Funkce komplexní promˇenné a integrální transformace

Funkce komplexní prom ˇenné a integrální transformace

Laplaceova transformace I.

Marek Lampart

Text byl vytvoˇren v rámci realizace projektuMatematika pro inženýry 21. století(reg. ˇc.

CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se spoleˇcn ˇe podílela Vysoká škola bá ˇnská – Technická univerzita Ostrava a Západoˇceská univerzita v Plzni

Laplaceova transformace

Budeme uvažovat komplexní funkcef reálné prom ˇennét∈(−∞,∞), tj.f :R→C, a komplexní prom ˇennoup=x+iy ∈C.

Pˇredpokládejme, že nevlastní integrál Z ∞

0

f(t)e^−ptdt (1)

existuje a má koneˇcnou hodnotu pro alespo ˇn jednop. Pak integrál (1) nazývámeLaplace ˚uv integrál funkce f.

Laplaceova transformace

Budeme uvažovat komplexní funkcef reálné prom ˇennét ∈(−∞,∞), tj.f :R→C, a komplexní prom ˇennoup=x +iy ∈C.

Pˇredpokládejme, že nevlastní integrál Z ∞

0

f(t)e^−ptdt (1)

existuje a má koneˇcnou hodnotu pro alespo ˇn jednop. Pak integrál (1) nazývámeLaplace ˚uv integrál funkce f.

Laplaceova transformace

Budeme uvažovat komplexní funkcef reálné prom ˇennét ∈(−∞,∞), tj.f :R→C, a komplexní prom ˇennoup=x +iy ∈C.

Pˇredpokládejme, že nevlastní integrál Z ∞

0

f(t)e^−ptdt (1)

existuje a má koneˇcnou hodnotu pro alespo ˇn jednop.

Pak integrál (1) nazývámeLaplace ˚uv integrál funkce f.

Laplaceova transformace

Budeme uvažovat komplexní funkcef reálné prom ˇennét ∈(−∞,∞), tj.f :R→C, a komplexní prom ˇennoup=x +iy ∈C.

Pˇredpokládejme, že nevlastní integrál Z ∞

0

f(t)e^−ptdt (1)

existuje a má koneˇcnou hodnotu pro alespo ˇn jednop.

Pak integrál (1) nazývámeLaplace ˚uv integrál funkce f.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt=

Z ∞ 0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt

= lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt

= lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, prop=x+iy platí

|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, prop=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα.

Tedy proRep>0platílimα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platí

limα→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílim_α→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =1proRep>0konverguje a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílim_α→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1proRep>0konverguje

a je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílim_α→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1proRep>0konvergujea je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrál neexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 1

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt= Z ∞

0

e^−ptdt = lim

α→∞

Z α 0

e^−ptdt = lim

α→∞

1 p −1

pe^−pα

.

Jelikožα∈R, pro p=x+iy platí|e^−pα|=e^−xα. Tedy proRep>0platílim_α→∞e^−pα=0.

Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =1proRep>0konvergujea je roven funkci1/p.

ProRep≤0Laplace ˚uv integrálneexistuje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C.

Podle(1)máme Z ∞

0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt =

Z ∞ 0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt

= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkce f(t) =e^at konverguje proRep>Rea k funkci1/(p−a). V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at konvergujeproRep>Rea k funkci1/(p−a).

V ostatních pˇrípadech diverguje.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 2

Spoˇct ˇeme Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at, kde a∈C. Podle(1)máme

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt = Z ∞

0

e^ate^−ptdt= lim

α→∞

Z α 0

e^(a−p)tdt

= lim

α→∞

1

a−pe^(a−p)α− 1 a−p

= 1

p−a proRe(p−a)>0.

Tedy Laplace ˚uv integrál funkcef(t) =e^at konvergujeproRep>Rea k funkci1/(p−a).V ostatních pˇrípadechdiverguje.

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞). Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2)

nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞). Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2)

nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞).

Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2)

nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞).

Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2)

nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞).

Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2) nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞).

Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2) nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 1

Bud’ f komplexní funkce reálné prom ˇenné t∈(−∞,∞).

Bud’ M⊂Cmnožina všech p, pro než je Laplace ˚uv integrál(1) konvergentní.

Pak komplexní funkci F definovanou vztahem F(p) =

Z ∞ 0

f(t)e^−ptdt (p∈M) (2) nazývámeLaplace ˚uv obraz funkce f.

Dané zobrazení, které pˇriˇrazuje funkci f její Laplace ˚uv obraz F , nazývámeLaplaceova transformace.

Znaˇcíme

L(f(t)) =F(p).

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá,

2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}.

Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

Definice 2

Funkci f nazývámepˇredm ˇet(n ˇekdy také vzor, originál), jsou-li spln ˇeny následující podmínky:

1. f je na[0,∞)po ˇcástech spojitá, 2. f(t) =0pro každé t <0,

3. existuje reálné ˇcíslo M >0aαtakové, že pro každé t∈[0,∞) platí

|f(t)| ≤Me^αt. (3)

Definice 3

Bud’α₀=inf{α∈R: αvyhovuje (3)}. Císloˇ α₀nazývámeindex r ˚ustu pˇredm ˇetu f.

Laplaceova transformace

D ˚uležitým pˇríkladem pˇredm ˇetu jeHeavisideova funkcedefinovaná vztahem

η(t) =







0, prot <0, 1, prot ≥0.

