Funkce více proměnných a Metrické prostory

Funkce více proměnných a Metrické prostory

2.1 Vektorový prostor nad tělesem R

Buďd∈N, d≥2. ProstoremR^d rozumíme všechny možnéd–tice reálných čísel, tzn.

R^d ≡ {(x₁, x₂, . . . , x_d); x_i ∈R, i= 1,2, . . . , d}.

(2.1)

PrvkyR^dse značí různě: tučněx, se šipkou~x, nebo se píšex= (x1, x2, . . . , x_d)∈R^d. Z lineární algebry víme, že R^d je vektorový prostor nad tělesem R, kde sčítání libovolných ~x, ~y∈R^d je definováno vztahem

~

x+~y := (x₁+y₁, x₂+y₂, . . . , x_d+y_d) (2.2)

a násobení ~x prvkemλ∈R

λ~x:= (λx1, λx2, . . . , λx_d).

(2.3)

Pak (R^d,+) je Abelova grupa s nulovým prvkem~0 = (0,0, . . . ,0). V analýze ztotož- ňujeme prvky z R^d s vektory z R^d.

Na R^d nemáme součin(tak jako v R či C), který by z R^d vytvořil algebraické těleso. Zobecněním součinu v R dostáváme skalární součin, který nepřiřadí dvěma prvkům z R^d prvek zR^d, ale číslo.

Buď~x, ~y∈R^d, pak skalárním součinem~x a~y rozumíme

~x·~y= (~x, ~y) =

d

X

i=1

x_iy_i:R^d×R^d →R (2.4)

Věta 2.1 (Vlastnosti skalárního součinu (~x, ~y)) Platí:

∀~x1, ~x2, ~y ∈R^d a∀α, β ∈R (α~x1+β~x2, ~y) =α(~x1, ~y) +β(~x2, ~y), (S1)

∀~x1, ~x2 ∈R^d (~x1, ~x2) = (~x2, ~x1), (S2)

∀~x∈R^d (~x, ~x)≥0 a navíc (~x, ~x) = 0⇔~x=~0.

(S3)

1

Důkaz. Plyne z definice skalárního součinu a vlastnostíR.

Vlastnost (S1), které se někdy říká linearita skalárního součinu, spolu s vlastností (S2), které se říká symetrie, společně ukazují, že (., .) je bilineární forma. Třetí vlastnost (S3) nejen říká, že kvadratická forma (~x, ~x) je nezáporná, ale též umožňuje definovat zobrazení | · |_E :R^d →R⁺₀ (tzv. Eukleidovská norma v R^d) předpisem

|~x|_E :=p

(~x, ~x) = v u u t

d

X

i=1

x²_i

! . (2.4)

Věta 2.2 (Vlastnosti normy |~x|_E)Platí:

∀~x∈R^d |~x|_E ≥0 a |~x|_E = 0⇔~x=~0 Nezápornost, (2.1)

∀~x∈R^d,∀λ∈R |λ~x|_E =|λ||~x|_E 1-homogenita, (2.2)

∀~x, ~y∈R^d |~x+~y|_E ≤ |~x|_E+|~y|_E ∆-nerovnost, (2.3)

(2.4)

A navíc platí Schwartzova nerovnost:

∀~x, ~y∈R^d |(~x, ~y)|_E ≤ |~x|_E|~y|_E (2.5)

Důkaz. Vlastnosti (N1) a (N2) plynou z definice (~x, ~y) a (S3). Nyní ověřme (N4).

Je-li ~y=~0, pak snadno

(~x, ~0) = (~x, ~0 +~0) = (~x, ~0) + (~x, ~0) ⇒ (~x, ~0) =~0.

Je-li ~y6= 0, pak |~y| 6=~0 a platí

0≤(~x+t~y, ~x+t~y) =|~x|²_E + 2t(~x, ~y) +t²|~y|²_E =

(~x, ~y)

|~y|_E| +t|~y|_E 2

+|~x|²_E−(~x, ~y)²

|~y|²_E . Volíme-li t tak, že ^(~_|~^x,~_y|^y)

E +t|~y|_E = 0, pak dokazované tvrzení dostaneme po úpravě a odmocnění. Jsou-li ~x a ~y lineárně nezávislé, pak pro všechna t∈R je ~x+t~y6= 0 a (N1) zaručuje, že první nerovnost ve výše uvedeném výčtu je ostrá. Jsou-li ~x a ~y lineárně závislé, tak~x=s~y pro jistés∈R^d\ {0} a platí vždy rovnost

|(~x, ~y)|= (s~y, ~y) =|sk~y|²_E =|~x|_E|~y|_E.

Zbývá dokázat trojúhelníkovou nerovnost. Využijeme-li (S1) a (N4), máme

|~x+~y|²_E = (~x, ~x) + 2(~x, ~y) + (~y, ~y)≤ |~x|²_E+ 2|~x|_E|~y|_E +|~y|²_E = (|~x|_E+|~y|_E)²,

což dává nerovnost (N3).

Pozorování 1. Ukažte, že skalární součin je invariantní vzhledem k otočení(které je reprezentováno maticí Q, pro kterou platí QQ^T =I).

x⁰ = (x₁, . . . , x_d−1) xd

(1,0, . . . ,0)

~ y

~ x Φ

Obrázek 2.1: Geometrická interpretace skalárního součinu v R^d

Řešení. Vektory ~x, ~y se zobrazí do vektorů ~x^∗, ~y^∗ a využitím ortogonality matice Q dostaneme

(~x^∗, ~y^∗) = (Q~x, Q~y) =Pd

i=1QisxsQ_iky_k =

=Pd

i=1QsiQikykxs =δskykxs=ykxk= (~y, ~x) = (~x, ~y).

Pozorování 2. Buď ~x, ~y ∈ R^d,|~x|_E = |~y|_E = 1. Pak vhodným pootočením lze ztotožnit ~x s vektorem (1,0,0, . . . ,0)

| {z }

d

a vektor ~y umístit do roviny dané vektory (1,0,0, . . . ,0) a (0,0, . . . ,1), viz obrázek. Pak (~x, ~y) = y₁ = cosφ, kde φ je úhel svíraný vektory ~x a ~y. Pro libovolné dva vektory ~u, ~v pak máme _|~u|^~u

E · _|~v|^~v

E = cosφ neboli (~u, ~v) =|~u|_E|~v|_Ecosφ.

Pomocí normy lze definovat vzdálenost (neboli metriku)~x, ~y∈Rpředpisem dist_E(~x, ~y) :=|~x−~y|_E.

