Kvadratick´ a rovnice

Kvadratick´ a rovnice

Roman Haˇsek 29. dubna 2021

1 Pojem kvadratick´ a rovnice

1.1 Definice kvadratick´ e rovnice

Kvadratickou rovnic´ı s nezn´amouxrozum´ıme kaˇzdou rovnici ve tvaru

ax²+bx+c= 0, (1)

kde a, b, c ∈ R a a 6= 0. Re´aln´a ˇc´ısla a, b, c naz´yv´amekoeficienty kvadratick´e rovnice. Pojemkvadratick´aodkazuje ke skuteˇcnosti, ˇze se jedn´a o algebraickou rovnici druh´eho stupnˇe, tj. nezn´am´a xse v n´ı mus´ı vyskytovat ve druh´e moc- ninˇe. Proto je poˇzadov´ano, aby byl koeficient a r˚uzn´y od nuly. Pokud by byl roven nule, rovnice (1) by neobsahovala kvadratick´y ˇclen a nebyla by proto kvadratick´a.

1.2 Souvislost s kvadratickou funkc´ı

V´yrazem na lev´e stranˇe rovnice (1), kter´emu ˇr´ık´ame kvadratick´y trojˇclen, je

Figure 1: Graf kvadratick´e funkcef :y= 2x²+ 3x−2

1

definov´anakvadratick´a funkce, kter´a je d´ana pˇredpisem

f :y=ax²+bx+c. (2)

Grafem kvadratick´e funkce je parabola, viz Obr. 1. Jej´ı pr˚useˇc´ıky s osou x odpov´ıdaj´ı koˇren˚um rovnice (konkr´etnˇe se jedn´a o x−ov´e souˇradnice tˇechto pr˚useˇc´ık˚u). Graf kvadratick´e funkce tak m˚uˇze b´yt vyuˇzit k zn´azornˇen´ı ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı kvadratick´e rovnice. Z moˇzn´ych poloh paraboly grafu vzhledem k osexpak snadno odvod´ıme, jak´e jsou moˇzn´e poˇcty ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice.

Jsou to buˇd dva koˇreny, nebo jeden koˇren, tzv. dvojn´asobn´y, nebo ˇz´adn´y koˇren, kdyˇz nem´a parabola s osouxspoleˇcn´y ˇz´adn´y bod.

2 Reˇ ˇ sen´ı kvadratick´ e rovnice

Hodnoty koˇren˚u kvadratick´e rovniceax²+bx+c= 0 jsou d´any v´yrazem x_1,2= −b±√

b²−4ac

2a . (3)

V´yrazb²−4acnaz´yv´amediskriminanta znaˇc´ıme hoD, tj.

D=b²−4ac. (4)

HodnotaD rozhoduje o poˇctu ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice, viz Tab. 1.

D >0 D= 0 D <0

dva r˚uzn´e koˇreny jeden dvojn´asobn´y koˇren ˇz´adn´y koˇren x1,2= −b±√

b²−4ac

2a x1,2=−b

2a ∅

Table 1: ˇReˇsen´ı kvadratick´e rovnice

Pro ´uspˇeˇsn´e ˇreˇsen´ı ´uloh si uveˇdme nˇekolik z´asad ´uspˇeˇsn´eho ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice:

• Rovnici uprav´ıme na tvar (1)

• Vypoˇc´ıt´ame diskriminant.

3 Z´ avˇ er

Z´avˇerem si ˇreknˇeme, ˇze vˇse potˇrebn´e o ˇreˇsen´ı kvadratick´ych rovnic je uvedeno v [1]. Uˇziteˇcn´e informace najdet tak´e v ˇcl´anku Wikipedia: Quadratic equation a nebo na str´ancewww.realisticky.cz.

2

Literatura

[1] Pol´ak, J. (2015). Pˇrehled stˇredoˇskolsk´e matematiky (10. vyd´an´ı).

Prometheus.

[2] Alexander, O., & Gerhard, W. (2012).Geometry by Its History (1st ed.).

Springer-Verlag.

3