1. Taylorův polynom

(1)

1. Taylorův polynom

Definice. Nechť f je reálná funkce, nPN, aPRa existuje vlastníf^pnqpaq. Pak polynom T_n^f,apxq “fpaq `f¹paqpx´aq ` ¨ ¨ ¨ ` 1

n!f^pnqpaqpx´aqⁿ nazývámeTaylorovým polynomem řádun funkce f v bodě a.

Poznámka. Nechť vše je jako výše. OznačmeT “T_n^f,a. Pak platí

Tpaq “fpaq, T¹paq “f¹paq, . . . , T^pnqpaq “f^pnqpaq.

Příklad. T₃^sin,0pxq “x´^x₆³

Věta 1.1(Peanův tvar zbytku). Nechťf je reálná funkce,nPN,aPRa existuje vlastníf^pnqpaq.

Pak

xÑalim

fpxq ´T_n^f,apxq px´aqⁿ “0.

Lemma 1.2. Nechť nPN,aPR,Q je polynom,stQďn alimxÑa Qpxq

px´aqⁿ “0. Pak Qje nulový polynom.

konec přednášky 16.2.2022

Věta 1.3 (O jednoznačnosti). Nechť f je reálná funkce, n PN, aP Ra existuje vlastní f^pnqpaq.

NechťP je polynom stupně nejvýšen splňující lim

xÑa

fpxq ´Ppxq px´aqⁿ “0.

PakP “T_n^f,a.

Definice. Nechťf, g jsou funkce, aPR^˚. Řekneme, že funkcef je v boděamalé ood funkce g (píšemefpxq “opgpxqq,xÑa), pokud platí

xÑalim fpxq gpxq “0.

Příklady. (i)x³“opx²q,xÑ0 (ii)x²“opx³q,xÑ 8

Poznámka. Tvrzení Věty 1.1 lze tedy zapsat ve tvarufpxq “T_n^f,apxq `oppx´aqⁿq,xÑa.

Příklad. limxÑ0sinx´x x³ “ ´¹₆

Věta 1.4(Aritmetika maléhoo). NechťaPR^˚.

(i)Jestližef1pxq “opgpxqq,xÑaaf2pxq “opgpxqq,xÑa, potomf1pxq `f2pxq “opgpxqq,xÑa.

(ii)Jestližef1pxq “opg1pxqq,xÑaaf2pxq “opg2pxqq,xÑa, potom f1pxqf2pxq “opg1pxqg2pxqq, xÑa.

(iii) Jestližef₁pxq “opg₁pxqq,xÑa af₂ je nenulová na jistém prstencovém okolí bodu a, potom f₁pxqf₂pxq “opg₁pxqf₂pxqq,xÑa.

(iv)Jestližefpxq “opg1pxqq,xÑaalimxÑa g1pxq

g₂pxq je vlastní, potom fpxq “opg2pxqq,xÑa.

(v) Jestliže fpxq “ opgpxqq, x Ñ a a h je omezená na jistém prstencovém okolí bodu a, potom hpxqfpxq “opgpxqq,xÑa.

(2)

Příklady. (i)sinx`cosx“1`x`opxq,xÑ0 (ii)sinxcosx“x`opxq,xÑ0

Věta 1.5 (Malé o složené funkce). Nechť a, b P R^˚, fpyq “ opgpyqq, y Ñ b,limxÑaϕpxq “ b a existujeδą0 takové, že

@xPPpa, δq: ϕpxq ‰b.

Potomfpϕpxqq “opgpϕpxqq,xÑa.

Příklad. sinpsinxq “x´^x₃³ `opx³q,xÑ0

Věta 1.6(Taylorův polynom základních funkcí). NechťnPNY t0u, pak T_n^exp,0pxq “1`x`x²

2! ` ¨ ¨ ¨ ` xⁿ n!

T_2n´1^sin,0pxq “T_2n^sin,0pxq “x´x³ 3! `x⁵

5! ` ¨ ¨ ¨ ` p´1q^n´1 x^2n´1 p2n´1q!

T_2n^cos,0pxq “T_2n`1^cos,0pxq “1´x² 2! `x⁴

4! ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qⁿ x²ⁿ p2nq!

T_n^logp1`xq,0pxq “x´x² 2 `x³

3 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1q^n´1xⁿ n

@αPR: T_n^p1`xq^α^,0pxq “1` α

1!x`αpα´1q

2! x²` ¨ ¨ ¨ `αpα´1q ¨ ¨ ¨ pα´n`1q

n! xⁿ.

konec přednášky 18.2.2022 Příklad. ?

1`x“1`^x₂´^x₈² `^x₁₆³ `opx³q,xÑ0

Věta 1.7 (Lagrangeův tvar zbytku). Nechť n P N a nechť a, x P R, a ăx. Předpokládejme, že funkce f má v každém bodě intervalu ra, xs vlastní derivaci řádu pn`1q. Pak existuje ξ P pa, xq takové, že

fpxq ´T_n^f,apxq “ 1

pn`1q!f^pn`1qpξqpx´aq^n`1.

Důsledek 1.8. NechťnPN,aPR,Ije interval obsahující boda, a nechť má funkcef v každém bodě intervalu I vlastní derivaci řádu pn`1q. Nechť M PR a pro všechnaxPI platí|f^pn`1qpxq| ďM. Pak pro každéxPI platí

|fpxq ´T_n^f,apxq| ď M

pn`1q!|x´a|^n`1. Příklad. Spočítejtecosp0,1qs přesností10^´4.

Definice. Nechť f je funkce, aPRaf^pnqpaq PRpro každénPN. Potom řadu

8

ÿ

n“0

f^pnqpaq

n! px´aqⁿ

nazýváme Taylorovou řadou funkce f o středu a. Ve speciálním případě a “ 0 mluvíme o Maclaurinově řadě.

Úmluva. Symbolpx´aq⁰chápeme jako1, a to i tehdy, jestližex“a. Symbolemf^p0q(tedy „nultou derivací“ funkcef) budeme rozumět samotnou funkcif.

(3)

Věta 1.9(Taylorovy řady elementárních funkcí). Platí následující vztahy mezi elementárními funkcemi a jejich Taylorovými řadami (středem Taylorovy řady je ve všech případech boda“0):

(a)@xPR: expx“

8

ÿ

n“0

xⁿ n!,

(b)@xPR: sinx“

8

ÿ

n“0

p´1qⁿ

p2n`1q!x^2n`1, (c)@xPR: cosx“

8

ÿ

n“0

p´1qⁿ p2nq!x²ⁿ, (d)@xP p´1,1s: logp1`xq “

ÿ8

n“1

p´1q^n´1 n xⁿ,

(e)@xP p´1,1q,@αPR: p1`xq^α“ ÿ8

n“1

ˆα n

˙ xⁿ.

Příklad. (i)e“ř8 n“0

1 n!

(ii)log 2“ř8 n“1

p´1q^n´1 n

Příklad. Rovnost

fpxq “ ÿ8

n“0

f^pnqpaq

n! px´aqⁿ

obecně nemusí platit, a to ani v případě, že řada vpravo konverguje pro všechnaxPR. Příkladem je funkce

fpxq “

#

e^´^x¹², x‰0, 0, x“0.

Součtem Maclaurinovy řady této funkce je konstantní nulová funkce, a tedyf není v žádném bodě x‰0 součtem své Maclaurinovy řady.