Věta 2.3 (Vlastnosti vzdálenosti dist_E(~x, ~y)) Platí:

∀~x, ~y ∈R^d distE(~x, ~y)≥0a distE(~x, ~y) = 0⇔~x=~y, (M1)

∀~x, ~y ∈R^d dist_E(~x, ~y) = dist_E(~y, ~x), (M2)

∀~x, ~y, ~z ∈R^d dist_E(~x, ~y)≤dist_E(~x, ~z) + dist_E(~z, ~y), (M3)

Důkaz. Plyne z analogických tvrzení pro normu ve větě 2.1.

Zobecněné struktury

Řekněme, že vektorový prostorHje pre-Hilbertův prostor neboli prostor se skalárním součinem, pokud je naH definováno zobrazení

(·,·)_H :H×H→R splňující (S1) – (S3).

P ř í k l a d . Uvažujme prostor `2 := {{x_i}^∞_i=1, xi ∈R;P∞

i=1|x_i|² <∞}. Tento vek- torový prostor je Hilbertův neboť (x, y)_`2 ≡P∞

i=1xiyije skalární součin v`2. Ověřte!

Normovaný prostor. Existuje-li na vektorovém prostoruX zobrazení k · k_X :X →R⁺₀,

splňující (N1) až (N3), pak (X,k · k_X) nazveme normovaný prostor a k · k_H je se nazývá norma prostoru X.

V pre-Hilbertově prostoru lze vždy zavést zobrazení k·k_H :H →R⁺₀ předpisem k~xk_H :=p

(~x, ~x)_H.

Pak k·k_H splňuje vždy (N1) a (N2). Pokud se podaří ukázat platnost (N3), což obecně nelze, potom je k·k_H norma na prostoruH. Říkáme, žek·k_H je norma indu- kovaná skalárním součinem.

P ř í k l a d . Uvaž proI =ha, bi prostor

C(I)≡ {f :I →R^d, f spojité v ha, bi},

který je zřejmě vektorový prostor. Navíc dim C(I) = ∞, neboť x^k ∈ C(I) pro k= 0,1, . . . a P∞

i=0aixⁱ = 0 pro ∀x∈I implikuje ai = 0 a tak 1, x, . . . , xⁿ, . . . jsou lineárně nezávislé v C(I), tvoří tedy v C(I) bázi.

Definujme

kfk_(C(I),max)=kfk_∞≡maxx∈I|f(x)|.

Ukažte, že pakkfk∞ je norma a prostor (C(I),k · k∞) je tedy normovaný. Podobně nechť

kfk_(C(I),int)=kfk_int≡ Z b

a

|f(x)|dx.

Pak opět kfk_int je norma. Ověřte!

Buď M nějaká množina objektů taková, že lze na M zavést zobrazení % :M × M →R⁺₀ splňující (M1) až (M3). Pak (M, %) nazveme metrický prostor.

P ř í k l a d . Ukažte, že prostor C(I) je metrický s metrikami

%∞(f, g) = kf −gk_∞,

%int(f, g) = Z b

a

|f(x)−g(x)|dx.

Je-li (X,k · k_X) normovaný prostor, pak je i metrický s metrikou%(x, y) =kx−yk_X. Říkáme, že metrika % je indukována normou k · k_X

0 1

Obrázek 2.2: K ekvivalenci norem

NechťXje normovaný prostor s normamik · k₁ak · k₂. Řekneme, že normyk · k₁ a k · k₂ jsou ekvivalentní, pokud existujíC1, C2 >0 tak, že

∀x∈X C₁kxk₁ ≤ kxk₂ ≤C₂kxk₁. (2.4)

P ř í k l a d . Normy kfk_∞ akfk_int nejsou vC(I) ekvivalentní, neboť lze vždy udělat k · k_∞ jakkoliv velkou, přičemž ale k · k^R →0.

Definujme vR^d následující zobrazení pro p∈ h1,∞i:

|~x|_p≡

∞

X

i=1

|x_i|^p

!¹

p

p∈ h1,∞),

|~x|_∞≡maxi=1,2,...,d|x_i| p=∞.

Pak | · |_p jsou normy v R^d. Ověřte homogenitu a nezápornost, trojúhelníková nerovnost plyne z Minkovského nerovnosti, kterou za chvíli dokážeme.

Všimněme si nejdříve, jak vypadají jednotkové koule v těchto normách, viz obr. 2.3.

&%

'$

@

@

@

@

|x|₁= 1

HH|x|₂ = 1 HH

|x|∞= 1

Obrázek 2.3: Jednotkové koule B₁^p(0) pro p= 1,2,∞ vR².

Všimněte si také, že| · |₂=| · |_E (jen tato norma je generována skalárním součinem).

Normě| · |_∞se někdy říká supremová (maximová), zatímco| · |₁ se nazývá součtová.

Na závěr si ukážeme tři nerovnosti, které vedou k trojúhelníkové nerovnosti pro| · |_p. Tvrzení (Youngova nerovnost).

Buď p, q∈ h1,∞) takové, že¹_p +¹_q = 1. Pak pro∀a, b >0 platí ab≤ a^p

p +b^q q .

Důkaz. Z elementárnmích vlastností funkce ln plyne ln(ab) = lna+ lnb= 1

plna^p+ 1

qlnb^q≤ln a^p

p +b^q q

,

kde poslední nerovnost je důsledkem konkávnosti logaritmu.

Tvrzení (Hölderova nerovnost).

Buď p, q∈ h1,∞itakové, že ¹_p+ ¹_q = 1. Pak pro ~x, ~y ∈R^d platí

|(~x, ~y)|=|~x·~y| ≤ |~x|_p|~y|_q, což je zobecnění Schwarzovy nerovnosti 2.6.

Důkaz. Tvrzení je snadné pokud~x=~0 nebo~y=~0. Jsou-li~x, ~y různé od~0, pak

|(~x, ~y)|

|~x|_p|~y|_q ≤

d

X

i=1

|x_i|

|~x|_p

|y_i|

|~y|_q ≤ 1 p

d

X

i=1

|x_i|^p

|~x|^p_p +1 q

d

X

i=1

|y_i|^q

|~y|^q_q = 1 p +1

q = 1,

kde v druhé nerovnosti jsme užili Youngovu nerovnost.

Tvrzení (Minkowského nerovnost aneb 4-nerovnost | · |-normy).

