

Vladikavkaz, Russia SALAUDIN M. UMARKHADZHIEV

Academy of Sciences of Chechen Republic,

ALEXANDER I. KOZHANOV Groznyi, Russia

Sobolev Institute of Mathematics

of Siberian Branch of the RAS, ALEXANDER O. VATULYAN

Novosibirsk, Russia Southern Federal University,

Rostov-on-Don, Russia SEMEN S. KUTATELADZE

Sobolev Institute of Mathematics NIKOLAI A. VAVILOV

of Siberian Branch of the RAS, Saint Petersburg State University,

Novosibirsk, Russia Saint Petersburg, Russia

GEORGII G. MAGARIL-IL’YAEV SERGEI K. VODOPYANOV

Lomonosov Moscow State University, Sobolev Institute of Mathematics

Moscow, Russia of Siberian Branch of the RAS,

Novosibirsk, Russia Editorial Oﬃce:22 Markusa St., Vladikavkaz 362027, the Republic of North Ossetia-Alania, Russia

Phone: (8672) 50-18-06; E-mail:rio@smath.ru Managing editor:V. V. BOZROVA

The journal was founded in 1999. It is published four times a year.

Electronic Version:www.vlmj.ru

Registered with the Federal Service for Supervision in the Sphere of Telecom, Information Technologies and Mass Communications:

ПИ № ФС77-70008 dated May 31, 2017; ЭЛ № ФС77-70171 dated June 21, 2017.

c

Vladikavkaz Scientiﬁc Centre of the Russian Academy of Sciences, 2020

(5)

ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

Том 22, выпуск 2 апрель–июнь, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Джурахонов О. А.Приближение функций двух переменных «круговыми» суммами Фурье — Чебышева вL_2,ρ . . . 5 Коротков В. Б. О неограниченных интегральных операторах с квазисимметричными

ядрами . . . 18 Махнев А. А., Биткина В. В., Гутнова А. К. Автоморфизмы дистанционно

регулярного графа с массивом пересечений{48,35,9; 1,7,40} . . . 24 Нурмагомедов А. А. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье

по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках . . . 34 Rajendra, R. and Reddy, P. S. K. Tosha-Degree Equivalence Signed Graphs . . . 48 Рахмелевич И. В. О многомерных детерминантных дифференциально-операторных

уравнениях . . . 53 Хачатрян Х. А., Петросян А. С. О положительных решениях граничной задачи

для нелинейного интегро-дифференциального уравнения на полубесконечном

интервале . . . 70 Шустов В. В. О представлении определенных интегралов значениями функции

и ее производных . . . 83 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЖИЗНЬ

С. Н. Мелихову — 60 лет . . . 98 Памяти Алексея Борисовича Шабата (08.08.1937 — 24.03.2020) . . . 100

Владикавказ 2020

(6)

V L A D I K A V K A Z S C I E N T I F I C C E N T E R S O U T H E R N M A T H E M A T I C A L I N S T I T U T E

VLADIKAVKAZ

MATHEMATICAL JOURNAL

Volume 22, issue 2 April–June, 2020

C O N T E N T

Jurakhonov, O. A. Approximation of Bivariate Functions by Fourier–Tchebychev

“Circular” Sums inL₂,ρ . . . 5 Korotkov, V. B. On Unbounded Integral Operators with Quasisymmetric Kernels . . . 18 Makhnev, A. A., Bitkina, V. V. and Gutnova, A. K. Automorphisms of a Distance

Regular Graph with Intersection Array{48,35,9; 1,7,40} . . . 24 Nurmagomedov, A. A. Approximation Properties of Discrete Fourier Sums

in Polynomials Orthogonal on Non-Uniform Grids . . . 34 Rajendra, R. and Reddy, P. S. K. Tosha-Degree Equivalence Signed Graphs . . . 48 Rakhmelevich, I. V. On Multidimensional Determinant Diﬀerential-Operator

Equations . . . 53 Khachatryan, Kh. A. and Petrosyan, H. S. On Positive Solutions of a Boundary

