Experiment´ aln´ı a numerick´ a anal´ yza hluku axi´ aln´ıho ventil´ atoru Experimental and numerical analysis of axial fan noise

(1)

CESK´ ˇ E VYSOK ´ E U ˇ CEN´I TECHNICK´ E V PRAZE Fakulta strojn´ı

Ustav mechaniky tekutin a termodynamiky ´

Diplomov´ a pr´ ace

Experiment´ aln´ı a numerick´ a anal´ yza hluku axi´ aln´ıho ventil´ atoru Experimental and numerical analysis of axial fan noise

Bc. David Kohout 2018

(2)

(3)

Prohl´ aˇ sen´ı

Prohlaˇsuji, ˇze jsem pˇredloˇzenou práci vypracoval samostatnˇe s vyuˇzit´ım svých znalost´ı, odbor- ných konzultac´ı a odborné literatury uvedené v seznamu na konci práce.

V Praze dne 31. ˇcervence 2018 . . . .

(4)

Anotaˇ cn´ı list

Jm´eno autora: Bc. David Kohout

Název diplomové práce: Experimentáln´ı a numerická analýza hluku axiáln´ıho ventilátoru Title: Experimental and numerical analysis of axial fan noise

Rok: 2017/2018

Studijn´ı programa: Strojn´ı inˇzen´yrstv´ı Obor Studia: Aplikovan´a mechanika

Ustav:´ Ustav mechaniky tekutin a termodynamiky´ Vedouc´ı pr´ace: doc. Ing. Tom´aˇs Hyhl´ık, Ph.D.

Bibliografick´e ´udaje: 60 str., 53obr., 8 tab.

Kl´ıˇcov´a slova: Ventil´ator, Aeroakustika, Lattice Boltzmannova metoda Keywords: Fan, Aeroakustics, Lattice Boltzmann method

Anotace:

Práce se zabývá numerickým výpoˇctem hluku axiáln´ıho ventilátoru a sestaven´ım experimentu pro validaci vypoˇctu. Zkoumanými vlivy na hluk ventilátoru jsou poloha pˇrekáˇzky pˇred nebo za ventilátorem a poloha ventilátoru v aerodynamickém obalu. Druhou ˇcást´ı je porovnán´ı na- mˇeˇrených dat se simulac´ı. Pro numerickou simulaci je pouˇz´ıván software zaloˇzený na Lattice Boltzmannovˇe metodˇe. V diplomové práci je popsán základn´ı princip této metody, vyhodnocen´ı dat ze simulace a jsou diskutovány výhody a nevýhody této metody.

Abstract:

Thesis is focused on numerical simulation of axial fan noise and the compilation of an experiment for the validation of the calculation. The investigated effects on the fan are the position of the obstacle in front of or behind the fan and the position of the fan in the shroud. The second part is a comparison of measured data with simulation. Numerical simulation uses software based on the Lattice Boltzmann method. The diploma thesis describes the basic principle of this method, evaluation of data from simulation and the advantages and disadvantages of this method are discussed.

(5)

Podˇ ekov´ an´ı

Chtˇel bych podˇekovat Ing. Stanislavu Stanˇcekovi za konzultace a odbornou pomoc pˇri mˇeˇren´ı a doc. Ing. Tomáˇsi Hyhl´ıkovi Ph.D. za konzultace pˇri zpracován´ı práce. Dále bych chtˇel podˇekovat spoleˇcnosti Bobcat za poskytnut´ı prostˇredk˚u, mˇeˇr´ıc´ıch prostor k realizaci experimentu a softwaru pro numerické výpoˇcty.

(6)

Obsah

1. ´Uvod 1

2. Lattice Botzmannova metoda 2

2.1 Boltzmannova rovnice . . . 2

2.2 Princip lattice Boltzmannovy metody . . . 4

2.3 Lattice Bhatnagar˚uv-Gross˚uv-Krook˚uv model . . . 5

2.4 Jednotky . . . 7

2.5 Okrajov´e podm´ınky . . . 8

2.5.1 Periodick´e okrajov´e podm´ınky . . . 9

2.5.2 Okrajov´e podm´ınky na stˇenˇe . . . 9

2.5.3 Okrajov´e podm´ınky pro vstup a v´ystup . . . 10

3. PowerFLOW 11 3.1 Vytv´aˇren´ı s´ıtˇe . . . 11

3.2 Turbulentn´ı model . . . 12

3.3 Stˇenov´a funkce . . . 13

4. Akustika 14 4.1 Z´akladn´ı pojmy v akustice . . . 14

4.1.1 Akustick´a vlna . . . 15

4.1.2 Akustick´e veliˇciny . . . 16

4.1.3 Akustick´e hladiny . . . 16

4.1.4 Sˇc´ıt´an´ı akustick´ych hladin . . . 18

4.1.5 Frekvenˇcn´ı anal´yza . . . 19

4.1.6 V´ahov´e filtry . . . 20

4.2 Akustick´a mˇeˇren´ı . . . 21

4.2.1 Mˇeˇr´ıc´ı prostory . . . 21

4.2.2 Mˇeˇr´ıc´ı pˇr´ıstroje . . . 22

(7)

4.2.3 Normalizované mˇeˇren´ı akustického výkonu . . . 24

4.3 Aeroakustika . . . 25

4.3.1 Zdroje hluku . . . 25

4.3.1.1 Monop´ol . . . 25

4.3.1.2 Dip´ol . . . 25

4.3.1.3 Kvadrup´ol . . . 26

4.4 V´ypoˇcet aerodynamick´eho hluku . . . 26

4.4.1 Pˇr´ım´e metody . . . 26

4.4.2 Hybridn´ı metody . . . 27

4.4.2.1 Lighthillova akustick´a analogie . . . 28

4.4.2.2 Ffowcs Williams - Hawking akustick´a analogie . . . 29

4.5 Hluk axi´aln´ıch ventil´ator˚u . . . 31

5. Hluk axiáln´ıho ventilátoru 33 5.1 Experimentáln´ı analýza hluku axiáln´ıho ventilátoru . . . 33

5.1.1 N´avrh mˇeˇr´ıc´ı konstrukce . . . 33

5.1.2 Nastaven´ı experimentu . . . 35

5.1.3 Vliv polohy ventilátoru v aerodynamickém obalu na generovaný hluk . . . 37

5.1.4 Vliv polohy pˇrek´aˇzky na hluk ventil´atoru . . . 41

5.2 Numerická analýza hluku axiáln´ıho ventilátoru . . . 45

5.2.1 Geometrie a v´ypoˇcetn´ı s´ıt’ . . . 45

5.2.2 Vyhodnocen´ı pˇresnosti akustických výsledk˚u numerického výpoˇctu . . . . 48

5.2.3 Vliv pˇrek´aˇzky na generovan´y hluk . . . 51

6. Z´avˇer 59

Literatura 61

(8)

Seznam obr´ azk˚ u

2.1 Zmˇena polohy a rychlosti vlivem s´ıly F . . . 2

2.2 Pr˚ubˇeh propagaˇcn´ıho kroku na 2D mˇr´ıˇzce . . . 4

2.3 Pr˚ubˇeh kolizn´ıho kroku na 2D mˇr´ıˇzce . . . 4

2.4 Druhy mˇr´ıˇzek (a) D2Q9 (b) D3Q15 . . . 6

2.5 Schéma pˇrevodu jednotek mezi lattice Boltzmannovým a fyzikáln´ım systémem . . . 7

2.6 Metoda odrazu pro okrajovou podm´ınku mezi dvˇema ˇradami uzl˚u . . . 9

2.7 Metoda odrazu pro okrajovou podm´ınku na okraji oblasti . . . 9

2.8 Okrajov´a podm´ınka pro hladkou stˇenu . . . 10

3.1 Sch´ema oˇr´ıznut´ı s´ıtˇe geometri´ı . . . 11

4.1 Podélné vlnˇen´ı - (a), Charakteristické veliˇciny harmonického signálu - (b) . . . 14

4.2 Akustick´y v´ykon a jeho hladina . . . 17

4.3 Sˇc´ıt´an´ı hladin akustick´eho tlaku [19] . . . 18

4.4 V´ahov´e filtry - A,B,C . . . 20

4.5 Konstrukce kapacitn´ıho mikrofonu [19] . . . 22

4.6 Frekvenˇcn´ı charakteristika mikrofonu od spoleˇcnosti Br¨uel &Kjaer typu 4189 . . . . 23

4.7 Schéma volby vhodné normy pro urˇcen´ı hladiny akustického výkonu . . . 24

4.8 Modely zdroj˚u hluku: monopól, dipól, kvadrupól . . . 25

4.9 Metody pro v´ypoˇcet aerodynamicky generovan´eho hluku . . . 26

4.10 Rozdˇelen´ı mechanism˚u tvorby hluku u axi´aln´ıch ventil´ator˚u [15] . . . 31

5.1 Ventil´ator od spoleˇcnosti Multiwing . . . 33

5.2 Mˇeˇr´ıc´ı konstrukce . . . 34

5.3 Sch´ema rozm´ıstˇen´ı mikrofon˚u . . . 35

5.4 Um´ıstˇen´ı konstrukce v polobezdozvukov´e komoˇre . . . 36

5.5 Vliv polohy ventilátoru v aerodynamickém obalu na generovaný hluk (schéma) . . . 37

5.6 R´ˇadov´a a frekvenˇcn´ı anal´yza (Poloha a) . . . 38

5.7 R´ˇadová a frekvenˇcn´ı analýza pro vysunut´ı ventilátoru o 25% ˇs´ıˇrky ventilátoru ve smˇeru proud´ıc´ıho vzduchu . . . 38