Buď p∈ h1,∞) nebop= +∞. Pak pro ∀~x, ~y∈R^d

|~x+~y|_p≤ |~x|_p+|~y|_p. (2.5)

Důkaz. Pro p = 1 ap =∞ je elementární, prop = 2 již byla nerovnost dokázána, předvedeme odlišný důkaz. Užijeme Hölderovu nerovnost na

|x_i+yi|^p =|x_i+yikx_i+yi|^p−1 ≤ |x_i| |x_i+yi|^p−1+|y_i| |x_i+yi|^p−1 Tedy

|~x+~y|^p_p =

d

X

i=1

|x_i+yi|^p=

d

X

i=1

|x_i+yikx_i+yi|^p−1

≤

d

X

i=1

|x_i| |x_i+y_i|^p−1+

d

X

i=1

|y_i| |x_i+y_i|^p−1

≤

d

X

i=1

|x_i|^p

!_p¹ _d X

i=1

|x_i+yi|^p

!

p−1 p

+

d

X

i=1

|y_i|^p

!¹_{p d} X

i=1

|x_i+yi|^p

!

p−1 p

= |~x|_p|~x+~y|^p−1_p +|~y|_p|~x+~y|^p−1_p

= |~x+~y|^p−1_p (|~x|_p+|~y|_p).

což dává 2.7. Hölderovu nerovnost jsme užili v poslední nerovnosti.

2.2 Topologie R

Definice.

Buď ε >0, ~x0 ∈R^d. Pakε-okolím bodu~x0 nazveme množinu Uε(~x0)≡ {~x∈R^d;|~x−~x0|_∞< ε}.

Všimněte si, žeUε(~x0) je krychle o straně 2ε. Také~x0∈Uε(~x0) a pro každé 0< ε1 < ε platíU_ε1(~x₀)⊂U_ε(~x₀).

BuďM ⊂R^d. Bod~x₀∈R^dnazveme vnitřní bodM, pokud∃ε >0, U_ε(~x₀)⊂M. Řekneme, že M ⊂R^d je otevřená, pokud každý bod zM je vnitřní.

P ř í k l a d . Buď~a,~b∈R^d,a_k< b_k,k= 1,2, . . . , d. Pak

Q={~x∈R^d; a_k< x_k< b_k, k = 1,2, . . . , d}

je otevřená v R^d, neboť pro libovolné~x₀∈Qpoložíme ε= min

k=1,2,...,d{|x_0k−ak|,|b_k−x0k|}

a pakU_ε(~x₀)⊂Q.

Okolím bodu~x₀ ∈R^d rozumíme libovolnou otevřenou množinu obsahující ~x₀.

Věta 2.4

Systém všech otevřených množin v R^d má následující vlastnosti:

(T1) ∅,R^d jsou otevřené množiny,

(T2) sjednocenílibovolnéhopočtu otevřených množin je otevřená množina, (T3) průnik konečného počtuotevřených množin je otevřená množina.

Důkaz.

(T1) Triviální.

(T2) Buď G_α otevřené množiny a ~x₀ ∈ S

αG_α. Pak existuje α₀ ∈ {1,2, . . .} tak, že ~x0 ∈ Gα0. Protože Gα0 je otevřená, existuje Uε(~x0) ⊂ Gα0. Pak ale také Uε(~x0)⊂S

αGα, což jsme chtěli ukázat.

(T3) Buď ~x0 ∈ Tm

i=1Gi, Gi otevřené. Pak ~x0 ∈ Gi pro ∀i = 1,2, . . . , m a existují εi>0 tak, že Uεi(~x0)⊂Gi. Definujme

ε= min

i=1,2,...,mεi.

PakUε(~x0)⊂Tm

i=1Gi.

Pozorování. T∞

i=1Gi nemusí být otevřená. Volme Gi = {~x ∈ R^d;|~x|∞ < ¹_i}, pak T∞

i=1Gi={0}.

Zobecněná struktura

Buď X libovolná množina a na ní uvažujme systémτ podmnožinX takových, že

• ∅, X ∈τ,

• Jsou-liG_α ∈τ, pakS

αG_α∈τ,

• Jsou-liGi ∈τ, i= 1,2, . . . , m, pakTm

i=1Gi∈τ. Pakτ se nazývá topologie a (X, τ) je topologický prostor.

P ř í k l a d .

• τ ={∅, X} je triviální topologie.

• τ =P(X), kdeP(X) je potenční množina, neboli systém všech podmnožinX.

• vR^dřekneme, že topologieτ obsahuje∅,R^daU_ε(~x), ∀ε >0, ∀~x∈R^d. Do této topologie patří samozřejmě všechny množiny vzniklé sjednocením libovolného počtu otevřených množin a konečným průnikem otevřených množin.

Řekněme, že množina M ⊆ R^d je uzavřená, pokud R^d \M je otevřená. (Tj.

doplněk M v R^d, který se někdy značíM^C, je otevřený.) Protože platí

R^d\

m

\

i=1

Gi=

m

[

i=1

R^d \Gi

a R^d\

m

[

i=1

Gi=

m

\

i=1

R^d\Gi

(2.6)

můžeme zformulovat následující větu, která bezprostředně plyne z Věty 2.4.

Věta 2.4 Vlastnosti systému všech uzavřených podmnožin v R^d Systém všech uzavřených podmnožin v R^d má následující vlastnosti:

(1) ∅,R^d jsou uzavřené množiny,

(2) Jsou-li Gi, i = 1, . . . , n uzavřené, pak sjednocení Sm

i=1Gi je také uzavřená množina,

(3) Buď G_α uzavření proα ∈A, kde A je množina indexů, pak průnik T

α∈AG_α je uzavřená množina.

Buď M ⊂R^d. Bod ~x ∈R^d nazveme hraničním bodemM (bodem hraniceM), jestliže každé okolí bodu ~x má neprázdný průnik jak s M tak s R^d \M. Množinu všech hraničních bodů značíme ∂M (tzv. hranice M). Uzávěrem množinyM, zna- čeným M, rozumíme sjednocení M se všemi hraničními body, tj.M ≡M∪∂M. Tvrzení BuďM ⊂R^d libovolná, pak M

=M.

Důkaz. Protože dle definice M

= M ∪∂M = M ∪∂M ∪∂M a M = M ∪∂M, stačí ukázat, že ∂M ⊂∂M. Je-li ~x∈∂M, pak

∀U(~x) U(~x)∩M 6=∅ ∧ U(~x)∩(R^d\M)6=∅.

(2.1)

Chceme ukázat, že~x∈∂M, tj.

∀U(~x) U(~x)∩M 6=∅ ∧ U(~x)∩(R^d\M)6=∅.