Příklad. limxÑ0 e^x³´1 sinx´x “ ´6

(4)

2. Primitivní funkce

2.1. Základní vlastnosti

Definice. Nechť funkcef je definovaná na neprázdném otevřeném intervaluI. Řekneme, že funkce F je primitivní funkcí kf naI, jestliže pro každéxPI existujeF¹pxqa platí F¹pxq “fpxq.

Věta 2.1 (vlastnosti primitivní funkce). Nechť funkce F je primitivní funkce k funkci f na ne- prázdném otevřeném intervaluI. Pak:

(a) F je spojitá naI.

(b) Pro každécPRje F`c primitivní funkce kf na I.

(c) PokudGje primitivní funkce kf naI, pak existujecPRtakové, žeFpxq “Gpxq `cpro každé xPI.

Značení. Fakt, že F je primitivní funkce k f na neprázdném otevřeném intervalu I, značíme symbolem

ż

fpxqdx“^c Fpxq, xPI.

Symbolş

fpxqdxoznačuje množinu všech primitivních funkcí na kf naI.

Příklady.

‚ ż

xⁿdx“^c x^n`1

n`1, xPRpronPZ, ně0; xP p´8,0qneboxP p0,8qpronPZ, nă ´1

‚ ż

x^αdx“^c x^α`1

α`1, xP p0,8qproαPRzZ

‚ ż 1

xdx“^c log|x|, xP p´8,0qneboxP p0,8q

‚ ż

e^xdx“^c e^x, xPR

‚ ż

sinx dx“ ´^c cosx, xPR

‚ ż

cosx dx“^c sinx, xPR

‚ ż 1

cos²xdx“^c tgx, xP p´π

2 `kπ,π

2 `kπq, kPZ

‚ ż

´ 1

sin²xdx“^c cotgx, xP pkπ, π`kπq, kPZ

‚ ż 1

1`x²dx“^c arctgx, xPR

‚

ż 1

?1´x²dx“^c arcsinx, xP p´1,1q

Věta 2.2(vztah spojitosti a existence primitivní funkce). NechťI je neprázdný otevřený interval af je spojitá naI. Pakf má naI primitivní funkci.

Věta 2.3(linearita primitivní funkce). Nechť funkcef,gmají na neprázdném otevřeném intervalu I primitivní funkci. Potom proα, βPR,pα, βq ‰ p0,0qje

ż

pαfpxq `βgpxqqdx“α ż

fpxqdx`β ż

gpxqdx.

(5)

Příklad. ş

p3 sinx`5x³`²_xqdx“ ´3 cos^c x`⁵₄x⁴`2 log|x|,xP p´8,0qneboxP p0,8q

Věta 2.4 (integrace per partes). NechťI je neprázdný otevřený interval af,g jsou spojité na I.

NechťF je primitivní funkce kf na I aGje primitivní funkce keg naI. Pak platí ż

gpxqFpxqdx“GpxqFpxq ´ ż

Gpxqfpxqdx, xPI.

Příklad. ş

xe^xdx“^c e^xpx´1q,xPR Příklad. ş

e^xsinx dx“^c ¹₂e^xpsinx´cosxq, xPR Příklad. NechťIn“ş ₁

px²`1qⁿdx,nPN. PakI1

“c arctgx,xPR, a platí rekurentní vzorec

In`1“ x

2np1`x²qⁿ `2n´1 2n In.

Speciálně

I2

“c x

2p1`x²q`1

2arctgx, xPR. konec přednášky 25.2.2022

Věta 2.5 (první věta o substituci). NechťF je primitivní funkce kf na pa, bq. Nechťϕje funkce definovaná na pα, βq s hodnotami v intervalu pa, bq, která má v každém bodě t P pα, βq vlastní derivaci. Pak

ż

fpϕptqqϕ¹ptqdt“^c Fpϕptqq, tP pα, βq.

Příklad. ş

sin³tcost dt“^c ¹₄sin⁴t,tPR

Poznámka. NechťF je primitivní funkce kf naR, nechťa,bPR,a‰0. Pak ż

fpat`bqdt“^c 1

aFpat`bq, tPR. Příklady. ş

e^3tdt“^c ¹₃e^3t,tPR şcospt`10qdt“^c sinpt`10q,tPR ş ₁

2t´3dt“^c ¹₂log|2t´3|,tP p´8,³₂qnebotP p³₂,8q

Věta 2.6 (druhá věta o substituci). Nechť funkce ϕ má v každém bodě intervalu pα, βq vlastní derivaci, která je buď všude kladná, nebo všude záporná, a ϕppα, βqq “ pa, bq. Nechť f je funkce definovaná na intervalupa, bq a platí

ż

fpϕptqqϕ¹ptqdt“^c Gptq, tP pα, βq.

Pak ż

fpxqdx“^c Gpϕ^´1pxqq, xP pa, bq.

Příklad. ş?

1´x²dx“^c ¹₄sinp2 arcsinxq `¹₂arcsinx,xP p´1,1q

Věta 2.7 (lepení). Nechť funkce f je spojitá na intervalupa, bq,cP pa, bq aF je funkce spojitá v bodě csplňujícíF¹pxq “fpxq proxP pa, bqztcu. PakF je primitivní kf na pa, bq.

Příklad.

ż

|x|dx“^c

#

´^x₂², xP p´8,0q

x², xP r0,8q.

(6)

2.2. Integrace racionálních funkcí

Definice. Racionální funkcí rozumíme podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule. Racionální funkce Rpxq “ ^Ppxq_Qpxq je definovaná na libovolné podmnožině R, která neobsahuje žádný kořen polynomuQ.

Věta 2.8 (rozklad polynomu s reálnými koeficienty). Nechť Qpxq “ anxⁿ` ¨ ¨ ¨ `a1x`a0 je polynom stupněn s reálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x1, . . . , xk,α1, . . . , αl,β1, . . . , βl

a přirozená číslap1, . . . , pk,q1, . . . , ql taková, že

‚ Qpxq “a_npx´x₁q^p¹. . .px´x_kq^p^kpx²`α₁x`β₁q^q¹. . .px²`α_lx`β_lq^q^l,

‚ žádný z polynomůx²`α1x`β1, . . . , x²`αlx`βl nemá reálný kořen,

‚ žádné dva z polynomů x´x1, x´x2, . . . , x´xk, x²`α1x`β1, . . . , x²`αlx`βl nemají společný kořen.

Příklad. x³`2x²`2x`1“ px`1qpx²`x`1q

Věta 2.9(rozklad na parciální zlomky). NechťP, Qjsou polynomy s reálnými koeficienty takové, žestP ăstQa nechť

Qpxq “anpx´x1q^p¹. . .px´xkq^p^kpx²`α1x`β1q^q¹. . .px²`αlx`βlq^q^l

je rozklad polynomuQz Věty 2.8. Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA¹₁, . . . , A¹_p₁,. . . , A^k₁, . . . , A^k_p_k, B₁¹, C₁¹, . . .,B_q¹

1,C_q¹

1, . . .,B₁^l,C₁^l, . . . , B_q^l

l, C_q^l

l taková, že platí Ppxq

Qpxq “ A¹₁

x´x₁ ` ¨ ¨ ¨ ` A¹_p₁ px´x₁q^p¹

` ¨ ¨ ¨ ` A^k₁ x´xk

` ¨ ¨ ¨ ` A^k_p_k px´xkq^p^k

` B₁¹x`C₁¹

x²`α₁x`β₁ ` ¨ ¨ ¨ ` B¹_q

1x`C_q¹

1

px²`α₁x`β₁q^q¹ `. . .