Value Problem for a Nonlinear Integro-Diﬀerential Equation on a Semi-Inﬁnite

Interval . . . 70 Shustov, V. V. On Representation of Certain Integrals Using the Values of a Function

and its Derivatives . . . 83 MATHEMATICAL LIFE

Sergej Nikolaevich Melikhov (on his 60’s anniversary) . . . 98 In Memory of Alexei Borisovich Shabat (08.08.1937 — 24.03.2020) . . . 100

Vladikavkaz 2020

(7)

УДК517.5

DOI10.46698/n6807-7263-4866-r

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

«КРУГОВЫМИ» СУММАМИ ФУРЬЕ — ЧЕБЫШЕВА В L_2,ρ О. А. Джурахонов¹

1Таджикский национальный университет, Россия, 734025, Таджикистан, Душанбе, пр. Рудаки, 17

E-mail:olim74@tajnet.tj

Аннотация. В работе вычислены точные верхние грани приближения функций двух переменных круговыми частичными суммами двойного ряда Фурье — Чебышева на классе функций L^(r)_2,ρ(D), r ∈ N, в пространстве L2,ρ :=L2,ρ(Q), где ρ :=ρ(x, y) = 1/p

(1−x²)(1−y²), Q :={(x, y) : −16 x, y 6 1}, D — оператор Чебышева — Эрмита второго порядка. Получены точные неравенства, в которых величины наилучших полиномиальных приближений оцениваются сверху посредством усредненных с весом значений обобщенных модулей непрерывностиm-го порядка производнойD^rf (r ∈ Z₊) в метрике пространства L2,ρ. Даны точные оценки наилучших приближений двойного ряда Фурье по ортогональным системам Фурье — Чебышева на классах функций многих перемен- ных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности. Так как, в отличие от одномерного случая для двойных рядов, нет естественного способа построения частичных сумм, то мы строим некоторые классы функций, а затем соответствующий метод приближения — «круговые» частич- ные суммы двойного ряда Фуре — Чебышева. В вопросах, связанных с разложениями функций в ряд Фурье по тригонометрической системе и оценки их наилучших приближений, большую роль играют операторы сдвига. В работе, указывая на некоторые ранее известные результаты, построен оператор обобщенного сдвига, который позволяет определить класс функций, характеризующийся обобщенным модулем непрерывности. На этих классах вычислена верхняя грань значений, наи- лучшее среднеквадратическое приближение некоторых классов функций «круговыми» частичными суммами двойных рядов Фурье — Чебышева.

Ключевые слова:среднеквадратичное приближение, обобщенный модуль непрерывности, двойной ряд Фурье — Чебышева, неравенство типа Колмогорова, оператор сдвига.

Mathematical Subject Classiﬁcation (2010):30E10.

Образец цитирования:Джурахонов О. А.Приближение функций двух переменных «круговыми»

суммами Фурье — Чебышева вL2,ρ // Владикавк. мат. журн.—2020.—Т. 22, вып. 2.—С. 5–17. DOI:

10.46698/n6807-7263-4866-r.

1. Введение

Классические многочлены Чебышева имеют многочисленные применения в экстре- мальных задачах теории аппроксимации и прикладной математике. Так, например, хо- рошо известна роль многочленов Чебышева при минимизации остатка квадратурных формул, при приближенном решении дифференциальных и интегральных уравнений, а также в задачах интерполяции функций (см., например, монографии [1–4]). Что же касается работ, посвященных применению многочленов Чебышева двух и большего числа

c

2020 Джурахонов О. А.

(8)

переменных в прикладных задачах, то их совсем мало. Укажем работы [3–7], где вводят- ся и изучаются многочлены Чебышева многих переменных, рассматриваются некоторые практические применения многочленов Чебышева двух переменных. В [8] изучается ряд теоретических вопросов, связанных с разложениями функций двух переменных в двой- ных рядах Фурье по многочленам Чебышева, и исследуются их скорости сходимости, а также оценка их остаточных членов.