(2.2)

Zřejmě z U(~x)∩(R^d\M)6=∅ plyne U(~x)∩(R^d\M)6=∅. Z U(~x)∩M 6=∅ plyne existence~y∈U(~x) tak, že buď~y∈M nebo~y∈∂M. Pokud~y ∈M pak jsme hotovi, neboť U(~x)∩M 6=∅. Je-li ~y ∈∂M a také v U(~x), pak určitě existuje U(~y)⊂U(~x) tak, žeU(~y)∩M 6=∅. Pak ale iU(~x)∩M 6=∅.

Věta 2.5

Buď M ⊆R^d. PakM je nejmenší uzavřená množina v R^d obsahující M.

Důkaz.

• Ukážeme nejdříve, žeR^d\M je otevřená. Kdyby ne, tak existuje~x∈R^d\M tak, že jakékoliv okolíU(~x)∩M 6=∅. Pak ~x∈∂M ⊂(M) =M a máme spor, neboť ~x∈R^d\M i~x∈M.

• Buď N uzavřená obsahující M. Chceme ukázat, že M ⊂N, neboli ∂M ⊂ N (neboť skutečnost, že M je částíN již víme).

Kdyby existoval ~x∈∂M a~x6∈N, pak

∀U(~x) U(~x)∩M 6=∅ ∧ U(~x)∩(R^d\M)6=∅, ale pak také (neboť M ⊂N a~x /∈N)

∀U(~x) U(~x)∩N 6=∅ ∧ U(~x)∩(R^d\N)6=∅,

což je spor, neboťN je uzavřená, tedyR^d\N je otevřená a existuje tedy okolí U^∗(~x), které je částí R^d\N(aU^∗(~x)∩N 6=∅).

BuďM ⊂R^d. Množina všech vnitřních bodů se nazývá vnitřek Ma značí seM⁰.

Věta 2.6

Buď M ⊂R^d. Pak (M⁰)⁰=M⁰ aM⁰ je největší otevřená podmnožina M.

Důkaz.

• M⁰ je otevřená dle definice vnitřku a otevřené množiny.

• KdybyW byla jiná otevřená podmnožinaM, tak každý bod z W je vnitřní a patří tedy do M⁰,W ⊂M⁰.

• (M⁰)⁰je největší otevřená podmnožinaM⁰, aleM⁰je otevřená, tak musí platit (M⁰)⁰=M⁰.

P ř í k l a d . Buď Qracionální čísla. Pak Q=R aQ⁰ =∅.

Věta 2.7 (Hausdorfův oddělovací „axiom“)

Buď~x₁, ~x₂∈R^d, ~x₁ 6=~x₂. Pak existují U(~x₁), U(~x₂) tak, žeU(~x₁)∩U(~x₂) =∅.

Důkaz. Položmeε= ¹₄|~x₂−~x₁|_∞ >0 aU(~x_i) =U_ε(~x_i), i= 1,2. Kdyby existovalo

~

x∈Uε(~x1)∩Uε(~x2), pak lehce odvodíme spor

4ε=|~x₂−~x₁|∞=|~x₂−~x+~x−~x₁|∞≤ |~x₂−~x|∞+|~x−~x₁|∞<2ε.

Důsledek (Věty 9.7).

Pro∀~x₀ ∈R^d je{~x₀} uzavřená.

Důkaz.Buď~x∈R^d\ {~x0}libovolné, pak dle Věty 9.7 existují U(~x0) a U(~x) tak, že U(~x0)∩U(~x) =∅, tzn. U(~x) ⊂R^d \ {~x0} a ~x je tedy vnitřní bod R^d\ {~x0}. Tedy

R^d\ {~x₀}je otevřená a {~x₀} je uzavřená.

Buď M ⊂ R^d. Bod ~x0 ∈ R^d je hromadným bodemM, pokud ∀U(~x0) existuje nekonečně bodů z M patřících do U(~x0).

Věta 2.8 (Charakterizace uzavřených množin)

M ⊂R^d je uzavřená právě kdyžM obsahuje všechny své hromadné body.

Důkaz.

• ⇒NechťM je uzavřená a existuje hromadný bod~x, který nepatří doM. Pak ihned máme spor, neboť~x∈R^d\M, což je otevřená množina. Existuje tedy okolí bodu~x, které celé leží vR^d\M, což je spor s definicí hromadného bodu.

• ⇐ Chceme ukázat, že R^d \M je otevřená (neboli každý bod z R^d \M je vnitřní). Buď ~x ∈ R^d\M libovolný. Protože M obsahuje všechny hromadné body, existuje otevřenéU(~x) tak, žeU(~x)∩Mje nejvýše konečné. Dle důsledku Věty 9.7 tedyU(~x)∩M uzavřená. Neboli

R^d\(U(~x)∩M) = (R^d\U(~x))∪(R^d\M)

je otevřená. Protože U(~x) je otevřené okolí, tak U(~x)∩h

(R^d\U(~x))∪(R^d\M) i

=U(~x)∩(R^d\M)

je otevřená a navíc částíR^d\M . Našli jsme tedy otevřené okolí~x ležící celé

vR^d\M. Tedy R^d \M je otevřená.

2.3 Konvergence posloupnosti, úplnost a kompaktnost

P o z n á m k a . Přestaneme používat šipek, budeme však důsledně psát odkud jed- notlivé prvky jsou.

Konvergence posloupnosti lze definovat topologicky, metricky či v normě.

Buď (X, τ) topologický prostor. Řekneme, že{x_n}^∞_n=1⊂X konverguje kx∈X, pí- šemex_n→xv X, právě když

∀U(x) ∃n₀ ∈N∀n≥n₀: x_n∈U(x).

Buď (M, %) metrický prostor. Pakxn→xv (M, %) právě když

∀ε >0∃n₀ ∈N∀n≥n0 : %(xn, x)< ε.

Buď (N,k · k_N) normovaný prostor. Pakxn→x v (N,k · k_N) právě když

∀ε >0∃n₀ ∈N ∀n≥n0 : kx_n−xk_N < ε.

Tvrzení Je-li (M, %) metrický ax_n→xvM, pak{x_n}splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku

∀ε >0∃n₀ ∈N ∀n, m≥n0 : %(xn, xm)< ε.