` B^l₁x`C₁^l

x²`α_lx`β_l` ¨ ¨ ¨ ` B_q^l_lx`C_q^l_l px²`α_lx`β_lq^q^l pro všechnaxPRztx1, . . . , xku.

Příklad.

x²`2

x³`2x²`2x`1 “ 3

x`1´ 2x`1 x²`x`1 Tedy

ż x²`2

x³`2x²`2x`1dx“^c 3 log|x`1| ´logpx²`x`1q, xP p´8,´1qneboxP p´1,8q.

Poznámka (postup při integraci racionální funkce). Nechť je zadána racionální funkce Rpxq “

Ppxq

Qpxq, kde P a Q jsou polynomy, Q ı 0. Při výpočtu primitivní funkce ş

Rpxqdx na libovolném intervalu I, který neobsahuje žádný z kořenů polynomu Q, pak postupujeme podle následující osnovy:

1. krok: vyjádříme funkciRpxqve tvaru Rpxq “ P1pxq ` ^P_Qpxq²^pxq, kde stP2 ăstQpro všechna xPR, Qpxq ‰0;

2. krok: provedeme rozklad funkce ^P_Qpxq²^pxq na parciální zlomky podle Věty 2.9;

3. krok: integrujeme jednotlivé parciální zlomky podle následujícího návodu.

(7)

(a) Je-li

I“

ż A

px´aqⁿdx, kdeAPRanPN, pak

I“^c

# ₁

1´n A

px´aq^n´1, xP p´8, aqneboxP pa,8q, je-li ną1;

Alog|x´a|, xP p´8, aqneboxP pa,8q, je-li n“1.

(b) Je-li

I“

ż Bx`C px²`αx`βq^q dx, kdeqPN,α, βPRa β´¹₄α²ą0, pak nejprve vyjádřímeI ve tvaru

I“ B 2

ż 2x`α

px²`αx`βq^q dx` pC´Bα 2 q

ż 1

px²`αx`βq^q dx.

Označíme-li

I₁“

ż 2x`α

px²`αx`βq^qdx a I₂“

ż 1

px²`αx`βq^q dx, potom

I1

“c

# ₁

p1´qqpx²`αx`βq^q´1, xPR, je-liqą1, logpx²`αx`βq, xPR, je-liq“1.

Dále platí

I2“

ż 1

ppx`^α₂q²`β´^α₄²q^q dx“ 1 pβ´^α₄²q^q

ż 1

«ˆ

?2x`α 4β´α²

˙2

`1 ffq dx.

Pro výpočet posledního integrálu využijeme první větu o substituci. Položíme ϕpxq “ ?^2x`α

4β´α², takžeϕ¹pxq “ ? ²

4β´α², a obdržíme

ż 1

» –

˜

x`^α₂ b

β´^α₄²

¸2

`1 fi fl

q dx“ 2

a4β´α²

ż 1

py²`1q^q dy.

Pro integrálş ₁

py²`1q^qdy je k dispozici rekurentní vzorec získaný integrací per partes:

ż 1

py²`1q¹dy“^c arctgpyq,

ż 1

py²`1q^q`1dy“ y

2qpy²`1q^q `2q´1 2q

ż 1

py²`1q^q dy, qą1.

Příklad.

ż x²`3x`2

px²`2x`2q²dx“ ´^c 1 2

x`2 x²`2x`2 `1

2arctgpx`1q, xPR konec přednášky 4.3.2022

(8)

2.3. Substituce převádějící na racionální funkce

A.Výpočet integrálů s exponenciálou a s logaritmem NechťRje racionální funkce.

(i) Pro převod integrálů tvaru ş

Rpe^axqdx (kde a P Rzt0u) na integraci racionální funkce lze využít substitucit“e^ax.

(ii) Pro převod integrálů tvaru şRplogxq

x dx na integraci racionální funkce lze využít substituci t“logx.

Příklad.

ż 1

xplog²x´5 logx`6qdx“^c log|logx´3|´log|logx´2|, xP p0, e²qneboxP pe², e³qneboxP pe³,8q Příklad.

ż e^2x

1`e^xdx“^c e^x´logp1`e^xq, xPR B.Integrace trigonometrických funkcí

Značení. Ve zbytku této kapitoly budeme symbolem Rpx, yq značit racionální funkci dvou pro- měnných, tj.Rpx, yq “ ^Ppx,yq_Qpx,yq, kde

Ppx, yq “

N1

ÿ

i,j“0

aijxⁱy^j, Qpx, yq “

N2

ÿ

i,j“0

bijxⁱy^j,

kdeN1,N2PN,aij,bij PRa alespoň jednobij ‰0.

Pro převod integrálů tvaruş

Rpsinx,cosxqdx na integraci racionální funkce lze využít jedné z následujících substitucí:

(i) pokud Rp´a, bq “ ´Rpa, bq, pak lze užít substitucit“cosx (ii) pokudRpa,´bq “ ´Rpa, bq, lze užít substitucit“sinx (iii) pokudRp´a,´bq “Rpa, bq, pak lze užít substitucit“tgx (iv) vždy lze užít substitucit“tgp^x₂q

Příklad.

ż 1

cosxsin²xdx“ ´^c 1

2log|sinx´1| `1

2log|1`sinx| ´ 1

sinx, xP p0,π 2q `kπ

2 , kPZ Příklad.

ż 1

1`sin²xdx“^c

# ₁

?2arctgp?

2 tgxq `?^kπ

2, xP p´^π₂,^π₂q `kπ

π 2?

2`^?^kπ₂, x“^π₂ `kπ.

C.Integrace funkcí obsahujících odmocniny

Nechť q PN, a, b, c, d P R, ad‰ bc. Potom pro převod integrálů tvaru ş

Rpx,p^ax`b_cx`dq¹^qqdx, na integraci racionální funkce lze využít substitucit“ p^ax`b_cx`dq¹^q.

Příklad.

ż ?

x`1´? x´1

?x`1`?

x´1dx“^c 1 2log

˜cx`1 x´1 `1

¸

´1 2log

˜cx`1 x´1 ´1

¸

´

bx`1 x´1

´bx`1 x´1`1

¯2, xP p1,8q

(9)

Výpočet integrálů tvaru ş Rpx,?

ax²`bx`cqdx

Nechťa, b, cPR,a‰0. Potom pro převod integrálů tvaruş Rpx,?

ax²`bx`cqdxna integraci racionální funkce rozlišujeme následující případy:

(a) Nechť má polynomax²`bx`cdvojnásobný reálný kořenα, pak platíax²`bx`c“apx´αq². Má-li mít úloha smysl, musí platitaą0. Pak ale

aax²`bx`c“?

a|x´α|.

(b) Nechť má polynomax²`bx`cdva různé reálné kořeny α₁ăα₂, pak platíax²`bx`c“ apx´α₁qpx´α₂q. Je-liaą0, pak proxP p´8, α₁qa xP pα₂,8qplatí

aax²`bx`c“a

apx´α1qpx´α2q

“?

a|x´α₁|

cx´α2

x´α1

.

Je-liaă0, pak proxP pα₁, α₂qplatí

aax²`bx`c“a

p´aqpx´α₁qpα₂´xq

“?