Настоящая статья продолжает указанную тематику и посвящена вопросам вычис- ления верхних граней приближения в среднем двойными суммами Фурье — Чебышева некоторых классов дифференцируемых функций двух переменных. При этом важную роль играет оператор обобщенного сдвига, соответствующий многочленам Чебышева двух переменных, и введенный на основе этого оператора обобщенный модуль непре- рывности. В некоторых задачах аппроксимации операторы обобщенного сдвига и по- строенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения структурных и конструктивных свойств функций, чем обычные модули глад- кости. Некоторые точные результаты о приближении функций с использованием опера- торов обобщенного сдвига можно найти в работах [8–12] и в цитируемой в этих работах литературе.

2. Необходимые определения и предварительные факты

Приведем необходимые для дальнейшего определения и предварительные факты.

Пусть вL2,ρ:=L2,ρ(Q),где

Q={(x, y) : −16x, y61}, ρ:=ρ(x, y) = 1/p

(1−x²)(1−y²),

пространство функцийf двух переменных, суммируемых с квадратом в областиQс ве- сом ρи нормой

kfk2,ρ:=kfkL2,ρ = ZZ

Q

ρ(x, y)f²(x, y)dxdy

!1/2

.

В пространстве L_2,ρ рассмотрим оператор F_hf(x, y) = 1

4

f

xcosh+p

1−x²sinh, ycosh+p

1−y²sinh +f

xcosh+p

1−x²sinh, ycosh−p

1−y²sinh +f

xcosh−p

1−x²sinh, ycosh+p

1−y²sinh +f

xcosh−p

1−x²sinh, ycosh−p

1−y²sinh ,

(1)

который будем называть оператором обобщенного сдвига.

Следуя работе [8], определим разности первого и высших порядков равенствами

∆_h(f) := ∆_h(f;x, y) =F_hf(x, y)−f(x, y) = (F_h−E)f(x, y),

∆^k_h(f) := ∆_h

∆^k_h⁻¹(f)

= ∆_h

∆^k_h⁻¹(f;·,·), x, y

= (F_h−E)^kf(x, y) = Xk i=0

(−1)^k⁻ⁱ k

i

F_hⁱf(x, y),

(9)

где

F_h⁰f(x, y) =f(x, y), F_hⁱf(x, y) =F_h(F_hⁱ⁻¹f(x, y)) (i= 1, . . . , k, k∈N, 0< h <1), иE — единичный оператор вL_2,ρ.Величину

Ω_m(f, t)_2,ρ:= supn

k∆^m_h(f)k2,ρ : 0< h6to

, 0< t <1, (2) будем называть обобщенным модулем непрерывности m-го порядка функции f ∈ L2,ρ. Далее, мы предположим, что функцияf ∈L_2,ρ имеет обобщенные частные производные в смысле Леви [13, c. 172]. Введем операторы

D_x := 1−x² ∂²

∂x² −x ∂

∂x, D_y := 1−y² ∂²

∂y² −y ∂

∂y, и положим

D:= 1−x² ∂²

∂x² + 1−y² ∂²

∂y² −x ∂

∂x−y ∂

∂y :=D_x+D_y

— дифференциальный оператор Чебышева второго порядка по переменным x и y. Рас- смотрим L^(r)_2,ρ := L^(r)_2,ρ(D) — класс функций f ∈ L_2,ρ, имеющих обобщенные частные производные

∂^k

∂x^k⁻ⁱ∂yⁱf(x, y) (i= 0,1, . . . , k; k= 1,2, . . . ,2r, r ∈N)

в смысле Леви, принадлежащие пространству L_2,ρ, и для которых kD^rfk2,ρ < ∞, где, как обычно,D⁰f ≡f, D^rf ≡D(D^r⁻¹f),r∈N.Пусть далее