(2.3)

Důkaz. Úplně stejně jako v zimním semestru. Tedy buďε >0 dáno. Z konvergence xn→x v (M, %) plyne existence n0∈N tak, že ∀n≥n0 %(xn, x)< ε/2. Avšak pro n, m≥n0 %(xn, xm)≤%(xn, x) +%(xm, x)≤ε/2 +ε/2 =ε Řekneme, že{x_n}^∞_n=1 je cauchyovská, pokud (C) platí. Obecně neplatí, že (2.3) implikuje konvergenci xn k nějakému x v (M, %), jak ukazuje následující příklad.

P ř í k l a d . UvažujmeQs metrikou%(x, y) =|y−x|. Pak (Q, %) je metrický prostor.

Definujme{x_n}^∞_n=1 ⊂Qpředpisemxn= 1 + _n¹n

. Pak{x_n}^∞_n=1 je cauchyovská vQ neboť xn→e vRa {x_n}^∞_n=1 ⊂Q. Alexn nekonverguje vQ, neboť e6∈Q.

Řekmene, že metrický prostor (M, %) je úplný, pokud každá cauchyovská posloup- nost má v M limitu. Normovaný vektorový prostor M, který je úplný, se nazývá Banachův prostor.

P ř í k l a d 1. Prostor (R, %(x, y) = |y−x|) je úplný, neb B.-C. podmínka (2.3) je ekvivalentní s konvergencí posloupnosti(plyne z axiomu úplnosti).

P ř í k l a d 2. Prostor (R^α,|y−x|_∞) je úplný, neboť je-li{xⁿ}^∞_n=1 cauchyovská, pak

∀ε > 0,|xⁿ−x^m|_∞ = maxi=1,2,...,d|xⁿ−x^m| < ε pro n ≥ n₀, m ≥ m₀. Pro tyto n, m je |xⁿ_i −x^m_i | < ε, {xⁱ_n}^∞_n=1 je tedy cauchyovská v R a má limitu x⁰_i. Pak x⁰= (x⁰₁, x⁰₂, . . . , x⁰_d) je hledaný prvek, ke kterému xⁿ konverguje. Ověřte!

P ř í k l a d 3. Prostor spojitých funkcí na intervalu ha, bi s maximovou metrikou (resp. normou)

%_max(f, g) = max_x∈ha,bi|f(x)−g(x)| kfkmax = maxx∈ha,bi|f(x)|

je úplný. Základem důkazu je zjištění, že metrika %(f, g) je metrikou stejnoměrné konvergence. Zbytek je již snadný. Vskutku, máme-li{f_n}^∞_n=1⊂C(ha, bi) cauchyov- skou vC(ha, bi), pak pro každé x∈ ha, bi je{f_n(x)}^∞_n=1 cauchyovská v Ra má tedy limitu, kterou označímef(x). Ale f_n⇒f vha, bi af je tedy spojitá.

P ř í k l a d 4. Prostor

(C(ha, bi), %_int(f, g) = Z b

a

|f(x)−g(x)|dx) není úplný. Uvažujme posloupnost funkcí (viz. obr.2)

f_n(x) = x²ⁿ

1 +x²ⁿ, x∈ h0,2i.

Posloupnost f_n je cauchyovská v uvažované integrální normě Z 2

0

|f_n(x)−fm(x)|dx= Z 2

0

1

1 +x^2m − 1 1 +x²ⁿ

dx≤ Z 2

0

x²ⁿ−x^2m

dx≤ε, pron, m dostatečne velké. Zároveň však posloupnost fn konverguje bodově k

f(x) =







0 x≤1,

1

2 x= 1, 1 x≥1,

která není spojitá a tudíž nepatří do uvažovaného prostoru.

P ř í k l a d 5. Prostor spojitě diferencovatelných funkcí na intervaluha, bis metrikou

%(f, g) = max_x∈ha,bi|f(x)−g(x)|

není úplný. Uvažujme posloupnost funkcí f_n∈C¹(h−1,1i), daných předpisem fn(x) = ⁿ

p2

n²xⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾.

0 1 2 0

1

f 1 f10

f 100

Obrázek 2: K příkladu 4.

−1 0 1 0

1

f f ₂

5

f

Obrázek 3: K příkladu 5.

Ověřte si, že fn(x) _⇒|x|, ale|x| 6∈C¹(h−1,1i), viz obr.3.

S metrikou

%(f, g) = max_x∈ha,bi{|f(x)−g(x)|+|f⁰(x)−g⁰(x)|}

však C¹(h−1,1i) je úplný prostor.

Systém množin {U_i}_i∈J, kde J je množina indexů, se nazývá pokrytí M, právě když pro každé x ∈M existujei ∈J tak, že x ∈U_i. Jsou-li U_i otevřené, mluvíme o otevřeném pokrytí.

Definice. Topologická definice kompaktnosti

Množina K ⊂R^d je kompaktní, pokud z každého otevřeného pokrytí K lze vybrat

pokrytí konečné.

Hermann Weil (1885 - 1955): „If a city is compact, it can be guarded by a limited number of arbitrarily near-sighted policemen.“¹

Věta 2.9

BuďA⊂M, kde je (M, %) je metrický prostor. Pak následující výroky jsou ekviva- lentní:

(1) Z každého otevřeného pokrytí lze vybrat pokrytí konečné.

(2) Každá posloupnost bodů zA obsahuje podposlounost konvergentní v A.

(3) (A, %) je úplný aA je totálně omezená (tj.∀ε >0 existuje konečné pokrytí A ε-koulemi).

Důkaz.

• (1) ⇒ (2). Předpokládejme existenci {x_n}^∞_n=1 ⊂A, která neobsahuje konver- gentní podposloupnost. Pak∀y∈A,∃r(y) tak, žeN_y ≡ {k;x_k∈B_r(y)(y)TA}

je konečná. Potom ∪y∈AB_r(y)(y) je otevřené pokrytí A a dle (1) existuje ko- nečně množin B_r(yi)(yi) tak, žeA ⊂ ∪^m_i=1B_r(yi)(yi). Pak ale {x_n} je konečná, což je spor.

• (2)⇒(3). Dle (2) má každá cauchyovská posloupnost limitu vA, tedy (A, %) je úplný. Kdyby existovaloε >0 tak, žeAby nebylo možné pokrýt konečným počtemε-koulí, pak

∀k∈N, ∃x_k∈A\

k

[

i=1

B_ε(x_i).

Nalezli jsme tedy {x_k}^∞_k=1, která nemá konvergentní podposloupnost, což je spor s předpokladem (2).

• (3)⇒(1). Buď{U}otevřené pokrytí A. Definujme

F ≡ {B ⊂ M, B nelze pokrýt konečně mnoha U_i}.

