SOUSTAVA KVADRATICKÉ A LINEÁRNÍ ROVNICE

SOUSTAVA KVADRATICKÉ A LINEÁRNÍ ROVNICE

Postup řešení:

• z lineární rovnice vyjádříme jednu z neznámých

• vyjádřenou neznámou dosadíme do kvadratické rovnice

• kvadratickou rovnici o dané neznámé řešíme běžnými metodami

• pro vypočtené kořeny vypočítáme hodnoty druhé neznáme, nejlépe z lineární rovnice

P ř íklady

1. x - y = 1 ⇒ x = 1 + y x² + y² = 25

(1 + y)² + y² = 25; 1 + 2y + y² + y² = 25; 2y² + 2y - 24 = 0; y² + y - 12 = 0;

D = 1² - 4.1.(-12) = 49;

2 7 1 2

49 1

2 , 1

±

= −

±

= −

y ⇒ y1 = 3

2 7 1+ =

− , y2 = 4

2 7 1− =−

−

x₁ - 3 = 1 ⇒ x₁ = 4; x₂ - (-4) = 1 ⇒ x₂ = -3; P {[4; 3]; [-3; -4]}

2. y - 2x = 5 ⇒ y = 5 + 2x x² + y² = 5

x² + (5 + 2x)² = 5; x² + 25 + 20x + 4x² = 5; 5x² + 20x + 20 = 0; x² + 4x + 4 = 0;

D = 4² - 4.1.4 = 0; = − = 2

4

2 ,

x1 - 2

y1,2 - 2.(-2) = 5 ⇒ y1,2 = 1 P {[-2; 1]}

3. x + y = -2 ⇒ x = -2 - y x² + y² = 1

(-2- y)² + y² = 1; 4 + 4y + y² + y² = 1; 2y² + 4y + 3 = 0; y² + 2y + 1,5 = 0;

D = 2² - 4.1.1,5 = -2 P = ∅

Vyzkoušejte se:

Příklad: a) x² + y² - 4 = 0 b) x² + y² + 3x = 4 x + 2y = 4 x - 2y + 4 = 0

Řešení:

a) P = {[0; 2]} b) P = {[-4; 0]; [0; 2]}