(9)

5.8 R´ˇadová a frekvenˇcn´ı analýza pro zarovnán´ı ventilátoru do aerodynamického obalu . 39 5.9 R´ˇadová a frekvenˇcn´ı analýza pro vysunut´ı ventilátoru o 25%ˇs´ıˇrky ventilátoru proti

smˇeru proud´ıc´ıho vzduchu . . . 39

5.10 Tˇretinooktávové spektrum hladiny akustického výkonu v rozsahu frekvenc´ı20Hz a 5000Hzpro polohy a,b a c . . . 40

5.11 Dvanáctinoooktávové spektrum hladiny akustického výkonu v rozsahu frekvenc´ı50Hz a 1000Hz pro polohy a,b a c . . . 40

5.12 Vliv polohy pˇrekáˇzky na hluk ventilátoru (schéma) . . . 41

5.13 ˇRádová a frekvenˇcn´ı analýza pro pˇrekáˇzku na odtokové stranˇe ventilátoru . . . 42

5.14 ˇRádová a frekvenˇcn´ı analýza pro ventilátor bez pˇrekáˇzky . . . 42

5.15 ˇRádová a frekvenˇcn´ı analýza pro pˇrekáˇzku na vtokové stranˇe ventilátoru . . . 43

5.16 Tˇretinooktávové spektrum hladiny akustického výkonu v rozsahu frekvenc´ı20Hz a 5000Hzpro um´ıstˇen´ı pˇrekáˇzky a,b a c . . . 43

5.17 Dvanáctinooktávové spektrum hladiny akustického výkonu v rozsahu frekvenc´ı20Hz a 5000Hz pro um´ıstˇen´ı pˇrekáˇzky a,b a c . . . 44

5.18 Geometrie konstrukce - (a) a poloha pˇrek´aˇzky - (b) . . . 45

5.19 Rozdˇelen´ı v´ypoˇcetn´ı oblasti na VR - (a), VR v oblasti lopatek ventil´atoru - (b) . . . 46

5.20 pˇr´ıˇcný ˇrez výpoˇcetn´ı s´ıt´ı - (a) , výpoˇcetn´ı s´ıt’ v oblasti lopatek ventilátoru - (b) . . . 47

5.21 Porovnán´ı vlivu odrazu akustických vln od podlahy - tˇretinooktávové pásmo hladiny akustického výkonu, v rozsahu frekvenc´ı20Hz−5kHz . . . 48

5.22 Porovnán´ı simulace a experimentu (bez pˇrekáˇzky) dvanáctinoonooktávové pásmo pr˚umˇerné hladiny akustického tlaku pro rozsah frekvenc´ı50Hz−1kHz . . . 49

5.23 Porovnán´ı simulace a experimentu (s pˇrekáˇzkou na vtokové stranˇe ventilátoru) dva- náctinoonooktávové pásmo pr˚umˇerné hladiny akustického tlaku pro rozsah frekvenc´ı 50Hz−1kHz . . . 50

5.24 Porovnán´ı simulace a experimentu (bez pˇrekáˇzky) pr˚umˇerná hladina akustického tlaku na mikrofonech 1 - 6 . . . 51

5.25 Rychlostn´ı pole v okol´ı axiáln´ıho ventilátoru zobrazené v ˇrezu výpoˇcetn´ı doménou (bez pˇrekáˇzky - (a) , s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe ventilátoru - (b)) . . 52

5.26 Velikost v´ıˇrivosti v okol´ı axiáln´ıho ventilátoru (bez pˇrekáˇzky - (a) , s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe ventilátoru - (b)) . . . 52

5.27 ˇS´ıˇren´ı akustického tlaku výpoˇcetn´ı doménou (bez pˇrekáˇzky - (a), s pˇrekáˇzkou um´ıs- tˇenou na vtokové stranˇe ventilátoru - (b)) . . . 53

(10)

5.28 Smˇerová charakteristika axiáln´ıho ventilátoru (bez pˇrekáˇzky - (a), s pˇrekáˇzkou um´ıs- tˇenou na vtokové stranˇe ventilátoru - (b)) . . . 54 5.29 Decibelová mapa vyfiltrovaná pro frekvence v rozsahu 240Hz−260Hz (ventilátor

bez pˇrekáˇzky - (a), ventilátor s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe - (b)) . . . 55 5.30 Decibelová mapa vyfiltrovaná pro frekvence v rozsahu 315Hz−335Hz (ventilátor

bez pˇrekáˇzky - (a), ventilátor s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe - (b)) . . . 56 5.31 Hodnoty tlaku zobrazené na lopatkách ventilátoru a aerodynamickém obalu, pro

konfigurace (ventilátor bez pˇrekáˇzky - (a), (c) ventilátor s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe - (b),(d)), vyfiltrovaná pro pásma240Hz−260Hz- (a), (b) a315Hz−

335Hz - (c), (d) (Pohled z vtokové strany ventilátoru) . . . 57 5.32 Hodnoty tlaku zobrazené na lopatkách ventilátoru a aerodynamickém obalu, pro

konfigurace (ventilátor bez pˇrekáˇzky - (a),(c), ventilátor s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe - (b),(d)), vyfiltrovaná pro pásma240Hz−260Hz- (a), (b) a315Hz−

335Hz - (c), (d) (Pohled z výtokové strany ventilátoru) . . . 57 5.33 Zobrazen´ı v´ırových struktur v okol´ı ventilátoru pomoc´ı izoploch λ2 = −9·10⁶ v

závislosti na hodnotˇe v´ıˇrivosti (ventilátor bez pˇrekáˇzky - (a), ventilátor s pˇrekáˇzkou um´ıstˇenou na vtokové stranˇe - (b)) . . . 58 5.34 Pohyb v´ırových struktur (izoplochy λ2 = −9·10⁶ v závislosti na hodnotˇe v´ıˇrivosti)

a interakce s lopatkami ventilátoru pro ventilátor bez pˇrekáˇzky (pro tˇri ˇcasové úseky jdouc´ı za sebou) . . . 58

(11)

Seznam tabulek

2.1 Poˇcet diskrétn´ıch vektor˚u rychlosti, velikost rychlost´ı pro jednotlivé váhy pˇrenosuwi

u mˇr´ıˇzek D2Q9, D2Q15, D2Q19 a D2Q27 [1] . . . 6

4.1 Výpoˇcet stˇredn´ı frekvence fs, doln´ı frekvence pásma fd, horn´ı frekvence pásma fh oktávového a tˇretionoktávového pásma [9] . . . 19

4.2 Oktávová a tˇretinooktávová pásma frekvence f[Hz][9] . . . 20

4.3 Rozmˇerová analýza pro jednotlivé zdroje hluku z FW-H akustické analogie [25] . . . 30

5.1 Geometrick´e parametry ventil´atoru . . . 34

5.2 Souˇradnice polohy mikrofon˚u . . . 35

5.3 Porovnán´ı celkových hladin akustického výkonu pro polohy a,b a c . . . 41

5.4 Porovnán´ı celkových hladin akustického výkonu pro polohy pˇrekáˇzky a,b a c . . . 44

(12)

Seznam pouˇ zit´ ych zkratek a symbol˚ u

Seznam zkratek

Zkratka Oznaˇcen´ı

APE Acoustic perturbation equations CAA Computational aeroacoustics CAD Computer aided design

CFD Computational fluid dynamics DES Detached eddy simulation DNS Direct numerical simulation FW-H Ffowcs Williams and Hawkings LBGK Lattice Bhatnagar-Gross-Krook LBM Lattice Boltzmann methods LES Large eddy simulation LGA Lattice gas automaton

RANS Reynolds-averaged Navier–Stokes RNG Renormalization group

SNGR Stochastics Noise Generation and Radiation VLES Very large-eddy simulation

VR Variable resolution

(13)

Seznam symbol˚ u

Symbol Jednotka Oznaˇcen´ı

b 1 poˇcet lopatek ventil´atoru

B 1 empirick´a konstanta

ci m/s diskr´etn´ı rychlost ˇc´astice

c_s m/s rychlost zvuku

Cµ 1 konstanta modelu

D_v m pr˚umˇer ventil´atoru

Dh m pr˚umˇer habu

e J/kg vnitˇrn´ı energie

ei 1 diskr´etn´ı vektor

f Hz frekvence

f^c Hz stˇredn´ı frekvence p´asma f^d Hz doln´ı frekvence p´asma

fêq kg/m³ distribuˇcn´ı funkce v rovnováˇzném stavu f^h Hz horn´ı frekvence pásma

fⁱ kg/m³ distribuˇcn´ı funkce ve smˇeru i f_L Hz frekvence proch´azej´ıc´ıch lopatek

