2 Multikompartmentov´y model perf ´uze a identifikace parametr ˚u

StudentSká

vědecká konference 2017

Identifikace parametr ˚u multikompartmentov´eho modelu jatern´ı perf ´uze

Jaroslava Braˇsnov´a¹, Eduard Rohan², Vladim´ır Lukeˇs³

1 Motivace

Modely perf´uze jatern´ı tk´anˇe (parenchymu) nal´ezaj´ı sv´e uplatnˇen´ı v l´ekaˇrstv´ı, zejm´ena pak v chirurgii. C´ılem je napˇr´ıklad usnadnit l´ekaˇr˚um predikci chov´an´ı jater a z´ıskat pˇredstavu o proudˇen´ı krve na z´akladˇe vstupn´ıch dat (napˇr. CT sn´ımk˚u). Jednou z hlavn´ıch motivac´ı tvorby tˇechto model˚u je simulace zmˇeny perf´uze v z´avislosti na zmˇen´ach struktury a objemu jatern´ı tk´anˇe, ke kter´ym doch´az´ı v d˚usledku onemocnˇen´ı (napˇr. n´adorov´ych onemocnˇen´ı ˇci jatern´ı cirh´ozy) a n´asledn´e l´eˇcby (napˇr. resekce).

2 Multikompartmentov´y model perf ´uze a identifikace parametr ˚u

Proudˇen´ı krve v j´atrech lze komplexnˇe popsat pomoc´ı dvou model˚u vz´ajemnˇe propo- jen´ych zˇr´ıdly a propady, viz Rohan et al. (2016). Jedn´a se o 1D model zaloˇzen´y na Bernoul- liho rovnici popisuj´ıc´ı proudˇen´ı v nejvyˇsˇs´ı ´urovni (ˇziln´ım stromu) a 3D multikompartmentov´y model popisuj´ıc´ı perf´uzi v jatern´ım parenchymu uvaˇzovan´em jako por´ezn´ı m´edium nasycen´e nestlaˇcitelnou tekutinou. Perf´uzi ve 3D modelu popisuje stavov´a rovnice (1) odvozen´a z rovnice kontinuity a Darcyho z´akona, viz Michler et al. (2013), zahrnuj´ıc´ı v´ymˇenu tekutiny mezi kom- partmenty reprezentovanou mezikompartmentov´ymi tokyJ_jⁱ.

Z

Ωi\Σ_i

Kⁱ∇pⁱ· ∇qⁱ+ Z

Ωi\Σ_i

X

j

Gⁱ_j pⁱ−p^j

| {z }

J_jⁱ

qⁱ = Z

Ωi\Σ_i

fⁱqⁱ, ∀qⁱ ∈Qⁱ (1)

Kompartment i tvoˇr´ı kontinuum na oblasti Ω_i s vlastnostmi dan´ymi permeabilitou Kⁱ [m² · (P a·s)⁻¹] a perf´uzn´ımi parametryGⁱ_j [(P a ·s)⁻¹] mezi kompartmenty i a j, kde pⁱ (p^j) je tlak, fⁱ je extern´ı vtok do kompartmentu (zˇr´ıdla a propady) aqⁱ jsou testovac´ı funkce. Stavov´a rovnice byla numericky ˇreˇsena pomoc´ı FEM softwaru SfePy. Nev´yhodou model˚u perf´uze jater je obt´ıˇznost stanoven´ı perfuzn´ıch parametr˚uGⁱ_j, kter´e nelze urˇcit pˇr´ımo ani mˇeˇren´ım.

Identifikace tˇechto parametr˚uGⁱ_j je formulov´ana jako optimalizaˇcn´ı ´uloha. Hled´any jsou optimalizaˇcn´ı parametry α konstantn´ı na elementech. C´ılem je nalezen´ı glob´aln´ıho minima