Chceme ukázat, že A6∈ F. NechťA ∈ F. Dle předpokladu je A totálně ome- zená. K ε= 1 existují tedy B1(xi), i = 1,2, . . . , N tak, že A ⊂ SN

i=1B1(xi).

Pak však existuje i0 ∈ {1,2, . . . , N}, pro který C1 =A∩B1(xi0) ∈ F (jinak spor).

C₁ je taky totálně omezená. K ε= ¹₂ existují B1

2( ˆx_i), i= 1,2, . . . , N₁ tak, že C₁ ⊂SN1

i=1B1

2( ˆx_i) a opět pro jisté ˆi₀∈ {1,2, . . . , N₁}jeC₂ =C₁∩B1 2( ˆx_iˆ

0)∈ F, atd.

Induktivně dostaneme

C₀ ≡A⊃C₁⊃C₂ ⊃ · · · ⊃C_k⊃ · · ·,

1Z článku: E. Hewitt:The rôle of compactness in analysis, American Math. Monthly67, 499-516 (1960).

aCk =Ck−1∩B1

k(xk), kdexk∈B ¹

k−1(xk−1). Tedy{x_k}je cauchyovská, podle (3) existuje x₀ ∈A tak, že x_k →x₀ v A. Ale x₀ ∈U_l pro jistél₀ a existuje k dostatečně velké tak, žeCk⊂Ul pro∀k≥k0, což je spor neboť Ck∈ F. Uvědomme si následující charakterizaci uzavřených množin.

Věta 2.10

A⊂R^d je uzavřená právě tehdy, když∀~xn, ~xn→~x⇒~x∈A.

Důkaz. Plyne z věty 9.8 a definic. Rozmyslete.

⇒ Pokud je A ⊂ R^d uzavřená, ~xn ∈ A, ~xn → ~x a ~x /∈ A, pak ~x ∈ R^d \A, což je otevřená množina. Existuje tedy Uε(~x) ⊂ R^d \A a máme spor, neboť ~xn

nemohou konvergovat k~x.

⇐ Vezměme ~x ∈R^d\A libovolné. Kdyby U¹

n(~x)∩A6= 0 pro každé n∈N, pak existují ~xn ∈ A tak, že ~xn → ~x v R^d. Pak ale ~x musí ležet v A, což je spor

s předpokladem.

Věta 2.11 (charakterizace kompaktních množin v R^d)

Množina K ⊂R^d je kompaktní právě kdyžK je omezená a uzavřená.

Důkaz. Dle Věty 9.9 je K ⊂R^d kompaktní právě když (K,|x−y|_∞) je úplný aK je totálně omezená, což nastane právě když je K uzavřená a omezená. Poslední ekvivalenci rozumíme takto: dle Věty 9.10 je uzavřenost ekvivalentní s úplností (K,|x−y|_∞). Zbývá ověřit, že v R^d je totální omezenost ekvivalentní s omeze- ností.

Je-li K totálně omezená, tj. K ⊂Sm

i=1B_ε(~x_i), pak definujme L:= maxi,j=1,2,...,d|x_ij|+ε

a K ⊂ B_L(~0), tedy K je omezená. Je-li K omezená, pak existuje L > 0 tak, že K ⊂ B_L(~0), což je krychle o straně 2L. Uvažme k ∈ N tak, že k = _L

ε

+ 1, a K

pokryjeme konečným počtem krychliček o straně ε.

Shrnutízákladních poznatků této sekce.

(1) R^d je s libovolnou normou |~x|_p úplný, pro p ∈ h1,∞i. (Tvrzení jsme ukázali pro|~x|_∞, která je však s libovolnou normou |~x|_p ekvivalentní).

(2) ~xⁿ→~x vR^d právě kdyžxⁿ_i →xi, ∀i= 1,2, . . . , d(rozmyslete).

(3) K ⊂R^d je kompaktní⇔ K je uzavřená a omezená.

(4) Každá omezená posloupnost vR^d obsahuje konvergentní podposloupnost.

Kompaktní množiny budou hrát v R^d roli uzavřených intervalů v R (např. spojitá funkce na kompaktu nabývá svého maxima i minima).

Pár poznámek navíc

Věta 9.11 neplatí v prostorech nekonečné dimenze, kde platí jen implikace A⊂(M, %) je kompaktní ⇒ A je omezená a uzavřená.

Ještě silneji, platí následující Heine-Borelova věta

B1(0)(≡ {x∈M;%(x,0)≤1}) je v (M, %) kompaktní ⇔dimM <∞.

P ř í k l a d . Uvažujme prostory`^p, p∈ h1,∞i, dané vztahy

`^p ={x={x_i}^∞_i=1; (P∞

i=1|x_i|^p)^p1 <∞}, prop∈ h1;∞)

`^∞={x={x_i}^∞_i=1; maxi=1,2,...|x_i|<∞}.

Již víme, že `<sup>p</sup> jsou vektorové prostory. Ukážeme, že `^p jsou normované prostory s normou

kxk_`^p =

∞

X

i=1

|x_i|^p

!¹_p

,kxk_∞= sup

i=1,2,...

|x_i|.

Nezápornost a 1-homogenita jsou zřejmé. Trojúhelníková nerovnost plyne z Min- kowského nerovnosti

kx+yk^p_`p = limn→∞Pm

i=1|x_i+y_i|^p

≤limn→∞

(Pm

i=1|x_i|^p)^1p + (Pm

i=1|y_i|^p)^p1 p

= (kx_ik_{`</sub><sup>p</sup>+ky<sub>i</sub>k<sub>`}^p)^p.

Uvažujme{xⁿ}^∞_i=1∈`<sup>p</sup> definovanoux<sup>n</sup>= (0, . . . ,1(n−tá složka),0, . . .) nebolix<sup>n</sup><sub>i</sub> = δ<sub>in</sub>. Tak {x<sup>n</sup>}<sup>∞</sup><sub>i=1</sub> tvoří bázi `^p a dim`<sup>p</sup> =∞. Také platí kx<sup>n</sup>−x<sup>m</sup>k<sup>p</sup><sub>`</sub>p = 2, n6= m, a vidíme, že nelze vybrat z A{xⁿ}^∞_n=1⊂B₁<sup>`p</sup>(0) konvergentní podposloupnost. Také dim `^p = ∞. Tak jsme „kostruktivně“ ukázali, že uzávěr jednotkouvé koule v `^p- prostorech je kompaktní.