F N s´ıla

H m ˇs´ıˇrka ventil´atoru I W/m² akustick´a intenzita

I0 W/m² referenˇcn´ı akustick´a intenzita k m²/s² turbulentn´ı kinetick´a energie

lt dB tip clearance

L_I dB hladina akustick´e intenzity Lp dB hladina akustick´eho tlaku

L_pc dB celkov´a hladina akustick´eho tlaku

LpA dB hladina akustického tlaku váˇzená filtrem A L_W dB hladina akustického výkonu

Ma 1 Machovo ˇc´ıslo

n 1 poˇcet prvk˚u ve frekvenˇcn´ım pásmu N ot/min otáˇcky ventilátoru

p Pa tlak

(14)

Symbol Jednotka Oznaˇcen´ı p₀ Pa referenˇcn´ı tlak

p_ak Pa akustick´y tlak

p_atm Pa atmosferický tlak pc Pa celkový akustický tlak p_ef Pa efektivn´ı hodnota tlaku P Hz ˇs´ıˇrka frekvenˇcn´ıho pásma

P_ij Pa napˇet’ov´y tenzor pro vnitˇrn´ı objem

~r m vektor polohy ˇc´astice

Re 1 Reynoldsovo ˇc´ıslo

S m² referenˇcn´ı plocha

t s ˇcas

T ^◦ C Teplota

T_ij Pa Ligthill˚uv turbulentn´ı napˇet’ov´y tenzor

~

u m·s⁻¹ vektor makroskopické rychlosti proudˇen´ı u_a m/s rychlost ˇcástice vztaˇzená k rychlosti kapaliny ut m/s rychlost na konci lopatek

u⁺ 1 bezrozmˇern´a rychlost

v m/s akustick´a rychlost

w_i 1 váha pˇrenosu ˇcástic v daném smˇeru

W W akustick´y v´ykon

W₀ W referenˇcn´ı akustický výkon x m vzdálenost ve smˇeru osy x

~

x m vektor polohy pozorovatele

y⁺ 1 bezrozmˇern´a vzd´alenost od stˇeny

~

y m vektor polohy zdroje

y m vzd´alenost ve smˇeru osy y z m vzd´alenost ve smˇeru osy z

(15)

Symbol Jednotka Oznaˇcen´ı

α ^◦ ´uhel natoˇcen´ı lopatek

∆ dB absolutn´ı chyba

δ 1 relativn´ı chyba

δ(f) 1 Delta funkce

δ_ij 1 Kroneckerovo delta

δt 1 ˇcasov´y parametr

δ_x 1 d´elkov´y parametr

∆x m nejmenˇs´ı element v´ypoˇcetn´ı s´ıtˇe

∆t s ˇcasov´y krok

m²/s³ rychlost disipace

η s⁻¹ smykov´a rychlost

ηω 1/s lok´aln´ı v´ıˇrivost

κ 1 empirick´a konstanta

λ m vlnov´a d´elka

ν m²/s kinematick´a viskozita νT m²/s turbulentn´ı viskozita

ν₀ m²/s kinematick´a viskozita ˇc´astic

ρ kg/m³ hustota

τ s relaxaˇcn´ı ˇcas

τef f s turbulentn´ı relaxaˇcn´ı ˇcas

τ_ij Pa vektor smykového napˇet´ı tekutiny ϕ rad fázové posunut´ı

Ω kg/m³ kolizn´ı ˇclen

(16)

1. ´ Uvod

Hluk je v dneˇsn´ı dobˇe ˇc´ım dál t´ım v´ıce diskutovaným tématem, pˇredevˇs´ım v inˇzenýrských apli- kac´ıch. S rostouc´ımi nároky na kvalitu ˇzivotn´ıho prostˇred´ı jsou zavádˇeny hlukové normy pro povolené emise hluku, které mus´ı jednotlivé stroje a technická zaˇr´ızen´ı splˇnovat. D˚uvodem zaveden´ı hlukových norem je nebezpeˇc´ı trvalého poˇskozen´ı lidského sluchu pˇri dlouhodobém vystaven´ı sluchového orgánu nadmˇernému hluku. V zájmu výrobc˚u je zahrnut´ı hlukových studi´ı do vývoje jejich produkt˚u.

Práce vznikla v rámci spolupráce se spoleˇcnost´ı Bobcat zabývaj´ıc´ı se výrobou a vývojem bagr˚u a nakladaˇc˚u, které podléhaj´ı evropským normám emis´ı hluku. Jedn´ım z hlavn´ıch zdroj˚u hluku u tˇechto zaˇr´ızen´ı je ventilátor pouˇz´ıvaný pˇri chlazen´ı. Dalˇs´ımi zdroji hluku jsou napˇr´ıklad hydraulické pumpy a spalovac´ı motor.

Diplomová práce si klade hned nˇekolik c´ıl˚u. Prvn´ım je návrh a postaven´ı konstrukce pro mˇeˇren´ı hluku axiáln´ıho ventilátoru v polobezdozvukové komoˇre. Dále sestaven´ı a proveden´ı sa- motného experimentu. Mˇeˇren´ı bude provedeno v polobezdozvukové komoˇre spoleˇcnosti Bobcat v Dobˇr´ıˇsi. Namˇeˇrená data budou slouˇzit pro analýzu vliv˚u polohy axiáln´ıho ventilátoru a pˇrekáˇzky na hluk generovaný ventilátorem. Zároveˇn se namˇeˇrená data vyuˇz´ıvaj´ı pro validaci numerického výpoˇctu, který je obsaˇzen v druhé ˇcásti.

Numerická ˇcást se zabývá výpoˇctem aerodynamického hluku generovaného ventilátorem.

Pro výpoˇcet je pouˇzit komerˇcn´ı software od spoleˇcnosti Exa, který je zaloˇzen na Lattice Bolt- zmannovˇe metodˇe. Motivac´ı pro pouˇzit´ı této metody je jej´ı snadná paralelizovatelnost a efektivn´ı vyuˇzit´ı výpoˇcetn´ıho výkonu, který je pro aeroakustické výpoˇcty nezbytný. Data z výpoˇctu slouˇz´ı pro lepˇs´ı pochopen´ı mechanism˚u generován´ı hluku na ventilátoru a t´ım i návrhu moˇzných opat- ˇren´ı k jeho sn´ıˇzen´ı. Souˇcást´ı výpoˇctu je ovˇeˇren´ı pˇresnosti výpoˇctu samotného softwaru. V závˇeru jsou diskutovány výhody a nevýhody Lattice Boltzmannovy metody oproti konvenˇcn´ım CFD metodám.

(17)

2. Lattice Botzmannova metoda

Lattice Boltzmannova metoda byla odvozena ze starˇs´ı metody Lattice gas automatta tzv. bunˇeˇc- ných automat˚u. Model LGA pouˇz´ıval diskrétn´ı hodnoty, které mˇely za následek vnesen´ı datového ˇsumu. Ten bylo moˇzné eliminovat pr˚umˇerován´ım pˇres vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı uzl˚u. Výpoˇcet se dal pouˇz´ıt pouze v oblasti n´ızkých Reynoldsových ˇc´ısel. Pro odstranˇen´ı tˇechto nedostatk˚u vznikla LBM, která vycház´ı z diskretizace lattice Boltzmannovy rovnice [21]

f(~r+c~idt, t+dt)−f(~r, t) = Ω (~r, t)dt. (2.1) Kde fi je distribuˇcn´ı funkce a nabývá hodnot mezi 0 a 1. D˚usledkem bylo odstranˇen´ı pr˚u- mˇerován´ı, potˇrebné k výpoˇctu makroskopických hodnot u LGA a s t´ım i odstranˇen´ı datového ˇsumu. [21]

2.1 Boltzmannova rovnice

Boltzmann˚uv popis je zaloˇzen na mikroskopických vlastnostech tekutin, kde je obsaˇzeno mnoho navzájem interaguj´ıc´ıch ˇcástic. Statistický popis tohoto systému lze pak zapsat distribuˇcn´ı funkc´ı f(~r, ~c, t), kde f je poˇcet molekul v ˇcase t, um´ıstˇených v rozmez´ı~r a~r+d~r v rozsahu rychlost´ı

~ca~c+d~c. Vnˇejˇs´ı s´ılaF~ p˚usob´ıc´ı na molekulu jednotkové hmotnosti, zmˇen´ı rychlost molekuly z p˚uvodn´ı~cna~c+^F_m^~dta jej´ı polohu na~r+~cdt. Pohyb ˇcástice za p˚usoben´ı vnˇejˇs´ı s´ıly F~ lze vidˇet v následuj´ıc´ım schématu. [14]

Obr´azek 2.1: Zmˇena polohy a rychlosti vlivem s´ıly F

(18)

Pokud plat´ı, ˇze poˇcet molekul pˇred a po zat´ıˇzen´ı vnˇejˇs´ı silou F~ je stejný a pˇredpokládá se, ˇze nedocház´ı ke sráˇzkám mezi molekulami, lze zapsat následuj´ıc´ı vztah [14]

f ~r+~cdt, ~c+ F~

mdt, t+dt

!

drdc−f(~r, ~c, t)drdc= 0. (2.2) Pokud ke koliz´ım mezi molekulami docház´ı, vznikne na oblastidrdcnepatrná odchylka poˇctu ˇcástic. Zavád´ı se kolizn´ı operátor Ω, který urˇcuje rozd´ıl mnoˇzstv´ı ˇcástic na oblasti drdc pˇred a po interakci ˇcástic. Proto rovnici zahrnuj´ıc´ı popis poˇctu molekul je nutné zapsat ve tvaru [14]

f ~r+~cdt, ~c+ F~

mdt, t+dt

!

drdc−f(~r, ~c, t)drdc= Ω (f)drdcdt. (2.3) Po úpravˇe vztahu (2.3) je z´ıskána Boltzmannova transportn´ı rovnice 2.4. Pro jej´ı vyˇreˇsen´ı je nutné urˇcit kolizn´ı operátorΩ (f).