´apx´α₁q

cα₂´x x´α1

.

V obou případech jsme tedy zadání převedli na úlohu nalézt primitivní funkciş

Rpx,p^ax`b_cx`dq¹^qqdx, jejíž řešení již známe.

(c) Nechť polynomax²`bx`cnemá reálný kořen. Má-li mít úloha smysl, musí platitaą0. V tomto případě lze užít takzvanouEulerovu substituci ?

ax²`bx`c“? ax`t.

Příklad. ż 1 x²?

x²`1dx“^c 2 p

?x²`1´xq²´1, xP p´8,0qneboxP p0,8q.

(10)

3. Určitý integrál

3.1. Newtonův integrál

Definice. Nechť a, bPR^˚,aăb,f je funkce definovaná na intervalupa, bq. Řekneme, žef má na pa, bq Newtonův integrál, jestliže

‚ f má napa, bqprimitivní funkci (označme jiF),

‚ existují limitylimxÑa_`FpxqalimxÑb_´Fpxq(nikoli nutně vlastní);

‚ rozdíl těchto dvou limit je definován jako prvek množinyR^˚.

Hodnotou Newtonova integrálu z funkcef na intervalupa, bqpak rozumíme prvek pNq

żb a

fpxqdx“ lim

xÑb_´Fpxq ´ lim

xÑa_`Fpxq.

Pokudaąb, pak klademepNqşb

afpxqdx“ ´pNqşa

bfpxqdx. ProaPR^˚definujemepNqşa

afpxqdx“ 0. Jestliže pNqşb

afpxqdx existuje vlastní, pak říkáme, že integrál jekonvergentní. Není-li integrál konvergentní, říkáme, že jedivergentní.

Příklad. pNqş2

1x dx“ ³₂

Poznámka. Nechťa, bPR^˚,aăb, a nechťf je funkce definovaná na intervalupa, bq. Pak nastává právě jedna z následujících možností:

pNq żb

a

fpxqdx

$

’’

’&

’’

’%

neexistuje,

existuje

$

’&

’%

“ 8,

“ ´8, PR.

Značení. Nechť a, b P R^˚, a ă b. Množinu všech funkcí f : pa, bq ÑR, které mají na intervalu pa, bqkonvergentní Newtonův integrál, značíme symbolemNpa, bq.

Značení. Nechť funkceF je definovaná na pa, bq a existují (vlastní nebo nevlastní) jednostranné limity limxÑa`Fpxq a limxÑb´Fpxq. Potom budeme značit Fpa`q “ limxÑa`Fpxq, Fpb´q “ limxÑb´Fpxqa rFs^b_a“Fpb´q ´Fpa`q, pokud má rozdíl smysl.

Značení. Nemůže-li dojít ke zmatení, píšemeşb

afpxqdxmístopNqşb

afpxqdx.

Příklad.

ż1 0

x^αdx“

$

’&

’%

r_α`1¹ x^α`1s¹₀“ _α`1¹ , αP p´1,8q (konverguje), r_α`1¹ x^α`1s¹₀“ 8, αP p´8,´1q (diverguje), rlogxs¹₀“ 8, α“ ´1 (diverguje).

ż8 1

x^αdx“

$

’&

’%

r_α`1¹ x^α`1s⁸₁ “ 8, αP p´1,8q (diverguje), r_α`1¹ x^α`1s⁸₁ “ _α`1^´1 , αP p´8,´1q (konverguje), rlogxs⁸₁ “ 8, α“ ´1 (diverguje).

Věta 3.1(vlastnosti Newtonova integrálu). Nechťa, bPR^˚,aăb.

(i)Pro αPRplatí následující rovnosti, pokud pravé strany rovností mají smysl żb

a

pfpxq `gpxqqdx“ żb

a

fpxqdx` żb

a

gpxqdx, żb

a

αfpxqdx“α żb

a

fpxqdx.

(11)

(ii)Jestliže f, gPNpa, bqaf ďg, pak şb

afpxqdxďşb

agpxqdx.

(iii)Jestližef PNpa, bqje spojitá napa, bq, pakşb

a|fpxq|dxexistuje a ˇ ˇ ˇ şb

afpxqdx ˇ ˇ ˇďşb

a|fpxq|dx.

(iv)Nechťa, b, cPR^˚,aăbăc. Jestližef PNpa, cq, pak f PNpa, bq XNpb, cqa platí żc

a

fpxqdx“ żb

a

fpxqdx` żc

b

fpxqdx.

(v)Nechťa, b, cPR^˚,aăbăc. Nechťf je spojitá vb. Pakf PNpa, bq XNpb, cq ôf PNpa, cq.

(vi) Nechť f P Npa, bq. Nechť ta_nu, tb_nu jsou posloupnosti z pa, bq splňující lim_nÑ8a_n “ a, lim_nÑ8b_n“b. Pak

żb a

fpxqdx“ lim

nÑ8

żbn

an

fpxqdx.

(vii)Nechťf PNpa, bqamďfpxq ďM proxP pa, bq. Pak mpb´aq ď

żb a

fpxqdxďMpb´aq.

(viii)Nechťf PNpa, bq,cP pa, bq. PakpxÞÑşx

c fptqdtq¹ “fpxqproxP pc, bq.

Věta 3.2 (per partes pro Newtonův integrál). Nechť a, bPR^˚, aăb, a nechť f a g jsou funkce definované na pa, bq. Nechť F je primitivní funkce k funkci f na pa, bq a G je primitivní funkce k funkcig napa, bq. Potom platí

żb a

Fpxqgpxqdx“ rF Gs^b_a´ żb

a

fpxqGpxqdx,

jestliže má pravá strana smysl.

Příklad. ş1

0logx dx“ ´1

Věta 3.3 (substituce pro Newtonův integrál). Nechť a, b, α, β P R^˚, a ăb a αă β. Nechť f je funkce definovaná napa, bqa nechťϕje funkce definovaná napα, βq. Nechťϕmá vlastní nenulovou derivaci napα, βqa nechť platí ϕppα, βqq “ pa, bq. Potom

żb a

fpxqdx“ żβ

α

fpϕptqqˇ ˇϕ¹ptqˇ

ˇdt,

má-li alespoň jedna strana smysl.

Příklad. ş^π₂

0 cos³tsint dt“ ¹₄ Příklad. ş2

´2

?4´x²dx“2π

3.2. Riemannův integrál

Definice. Konečnou posloupnosttx_juⁿ_j“0 nazývámedělením intervalura, bs, jestliže platí a“x0ăx1ă ¨ ¨ ¨ ăxn“b.

Bodyx0, . . . , xn nazývámedělícími body.Normou děleníD“ txjuⁿ_j“0 rozumíme číslo νpDq “maxtxj´xj´1;j“1, . . . , nu.

(12)

Definice. Nechť f je omezená funkce definovaná na intervalura, bsa D“ txjuⁿ_j“0je dělení ra, bs.

Označme

Spf, Dq “

n

ÿ

j“1

M_jpx_j´x_j´1q, kdeM_j“suptfpxq;xP rx_j´1, x_jsu,

Spf, Dq “

n

ÿ

j“1

mjpxj´xj´1q, kdemj“inftfpxq;xP rxj´1, xjsu,

żb a

fpxqdx“inftSpf, Dq; D je dělením intervalura, bsu, żb

a

fpxqdx“suptSpf, Dq; D je dělením intervalura, bsu.