T₀(x) = 1

√π, T_n(x) = r2

π cos(narccosx), n= 1,2, . . . ,

— ортонормированная система многочленов Чебышева [14, c. 76] в пространстве L_2,ρ. Разложим функциюf в двойной ряд Фурье — Чебышева:

f(x, y) = X∞ k=0

X∞ l=0

c_kl(f)T_k(x)T_l(y), (3) где

c_kl(f) = Z Z

(Q)

ρ(x, y)f(x, y)T_k(x)T_l(y)dx dy (4)

— коэффициенты Фурье — Чебышева функции f ∈ L_2,ρ, а равенство в (3) понимается в смысле сходимости вL_2,ρ.Обозначим символом

S_R(f;x, y) := X

06k²+l²<R²

c_kl(f)T_k(x)T_l(y)

«круговые» частные суммы ряда (3), и пусть E_R(f)_2,ρ:=E_R(f)_L_2,ρ = inf

kf−p_Rk2,ρ: p_R∈P_R

(10)

— наилучшее приближение функции f ∈ L_2,ρ множеством P_R-алгебраических полино- мов вида

p_R(x, y) = X

06k²+l²<R²

a_klx^ky^l, R >0, (5) в пространствеL2,ρ.Хорошо известно, что

ER(f)2,ρ := infn

kf−pRk^2,ρ: pR(x, y)∈P_Ro

=kf −SR(f)k^2,ρ= X

k²+l²>R²

c²_kl(f) 1/2

. (6) В [8] доказано, что для произвольнойf ∈L^(r)_2,ρв смысле сходимости вL_2,ρимеет место равенство

k∆^m_h(D^rf)k²2,ρ= X∞ k=0

X∞ l=0

(1−coskhcoslh)^2m(k²+l²)^2rc²_kl(f). (7) Легко проверить, что

DT_k(x)T_l(y) =−(k²+l²)T_k(x)T_l(y). (8) Применяя метод математической индукции, из (8) получаем

D^rT_k(x)T_l(y) = (−1)^r(k²+l²)^rT_k(x)T_l(y). (9) Учитывая (9), из (3) послеr-кратного применения оператора D имеем

D^rf(x, y) = (−1)^r X∞ k=0

X∞ l=0

(k²+l²)^rc_kl(f)T_k(x)T_l(y). (10) Очевидно, что для любой f ∈ L^(r)_2,ρ полученный двойной ряд в (10) сходится в смысле пространстваL2,ρ.Поэтому он будет служить рядом Фурье — Чебышева функцииD^rf ∈ L_2,ρ (см., например, [15, c. 169]). Пользуясь равенством Парсеваля, из (10) будем иметь

kD^rfk²2,ρ= X∞ k=0

X∞ l=0

(k²+l²)^2rc²_kl(f).

Кроме того, очевидно

E²_R(D^rf)_2,ρ= X

k²+l²>R²

c²_kl(D^rf) = X

k²+l²>R²

(k²+l²)^2rc²_kl(f). (11) Условимся далее при вычислении верхних граней по всем функциям f ∈L^(r)_2,ρ в соотно- шениях общего характера подразумевать, чтоD^rf 6=p_R,D6= 0.

Лемма 1. При любом r∈Z₊ справедливо равенство sup

f∈L^(r)_2,ρ

E_R(f)_2,ρ

E_R(D^rf)_2,ρ = 1

R^2r. (12)

⊳Пользуясь равенствами (6) и (11), для произвольной f ∈L^(r)_2,ρ получаем E_R²(f)_2,ρ = X

k²+l²>R²

c²_kl(f) = X

k²+l²>R²

1

(k²+l²)^2r(k²+l²)^2rc²_kl(f) 6 1

R^4r X

k²+l²>R²

(k²+l²)^2rc²_kl(f) = 1

R^4rE_R²(D^rf)_2,ρ.