∂f

∂t +∂f

∂r ·~c+ ∂f

∂c · F

m = Ω. (2.4)

Pokud ˇcástice nejsou zatˇeˇzovány vnˇejˇs´ı silou, lze rovnici zjednoduˇsit do následuj´ıc´ıho tvaru [14]

∂f

∂t +c· ∇f = Ω. (2.5)

Pro ˇreˇsen´ı fyzikáln´ıch úloh, je nutné zavést vztahy transformuj´ıc´ı mikroskopické veliˇciny z Boltzmannovy rovnice na makroskopické veliˇciny. Vztahy pro hustotu ρ(2.6), rychlost~u(2.7) a vnitˇrn´ı energiie(2.8) [14]

ρ(~r, t) = Z

m·f(~r, ~c, t)d~c, (2.6)

ρ(~r, t)·u(~r, t) = Z

m·~c·f(~r, ~c, t)d~c, (2.7)

ρ(~r, t)·e(~r, t) = Z

m·~u²_a·f(~r, ~c, t)d~c. (2.8) Ve vztahu je definovánam jako hmotnost ˇcástice a u_a jako rychlost ˇcástice vztaˇzené k rychlosti kapaliny. Rychlost ua je vypoˇctena z rozd´ılu rychlosti ˇcástice a rychlosti proudˇen´ı kapaliny u_a=c−u.

(19)

2.2 Princip lattice Boltzmannovy metody

S pomoc´ı LBM lze ˇreˇsit mnoho fyzikáln´ıch úloh pˇrenosu hybnosti, tepla a hmoty. V této diplo- mové práci je LBM pouˇz´ıvána pro ˇreˇsen´ı úlohy mechaniky tekutin. Nam´ısto pouˇz´ıván´ı makrosko- pického popisu jako u obvyklých metod CFD, pouˇz´ıvá LBM mezoskopické mˇeˇr´ıtko. Výpoˇcetn´ı doména je rozdˇelena na koneˇcný poˇcet bunˇek, které tvoˇr´ı mˇr´ıˇzku. LBM sleduje pohyb shluku ˇcástic mezi jednotlivými uzly mˇr´ıˇzky, ale pouze v n urˇcených smˇerech. Výpoˇcet Boltzmannovy rovnice (2.15) prob´ıhá ve dvou kroc´ıch: propagace a kolize.

Obr´azek 2.2: Pr˚ubˇeh propagaˇcn´ıho kroku na 2D mˇr´ıˇzce

Propagaˇcn´ı krok popisuje pˇresun ˇcástic podél spojnic bod˚u mˇr´ıˇzky viz. obr. 2.2. Pro ˇcástice pˇricházej´ıc´ı novˇe do oblasti je nutné pˇredepsán´ı okrajových podm´ınek. Následuje kolizn´ı krok viz obr.2.3 , ve kterém jsou pˇrepoˇc´ıtány hodnoty distribuˇcn´ıch funkc´ı se zahrnut´ım kolizn´ıho ˇclenu Ω. V diplomové práci budou provedeny vˇsechny simulace v programu PowerFLOW. Do programu je implementována LBGK aproximace kolizn´ıho ˇclenu, která bude popsána v dalˇs´ı kapitole.

Obr´azek 2.3: Pr˚ubˇeh kolizn´ıho kroku na 2D mˇr´ıˇzce

(20)

2.3 Lattice Bhatnagar˚ uv-Gross˚ uv-Krook˚ uv model

Reˇˇ sen´ı Boltzmannovy rovnice se stává d´ıky kolizn´ımu ˇclenu velmi obt´ıˇzné. Proto je zde pouˇzita aproximace, která tento ˇclen zjednoduˇs´ı bez zaveden´ı vˇetˇs´ı chyby do výsledk˚u. Tento model byl pojmenován po svých autorech Bhatnagarovi, Grossovi, Krookovi v roce 1954. Aproximace kolizn´ıho ˇclenu je zapsána ve tvaru [14]

Ω = 1

τ ·(f^eq−f), (2.9)

kde τ pˇredstavuje relaxaˇcn´ı ˇcas a je omezen na hodnoty z intervalu (0,5;∞). Definuje se jako ˇcas potˇrebný pro uveden´ı distribuˇcn´ı funkce do rovnováˇzného stavu fêq. S klesaj´ıc´ı hod- notouτ se bude hodnota distribuˇcn´ı funkce pˇribliˇzovat rovnováˇznému stavu rychleji. Pro vyˇsˇs´ı hodnoty se bude naopak pˇribliˇzován´ı rovnováˇznému stavu zpomalovat. Relaxaˇcn´ı ˇcas je spjatý s kinematickou viskozitouυ, kterou lze vyjádˇrit vztahem [14]

υ=c²_sδt

τ− 1 2

, (2.10)

kdecs je rychlost zvuku mˇr´ıˇzky. Pro ideáln´ı plyn je pak z´ıskán makroskopický tlakp (2.11) z rychlosti zvuku mˇr´ıˇzky a hustoty. Samotná makroskopická hustotaρ (2.12) a rychlost~u(2.13) je vyjádˇrena z hodnoty distribuˇcn´ı funkce.[14]

p=ρc²_s (2.11)

ρ=

m−1

X

i=0

fi (2.12)

ρ~u=

m−1

X

i=0

fic~i (2.13)

Druhým parametrem ve vztahu je distribuˇcn´ı funkce fêq v rovnováˇzném vztahu. Vztah pro jej´ı výpoˇcet je odvozen z distribuˇcn´ı funkce Maxwella-Boltzmanna pˇri zachován´ı hmotnosti a hybnosti. Pro izotermickou kapalinu je definován vztahem [1]

f_i^eq=ρw_i

"

1 +c_i·~u

c²_s +(c_i·~u)² c²_s − ~u²

2c²_s

#

. (2.14)

Zavád´ı se zde váha pˇrenosu ˇcástic v daném smˇeruw_i. Zohledˇnuje pod´ıl pohybu v i-tém smˇeru na celkovém pohybu ˇcástic v rovnováˇzném stavu. Souˇcet wi ve vˇsech smˇerech mus´ı být roven jedné. Podle pouˇzité mˇr´ıˇzky se tyto parametry mˇen´ı viz následuj´ıc´ı tabulka. [1]

(21)

wi No.(2D) |e_i| D2Q9 D3Q15 D3Q19 D3Q27

w₀ 1 0 ⁴₉ ²₉ ¹₃ ₂₇⁸

w₁ 6 (4) 1 ¹₉ ¹₉ ₁₈¹ ₂₇²

w^√₂ 12(4) √

2 ₃₆¹ 0 ₃₆¹ ₅₄¹

w^√₃ 8(0) √

3 0 ₇₂¹ 0 ₂₁₆¹

Tabulka 2.1: Poˇcet diskrétn´ıch vektor˚u rychlosti, velikost rychlost´ı pro jednotlivé váhy pˇrenosu w_i u mˇr´ıˇzek D2Q9, D2Q15, D2Q19 a D2Q27 [1]

Mˇr´ıˇzka je pravidelná a pravoúhlá. Zapisuje se ve tvaru DnQm, kde n znaˇc´ı poˇcet dimenz´ı prostoru a m je poˇcet diskrétn´ıch vektor˚u ei.[1] Program PowerFLOW pouˇz´ıvá trojrozmˇernou mˇr´ıˇzku D3Q19 s 19-ti diskrétn´ımi vektory e_i viz obr. 2.4.