2.4 Limita, spojitost a derivace funkcí více proměnných

Buď f :M →R^m, kdeM ⊂R^d. Pak

f(x) = (f₁(x₁, . . . , x_d), . . . , f_m(x₁, . . . , x_d)).

Je-li m = 1, mluvíme o skalární funkci. Je-li m > 1, mluvíme občas o vektorové funkci.

Buďf :M ⊂R^d →R^m, kdeM je otevřená. Řekněme, žef má vx₀∈M limitu A∈R^m a píšeme

x→xlim0

f(x) =A

právě když

(∀ε >0)(∃δ >0)(0<|x−x0|_∞,Rd < δ ⇒ |f(x)−A|_∞,Rd < ε).

2.4.1 ∀U(A) ∃P(x₀)⇒f(x)∈U(A)⇔ ∀U(A) ∃P(x₀) f(P(x₀))⊂U(A), kdeU(A) značí libovolné okolí boduAa P(x0) je prstencové okolíx0. Definice (2.4.1) vyžaduje jen pojem okolí, říkáme jí tedy topologická definice limity.

V R^d však víme, jak jsou otevřené množiny (topologie) definovány a (2.4.1) tak lze zapsat ve tvaru

(∀ε >0)(∃δ >0)(0<|x−x0|_∞,Rd < δ ⇒ |f(x)−A|_∞,Rd < ε).

Řekneme, žef je v x₀ ∈R^d spojitá pokud f(x₀) = limx→x₀f(x).

Rozmyslete si, že i v R^d (a dokonce i v úplném metrickém prostoru) platí věty:

• o jednoznačnosti limity,

• o limitě a spojitosti součtu, skalárního součinu, podílu skalárních funkcí,

• o spojitosti složeného zobrazení,

• o existenci okolíU(x₀), na kterém je funkce omezená (pokud máf vx₀limitu).

• Heineho, limx→x0f(x) =A⇔ ∀{x_n}, x_n→x0, limx→x0 =A.

Pro skalární funkce jsme dokázali větu o ekvivalenci existenci limity funkce s exis- tencí a rovností limit zleva a zprava. Následující příklad ukazuje, že analog této věty v R^d neplatí. Přesněji, i když limity po všech přímkách existují a rovnají se, limita nemusí existovat.

P ř í k l a d 1. Buď f :R²\ {(0,0)} →R definována předpisem f(x) =f(x1, x2) = x²₁x2

x⁴₁+x²₂.

Pakx2=kx1, kdek∈R, jsou všechny přímky procházející počátkem.

Pokud se k počátku blížíme po těchto přímkách, platí f(x₁, kx₁) = kx³₁

x⁴₁+k²x²₁ = x₁ k(1 +^x_k²¹2)

→0 pro x₁ →0.

Přesto limx→0f(x) neexistuje. Volíme-li totiž x₂ = kx²₁ (jdeme k 0 po parabole), pak

lim

x→0,x2=kx²₁f(x) = lim

x1→0

kx⁴₁

x⁴₁+k²x⁴₁ = lim

x1→0

k

1 +k² 6= 0 pro ∀k∈R\ {0}.

P ř í k l a d 2. Buďf(x) = _x^x2^1x2

1+x²₂. Ukažte, že limity po osách existují, ale limx→0f(x) neexistuje.

BuďM ⊂R^d otevřená a x⁰ ∈M. Prof :M →R definujme g₁(ξ) = f(ξ, x⁰₂, . . . , x⁰_d),

g₂(ξ) = f(x⁰₁, ξ, . . . , x⁰_d), ...

gd(ξ) = f(x⁰₁, . . . , x⁰_d−1, ξ), gi : (x⁰_i −δ, x⁰_i +δ)→R.

Předpokládejme, žeg_imá derivaci vx⁰_i, pak tuto derivaci nazveme parciální derivací funkce f ve směrux_i, značíme ^∂f_∂x^(x0)

i a máme

∂f

∂x_i(x⁰) = lim

ξ→x⁰_i

gi(ξ)−gi(x⁰_i)

ξ−x⁰_i = lim

ξ→x⁰_i

f(x⁰₁, . . . , ξ, . . . , x⁰_d−f(x⁰))

ξ−x⁰_i .

Lze se setkat i s jiným značením _∂x^∂f

i(x0) = ∂xif(x0) = ∂if(x0). Vektor (_∂x^∂f

1(x₀), . . . ,_∂x^∂f

d(x₀)) se nazývá gradientf v boděx₀, značí se∇f(x₀).

Je-li f :M ⊂R^d →R^m, x0 ∈M, pak matice derivací







∂f1

∂x1(x0), . . . ,^∂f_∂x¹

d(x0) ... . .. ...

∂fm

∂x1(x0), . . . ,^∂f_∂x^m

d(x0)







se nazývá Jakobián nebo Jakobiho matice a značí se Df(x0) nebo ^∂(f_∂(x^1,...,fm)

1,...,xd)(x0).

Je-lif :R^d →R^d, pak Jakobián je čtercová matice a její stopa se nazývá divergencef v boděx0

divf(x₀) =

d

X

i=1

∂f_i

∂x_i(x₀) = Tr Df(x₀).

Buď v = (v1, . . . , v_d), |v| = 1, x0 ∈ M ⊂ R^d tak, že pro t > 0 je x0 +tv ∈ R^d. Derivací f ve směruv v boděx₀, značenou ∂_vf(x₀), pak nazveme

∂vf(x0) = lim

t→0

f(x0+tv)−f(x0)

t ,

pokud tato limita existuje. Parciální derivace podle proměnnéx_i je tedy derivace ve směru e~i.

Induktivně lze definovat derivace vyšších řádů, např.

∂²f(x0)

∂x_i∂x_j = ∂h(x0)

∂x_i , kde h(z) = ∂h(z)

∂x_j . P ř í k l a d 1. Buď f(x) = sin(x1x2) :R² →R.Pak

∇f(x) = (x₂cos(x₁x₂), x₁cos(x₁x₂)).

P ř í k l a d 2. Je-li f : R^d → R lineární funkce, tj. f(x) = Pd

i=1a_ix_i, pak ∇f(x)

= (a1, . . . , an) =a∈R^d je konstantní vektor.

P ř í k l a d 3. Podobně je-li f :R^d →R^m dáno předpisem

f(x) =Ax+b=







a₁₁, . . . , a_1d ... . .. ... a_m1, . . . , a_md











 x₁

... x_d





+





 b₁

... b_m





.

pak

(∇f)(x) =A. Věta 2.12

Nechť existují parciální derivace f, g : R^d → R^m v bodě x⁰ ∈ R^d, α ∈ R. Pak existují parciální derivace funkcíf +g, αf, (f, g) =f ·g v boděx⁰.