(11)

Отсюда следует оценка сверху величины, расположенной в левой части равенства (12):

sup

f∈L^(r)_2,ρ

E_R(f)_2,ρ

E_R(D^rf)_2,ρ 6 1

R^2r. (13)

С целью получения оценки снизу той же величины рассмотрим функцию f₀(x, y) = 1

R^2rT₀(x)T_R(y), (14)

которая очевидно принадлежит классу L^(r)_2,ρ,поскольку для функции f₀ имеем D^rf₀(x, y) = (−1)^rT₀(x)T_R(y),

и в силу формул (6) и (11)

E_R(f₀)_2,ρ = 1

R^2r, E_R(D^rf₀)_2,ρ = 1. (15) Пользуясь равенствами (15), запишем оценку снизу для экстремальной характери- стики, стоящей в левой части неравенства (13):

sup

f∈L^(r)_2,ρ

E_R(f)_2,ρ

E_R(D^rf)_2,ρ > E_R(f₀)_2,ρ

E_R(D^rf₀)_2,ρ = 1

R^2r. (16)

Из сопоставления оценки сверху (13) и оценки снизу (16) получаем требуемое равен- ство (12). ⊲

Пусть

W_2,ρ^(r)(D) :=

f ∈L^(r)_2,ρ(D) :kD^r(f)k2,ρ 61 . Теорема 1. При любом r∈Nсправедливы равенства

E_R

W_2,ρ^(r)(D)

2,ρ:= sup

E_R(f)_2,ρ : f ∈W_2,ρ^r (D) = 1

R^2r. (17)

⊳Так как для любого f ∈W_2,ρ^(r)(D)

E_R(D^rf)_2,ρ6kD^rfk2,ρ61,

то из неравенства (13) для произвольной функцииf ∈W_2,ρ^(r)(D) получаем E_R(f)_2,ρ6 1

R^2rE_R(D^rf)_2,ρ6 1 R^2r, откуда и следует оценка сверху:

E_R

W_2,ρ^(r)(D)

2,ρ6 1

R^2r. (18)

С целью получении оценки снизу введем снова в рассмотрение функцию (14), для которой имеют место равенства (15). Пользуясь первым из равенств (15), запишем оценку снизу:

E_R

W_2,ρ^(r)(D)

2,ρ>E_R(f₀)_2,ρ = 1

R^2r, (19)

и так какkD^rf₀k= 1, то введенная при доказательстве леммы 1 функцияf₀, определен- ная равенством (14), принадлежит классуW_2,ρ^(r)(D).

Требуемое равенство (17) получаем из сопоставления неравенств (18) и (19), чем и завершаем доказательство теоремы 1.⊲

(12)

3. Некоторые точные результаты

При решении различных экстремальных задач теории аппроксимации функций важ- ную роль играют неравенства между нормами последовательных производных функ- ций или неравенства типа Колмогорова в различных банаховых пространствах. Если S =R или S=R₊,то неравенство Колмогорова для функций одной переменной имеет вид [16, 17]

kf^(s)kLp(S) 6Mkfk^αLq(S)· kf^(r)k^β_L_γ₍S), (20) где

α= r−s−1/γ+ 1/p

r−1/γ+ 1/q , β = 1−α, 16p, q, γ6∞.

Следует отметить, что различные неравенства типа (20) с точными константами при- ведены в монографии [16]. В статье [17] приведен подробный обзор всех результатов о неравенствах вида (20), где получены наилучшие константы и анализируется связь задачи Стечкина о наилучшем приближении оператора дифференцирования D^k поряд- каkс неравенством (20). Отметим, что неравенства типа (20) с точными константами для функций двух переменных найдены в недавно опубликованных работах [18–20]. Здесь до- кажем точное неравенство Колмогорова для функций f ∈L^(r)_2,ρ(D) в пространстве L_2,ρ. Поскольку функция f ∈L^(r)_2,ρ и ее промежуточные производные D^sf, s= 1,2, . . . , r−1, r∈N,принадлежат также пространствуL_2,ρ,то представляет несомненный интерес изу- чение поведения наилучших приближений E_R(D^sf),s= 1,2, . . . , r−1,r ∈N,на классе L^(r)_2,ρ(D).