2

3 1

4 5

6 0

7 8

9 10

12

14 11 13

15 16

17

18 0 1

2

6 3 5

8 7 4

(a) (b)

Obr´azek 2.4: Druhy mˇr´ıˇzek (a) D2Q9 (b) D3Q15

Po zaveden´ı aproximace LBGK do boltzmannovy rovnice je z´ısk´an n´asleduj´ıc´ı tvar rovnice [14]

∂f

∂t +c· ∇f = 1

τ ·(f^eq−f). (2.15)

Pro LBM se rovnice (2.15) zavád´ı v diskrétn´ı podobˇe, kde se ˇreˇs´ı pro konkrétn´ı smˇery. Z tohoto d˚uvodu Boltzmannova rovnice m˚uˇze být zapsána pro specifický smˇer ve tvaru [14]

∂f_i

∂t +c_i· ∇f_i = 1

τ ·(f_i^eq−f_i). (2.16)

Rovnice (2.16) je základem LBM a je moˇzné z n´ı odvodit Navier-Sokesovu rovnici. Jedná se o lineárn´ı parciáln´ı rovnici. Na pravé stranˇe máme advekci a levá strana obsahuje zdroj a kolizn´ı ˇclen. Rovnice m˚uˇze být pˇrevedena do diskrétn´ıho tvaru[14]

f_i(~r+c~_i∆t, t+ ∆t) =f_i(~r, t) +∆t

τ [f_i^eq(~r, t)−f_i(~r, t)]. (2.17)

(22)

2.4 Jednotky

Pro simulován´ı reálných systém˚u pomoc´ı LBM a popsán´ı fyzikáln´ıch dˇej˚u uvnitˇr systému je nutné správné zvolen´ı jednotek. Nejprve by simulace mˇela odpov´ıdat fyzikáln´ımu systému. Dále by mˇely být zvoleny parametry simulace tak, aby byla zajiˇstˇena poˇzadovaná pˇresnost. Ovlivnˇen´ı poˇzadované pˇresnosti je dosaˇzeno správným nastaven´ım velikosti s´ıtˇe a ˇcasového kroku.[10]

Obrázek 2.5: Schéma pˇrevodu jednotek mezi lattice Boltzmannovým a fyzikáln´ım systémem Pˇrevod jednotek z lattice Boltzmannova systému do fyzikáln´ıho je rozdˇelen do dvou krok˚u.

Schéma propojen´ı systému je zobrazeno 2.5 Nejprve je nutné vyˇrazen´ı veliˇcin, které v rámci simulace nehraj´ı d˚uleˇzitou roli. V rámci simulac´ı nestlaˇcitelného proudˇen´ı je d˚uleˇzité dodrˇzen´ı stejného Reynoldsova ˇc´ısla. [10]

Prvn´ım krokem je pˇreveden´ı fyzikáln´ıho systému (P) na bezrozmˇerný (D), který je nezá- vislý na fyzikáln´ıch veliˇcinách, ale i parametrech simulace. Zde je nutné zvolit charakteristické veliˇciny pro daný problém, charakteristický ˇcas t₀ a délku l₀. Z délky l₀ a ˇcasu t₀ je z´ıskána charakteristická rychlost u0 =l0/t0. Základn´ı veliˇciny z fyzikáln´ıho systému jsou tp,lp. Pˇrevod na bezrozmˇerné veliˇciny je proveden podle rovnic [10]

t_d= t_p

t₀, (2.18)

l_d= l_p

l₀, (2.19)

u_d= u_p u₀ = t₀

l₀ ·u_p, (2.20)

Re= u₀l₀ ν = l²₀

t₀ν. (2.21)

D˚uleˇzité je vyjádˇren´ı Reynoldsova ˇc´ısla, které je pro vˇsechny systémy nemˇenné. V bezrozmˇer- ném tvaru je vyjádˇreno jako (2.21). Vzdálenost a ˇcas jsou zadefinovány jako l0,d= 1a t0,d = 1.

Po dosazen´ı do (2.21), lze vyj´adˇrit bezrozmˇernou viskozitu pomoc´ı Reynoldsova ˇc´ısla ve tvaru [10]

ν_d= 1

Re. (2.22)

(23)

V druhém kroku je pˇreveden bezrozmˇerný systém (D) na diskrétn´ı lattice Boltzmann˚uv systém (LB). Pro popis diskrétn´ıho systému je zaveden délkový parametr δx, který lze zapsat jako (2.23), kdeN je poˇcet buˇnek podél charakteristického rozmˇeru [10]l_0,d

δ_x= 1

N. (2.23)

Druhou veliˇcinou popisuj´ıc´ı diskrétn´ı systém je ˇcasový parametrδt. Je definován jako pomˇer charakteristického ˇcasu t_0,d a poˇctem iteraˇcn´ıch krok˚u v tomto ˇcase N_iter [10]

δ_t= 1

N_iter. (2.24)

Z pˇredchoz´ıch parametr˚u pro diskrétn´ı latice Boltzmann˚uv systém je dopoˇctena diskrétn´ı rychlost (2.25) a viskozita (2.26) [10]

u_lb = u_d u_lb = δt

δ_xu_d, (2.25)

νt= σt

σ²_x 1 Niter

. (2.26)

2.5 Okrajov´ e podm´ınky

Zadefinován´ı makroskopických okrajových podm´ınek u LBM metody je pomˇernˇe sloˇzitou úlo- hou. Na jejich nastaven´ı závis´ı stabilita i pˇresnost výpoˇctu. Z´ıskán´ı makroskopických hodnot jako je rychlost a hustota z mezoskopické promˇenné jako je populace, lze pomˇernˇe snadno. In- verzn´ı pˇr´ıstup vˇsak nen´ı moˇzný. Formulován´ı okrajových podm´ınek pro LBM spoˇc´ıvá v nalezen´ı vhodné závislosti mezi neznámou hodnotou distribuˇcn´ı funkce smˇeˇruj´ıc´ı do výpoˇcetn´ı oblasti f_i^< a známou hodnotou distribuˇcn´ı funkce z oblasti vystupuj´ıc´ı f_i^>. Tento vztah je popsán v následuj´ıc´ı rovnici (2.27). Bij(~x−~y) pˇredstavuje operátor zahrnuj´ıc´ı interakce mezi tekutinou a stˇenou v celé výpoˇcetn´ı oblasti. [21]

f_i^<(~x) =^X

i

X

j

B_ij(~x−~y)f_j^>(~y) (2.27) Okrajové podm´ınky je moˇzné obecnˇe rozdˇelit na nˇekolik základn´ıch skupin: okrajové podm´ınky na stˇenˇe, periodické okrajové podm´ınky, periodické okrajové podm´ınky pro vstup a výstup z oblasti. [21]

(24)

2.5.1 Periodick´e okrajov´e podm´ınky

Nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıkladem jsou periodické okrajové podm´ınky. Aplikuj´ı se v pˇr´ıpadˇe, kdy se dˇej v dané oblasti opakuje ve stejných periodách. Mezi rovinami, které ohraniˇcuj´ı periodický dˇej, docház´ı k propojen´ı uzl˚u. Hodnoty distribuˇcn´ıch funkc´ı na výstupu z oblasti se rovnaj´ı hodnotám na vstupu. Podm´ınkou je pouze shodný rozmˇer a tvar vstupn´ı a výstupn´ı roviny. [21]

2.5.2 Okrajov´e podm´ınky na stˇenˇe

Na stˇenˇe rozliˇsujeme okrajové podm´ınky ”no-slip” a ”free-slip”. Metoda odrazu (”no-slip”) pˇrede- pisuje pro stˇenu nulový vektor rychlosti. Zavád´ı se zde dva druhy implementace výpoˇctu. Prvn´ı nastává v pˇr´ıpadˇe, kdyˇz se stˇena nacház´ı mezi dvˇema ˇradami uzl˚u. Pˇri kolizi ˇcástice, která je v kontaktu se stˇenou, zmˇen´ı orientaci a pˇri propagaˇcn´ım kroku se vrát´ı do výchoz´ı polohy. viz obr. 2.6 Tento pˇr´ıstup sebou nese druhý ˇrád pˇresnosti. [21]

Obr´azek 2.6: Metoda odrazu pro okrajovou podm´ınku mezi dvˇema ˇradami uzl˚u

Druhou moˇznost´ı je stˇena procházej´ıc´ı ˇradou uzl˚u. V tomto pˇr´ıpadˇe docház´ı na stˇenách m´ısto kolizn´ıho kroku pouze k otoˇcen´ı smˇeru orientace viz obr. 2.7. Vzdálenost, kterou ˇcástice mus´ı urazit je oproti pˇredchoz´ımu pˇr´ıstupu dvojnásobná, proto i doba, za kterou se ˇcástice dostane do p˚uvodn´ı polohy je dvojnásobná. Pˇresnost této metody je pouze prvn´ıho ˇrádu. Okrajovou podm´ınku lze pouˇz´ıt pro komplikovanˇejˇs´ı geometrie, kde se pouze zmˇen´ı hodnota distribuˇcn´ıch funkc´ı, ale základn´ı princip z˚ustává zachován. [21]

Obr´azek 2.7: Metoda odrazu pro okrajovou podm´ınku na okraji oblasti

(25)

Dalˇs´ı variantou pro nastaven´ı okrajových podm´ınek stˇeny je hladká stˇena (”free-slip”). Okra- jová podm´ınka se pouˇz´ıvá v pˇr´ıpadˇe, kde maj´ı okoln´ı stˇeny zanedbatelný vliv na proudˇen´ı tekutiny. Teˇcná sloˇzka rychlosti nabývá libovolných hodnot. Zmˇenu odrazu ˇcástic na stˇenˇe lze vidˇet na obr. 2.8 . [21]

