3.1 LINEÁRNÍ ROVNICE řešení

3.1 LINEÁRNÍ ROVNICE řešení

Mgr. Petra Toboříková

Lineární rovnice

= všechny rovnice, které můžeme zapsat ve tvaru

Lin. rovnice - řešení

kde

Např.:

Lineární člen Absolutní člen

x - neznámá

0 b

ax  

R b

,

a 





12 6

x

7   

2 u u

6 4 20

2

u   

0 66

x

5  

 23u 78  0

66 b

5 a







 b 78

23 a







Postup řešení:

1. Odstraníme závorky (roznásobením)

2. Odstraníme zlomky (násobením celé rovnice nejmenš ím společným násobkem jmenovatelů)

3. Pomocí ekvivalentních úprav převedeme rovnici na tv ar ax=b

(neznámé na jednu stranu rovnice, konstanty  čísla n a druhou)

4. Osamostatníme neznámou (obě strany rovnice vydělí me číslem před neznámou)

5. Provedeme zkoušku (určíme hodnotu výrazu na Levé straně rovnice pro neznámou, kterou jsme vypočítali, a poté to samé pro Pravou stranu)

6. Zapíšeme množinu všech řešení rovnice (K={})

Osamostatníme neznámou

• obě strany rovnice vydělíme číslem před neznámou

Určíme hodnotu výrazu na pravé straně rovnice pro x, které jsme vypočítali

(tedy x= 11)

Převedeme na tvar ax=b

• čísla na jednu stranu a výrazy s proměnnou na druhou stranu rovnice Příklad 1:

Odstraníme závorku = roznásobíme

Lin. rovnice - řešení

Sečteme, co lze

Zkouška:

Určíme hodnotu výrazu na levé straně rovnice pro x, které jsme vypočítali

(tedy x= 11)

Množina kořenů rovnice

30 85

x x

6    85 x

30 x

6   

85 x

15 15

x

6    





3    

30 / 55

x

5  / : 5

5 x  55

11 x 

 

L 3





 

P 11 85  96 ^{L P}

  ¹¹

K 

 x

Převedem čísla na jednu stranu

a výrazy s proměnnou na druhou stranu rovnice Ve zlomcích zkrátíme

Příklad 2:

Zkouška:

3 2

Odstraníme zlomky: vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem

Násobíme celého čitatele - závorky!!!

Osamostatníme neznámou

• obě strany rovnice vydělíme číslem před neznámou

3 u u 2

3 2 2

4 u

2     

 

L    

2 2 4 2

2 6

 

P    

3 2 2 2

3 6

P

L 

^{K }   ²

3 u 6 2

u 3 6 2

2 6 4 u

6 2        









3     

/6

u 2 4

u 18 12

12 u

6     

4 u

20 24

u

6   

28 u

14  



2 u 





: / 

24

/ 20u

Převedeme čísla na jednu stranu

a výrazy s proměnnou na druhou stranu rovnice

Rovnice nemá řešení!

Příklad 3:

Lin. rovnice - řešení

nebo

není pravda!

Odstraníme závorky:

Sečteme, co lze

Zapisujeme:

roznásobíme











 

K 

2 y

4 y

5 y

2 1

18 y

12 y

3 y

2 ²      ²    2 y

9 y

2 19

y 9 y

2 ²    ²   / 19 21

0 

y2

 2  9y

0

K 

Příklad 4:

Odstraníme závorky:

5

• roznásobíme nebo (pokud lze)

• zkrátíme

Odstraníme zlomky: vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem

Převedem čísla na jednu stranu

a výrazy s proměnnou na druhou stranu rovnice je pravda!

Zapisujeme:

Rovnice má

nekonečně mnoho řešení!

 

15 m 9

3 5

m

2  1   

5 m 9

5 m

2  1    /5





10     m 9

m 1

10     m 9

m

9    / 9 _m 0

0 

R

K 

Příklad 5:

Lin. rovnice - řešení

Zkouška:



 

 



5     

36 x

18 x

3 9

15 x

5     

36 x

18 24

x

8   

60 x

10 



10 x   60

6 x  

 

L 72

 

P 72 L P

^{K }   ^{ 6}

Příklad 6:

Zkouška:









2

2

6 d 9 12 d 5 2 d d

d      

5 d

2 d

9 d

6

d

  

  4

d

8   8 d   4

2 d   1

 



 



2 L 1

4 25

 



 



2 P 1

4

25 L P

 



 



 2

K 1

Pracovní sešit

• str. 44-45 /př. 1-12