Теорема 2. Пусть r, s ∈N, r > s. Тогда для произвольной функции f ∈ L^(r)_2,ρ спра- ведливо точное в L_2,ρ неравенство

kD^sfk2,ρ6kD^rfk^s/r2,ρkfk¹2,ρ⁻^s/r. (21)

⊳ В самом деле, в силу линейности оператора D^s из равенства (3) с учетом равен- ства (9) имеем

D^sf(x, y) = X∞ k=0

X∞ l=0

(−1)^s(k²+l²)^sc_kl(f)T_k(x)T_l(y).

Применяя равенство Парсеваля, запишем kD^sfk²2,ρ=

X∞ k=0

X∞ l=0

(k²+l²)^2sc²_kl(f). (22) Воспользовавшись неравенством Г¨ельдера для двойного ряда, из (22) имеем

kD^sfk²2,ρ = X∞ k=0

X∞ l=0

(k²+l²)^2rc²_kl(f)s/r

c²_kl(f)1−s/r

6 X∞ k=0

X∞ l=0

(k²+l²)^2rc²_kl(f)

!s/r X∞ k=0

X∞ l=0

c²_kl(f)

!1−s/r

=kD^rfk^2s/r2,ρ · kfk²⁽¹2,ρ⁻^s/r), откуда и вытекает неравенство (21).

(13)

Для ранее рассмотренной нами функции (14), кроме равенств (15), также выполня- ются соотношения

kf₀k2,ρ =R⁻^2r, D^sf₀(x, y) = (−1)^sR⁻^2(r⁻^s)T₀(x)T_R(y), kD^sf₀k2,ρ =R⁻^2(r⁻^s), пользуясь которыми будем иметь

kD^sf₀k²2,ρ=kD^rf₀k^2s/r2,ρ · kf₀k²⁽¹2,ρ⁻^s/r) =R⁻^4(r⁻^s), откуда и следует точность неравенства (21). ⊲

Теорема 3. Пусть r, s∈ N,1 6 s6r−1, r > 2. Тогда для произвольной функции f ∈L^(r)_2,ρ справедливо точное вL_2,ρ неравенство

ER(D^sf)2,ρ 6(ER(D^rf)2,ρ)^s/r(ER(f)2,ρ)¹⁻^s/r. (23)

⊳Так как равенство (10) имеет место для любогоr∈N,то при любомs,16s6r−1, r>2, запишем

E_R²(D^sf)_2,ρ= X

k²+l²>R²

(k²+l²)^2sc²_kl(f) = X

k²+l²>R²

(k²+l²)^2rc²_kl(f)s/r

(c²_kl(f))¹⁻^s/r

6



 X

k²+l²>R²

(k²+l²)^2rc²_kl(f)





s/r

 X

k²+l²>R²

c²_kl(f)





1−s/r

6 E_R²(D^rf)2,ρs/r

E_R²(f)2,ρ1−s/r

,

откуда и вытекает неравенство (23).

Так как для функции f₁(x, y) = T_R(x)T₀(y) в силу равенств (6) и (11) имеют место соотношения

E_R(f₁)_2,ρ= 1, E_R(D^sf₁)_2,ρ =R^2s, E_R(D^rf₁)_2,ρ =R^2r, (24) то будем иметь

ER(D^sf1)2,ρ = (ER(D^rf1)2,ρ)^s/r(ER(f1)2,ρ)¹⁻^s/r = (R^2r)^s/r=R^2s. Этим доказана точность неравенства (23).⊲

Теорема 4. Пусть s, r∈N,r >2,s < r. Тогда справедливы равенства sup

f∈W_2,ρ^(r)(D)

E_R(D^sf)_2,ρ

(E_R(f)_2,ρ)¹⁻^s/r = 1. (25)

⊳ В самом деле, из неравенства Колмогорова (23) для произвольной функции f ∈W_2,ρ^(r)(D), учитывая, чтоE_R(D^rf)_2,ρ61, запишем

E_R(D^sf)_2,ρ 6(E_R(f)_2,ρ)¹⁻^s/r, откуда сразу следует оценка сверху

sup

f∈W_2,ρ^(r)(D)

