MA2 Funkce, definované implicitně - příklady 1. i) Vysvětlete, co znamená, že rovnicí

(1)

MA2 Funkce, definované implicitně - příklady

1. i) Vysvětlete, co znamená, že rovnicí

F ( x , y)=0

je v okolí bodu

(

^x0, y₀

)

definována

implicitně funkce

y= f ( x  )

. Formulujte větu o implicitní funkci pro tento případ.

ii) Je dána rovnice

y

³

−2 y

²

x−xy−8=0

_(*)

a) Ukažte, že rovnicí (*) je definována implicitně v okolí bodu

(0 , 2  )

_funkce

y= y ( x  )

. b) Napište rovnici tečny ke křivce, dané rovnicí (*), v bodě

(0, 2  )

. c) Aproximujte funkci

y (x  )

v okolí bodu x₀=0 Taylorovým polynomem 2.stupně.

2. i) Vysvětlete, co znamená, že rovnicí

F ( x , y , z )=0

je v okolí bodu

(

^x0, y₀,z₀

)

definována

implicitně funkce

z=z ( x  , y )

. Formulujte větu o implicitní funkci pro tento případ.

ii) a) Dokažte, že rovnicí

z

⁴

− x

³

 yz

²

− x z + y

³

=0

je definována v okolí bodu

( 1, 1, 1)

implicitní funkce

z=z ( x  ,  y )

. b) Pomocí lineární aproximace vypočítejte přibližně hodnotu z(1,01; 0,96).

c) Vypočítejte smíšenou parciální derivaci druhého řádu funkce

z=z ( x  , y )

_{v bodě}

(1 , 1)

.

3. a) Dokažte, že rovnicí

e

^z⁻²^x

− xz +2 yz−2 y− xy

²

=0

_.

je definována implicitně funkce

z= z (x , y )

, pro kterou je

z (1 , 1)=2

. b) Určete

∂ z

∂ x ( 1 , 1 )

a

∂ z

∂ y ( 1 , 1 )

. c) Pomocí lineární aproximace určete přibližně hodnoty

z( x , y)

v okolí bodu

(1, 1)

.

d) Určete

∂

²

z

∂ x∂ y ( 1 , 1 )

.