Příjmení a jméno 1 2 3 4 5 6 BONUS

Příjmení a jméno 1 ^{2 3 4 5 6 BONUS}

CELKEM

Zápo£tová písemná práe £. 1 z p°edm¥tu 01MCS verze A

pond¥lí15.listopadu 2021,15:3016:45

➊

^{(8 bod·)}

Rozhodn¥te, zda (nebo p°ípadn¥projakou volbuparametr·)pat°ífunke

g(x) = Θ(x) e ^−ax − e ^−bx x

do t°ídy

B

balanovanýh hustot?Pronalezené verze vypo£ítejtenormu

k g k ,

^{první moment}

µ 1 (g)

^{a ur£ete}

balan£níindex.

➋

^{(8 bod·)}

Uºitímvhodného aproxima£ního postupu vypo£ítejtekonvolui

Θ(x) √ x e ⁻

α 3

x 2 e ^−λx ⋆ Θ(x) √ x e ⁻

β 3 x 2 e ^−λx ,

kde

α, β > 0

^a

λ > 0

^{jsoupevn¥ zvolené konstanty.}

➌

^{(8 bod·)}

Uvaºujmeúse£kuvymezenoubody

a = 0

^a

b = N ∈ N

^{(vizprvníobrázek).Neh´jenatutoúse£kunáhodn¥}

rozesetopráv¥

N

^{£ásti,atotak,ºejejih lokae jsouvybrány z}Trojúhelníkovéhorozd¥lení

T (0, N ) ∼ g(x)

(vizdruhýobrázek). Protaktovymezenou úlohu

•

^{odvo¤te matematikýtvarhustoty} pravd¥podobnosti

g(x);

•

^vyjád°ete pravd¥podobnost, ºe £íslozrozd¥lení

T (0, N )

^{bude men²íneº}

L;

•

^vyjád°ete pravd¥podobnost, ºe £íslozrozd¥lení

T (0, N )

^{bude v¥t²íneº}

L;

•

^vyjád°ete pravd¥podobnost, ºe v intervalu

(0, L)

^{leºí (z on¥h}

N

^náhodn¥

vybranýh £ásti)práv¥

k

^£ásti;

•

^{a ur£ete, jaká je st°edníhodnota} intervalové frekvene

N ^L ,

^kde intervalovou frekvení rozumímepo£et £ásti vyskytujííh sena intervalu

(0, L).

Obr. 1

N

^náhodn¥ rozmíst¥nýh £ásti na úse£e

h a, b i = h 0, N i

^{a úsek}

(0, L),

^{nan¥mºjesledována}intervalováfrekvene

N L ,

^{tj.po£et£ásti.}

Obr. 2Grafhustotypravd¥podobnosti

g(x).

Příjmení a jméno 1 ^{2 3 4 5 6 BONUS}

CELKEM

Zápo£tová písemná práe £. 2 z p°edm¥tu 01MCS verze A

£tvrtek6.ledna2022,9:3011:30

➊

^{(8 bod·)}

Dokaºte, ºe je-li v balan£ním £ástiovém systému generátorem funke

g(x) = Θ(x)λ e ^−λx ,

^{pak mají inter-}

valové frekvene Poissonovo rozd¥lení. Jaká je p°íslu²ná st°edníhodnota intervalovýh frekvení?Dodatek:

Ignorujte skute£nost,ºe v uvedenémBƒS neníspln¥n poºadavek na²kálování.

➋

^{(8 bod·)}

Neh´

H(s)

^a

R(s)

^{jsou obrazy generátoru BƒS ajeho shlukové funke. Odvo¤te vztah mezi nimi.Neopo-}

me¬tetaképrov¥°it, zdamá

H(s)

^správné p°edpoklady nutné kvýpo£tu.

➌

^(12bod·)

Napolop°íme

h 0, + ∞ )

^{jsourozmíst¥ny£ástietak,ºehustota}pravd¥podobnostiprojejihvzdálenost(rozumí sevzdálenost sousedníh £ásti)jepopsána funkí

h(x) = Θ(x) √

x e ^{− α} x e ^−λx .

Jaksezm¥nídistribuerozte£í,budou-lizesystémuodstran¥nyzkaºdé trojiesousedníh £ástidv¥£ástie?

➍

^(14bod·)

Neh´

N _L

^je intervalová frekvene balan£ního £ástiového systému a

g k (x)

^hustota pravd¥podobnosti pro

k −

^tou multirozte£.Odvo¤te vztah mezi

E (N _L ² )

^a

g k (x).

^{Vrámi °e²eníukaºte, ºe °ada}

P ^∞

k=1 kg k (x)

^kon-

vergujestejnom¥rn¥ nakaºdém intervalu

h 0, a i .

^{K £emusevámtento poznatek budehodit?}

Nazáklad¥ rovnosti

X ∞ k=0

g k (x) ⋆ X ∞ ℓ=0

g ℓ (x) = X ∞ m=1

m g m (x)

upravtevýraz pro

E (N _L ² )

^{do tvaru, v n¥mº vystupuje pouzeshluková funke.}

➎

^(12bod·)

Neh´

(µ k ) ^∞ k=0

^{je momentový kód hustoty}

g(x) ∈ B .

^{Jak vypadá momentový kód hvostové} distribu£ní funke

h(x) = Θ(x) Z ^∞

x

g(y) d y ?

Návod: Nejprve odvo¤te, jak souvisejí Laplaeovy obrazy

L [h(x)]

^a

L [g(x)]

^{a poté dosa¤te za}

L [g(x)]

^její

Malaurinovu°adu.

➏

^{(6 bod·)}