Definice. Řekneme, že omezená funkcef na intervalura, bs,aăb, máRiemannův integrál od a do b, pokud şb

afpxqdx“şb

afpxqdx. Hodnota integrálu f oda dob je rovna této společné hod- notě. Značíme jipRqşb

afpxqdx. Nemůže-li dojít ke zmatení, píšemeşb

afpxqdxmístopRqşb

afpxqdx.

Jestližeaąb, definujemeşb

afpxqdx“ ´şa

bfpxqdx. V případě, žea“b, definujemeşb

afpxqdx“0.

konec přednášky 18.3.2022 Příklad. Nechťa,b,cPR, aăb. PakpRqşb

acdx“cpb´aq.

Poznámka. (a) Funkce

fpxq “

#

1, xP r´1,1szt0u, 0, x“0,

má nar´1,1sRiemannův integrál, ale nemá tam Newtonův integrál.

(b) Funkce fpxq “ ^?¹_x, x P p0,1q, má na p0,1q Newtonův integrál, ale nemá (při libovolném dodefinování v krajních bodech) Riemannův integrál nar0,1s.

Poznámka. Nechťf je omezená funkce definovaná na intervalura, bs, která má Riemannův integrál odadob. Pak hodnotu integrálu můžeme určit následujícím způsobem.

• pro každénPNzvolíme děleníD_n“ tx_n,ku^k_k“1ⁿ tak, že lim

nÑ8νpD_nq “0;

• pro každénPNaiP t1, . . . knuzvolímecn,iP rxn,i´1, xn,is;

PaklimnÑ8řkn

i“1fpcn,iqpxn,i´xn,i´1q “şb

afpxqdx.

Příklad. pRqş1

0x²dx“1{3

Definice. Nechťa, bPR,aăb. Množinu všech funkcí, které mají Riemannův integrál od adob, značímeRpra, bsq.

Věta 3.4(spojitost a Riemannův integrál). Nechťf je spojitá nara, bs. Potomf PRpra, bsq.

Věta 3.5 (spojitost a Newtonův integrál). Nechť a,bPR,aăb, a nechťf je spojitá a omezená napa, bq. Potomf PNpra, bsq.

Věta 3.6(vztah Riemannova a Newtonova integrálu). Nechťa, bPR,aăb, a nechťf PRpra, bsqX Npa, bq. Potom

pRq żb

a

fpxqdx“ pNq żb

a

fpxqdx.

Důsledek 3.7. Nechťf je spojitá nara, bs. Potomf PRpra, bsq XNpa, bqa pRq

żb a

fpxqdx“ pNq żb

a

fpxqdx.

(13)

3.3. Konvergence Newtonova integrálu

Připomeneme:‚ Nechť a, b PR a f je spojitá a omezená na pa, bq. Pak f PNpa, bq. Speciálně toto platí v případě, kdyf je spojitá nara, bs.

‚ Nechť a, b, c P R^˚, a ă c ăb a f je spojitá na pa, bq. Pak f P Npa, bq právě tehdy, když f PNpa, cq XNpc, bq.

Příklady. ‚ş8

1 x^αdxkonverguje právě tehdy, kdyžαă ´1

‚ ş1

0x^αdxkonverguje právě tehdy, kdyžαą ´1

‚ ş8 2

log^αx

x dx konverguje právě tehdy, kdyžαă ´1

‚ ş¹₂

0

|logx|^α

x dx konverguje právě tehdy, kdyžαă ´1

Věta 3.8(srovnávací kritérium pro konvergenci Newtonova integrálu). NechťaPR,bPR^˚a nechť aăb. Nechť funkcef, g:ra, bq ÑRsplňují 0ďfpxq ďgpxqpro každéxP ra, bq. Nechťf je spojitá nara, bqagPNpa, bq. Potomf PNpa, bq.

Příklad. ş8 0

1

1`x⁴dxkonverguje Příklad. ş8

0 e^´x²dxkonverguje

Věta 3.9 (limitní srovnávací kritérium pro konvergenci Newtonova integrálu). Nechť a P R, b P R^˚,a ă b. Nechť f, g jsou spojité nezáporné funkce na ra, bq. Jestliže limxÑb_´fpxq

gpxq P p0,8q, pak f PNpa, bqprávě tehdy, když gPNpa, bq.

Poznámka. Tvrzení Vět 3.8 a 3.9 platí s příslušnými úpravami i pro intervaly typupa, bs.

konec přednášky 25.3.2022 Příklad. ş8

1

?x`? x`3

x`x³ dx konverguje Příklad. ş8

1 sinp¹_xqarctgx dxdiverguje

Definice. Nechťa,bPR^˚,aăb. Řekneme, že Newtonův integrál funkcef konverguje absolutně na intervalupa, bq, pokud|f| PNpa, bq.

Věta 3.10 (vztah absolutní konvergence a konvergence Newtonova integrálu). Nechť a, b P R^˚, aăb, a nechťf je spojitá funkce na pa, bqsplňující|f| PNpa, bq. Potomf PNpa, bq.

Věta 3.11 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konvergence Newtonova integrálu). Nechť aPR, bP R^˚,aăb. Nechť f, gjsou spojité funkce nara, bqag je monotónní nara, bq. NechťF je primitivní funkce k funkcif napa, bq.

(A)Jestliže f PNpa, bqag je omezená na ra, bq, potom f gPNpa, bq.

(D)Jestliže F je omezená napa, bqalimxÑb_´gpxq “0, potomf gPNpa, bq.

Poznámka. Tvrzení Věty 3.11 platí s příslušnými úpravami i pro intervaly typupa, bs.

Příklad. ş8 1

sinx

x dxkonverguje, aleş8 1

|sinx|

x dx diverguje Příklad. ş8

1 sinx

x arctgx dxkonverguje

3.4. Aplikace určitého integrálu

(a) Integrální kritérium konvergence řad

Nechťf je nezáporná nerostoucí spojitá funkce narn₀,`8q, kde n₀PN. Nechťta_nu⁸_n“1 je posloupnost splňujícía_n “fpnqproněn₀. Pakř8

n“1a_nkonverguje právě tehdy, kdyžş8

n0fpxqdx konverguje.

(14)

(b) Obsah podgrafu spojité funkce

Nechť f je spojitá a nezáporná na ra, bs. Pak obsah plochy pod grafem funkce f je roven şb

afpxqdx.

Příklad. Vypočtěte obsah plochy pod grafem funkcesinx,xP r0, πs.

Výsledek: 2

konec přednášky 30.3.2022 (c) Obsah množiny vytvořené grafy funkcí

Nechťf, g jsou spojité funkce na ra, bs. Pak obsah množiny bodů ležících mezi grafy funkcí f a g je rovenşb

a|gpxq ´fpxq|dx. Poznamenejme, že množinou “mezi grafy funkcíf,g” rozumíme tpx, yq; xP ra, bs, fpxq ďyďgpxqnebogpxq ďyďfpxqu.

Příklad. Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafy funkcífpxq “x² a gpxq “xproxP r0,2s Výsledek: 1

(d) Délka grafu funkce

Nechť funkcef má na intervalura, bs spojitou první derivaci. Pak délka grafu funkcef “

żb a

a1`f¹pxq²dx.

Příklad. Spočtěte obvod kruhu o polom˚eru1.