Obr´azek 2.8: Okrajov´a podm´ınka pro hladkou stˇenu

2.5.3 Okrajov´e podm´ınky pro vstup a v´ystup

Reˇˇ sen´ı okrajových podm´ınek pro vstup a výstup z oblasti je ˇreˇseno oddˇelenˇe. D˚uvodem jsou neznámé hodnoty distribuˇcn´ıch funkc´ı, které jsou um´ıstˇeny mimo výpoˇcetn´ı oblast. Metod pro ˇreˇsen´ı tohoto problému je mnoho. Jedn´ım z pˇr´ıstup˚u je metoda navrˇzená pány Zou a He. Pro rovinný pˇr´ıpad D2Q9 jsou ˇreˇseny tˇri neznámé hodnoty distribuˇcn´ıch funkc´ı smˇeˇruj´ıc´ı mimo oblast f₃, f₆, f₇. Vycház´ı se z rovnic pro výpoˇcet makroskopické hustoty (2.11) a hybnosti (2.12). Dosazen´ım hodnot distribuˇcn´ıch funkc´ı v jednotlivých smˇerech jsou z´ıskány tˇri rovnice:

pro hustotu (2.28) pro hybnost v ose x (2.29) a y (2.30). [14]

ρ=f₀+f₁+f₂+f₃+f₄+f₅+f₆+f₇+f₈ (2.28)

ρu=f₁+f₅+f₈−f₆−f₃−f₇ (2.29)

ρv =f₅+f₂+f₆−f₇−f₄−f₈ (2.30) Výsledkem jsou tˇri rovnice pro ˇctyˇri neznámé (tˇri distribuˇcn´ı funkce a makroskopická hustota). Pro vyˇreˇsen´ı je nutné zavést rovnováˇznou rovnici (2.31). Hodnota distribuˇcn´ıch funkc´ı fêq v rovnováˇzném vztahu je vypoˇctena z rovnice (2.15). Po dosazen´ı je z´ıskána ˇctvrtá rovnice (2.32). [14]

f₁−f₁^eq=f₃−f₃^eq (2.31)

f₁ =f₃+2

3ρu (2.32)

(26)

3. PowerFLOW

PowerFLOW je komerˇcn´ı software od spoleˇcnosti Exa urˇcený pro simulován´ı úloh proudˇen´ı tekutin pomoc´ı lattice Boltzmannovy metody s mˇr´ıˇzkou D3Q19. Program pouˇz´ıvá upravenou verzi LBGK kolizn´ıho modelu. Pro modelován´ı turbulence má PowerFLOW vestavˇený turbulentn´ı model upravený pro LBM. Pˇri zpracováván´ı této kapitoly byla pouˇzita následuj´ıc´ı literatura [11], [22], [4], [5].

3.1 Vytv´ aˇ ren´ı s´ıtˇ e

PowerFLOW pˇristupuje k vytváˇren´ı s´ıtˇe odliˇsnˇe oproti bˇeˇzným CFD program˚um. Generován´ı s´ıtˇe probˇehne automaticky pˇred spuˇstˇen´ım výpoˇctu. Prvn´ım krokem je vytvoˇren´ı dostateˇcnˇe jemné povrchové s´ıtˇe pro popsán´ı geometrie dané úlohy.

Pˇri vytváˇren´ı objemové s´ıtˇe jsou definovány oblasti VR (Variable resolution). Základn´ı ele- mentem objemové s´ıtˇe je ”Voxel”. S kaˇzdým novým VR se voxel zmenˇs´ı o polovinu svého p˚u- vodn´ıho rozmˇeru. Dále je moˇzné definovat pˇrechody mezi jednotlivými VR, kde je pˇredepsán minimáln´ı poˇcet bunˇek mezi dvˇema oblastmi VR. Velikost celé s´ıtˇe je vztaˇzená k nejmenˇs´ımu elementu celé s´ıtˇe, od kterého pak velikost roste. Nejvyˇsˇs´ı VR je pˇredepsáno pro nejmenˇs´ı element a VR0 pro velikost nejvˇetˇs´ıho elementu.

Obr´azek 3.1: Sch´ema oˇr´ıznut´ı s´ıtˇe geometri´ı

Objemová s´ıt’ roste aˇz po geometrii dané úlohy. Zde jsou vytvoˇreny tzv. ”Surfely”, které pˇredstavuj´ı povrchovou s´ıt’. P˚uvodn´ı povrchová s´ıt’ CAD geometrie je pak rozdˇelena pomoc´ı

(27)

voxel˚u prot´ınaj´ıc´ıch geometrii na menˇs´ı ˇcásti. Oproti klasickým metodám CFD, kde s´ıt’ roste z povrchových s´ıt´ı do objemu je zde povrchová s´ıt’ ovlivnˇena objemovou s´ıt´ı. Pomoc´ı tohoto pˇr´ıstupu, pak nen´ı omezeno vytváˇren´ı s´ıtˇe zadán´ım sloˇzité geometrie.

3.2 Turbulentn´ı model

Pro modelov´an´ı turbulence pomoc´ı LBM je nahrazen molekul´arn´ı relaxaˇcn´ı ˇcasτ turbulentn´ım relaxaˇcn´ım ˇcasem τ_{ef f}. Turbulentn´ı relaxaˇcn´ı ˇcas lze odvodit z RNG (renormalization group).

Kdeηje z´ısk´ano kombinac´ı parametru smykov´e rychlostiη =k· |S|/, helicity a lok´aln´ı v´ıˇrivosti η_ω=k· |Ω|/[22].

τ_{ef f} =τ+C_µ· k²/

T·^p(1 +η²). (3.1)

PowerFLOW pouˇz´ıvá model Very Large Eddy Simulation (VLES). Rozliˇsitelná mˇeˇr´ıtka jsou spoˇc´ıtána pˇr´ımo a malá mˇeˇr´ıtka jsou poˇc´ıtána RNGk−turbulentn´ım modelem, který je odvozen pomoc´ı statistické metody Renormalization group. P˚uvodn´ı modelk−rozˇsiˇruje o výpoˇcet vlivu v´ır˚u na turbulenci, pˇridává výpoˇcet turbulentn´ıho Prandtlova ˇc´ısla a efektivn´ı viskozity. Pomoc´ı tˇechto zmˇen lze tento model aplikovat na vˇetˇs´ı ˇskálu typ˚u proudˇen´ı. Výpoˇcet kinetické energie turbulencek a disipace kinetické energieje proveden podle rovnic [22],[5]

ρ·Dk Dt = ∂

∂xj

·

"

ρ·v₀ σk0

+ρ·v_T σkT

!

· ∂k

∂xj

#

+τ_ij·S_ij−ρ·, (3.2)

ρ·D Dt = ∂

∂x_j ·

"

ρ·v₀

σ₀ +ρ·v_T σ_T

· ∂

∂x_j

#

+C₁ ·

k·τ_ij·S_ij (3.3)

−



C2 +fRN G·Cν ·η³·^1−η_η

0

1 +β·η³



·ρ·² k² .

Zdeν_T je turbulentn´ı viskozita, která vycház´ı ze vztahu pro celkovou kinematickou viskozitu ν 2.10, lze ji rozdˇelit na kinematickou viskozitu ˇcástic ν0 a turbulentn´ı kinematickou viskozitu ν_T.

υ=ν_T +ν₀=c²_sδt

τ −1 2

. (3.4)

D´ale Cµ, C1, C2, Cν jsou konstanty, turbulentn´ı Prandtlova ˇc´ısla jsou definov´ana pro kinetickou energiika jakoσ_k₀, σ_k_T, σ₀, σ_T.

(28)

3.3 Stˇ enov´ a funkce

Pˇresné vyˇreˇsen´ı turbulentn´ı mezn´ı vrstvy u stˇeny pro vysoká Reynoldsova ˇc´ısla je výpoˇcetnˇe velmi nároˇcné. Proto se zavád´ı stˇenová funkce, která nastav´ı pˇribliˇzné okrajové podm´ınky pro ˇcástice v bl´ızkosti stˇeny. V PowerFLOW je pouˇz´ıvána stˇenová funkce, která je zaloˇzena na rozˇs´ıˇren´ı stˇenového zákona o tlakový gradient k urˇcen´ı lokáln´ıho povrchového tˇren´ı [22],[4]:

u⁺=fy⁺ A = 1

κlny⁺

A +B, (3.5)

A= 1 +f ∂p

∂x

, (3.6)

kde u⁺ je bezrozmˇerná rychlost u⁺ = u/u^∗ a y⁺ je bezrozmˇerná vzdálenost od stˇeny y⁺ = (y·u^∗)/ν. ˇReˇsen´ım rovnice (3.5) jsou z´ıskána smyková napˇet´ı na stˇenˇe pro stˇenové okra- jové podm´ınky pouˇz´ıvané v LBM. Zaveden´ı tlakového gradientu oproti standardn´ımu pˇr´ıstupu zpˇresˇnuje odhad pro toky s nepˇr´ıznivým tlakovým gradientem. Pro turbulentn´ı kinetickou energii a disipaci kinetické energie u stˇeny jsou zavedeny empirické vztahy [22]

k⁺= k

u²_τ = 1 pCµ

−e^−0,1y⁺ 1 pCµ

+ 0,29y⁺

!