´uˇcelov´e funkceΦdefinovan´e jako rozd´ıl funkce tok˚u a ”zmˇeˇren´ych”tok˚u ve smyslu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u. Bˇehem optimalizace je nutn´e ˇreˇsit adjungovanou ´ulohu a n´aslednˇe vyhodnotit citlivostn´ı vztahy vyjadˇruj´ıc´ı z´avislost zmˇeny funkceΦna zmˇenu optimalizaˇcn´ıch parametr˚u. Identifikace byla realizov´ana pomoc´ı softwaruSfePya pro minimalizaci ´uˇcelov´e funkce byla pouˇzita funkce SLSQP implementovan´a v SciPy.optimize. Pro identifikaci bylo nezbytn´e vypoˇc´ıtat pomoc´ı

1studentka navazuj´ıc´ıho studijn´ıho programu Poˇc´ıtaˇcov´e modelov´an´ı v inˇzen´yrstv´ı, obor Aplikovan´a mechanika, e-mail: jbrasnov@students.zcu.cz

2Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni, Fakulta aplikovan´ych vˇed, Katedra mechaniky, e-mail: rohan@kme.zcu.cz

3Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni, Fakulta aplikovan´ych vˇed, Katedra mechaniky, e-mail: vlukes@kme.zcu.cz

(1) hodnoty tlak˚u, definovat poˇc´ateˇcn´ı hodnoty a omezen´ı (box constraints) optimalizaˇcn´ıch parametr˚u. Identifikace byla provedena na geometri´ıch jater s tetraedr´aln´ımi prvky a dvˇema kompartmenty. ´Uloha optimalizace je z numerick´eho hlediska velice n´aroˇcn´y probl´em. V´ypoˇcty potvrdily, ˇze je v´yhodn´e alespoˇn pˇribliˇznˇe zn´at hodnoty optimalizaˇcn´ıch parametr˚u. Z´aroveˇn byla potvrzena nevhodnost parametrizace perf´uzn´ıch parametr˚u po ˇc´astech konstantn´ıch na ele- mentu a nutnost pˇripojen´ı regularizaˇcn´ıch podm´ınek. ˇCehoˇz lze dos´ahnout napˇr´ıklad parametrizac´ı pomoc´ı splineboxu. Pro numerick´e testov´an´ı byl pouˇzit splinebox implementovan´y v programu SfePydefinovan´y ˇr´ıd´ıc´ım polyedrem. Plat´ı

α(t) = X

k

b^kB^k(t), t∈Ω, (2)

kde b^k jsou kontroln´ı body splineboxu a B^k jsou B-spline b´aze splin˚u. Na z´akladˇe v´ypoˇct˚u

Obr´azek 1:Vlevo: tetraedr´aln´ı s´ıt’ se splineboxem. Uprostˇred: hodnoty parametr˚uαpˇred opti- malizac´ı. Vpravo: hodnoty parametr˚uαpo proveden´ı optimalizace.

perturbace vstupn´ıch dat byly porovn´any oba zp˚usoby parametrizace. Kdy v pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı splineboxu bylo nalezeno minimum funkce Φv mnohem kratˇs´ım v´ypoˇcetn´ım ˇcase a perfuzn´ı parametry vykazovaly vˇetˇs´ı ”hladkost”. Ostatn´ı vlastnosti z´avis´ı na zvolen´ych podm´ınk´ach (tol- erance, perturbace, atd.).

3 Z´avˇer

Byla provedena identifikace perf´uzn´ıch parametr˚u definovan´ych v 3D multikompartmen- tov´em modelu jatern´ı perf´uze za pouˇzit´ı dvou r˚uzn´ych parametrizac´ı.

Podˇekov´an´ı

Tento pˇr´ıspˇevek byl podpoˇren grantov´ym projektem SGS-2016-059.

Literatura

Michler, C., Cookson, A. N., Chabiniok, R., Hyde, E., Lee, J., Sinclair, M., Sochi, T., Goyal, A., Vigueras, G., Nordsletten, D. A. and Smith, N. P. (2013), A computationally efficient framework for the simulation of cardiac perfusion using a multi-compartment Darcy porous- media flow model.Int. J. Numer. Meth. Biomed. Engng., 29: 217–232. doi:10.1002/cnm.2520 Rohan, E., Lukeˇs, V., Jon´aˇsov´a, A. (2016) Modeling of the contrast-enhanced perfusion test in liver based on the multi-compartment flow in porous media. Available from:

https://arxiv.org/pdf/1605.09162 [Accessed 18th May 2017].