ER(D^sf)2,ρ

(ER(f)2,ρ)¹⁻^s/r 61. (26)

(14)

Соответствующую оценку снизу получаем для функции (14), для которой D^sf₀(x, y) = (−1)^sR⁻^2(r⁻^s)T₀(x)T_R(y), E_R(D^sf₀)_2,ρ=R⁻^2(r⁻^s), а потому имеем

sup

f∈W_2,ρ^(r)(D)

E_R(D^sf)_2,ρ

(E_R(f)_2,ρ)¹⁻^s/r > E_R(D^sf₀)_2,ρ

(E_R(f₀)_2,ρ)¹⁻^s/r = R^2(r⁻^s)

R^2(r⁻^s) = 1. (27) Требуемый результат (25) вытекает из сравнения неравенств (26) и (27).⊲

4. Основные результаты В этом параграфе приведем более общий результат.

Теорема 5. Пусть m∈N,r ∈Z₊,R∈R₊,0< p 62, 0< h6π/R, q(t)>0, — про- извольная суммируемая не эквивалентная нулю на отрезке [0, h] функция. Тогда спра- ведливо равенство

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2rE_R(f)_2,ρ R_h

0

Ω^p_m(D^rf, t)_2,ρq(t)dt

1/p = 1 R_h

0

(1−cosRt)^pmq(t)dt

1/p. (28)

⊳ Воспользуемся одним вариантом неравенства Минковского, приведенного в моно- графии [21, c. 104],

(Z^h

0

X∞ j=N

|f˜j(t)|²

!p/2

dt )1/p

>

( _∞ X

j=N

Zh 0

|fj(t)|^pdt

!2/p)1/2

, (29)

где0< p62.Полагая в неравенстве (29) f˜_j :=f_jq^1/p, получаем (Zh

0

X∞ j=N

|f_j(t)|²

!p/2

q(t)dt )1/p

>

( _∞ X

j=N

Zh 0

|f_j(t)|^pq(t)dt

!2/p)1/2

.

Используя равенство (7), из последнего неравенства будем иметь Zh

0

Ω^p_m(D^rf, t)2,ρq(t)dt

!1/p

>

Zh 0

k∆^m_t (D^rf)k^p2,ρq(t)dt

!1/p

>

(Zh 0

"

X

k²+l²>R²

(1−cosktcoslt)^2m(k²+l²)^2rc²_kl(f)

#p/2

q(t)dt )1/p

>

( X

k²+l²>R²

c²_kl(f) (k²+l²)^pr Zh 0

(1−cosktcoslt)^pmq(t)dt

!2/p)1/2

(15)

> inf

k²+l²>R², k,l∈N

(

(k²+l²)^pr Zh 0

(1−cosktcoslt)^pmq(t)dt )1/p(

X

k²+l²>R²

c²_kl(f) )1/2

= (

R^2pr Zh

0

(1−cosRt)^pmq(t)dt )1/p

E_R(f)_2,ρ=R^2r (Z^h

0

(1−cosRt)^pmq(t)dt )1/p

E_R(f)_2,ρ. Отсюда для произвольной функции f ∈L^(r)_2,ρ вытекает оценка сверху:

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2rE_R(f)_2,ρ R_h

0

1/p 6 1 R_h

0

1/p. (30)

Для получения соответствующей оценки снизу рассмотрим функцию f₁(x, y) = T_R(x)T₀(y), использованную нами в конце доказательства теоремы 3. Для этой функции в силу (7) имеем

k∆^m_h(D^rf₁)k²2,ρ = (1−cosRh)^2mR^4r, откуда сразу следует, что

Ω^p_m(D^rf1, t)2,ρ:= (1−cosRt)^pmR^2pr (0< p62, 0< Rt6π). (31) Учитывая полученные равенства, запишем оценку снизу:

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2rER(f)2,ρ

R_h

0

Ω^pm(D^rf, t)_2,ρq(t)dt

1/p > R^2rER(f1)2,ρ

R_h

0

Ω^pm(D^rf₁, t)_2,ρq(t)dt 1/p

= R^2r·1

R^2r R_h

0

1/p = 1 R_h

0

1/p. (32)

Из сопоставления оценки сверху (30) и оценки снизу (32) получаем требуемое равен- ство (28). ⊲

Из доказанной теоремы 5 вытекают ряд следствий

Следствие 1. Если в условиях теоремы 5 положить q(t) =RsinRt, то имеем sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2r⁻^1/pE_R(f)_2,ρ R_h

0

Ω^pm(D^rf, t)_2,ρsinRt dt

1/p =

mp+ 1 (1−cosRh)^mp+1

1/p

.

В частности, отсюда приh=π/R вытекает равенство sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2r⁻^1/pE_R(f)_2,ρ π/RR

0

Ω^pm(D^rf, t)_2,ρsinRt dt 1/p =

mp+ 1 2^mp+1

1/p

. (33)

В свою очередь, если в(33)полагатьp= 1/m,то при 2r > m,r, m∈N,получаем аналог одной теоремы В. В. Шалаева[22]:

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2r⁻^mE_R(f)_2,ρ

π/RR

0

Ω^1/mm (D^rf, t)2,ρsinRt dt

!m = 1 2^m.

(16)

Следствие 2. В условиях теоремы5 приq(t) = 1, h=π/R справедливо равенство sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2(r⁻^1/p)E_R(f)_2,ρ _π/RR

0

Ω^p_m(D^rf, t)_2,ρdt

1/p =

Γ(mp+ 1) 2^mp√

πΓ(mp+ 1/2) 1/p

,

гдеΓ(u) — гамма-функция Эйлера. В частности, приp= 1/m,r>m,r, m∈N, sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2(r⁻^m)E_R(f)_2,ρ π/RR

0

Ω^1/mm (D^rf, t)_2,ρdt

m = 1 π^m.

Следствие 3. Приq(t) ≡1, p= 1/m,m ∈N,r ∈ Z₊, 2r > m,0 < h 6π/R, из (28) вытекает аналог одного результата С. Б. Вакарчука [12]:

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2r⁻^mER(f)2,ρ

R_h

0

Ω^1/m_m (D^rf, t)_2,ρdt

m = (Rh−sinRh)⁻^m.

В частности, полагая в полученном равенстве h=π/(2R), имеем sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2r⁻^mE_R(f)_2,ρ π/(2R)R

0

Ω^1/mm (D^rf, t)_2,ρr dt m =

2 π−2

m

.

Поскольку для функции f ∈ L^(r)_2,ρ (r ∈ N, r > 2) ее промежуточные производные D^sf (s= 1,2, . . . , r−1)также принадлежат пространству L_2,ρ,то представляет интерес изучать поведениеE_R(D^sf)_2,ρ.Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 6. Пустьm, r, s⊂N,r>s(16s6r−1,r >2),0< p62,0< h63π/(4R), R ∈ R₊,q(t) — неотрицательная суммируемая на отрезке [0, h] не эквивалентная нулю функция. Тогда имеет место равенство

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2(r⁻^s)E_R(D^sf)_2,ρ R_h

0

1/p = (Zh

0

(1−cosRt)^mpq(t)dt )₋1/p

. (34)

В частности, если в (34)полагать

p= 1/m, m∈N, 2(r−s)> m, r, s∈N, q(t)≡1, то имеем

sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2(r⁻^s)⁻^mE_R(D^sf)_2,ρ R_h

0

Ω^1/mm (D^rf, t)_2,ρdt

m = (Rh−sinRh)⁻^m,

а если же полагатьp= 1/m и q(t) =t, то будем иметь sup

f∈L^(r)_2,ρ

R^2(r⁻^s)⁻^mE_R(D^sf)_2,ρ R_h

0

tΩ^1/mm (D^rf;t)_2,ρdt

m = 2^m

Rh(Rh−sinRh)−[(Rh)²−2(1−cosRh)] ⁻^m.