, (3.7)

⁺= ν0

u⁴_τ = 0,04y⁺−0,0033y⁺²+ 1,04·10⁻⁴y⁺³−1,14·10⁻⁶y⁺⁴. (3.8)

(29)

4.Akustika

Akustika se zabývá vznikem, ˇs´ıˇren´ım a vlastnostmi zvuku. Zvuk je definován jako mechanické kmitán´ı pruˇzného prostˇred´ı, které se ˇs´ıˇr´ı koneˇcnou rychlost´ı urˇcitým prostˇred´ım. Rychlost ˇs´ıˇren´ı zvuku se v jednotlivých prostˇred´ıch mˇen´ı. Napˇr´ıklad pro vzduch je rychlost zvuku pˇribliˇznˇe 340m/s. Technická akustika se zabývá zvukem v oblasti slyˇsitelného pásma ve frekvenˇcn´ım rozsahu20aˇz20000kmit˚u za sekundu. Zvuk s vyˇsˇs´ı frekvenc´ı je pak nazýván ultrazvuk a s niˇzˇs´ı frekvenc´ı infrazvuk. Dnes je vˇsak v inˇzenýrské praxi hlavn´ım zájmem vyˇsetˇrován´ı neˇzádouc´ıch akustických signál˚u, které jsou definovány jako hluk. Hluk pak nelze pˇresnˇeji zadefinovat, protoˇze záleˇz´ı pˇredevˇs´ım na subjektivn´ım vn´ımán´ı konkrétn´ıho zvuku ˇclovˇekem. Kaˇzdý vn´ımá hranici mezi zvukem a nepˇr´ıjemným hlukem jinak [18].

4.1 Z´ akladn´ı pojmy v akustice

Zvuk nebo hluk je výsledkem kol´ısán´ı tlaku, generovaného vibruj´ıc´ım povrchem nebo turbulent- n´ım proudˇen´ım. Zvuk se ˇs´ıˇr´ı prostˇred´ım ve formˇe akustického vlnˇen´ı. Podle smˇeru kmitán´ı ˇcástic v˚uˇci smˇeru ˇs´ıˇren´ı vlny se vlnˇen´ı dˇel´ı na podélné a pˇr´ıˇcné. U plyn˚u a kapalin docház´ı pouze k podélnému vlnˇen´ı viz obr.4.1(a). Hluk se v prostoru ˇs´ıˇr´ı od zdroje ve vlnoplochách, na kterých jsou stejné hodnoty akustických veliˇcin [8].

(a)

patm

pak

(b)

pmax

prms

Obrázek 4.1: Podélné vlnˇen´ı - (a), Charakteristické veliˇciny harmonického signálu - (b)

(30)

4.1.1 Akustick´a vlna

Základn´ımi veliˇcinami, kterými lze popsat ˇs´ıˇren´ı akustické vlny viz. obr.4.1(b) jsou:

• Rychlost zvuku c[m/s]

Je definována jako rychlost ˇs´ıˇren´ı akustické vlny prostorem. Závis´ı na hustotˇe a pruˇz- nosti prostˇred´ı. Pro vzduch lze vypoˇc´ıtat z rovnice.(4.1), kde p[P a]je atmosferický tlak a ρ[kg/m³] je hustota. Vztah lze zjednoduˇsit na závislost rychlosti zvuku na teplotˇe T[K]

[2]

c=

s1,4·patm

ρ = 20,05

√

T . (4.1)

• Perioda T[s]

Doba, za kterou se kmitaj´ıc´ı bod vrát´ı z rovnováˇzné polohy pˇres obˇe krajn´ı polohy do p˚uvodn´ıho stavu. [18]

• Kmitoˇcet f[Hz]

Poˇcet kmit˚u za sekundu, kter´e vykon´a kmitaj´ıc´ı bod. Mezi frekvenc´ı a dobou kmitu plat´ı vztah [18]

f = 1

T. (4.2)

• Vlnov´a d´elka λ[m]

Je to vzdálenost mezi nejbliˇzˇs´ımi dvˇema body bodové ˇrady, u nichˇz je ve stejném okamˇziku stejný akustický stav nebo také vzdálenost, kterou vlna uraz´ı v pr˚ubˇehu jednoho kmitu.

D´elku vlny lze z´ıskat ze vztahu [18]

λ·f =c. (4.3)

• Amplituda

V technické akustice nejsou pouˇz´ıvány maximáln´ı hodnoty akustických veliˇcin pmax, ale efektivn´ı hodnotyp_ef, které jsou mˇeˇr´ıtkem energie pˇrenáˇsené signálem. Obecnˇe lze efektivn´ı hodnotu vypoˇc´ıtat ze vztahu [18]

p_ef = s

1 T

Z T 0

(p)². (4.4)

(31)

4.1.2 Akustick´e veliˇciny

• Akustick´y tlak p_ak[P a]

V d˚usledku ˇs´ıˇren´ı akustické vlny prostˇred´ım docház´ı k zvýˇsen´ı a sn´ıˇzen´ı hustoty molekul viz obr.4.1(a). Tyto zmˇeny jsou v plynech spojeny se zmˇenami statického tlaku. Celkový statický tlak je sloˇzen ze souˇctu stˇredn´ıho barometrického tlakup_ba akustického tlakup_ak. Hodnota barometrického tlaku je pˇribliˇznˇe 100 000P a. Oproti tomu nejmenˇs´ı akustický tlak, který lidské ucho m˚uˇze zaznamenat, je2·10⁻⁵P a [18].

• Akustick´a rychlost v[m/s]

Pˇredstavuje rychlost kmitán´ı jednotlivých ˇcásteˇcek prostˇred´ı kolem své rovnováˇzné polohy.

Velikost akustické rychlosti je o mnoho ˇrádu niˇzˇs´ı neˇz je rychlost zvuku, kde pro práh slyˇsitelnosti je okolo 5·10⁻⁸m/s[18].

• Akustick´y v´ykon W [W]

Mnoˇzstv´ı akustické energie vyzaˇrované od zdroje hluku, které procház´ı prostˇred´ım a je vztaˇzené na jednotku ˇcasu [18].

• Intenzita zvuku I[W/m²]

Je definována jako tok akustické energie v daném smˇeru a smyslu plochou kolmou k tomuto smˇeru vztaˇzený na jednotku plochy [20].

4.1.3 Akustick´e hladiny

Akustické veliˇciny nabývaj´ı hodnot v rozmez´ı mnoha ˇrád˚u a jejich porovnáván´ı by bylo velmi nepˇrehledné. Pˇrehled nˇekterých zdroj˚u hluku a porovnán´ı jejich akustických výkon a hladin akustického výkonu je zobrazen na obr.4.2. Proto se v akustice pouˇz´ıvaj´ı hladinová vyjádˇren´ı akustických veliˇcin, která vycházej´ı z logaritmického pomˇeru dané veliˇciny s referenˇcn´ı hodnotou. Referenˇcn´ı hodnotou je pak minimáln´ı hodnota, kterou je lidské ucho schopné rozeznat.

Samotnou hladinu je pak nutné vztahovat k urˇcité frekvenci nebo pásmu frekvenc´ı, které upˇresn´ı polohu signálu na frekvenˇcn´ı ose.

• Hladina akustick´eho tlaku Lp[dB]

Lp = 20 log p

p₀ (4.5)

Pro v´ypoˇcet hladiny akustick´eho tlaku je pouˇzita hodnota referenˇcn´ıho tlaku

p₀= 2·10⁻⁵P a, kter´e odpov´ıdá v decibelové stupnici hodnota0dB a sledovaného tlakup.

Pokud akustický tlak vzroste 10krát, potom dojde o zvýˇsen´ı hodnoty hladiny akustického

(32)

160 170 180

150 140 130 120 110 100 90

70 80

60 50 40 30

Vyzářený akustický výkon [W]

10 10 10

10 10 10 10 10 10

10 10

10

Hladina akustického výkonu [dB]

vojenský proudový letecký motor velký raketový motor

čtyřmotorový vrtulový letoun 75členný orchestr, varhany malý letecký motor

velká sbíječka klavír

hlučící rozhlasový přijímač automobil na dálnici (80km/hod) odstředivý ventilátor (cca 425m /hod) tkalcovský stav

axiální ventilátor (cca 50m /hod) křičící člověk

domácí prostředky a zařízení vysavač

běžně mluvící člověk malý ventilátor

velmi tichý šepot

6 5

4

3

3 3 2

-1 -2 -3

-5

-7

-8

-9

1

Obrázek 4.2: Akustický výkon a jeho hladina

tlaku o 20dB. Zvýˇsen´ı hladiny akustického tlaku o 1dB pak odpov´ıdá nejmenˇs´ı moˇzné zmˇenˇe akustického tlaku, kterou lidský sluch m˚uˇze zaznamenat [18].