Důkaz. Je založen na větách o derivování součtu a součinu pro funkce jedné reálné proměnné.

P o z n á m k a . Pozor! Z existence parciálních derivací v boděx⁰ neplyne spojitostf vx⁰ jak ukazuje následující příklad

f(x, y) =

1 je-li x= 0 neboy= 0,

0 jinak.

Pak ^∂f_∂x⁽⁰⁾ = ^∂f_∂y⁽⁰⁾ = 0,ale f není spojitá v 0.

Věta 2.13 (O derivování složené funkce)

Buď M ⊂ R^d otevřená a g :M → R^m spojitá, mající v x ∈M parciální derivace.

Buď g(M)⊂N a f :N →Rmá spojité parciální derivace vN. Pak funkce (f◦g)(x)≡f(g(x))

je v M definována a existuje parciální derivacef ◦g. Navíc

∇(f◦g)(x)

| {z } d-vektor

=∇f(g(x))

| {z } m-vektor

Dg(x)

| {z } m^×d matice neboli

_∂(f◦g)

∂x1 (x), . . . ,^∂(f_∂x^◦g)

d (x)

= _∂f(g(x))

∂y1 , . . . ,^∂f(g(x))_∂y

m









∂g1(x)

∂x1 , . . . ,^∂g_∂x^1(x) .. d

. . .. ...

∂gm(x)

∂x1 , . . . ,^∂g_∂x^m(x)

d







 .

Je-li f :N →R^s, pak

[D(f◦g)] (x) = [Df] (g(x)) [Dg] (x).

Důkaz. Buď eⁱ = (δ_1i, δ_2i, . . . , δ_di) jednotkový vektor. Chceme ukázat, že pro i= 1,2, . . . , d je

h→0lim+

f(g(x+heⁱ))−f(g(x))

h =

m

X

k=1

∂f(g(x)) y_k

∂g_k(x)

∂x_i .

Avšak

f(g(x+heⁱ))−f(g(x)) h

= ^{f(g1(x+hei),g2(x+hei),...,gm(x+he}_h ^{i))−f(g1(x),g2(x),...,gm(x))}

= ^{f(g1(x+hei),g2(x+hei),...,gm(x+hei}_h^{))−f(g1(x),g2(x+hei),...,gm(x+hei))} +^{f(g1(x),g2(x+hei),...,gm(x+hei}_h^{))−f(g1(x),g2(x),...,gm(x+hei))}

...

+^{f(g1(x),...,gm−1(x),gm(x+he}_h^{i))−f(g1(x),g2(x),...,gm(x))}.

Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě dále upravíme poslední výrazy na tvar

∂f

∂y1(g₁(x+θ₁heⁱ), g₂(x+heⁱ), . . . , g_m(x+heⁱ))^g1(x+he_h^i)−g1(x) +_∂y^∂f

2(g₁(x), g₂(x+θ₂heⁱ), . . . , g_m(x+heⁱ))^g2(x+he_h^i)−g2(x) ...

+_∂y^∂f

m(g1(x+heⁱ), . . . , gm−1(x), gm(x+θmheⁱ))^gm(x+he_h^i)−gm(x)

↓h→0₊

∂f

∂y1(g(x))^∂g_∂x^1(x)

i +· · ·+ _∂y^∂f

m(g(x))^∂g_∂x^m(x)

i , neboť díky spojitosti g

limh→0+g_l(x+θheⁱ) =g_l(x), limh→0+g_l(x+heⁱ) =g_l(x), limh→0+g_l(x+heⁱ)−g_l(x)

h = _∂x^∂gl

i(x).

Využívali jsme rovněž větu o spojitosti složeného zobrazení.

Věta 2.14

BuďM ⊂R^d otevřená af :M →Rnechť má spojité první parciální derivace vM. Pak pro∀x∈M platí

∂vf(x) =∇f(x)·v (= (∇f(x), v)).

Důkaz. Víme, že (v= (v₁, . . . , v_d),|v|_E = 1)

∂_vf(x) = d

dtf(x+vt)

t=0

V 9.13

= ∂f(x)

∂x_i v_i = (∇f(x), v).

Pozorování 3. Ze Schwarzovy nerovnosti víme, že

− |∇f(x)|_E ≤(∇f(x), v)≤ |∇f(x)|_E|v|_v =|∇f(x)|_E. Navíc rovnost platí je-li v^±=±_|∇f(x)|^∇f(x)

E.Tedy derivace ve směru nabývá největšího růstu ve směruv⁺ a největšího poklesu ve směruv⁻, tedy ve směrech gradientu.

Nyní se vrátíme k otázce záměny pořadí parciálních derivací. Následující příklad ukazuje, že tomu tak obecně není.

P ř í k l a d 1. Buď

F(x1, x2) =

0 |x₁| ≤ |x₂|, x1x2 |x₁|>|x₂|.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@ F(x) = 0

F(x) =x₁x₂ x₂

x1

Obrázek 4: K příkladu 1.

Spočítejme _∂x^∂F

1(0, x2) a _∂x^∂F

2(0, x1) prox26= 06=x1. Máme _∂x^∂F

1(0, x2) = 0, neboť F je pro každé x2 6= 0 nulová na okolí (−δ, δ), kde δ závisí na x₂(viz. obr.4). Naopak _∂x^∂F

2(0, x₁) =x₁. Odtud vidíme, že

∂²F

∂x₂∂x₁(0,0) = 06= 1 = ∂²F

∂x₁∂x₂(0,0).

Následující věta dává postačující podmínky, kdy lze zaměňovat pořadí derivování bez problémů.

Věta 2.15

Nechť je M ⊂R^d otevřená a nechť máf :M →Rspojité druhé parciální derivace.

Pak pro každé x∈M platí

∂²f

∂xi∂xj

(x) = ∂²f

∂xj∂xi

(x) ∀i, j= 1,2, . . . , d.

Důkaz. Označme ω(x) = ∆^h_jf(x) = ^f(x+he_h^j)−f(x). Platí

∆^h_i∆^h_jf(x) = ∆^h_i ω(x) = ^ω(x+he_h^i)−ω(x)

= ^{f(x+hei+hej)−f(x+he}_h2 ^{i)−f(x+hej)+f(x)}. Tento výraz však získáme i z ∆^h_j∆^h_if(x),

∆^h_i∆^h_jf(x) = ∆^h_j∆^h_if(x) ∀x∈M.