Výsledek: 2π

(e) Změna polohy a ujetá vzdálenost

Jestliže se bod pohybuje po přímce (např. po ose x) a značí-li sptqsouřadnici bodu v čase t, je s¹ptqokamžitá rychlost vptqv čase t a v¹ptq “ s²ptqokamžité zrychlení v čase t. Je-li dána závislost rychlosti na čase funkcí vptq, není

żb a

vptqdt“spbq ´spaq

ujetá vzdálenost, ale změna polohy pohybujícího se bodu. Ujetá délka cesty od okamžikut“a do okamžikut“bse spočte jako

żb a

|vptq|dt .

Příklad. Vypočítejte dráhu dešťové kapky za prvních 6 sekund, kde okamžitá rychlost (v metrech za sekundu) kapky je dána vzorcem vptq “gt, kdeg“9.81.

Výsledek: 176.58metrů (176.58“9.81¨18)

3.5. Riemannův-Stieltjesův integrál

Definice. Nechťra, bsje omezený uzavřený interval,f je omezená funkce nara, bsaϕje neklesající (a speciálně tedy též omezená) nara, bs. NechťD“ txjuⁿ_j“0 je děleníra, bs. Označme

Spf, D, ϕq “

n

ÿ

j“1

M_jpϕpx_jq ´ϕpx_j´1qq, kdeM_j “suptfpxq;xP rx_j´1, x_jsu,

Spf, D, ϕq “

n

ÿ

j“1

mjpϕpxjq ´ϕpxj´1qq, kdemj“inftfpxq;xP rxj´1, xjsu,

żb a

fpxqdϕpxq “inftSpf, D, ϕq; D je dělením intervalura, bsu, żb

a

fpxqdϕpxq “suptSpf, D, ϕq; Dje dělením intervalu ra, bsu.

(15)

Řekneme, žef máRiemannův-Stieltjesův integrál od ado b vzhledem k funkci ϕ, pokud şb

afpxqdϕpxq “ şb

afpxqdϕpxq. Hodnota integrálu f od a do b vzhledem k funkci ϕ je rovna této společné hodnotě. Značíme jipRSqşb

afpxqdϕpxq. Nemůže-li dojít ke zmatení, píšemeşb

afpxqdϕpxq místopRSqşb

afpxqdϕpxq.

Množinu všech funkcí, které mají Riemannův-Stieltjesův integrál oda dob vzhledem k funkci ϕ, značíme RSϕpra, bsq.

Poznámka. Je-li ϕpxq “x, pak odpovídající Riemannův-Stieltjesův integrál splývá s Riemanno- vým integrálem.

Příklad. Nechť

ϕpxq “

#0, xP r´1,0s, 1, xP p0,1s, a nechťf je spojitá nar´1,1s. Pak

ż1

´1

fpxqdϕpxq “fp0q.

Věta 3.12 (vlastnosti RS integrálu). Nechťϕ,ψ jsou neklesající funkce nara, bs.

(i) Jsou–lif, gPRS_ϕpra, bsq ac, dPR, pakcf`dgPRS_ϕpra, bsqa platí żb

a

pcf`dgqpxqdϕpxq “c żb

a

fpxqdϕpxq `d żb

a

gpxqdϕpxq.

(ii) Nechťf PRS_ϕpra, bsq,cP pa, bq. Pakf PRS_ϕpra, csq XRS_ϕprc, bsqa platí żb

a

fpxqdϕpxq “ żc

a

fpxqdϕpxq ` żb

c

fpxqdϕpxq.

(iii) Nechťf PRS_ϕpra, bsqa platímďfpxq ďM proxP ra, bs. Pak mpϕpbq ´ϕpaqq ď

żb a

fpxqdϕpxq ďMpϕpbq ´ϕpaqq.

(iv) Je-lif PRS_ϕpra, bsq XRS_ψpra, bsqac, dPR, pakf PRS_cϕ`dψpra, bsqa platí żb

a

fpxqdpcϕ`dψqpxq “c żb

a

fpxqdϕpxq `d żb

a

fpxqdψpxq.

Příklad. Nechť

ϕpxq “

#

x, xP r´1,0s, x`1, xP p0,1s, a nechťf je spojitá nar´1,1s. Pak

ż1

´1

fpxqdϕpxq “ ż1

´1

fpxqdx`fp0q.

Věta 3.13(kritérium existence RS integrálu). Nechťf je omezená funkce nara, bsaϕje neklesající nara, bs. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní:

(a) f PRSϕpra, bsq;

(b)pro každé εą0 existuje dělení D intervalura, bs, pro kteréSpf, D, ϕq ´Spf, D, ϕq ăε.

(16)

Věta 3.14 (monotonie a RS integrál). Nechťf je monotónní (tj. nerostoucí nebo neklesající) na ra, bsa nechť ϕje spojitá a neklesající nara, bs. Pakf PRSϕpra, bsq.

Poznámka. Speciálně je-li f monotónní na ra, bs, pakf má nara, bsRiemannův integrál.

Věta 3.15(spojitost a RS integrál). Nechťϕje neklesající funkce nara, bsa nechťf je omezená na ra, bs. Jestliže množina bodů nespojitosti funkcef je konečná a je–li v každém z těchto bodů funkce ϕspojitá, pakf PRSϕpra, bsq.

Poznámka. Speciálně je–lif spojitá až na konečně mnoho bodů, pak existuje Riemannův integrál funkcef. Jedná se tedy o zesílení a zobecnění věty 3.4.

Důsledek 3.16. Nechťf je spojiá funkce nara, bsaϕje neklesající nara, bs. Pakf PRSϕpra, bsq.

Věta 3.17 (vztah Riemannova a Riemannova-Stieltjesova integrálu). Nechťf PRpra, bsq, nechť ϕ je neklesající nara, bsa má na ra, bsspojitou derivaci. Pakf ϕ¹PRpra, bsq,f PRS_ϕpra, bsqa platí

pRSq żb

a

fpxqdϕpxq “ pRq żb

a

fpxqϕ¹pxqdx.

Příklad. ş1

0x³dx²“²₅

Definice. Heavisideovou funkcí (“jednotkovým skokem”) rozumíme funkci

Ipxq “

#0, xď0, 1, xą0.

Věta 3.18 (integrace vzhledem k Heavisideově funkci). Nechť f je spojiá na ra, bs, s P pa, bq a ϕpxq “Ipx´sq,xP ra, bs. Pak

żb a

fpxqdϕpxq “fpsq.

Příklad. Nechť

ϕpxq “

#´1, xP r´1,0s, 1, xP p0,1s.

Pakş1

´1p2x`1qdϕpxq “2.

Věta 3.19(součet řady jako RS integrál). Nechťtcnu⁸_n“1 je posloupnost nezáporných čísel taková, žeř8

n“1cnkonveguje. Nechťtsnu⁸_n“1je posloupnost po dvou různých bodů v intervalupa, bq. Položme ϕpxq “

8

ÿ

n“1

c_nIpx´s_nq.

Je-li f spojitá funkce nara, bs, pak żb

a

fpxqdϕpxq “

8

ÿ

n“1

cnfpsnq.

(17)

4. Diferenciální rovnice

Příklad. y¹pxq “x³`4ñypxq “^x₄⁴ `4x`C,xPR Příklad. y¹pxq “2ypxq ñypxq “Ce^2x,xPR

Příklad. Volný pád s odporem vzduchu (předpokládáme, že odporová síla je přímo úměrná druhé mocnině rychlosti a koeficient přímé úměrnosti označímek). Značí-livptqokamžitou rychlost v čase t, pakvptqsplňuje diferenciální rovnici

v¹ptq “ k

mv²ptq ´g

s počáteční podmínkouvp0q “0. V rovnici výše značímhmotnost padajícího objektu agje tíhové zrychlení.