• Hladina akustick´eho v´ykonu Lw[dB]

LW = 10 log W

W₀ (4.6)

Z hlediska technické akustiky je pro popis zdroje hluku hladina akustického výkonu nej- d˚uleˇzitˇejˇs´ı. Pˇredevˇs´ım proto, ˇze je moˇzné na jej´ım základˇe urˇcit emisn´ı hodnoty v m´ıstˇe, kde se nacház´ı posluchaˇc. Referenˇcn´ı hodnota akustického výkonu je podle normy ˇCSN 01 1304 stanovena W₀ = 10⁻¹²W a W je sledovaná hodnota akustického výkonu. Zvýˇsen´ı akustického výkonu o jeden ˇrád odpov´ıdá zvýˇsen´ı hladiny akustického výkonu o10dB[18].

Pokud zdroj hluku vyzaˇruje akustickou energii do vˇsech stran rovnomˇernˇe, je moˇzné odvodit pˇrevodn´ı vztah mezi hladinou akustického tlaku a výkonu (4.7), kdeS je referenˇcn´ı plocha a Lp je hladina akustického tlaku. PlochuS si lze pˇredstavit jako myˇslenou mˇeˇr´ıc´ı plochu obklopuj´ıc´ı zdroj hluku.

L_W =L_p+ 10 logS (4.7)

(33)

• Hladina akustick´e intenzity L_I[dB]

L_I = 10 log I I0

(4.8) Hladina akustické intenzity je definována vztahem (4.8), kde referenˇcn´ı hodnota intenzity zvuku je I₀ = 10^−12W W/m² aI je sledovaná hodnota akustické intenzity.

4.1.4 Sˇc´ıt´an´ı akustick´ych hladin

Sˇc´ıtán´ım dvou a v´ıce akustických hladin rozliˇsujeme sˇc´ıtán´ı koherentn´ıch a nekoherentn´ıch sig- nál˚u. Souˇcet dvou koherentn´ıch signál˚u dává opˇet koherentn´ı signál. Pˇri souˇctu dvou signál˚u se stejnou fáz´ı a amplitudou m˚uˇze doj´ıt k zdvojnásoben´ı amplitudy signálu tzn. zvýˇsen´ı hladiny akustického tlaku o6dB. Dva signály se stejnou amplitudou, ale opaˇcnou fáz´ı se navzájem eliminuj´ı. Výsledná hodnota akustického tlaku pro dva signály je dána vzorcem [20].

p_c= q

p²₁+p²₂+ 2·p₁·p₂·cos (ϕ₁−ϕ₂). (4.9) V praxi se ve vˇetˇs´ı m´ıˇre vyskytuj´ı nekoherentn´ı signály. Souˇcet signál˚u s r˚uzným kmitoˇctem m˚uˇzeme seˇc´ıst pˇres energie, kde souˇctem d´ılˇc´ıch intenzit z´ıskáme výslednou intenzitu. Dosaze- n´ım akustického tlaku a vyjádˇren´ım vztahu v hladinách je z´ıskán výsledný vztah pro souˇcet nekoherentn´ıch signál˚u [20]

L_pc= 10 log

N

X

i=1

10^Lpi¹⁰ . (4.10)

Pˇri seˇcten´ı dvou signál˚u se stejnou hladinou akustického tlaku dojde ke zvýˇsen´ı výsledné hladiny o 3dB. Na obr.4.3 je vidˇet závislost rozd´ılu dvou hladin akustického tlaku a pˇr´ır˚ustek k vyˇsˇs´ı ze sˇc´ıtaných hladin. Pˇri vˇetˇs´ım rozd´ılu hladin neˇz 15dB uˇz nedocház´ı k výrazné zmˇenˇe celkové hladiny akustického tlaku [19].

0 5 10 15 20

Rozd l mezi s tan mi hladinami akustick ho tlaku [dB]

P r stek k vy ze s tan ch hladin akustick ho tlaku [dB]

3 2 1,5 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1

Obrázek 4.3: Sˇc´ıtán´ı hladin akustického tlaku [19]

(34)

4.1.5 Frekvenˇcn´ı anal´yza

Namˇeˇrené akustické hodnoty v závislosti na ˇcase nedávaj´ı ˇzádnou bliˇzˇs´ı informaci. Pro správné analyzován´ı namˇeˇreného akustického signálu je nutné provést frekvenˇcn´ı analýzu. Pˇreveden´ım signálu do frekvenˇcn´ı oblasti je moˇzné zjistit, které frekvence nebo frekvenˇcn´ı pásma nejv´ıce pˇrisp´ıvaj´ı k celkové hodnotˇe napˇr. akustického tlaku. Po zjiˇstˇen´ı, tˇechto pásem je moˇzné se pˇri redukován´ı hluku zamˇeˇrit na frekvence s nejvyˇsˇs´ım pod´ılem na celkovém hluku [9].

Frekvenˇcn´ı analýzu lze rozdˇelit na dva druhy a to s procentuálnˇe konstantn´ı ˇs´ıˇr´ı pásma nebo konstantn´ı ˇs´ıˇr´ı pásma. Pro procentuáln´ı vyjádˇren´ı plat´ı, ˇze s rostouc´ı stˇredn´ı frekvenc´ı daného pásma docház´ı k zvˇetˇsen´ı absolutn´ı hodnoty ˇs´ıˇrky pásma. Naopak u druhé metody z˚ustává zachovaná absolutn´ı ˇs´ıˇrka pásma na konstantn´ı hodnotˇe. Pro správnou volbu metody je nutné znát charakter signálu, kde pro zdroje hluku vyzaˇruj´ıc´ı ˇcisté tóny je lepˇs´ı pouˇz´ıt konstantn´ı ˇs´ıˇrku pásma. Na urˇcen´ı hluˇcnosti daného zaˇr´ızen´ı staˇc´ı pouze procentuáln´ı ˇs´ıˇrka pásma napˇr. oktávová pásma [18].

Pˇri výpoˇctu je nejprve nutné zvolit vzorkovac´ı frekvenci signáluf_spro pˇreveden´ı do diskrétn´ı podoby. Poté je pouˇzita rychlá fourierova transformace FFT pˇresnpoˇcet prvk˚u. Výsledkem pak jsou frekvenˇcn´ı pásma o ˇs´ıˇrce P a stˇredn´ı frekvenci f_c [9].

P = f_s

N, (4.11)

f_c= k·fs

n . (4.12)

Rovnice (4.11) a (4.12) jsou pro pásmo s konstantn´ı ˇs´ıˇrkou. Vztahy pro výpoˇcet stˇredn´ı frekvencef_s, doln´ı frekvence pásmaf_d, horn´ı frekvence pásmaf_hoktávového a tˇretinooktávového pásma jsou uvedeny v následuj´ıc´ı tabulce.

pásmo stˇredn´ı frekvence doln´ı mez horn´ı mez oktávové fc2= 2·fc1 fd=fc/√

2 fh =fc/√ 2 1/3-okt´avov´e f_c2=√³

2·f_c1 f_d=f_c/√⁶

2 f_h =f_c/√⁶ 2

Tabulka 4.1: Výpoˇcet stˇredn´ı frekvence f_s, doln´ı frekvence pásma f_d, horn´ı frekvence pásma f_h oktávového a tˇretionoktávového pásma [9]

Pˇri výpoˇctu pásem se vycház´ı z frekvence 1kHz a jsou zaokrouhleny do tvaru uvedené v následuj´ıc´ı tabulce.

(35)

Stˇredn´ı frekvence pásma Mezn´ı frekvence Stˇredn´ı frekvence pásma Mezn´ı frekvence oktávové tˇretinooktávové doln´ı horn´ı oktávové tˇretinooktávové doln´ı horn´ı

31,5

25 22 28

1000

800 707 880

31,5 28 35 1000 880 1130

40 35 44 1250 1130 1414

63

50 44 57

2000

1600 1414 1760

63 57 71 2000 1760 2250

80 71 88 2500 2250 2825

125

100 88 113

4000

3150 2825 3530

125 113 141 4000 3530 4400

160 141 176 5000 4400 5650

250

200 176 225

8000

6300 5650 7070

250 225 283 8000 7070 8800

315 283 353 10000 8800 11300

500

400 353 440

16000

12500 11300 14140

500 440 565 16000 14140 17600

630 565 707 20000 17600 22500

Tabulka 4.2: Oktávová a tˇretinooktávová pásma frekvence f[Hz][9]

4.1.6 V´ahov´e filtry

Lidský sluch vn´ımá zvuk v r˚uzných kmitoˇctových pásmech odliˇsnˇe. Zkreslen´ı vlivem odliˇsné citlivosti v jednotlivých frekvenˇcn´ıch pásmech je pak kompenzováno pomoc´ı váhových filtr˚u.

Pouˇz´ıvanými váhovými filtry v praxi jsou A, B a C. Na obr.4.4 je uveden pr˚ubˇeh jednotlivých filtr˚u. Nejlépe vystihuje frekvenˇcn´ı chován´ı lidského sluchu filtr A, kde jsou sn´ıˇzeny n´ızké a vysoké frekvence. Pro hluˇcnˇejˇs´ı zdroje je pak pouˇz´ıván váhový filtr C [20].

Obrázek 4.4: Váhové filtry - A,B,C