(4)

Heavisideova funkce má graf

η(t)

t 0

1

- 6

s c

Laplaceova transformace

D ˚uležitým pˇríkladem pˇredm ˇetu jeHeavisideova funkcedefinovaná vztahem

η(t) =







0, prot <0, 1, prot ≥0.

(4)

Heavisideova funkce má graf

η(t)

t 0

1

- 6

s c

Laplaceova transformace

D ˚uležitým pˇríkladem pˇredm ˇetu jeHeavisideova funkcedefinovaná vztahem

η(t) =







0, prot <0, 1, prot ≥0.

(4)

Heavisideova funkce má graf

η(t)

t 0

1

- 6

s c

Laplaceova transformace

D ˚uležitým pˇríkladem pˇredm ˇetu jeHeavisideova funkcedefinovaná vztahem

η(t) =







0, prot <0, 1, prot ≥0.

(4)

Heavisideova funkce má graf

η(t)

t 0

1

- 6

s c

Laplaceova transformace

D ˚uležitým pˇríkladem pˇredm ˇetu jeHeavisideova funkcedefinovaná vztahem

η(t) =







0, prot <0, 1, prot ≥0.

(4)

Heavisideova funkce má graf

η(t)

t 0

1

- 6

s c

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.

Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe

a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep.

Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

V ˇeta 1 (o existenci Laplaceova obrazu)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀.Pak Laplace ˚uv integrál F(p) =

Z ∞

0

f(t)e^−ptdt

konverguje v polorovin ˇeRep> α₀absolutn ˇe a definuje Laplace ˚uv obrazL(f(t)) =F(p), který je v té polorovin ˇe analytickou funkcí.

D ˚usledek 1

Bud’L(f(t)) =F(p)a x =Rep. Paklimx→∞F(p) =0.

Laplaceova transformace

Polorovina Rep> α₀je znázorn ˇena Rep> α₀

α₀ x

0 y

- 6

Laplaceova transformace

Polorovina Rep> α₀je znázorn ˇena

Rep> α₀

α₀ x

0 y

- 6

Laplaceova transformace

Polorovina Rep> α₀je znázorn ˇena Rep> α₀

α₀ x

0 y

- 6

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀.

Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí lim

p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Laplaceova transformace

Pˇríklad 3

Nalezn ˇeme funkci f(t)tak, aby její Laplace ˚uv obraz byl roven funkci

√p.

Prvn ˇelimx→∞√

x+iy 6=0.

Tedy podle pˇredchozího D ˚usledku 1 funkce√p nem ˚uže být Laplaceovým obrazem žádné funkce f(t).

V ˇeta 2 (první limitní)

Bud’ f pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀aα > α₀. Pak pro Laplace ˚uv obraz F funkce f platí

lim p→ ∞ Rep≥α

F(p) =0.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n. Pak

I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n. Pak

I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak

I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p),

II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0,

III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3 (pravidla operátorového poˇctu)

Necht’ f_k jsou pˇredm ˇety,L(f_k(t)) =F_k(p)a c_k ∈Cpro k =1,2, . . .n.

Pak I. linearita

L(

n

X

k=1

ckfk(t)) =

n

X

k=1

ckFk(p), II. podobnost

L(f(λt)) = 1 λFp

λ

, λ >0, III. substituce v obrazu

L(e^atf(t)) =F(p−a),

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ),

V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p),

VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+),

kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

IV. derivace podle parametru

∂f(t, λ)

∂λ = ∂F(p, λ)

∂λ , kde L(f(t, λ)) =F(p, λ), V. posunutí

L(f(t−τ)η(t−τ)) =e^−τpF(p), VI. derivace pˇredm ˇetu

L(f⁽ⁿ⁾(t)) =pⁿF(p)−pⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), kde f a její derivace až do ˇrádu n−1jsou spojité a

f⁽ⁱ⁾(0+) =limt→0+f⁽ⁱ⁾(t).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p),

VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p ,

IX. integrace obrazu L

f(t) t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz,

kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,

R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje

a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

V ˇeta 3

VII. derivace obrazu

L(−tf(t)) =F⁰(p), VIII. integrace pˇredm ˇetu

L Z t

0

f(τ)dτ

!

=F(p) p , IX. integrace obrazu

L f(t)

t

= Z ∞

p

F(z)dz = lim

Req→∞

Z q

p

F(z)dz, kde f(t)/t je pˇredm ˇet s indexem r ˚ustuα₀,R∞

p F(z)dz existuje a graf integraˇcní kˇrivkyR∞

p F(z)dz leží vRep> α₀.

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Pˇríklad 4

Najd ˇete Laplace ˚uv obraz funkcef(t) =sin(ωt). Podle Eulerových vzorc ˚u platí

sin(ωt) =e^iωt−e^−iωt

2i .

Položíme-li v pˇredchozím pˇríkladu parametr a=±iωa navíc užijeme linearity V ˇety 3, pak proRep>Re(±iω) =|Imω|dostáváme

L(sin(ωt)) = 1 2i

1

p−iω − 1 p+iω

= ω

p²+ω².

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Pˇríklad 4

Najd ˇete Laplace ˚uv obraz funkcef(t) =sin(ωt). Podle Eulerových vzorc ˚u platí

sin(ωt) =e^iωt−e^−iωt

2i .

Položíme-li v pˇredchozím pˇríkladu parametr a=±iωa navíc užijeme linearity V ˇety 3, pak proRep>Re(±iω) =|Imω|dostáváme

L(sin(ωt)) = 1 2i

1

p−iω − 1 p+iω

= ω

p²+ω².