Definice. Diferenciální rovnicí rozumíme rovnici tvaru

Fpx, y, y¹, y², ..., y^pnqq “0, (4.1) kdeF je reálná funkcen`2 proměnných.Řád diferenciální rovnice (4.1) je nejvyšší řád derivace funkceyvyskytující se v (4.1).

Příklad. y^p2qpxq ` py¹pxqq²“ pypxqq³`x⁴ je diferenciální rovnice druhého řádu.

Definice. Řešením diferenciální rovnice(4.1) rozumíme funkciydefinovanou na nějakém neprázd- ném otevřeném intervaluI, která má v každém bodě intervaluIvlastnín-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivací splňují rovnici (4.1) v každém bodě intervaluI, tj. pro každéxPIplatí

F

´

x, ypxq, y¹pxq, y²pxq, ..., y^pnqpxq

¯

“0.

Definice. Je-li funkcey řešením rovnice (4.1) na intervaluI a funkcey˜ řešením rovnice (4.1) na intervalu I, kde˜ I Ă I,˜ I ‰ I˜ a ypxq “ ypxq˜ pro všechna x P I , pak říkáme, že řešení y˜ je prodloužením řešeníy na intervalI.˜

Řešení rovnice (4.1), které nemá prodloužení, nazýváme maximálním řešením rovnice (4.1).

Obecným řešením rozumíme množinu všech maximálních řešení.

Příklad. Uvažujme diferenciální rovniciy¹pxq “ _x¹,xą0. Paky₁pxq “logx, xP p0,1q, je řešení této rovnice, ale není to maximální řešení. Funkcey₂pxq “logx,xP p0,8q, je prodloužením řešení y₁na intervalp0,8q, a je to maximální řešení. Obecné řešení této rovnice má tvarypxq “logx`C, xP p0,8q, kdeCPR.

4.1. Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

Rovnice se separovanými proměnnými

Definice (Rovnice se separovanými proměnnými). Diferenciální rovnice se separovanými proměn- nými je rovnice tvaru

y¹“gpyqhpxq. (4.2)

Věta 4.1 (o existenci řešení separované rovnice). Nechť a, b, c, d P R^˚, a ă b, c ă d, nechť h : pa, bq ÑRag:pc, dq ÑRjsou spojité funkce agje nenulová. Nechťpx0, y0q P pa, bq ˆ pc, dq. Potom existuje právě jedno maximální řešeníy rovnice (4.2)splňující podmínku ypx0q “y0.

(18)

(a) Určíme maximální otevřené intervaly obsažené v definičním oboru funkce h. (Tím máme vy- mezeny maximální intervaly, na kterých můžeme hledat řešení.)

(b) Najdeme všechny nulové body funkceg. Je-ligpcq “0, pak na každém intervalu z 1. kroku je funkceypxq “c tzv.singulárním (téžstacionárním) řešením rovnice (4.2).

(c) Určíme maximální otevřené intervaly, na kterých je funkceg nenulová.

(d) Vezmeme intervalIz 1. kroku a intervalJ ze 3. kroku. Tedyhje na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová. Budeme hledat řešení rovnice (4.2), jejichž definiční obor je obsažen v intervalu I a mají hodnoty v intervaluJ. Je-liy takové řešení, pak pro každéxPDpyqplatí

y¹pxq

gpypxqq“hpxq.

NechťH je primitivní funkce k funkcihna intervaluI aGje primitivní funkce k funkci1{g na J . Potom existuje konstantaCPRtaková, že platí

Gpypxqq “Hpxq `C

na definičním oboru řešeníy, který nalezneme v následujícím kroku.

(e) Nyní zafixujemeCa nalezneme maximální neprázdné otevřené intervaly obsažené v množině txPI; Hpxq `CPGpJqu.

Na každém z těchto intervalů řešení musí mít tvar

ypxq “G^´1pHpxq `Cq,

kdeG^´1 značí funkci inverzní k funkciG. Ta existuje, neboť Gje na intervaluJ buď rostoucí nebo klesající.

(f) Z řešení nalezených v 5. kroku a singulárních řešení z 2. kroku „slepíme“ všechna maximální řešení rovnice (4.2).

Příklad. y¹pxq “y²ñypxq “ ´_x`C¹ , xP p´8,´CqneboxP p´C,8q, nebo ypxq “0,xPR Lemma 4.2(Lemma o lepení řešení). Nechťg,hjsou spojité na svých definičních oborech. Nechť yl je řešením diferenciální rovnice (4.2) na intervalu px0´δ, x0q pro nějaké δ ą 0, nechť yr je řešením diferenciální rovnice (4.2) na intervalu px0, x0`ηq pro nějaké η ą 0 a nechť x0 P Dh. Nechť dále platí

lim

xÑx₀^´ylpxq “ lim

xÑx₀^`yrpxq “APDg. Pak funkce

ypxq:“

$

’&

’%

ylpxq xP px0´δ, x0q A x“x0

yrpxq xP px0, x0`ηq je řešením rovnice (4.2)na intervalupx0´δ, x0`ηq.

Příklad. y¹ “3x²a

1´y²ñypxq “1, xPR; ypxq “ ´1, xPRjsou singulární řešení. Dále pro každéCPRmáme řešení tvaru

ypxq “

$

’&

’%

´1, xP p´8,´a³ _π

2`Cs, sinpx³`Cq, xP p´a³ _π

2 `C,a³ _π

2´Cq,

1, xP ra³ _π

2 ´C,8q.

Příklad. Volný pád s odporem vzduchu je popsán rovnicív¹ptq “ αv²ptq ´g, vp0q “0, kde g je tíhové zrychlení aαą0 je vhodná konstanta. Řešení této rovnice má tvar

vptq “ cg

α¨1é²^?^αgt 1è²^?^αgt. Speciálnělim_tÑ8vptq “ á_g

α.

(19)

Homogenní rovnice

Homogenní diferenciální rovnicí 1. řádu nazýváme rovnici tvaruy¹“hp^ypxq_x q.

Metoda převodu homogenní rovnice na rovnici se separovanými proměnnými.

‚ Definujme prox‰0funkci zpxq “^ypxq_x . Pak prox‰0máme ypxq “xzpxq,

y¹pxq “xz¹pxq `zpxq.

Rovnice tak přechází naxz¹`z“fpx, xzq “fp1, zq, tj.

z¹ “ 1

xpfp1, zq ´zq, což je rovnice se separovanými proměnnými.

‚Vyřešíme rovnici se separovanými proměnnými na otevřených podintervalechp´8,0qap0,8q.

Pak položímeypxq “x¨zpxq.

Příklad. y¹ “ ^x

2`y²

xy ñ ypxq “ xa

logpK²x²q, x P p´8,´_K¹q nebo x P p_K¹,8q; nebo ypxq “

´xa

logpK²x²q, xP p´8,´_K¹qneboxP p_K¹,8q;KPR Lineární rovnice 1. řádu

Lineární diferenciální rovnicí prvního řádu rozumíme rovnici tvaru

y¹`ppxqy“qpxq. (4.3)

Budeme předpokládat, žep,q jsou spojité funkce na nějakém intervalu pa, bq. Je-li q“0, nazývá se rovnicehomogenní.

Příklad. Nechť p je spojitá funkce na pa, bq. Pak obecné řešení rovnice y¹`ppxqy “0 má tvar ypxq “Ke^´Ppxq,KPR, xP pa, bq, kdeP je primitivní funkce kp.

Metoda řešení rovnice (4.3) prop,qspojité napa, bq.

(a) Vyřešíme homogenní rovnici, vyjde

ypxq “Ke^´P^pxq, xP pa, bq, K PR, kdeP je primitivní funkce kpna intervalupa, bq.

(b) Hledáme jedno “partikulární” řešení rovnice (4.3) ve tvaru yppxq “cpxqe^´Ppxq.

Dosazením do rovnice dostaneme podmínkuc¹pxq “qpxqe^Ppxq, a tedy zacpxqzvolíme primitivní funkci k qpxqe^Ppxqnapa, bq.

(c) Obecné řešení rovnice (4.3) je tvořeno funkcemi

ypxq “y_ppxq `Ke^´Ppxq, xP pa, bq, K PR.

(d) Maximální řešení rovnice (4.3) splňující počáteční podmínku ypx0q “ y0 nalezneme vhodnou volbou konstantyKPR.

Přesněji, pokud je obecné řešení rovnice (4.3) tvaru ypxq “ yppxq `Ke^´Ppxq, pak pro volbu K“ py y px qqe^Ppx^q dostáváme, že toto řešení vyhovuje podmínceypx y .

(20)

Věta 4.3. Nechťa,bPR^˚,aăb. Nechťp,qjsou spojité funkce napa, bq. Nechťx0P pa, bq,y0PR. Pak existuje právě jedno maximální řešení rovnice (4.3), které splňuje podmínkuypx0q “y0. Toto řešení je navíc definováno na celémpa, bq.

Příklad.

y¹´xy“x (a) Obecné řešení:ypxq “ ´1`Ke^x²², KPR,xPR.

(b) Řešení splňující počáteční podmínkuyp0q “37:ypxq “ ´1`38e^x

2

2 ,xPR. Aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu

(a)Volný pád s odporem vzduchu(bylo dříve) (b)Spojité úročení

Vložíme částku s0 do banky s roční úrokovou sazbou r. Předpokládejme, že úročení probíhá neustále (jde o tzv. spojité úročení). Označme sptq stav našeho účtu v čase t (čas počítáme v letech). Pak funkcesptqsplňuje diferenciální rovnici

s¹ptq “rsptq, sp0q “s0.

Jde o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými a její řešení jesptq “s₀e^rt. (c)Mravenec lezoucí po prodlužujícím se gumovém laně

Mravenec leze po1metr dlouhém gumovém laně rychlostí1centimetr za sekundu. V okamžiku započetí mravencovy cesty se zároveň lano začne prodlužovat rychlostí1 metr za sekundu. Doleze mravenec na konec lana?

Řešení: Označmeyptqpolohu mravence v čase t (čas počítáme v sekundách, polohu mravence v metrech). Počáteční podmínka je yp0q “ 1, chceme najít t, aby yptq “ 0. Funkce yptq splňuje diferenciální rovnici

y¹ptq “ ´ 1

100 ` yptq

1`t, yp0q “1.

Jde o lineární diferenciální rovnici prvního řádu a jejím řešením je yptq “ ´ 1

100p1`tqlogp1`tq `1`t.

Tedyype¹⁰⁰´1q “0, tj. mravenec doleze na konec lana zae¹⁰⁰´1 sekund (cca8,52¨10³⁵ let :)).

4.2. Obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu

Lineární rovnice 2. řádu

Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu rozumíme rovnici tvaru

y²`ppxqy¹`qpxqy“rpxq, (4.4)

kdep,q,r jsou funkce spojité na intervalupa, bq.

Homogenní rovnicí příslušnou k rovnici (4.4) rozumíme rovnici

y²`ppxqy¹`qpxqy“0. (4.5)

Věta 4.4 (Existence řešení lineární diferenciální rovnice 2. řádu). Nechť a,b PR^˚, aăb. Nechť p, q, r jsou spojité funkce na intervalu pa, bq, a nechť x0 P pa, bq a z0, z1 PR. Pak existuje právě jedno maximální řešeníy rovnice (4.4), které splňuje podmínkyypx0q “z0,y¹px0q “z1. Navíc, toto řešení je definováno na celém intervalupa, bq.

Značení. Označme

C²ppa, bqq “ tf :pa, bq ÑR; f má spojitou druhou derivaci napa, bqu.

(21)

Věta 4.5(Struktura řešení lineární diferenciální rovnice 2. řádu).

(a) Obecné řešení rovnice (4.5)tvoří vektorový podprostor prostoru C²ppa, bqqdimenze2.

(b) Nechťyp je partikulární řešení rovnice (4.4). Pak obecné řešení rovnice (4.4)je tyh`yp; yh je řešení rovnice (4.5)na intervalupa, bqu.

Definice. Báze prostoru maximálních řešení rovnice (4.5) se nazýváfundamentální systém řešení rovnice (4.5).

Postup při řešení rovnice (4.4):

(a) Najdeme fundamentální systémy₁, y₂pro rovnici (4.5). To obecně není jednoduché a naučíme se to jen ve speciálních případech.

(b) Najdeme jedno ( „partikulární“ ) řešeníy_p rovnice (4.4). Známe-li fundamentální systém, pak pro nalezení partikulárního řešení existuje metoda, kterou se zanedlouho naučíme.

(c) Obecné řešení rovnice (4.4) je

ypxq “yppxq `c1y1pxq `c2y2pxq, c1, c2PR, xP pa, bq.

Příklad.

y²`y“x

(a) Funkcey1pxq “cosx,y2pxq “sinxtvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice naR. (b) Partikulární řešení jeyppxq “x,xPR.

(c) Obecné řešení má tvar

ypxq “x`c₁cosx`c₂sinx, c₁, c₂PR, xPR.

Věta 4.6 (Kritérium pro lineární nezávislost řešení homogenní rovnice). Nechť y₁, y₂ jsou dvě řešení rovnice (4.5)napa, bq. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní:

(a) Funkcey1,y2 jsou lineárně nezávislé.

(b) Tzv. Wronského determinant

ˇ ˇ ˇ ˇ

y1pxq y2pxq y¹₁pxq y₂¹pxq ˇ ˇ ˇ ˇ

je nenulový alespoň v jednom bodě intervalupa, bq(pak je nenulový v každém boděpa, bq).

Příklad.

y²` 1

2xy¹´ 3 2x²y“0

(a) Dokažte, že funkcey1pxq “ ¹_x,y2pxq “x³² tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice na intervalup0,8q.

(b) Najděte řešení splňující počáteční podmínkuyp1q “3,y¹p1q “2:ypxq “_x¹`2x³²,xP p0,8q.

Věta 4.7(variace konstant). Nechť funkcey1, y2 tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.5).

Nechťc₁, c₂ jsou funkce splňující soustavu rovnic

c¹₁y₁`c¹₂y₂ “0 c¹₁y₁¹ `c¹₂y¹₂ “r

na intervalupa, bq. Pak funkcey_ppxq “c₁pxqy₁pxq `c₂pxqy₂pxqje řešením rovnice(4.4)na intervalu pa, bq.