yfu = () • ∀ ∈ • (tg x )´ = ∀ ∈ • (cos x )´ = -sin x pro ∀ x ∈ R, (17) • (sin x )´ = cos x pro ∀ x ∈ R, (16) • = pro ∀ x ∈ R, x ≠ 0, pro ∀ a ∈ R, a > 0, a ≠ 1, (15) pro ∀ x ∈ R, x ≠ 0, (14) • (ln ⏐ x ⏐ )´ = =′ ln)( aaa pro ∀ x ∈ R, pro ∀ a ∈ R, a > 0, a ≠

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 6

4.4.2. Pravidla pro derivování

Z předchozích příkladů je zřejmé, že výpočet derivací funkcí podle definice je zdlouhavý i v případě jednoduchých funkcí. Proto k určení derivací v běžných úlohách užíváme následující pravidla:

Mají-li funkce f(x) a g(x) v bodě x₀ derivaci, má v tomto bodě derivaci také jejich součet, rozdíl, součin a pro g(x) ≠ 0 i podíl a platí [2, 4, 6]:

• (f + g)´ = f ´+ g´, (f - g)´= f ´- g´, (7)

• (f.g)´= f ´.g + f.g´, a odtud speciálně pro g(x) = c: • (c.f)′ =c.f′, (8 a, b)

•

′

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ g

f = . ₂ .

g g f g f′ − ′

. (9)

Derivace elementárních funkcí [2, 4, 6] lze odvodit na základě definice derivace a výše uvedených pravidel:

• (c)´ = c´= 0, (10)

• (xⁿ)′ =nxⁿ⁻¹ pro∀x∈R, pro∀n∈R, (11)

• ( )e^x ′ =e^x pro∀x∈R, (12)

• (a^x)′=a^x lna pro∀x∈R, pro∀a∈R, a > 0, a ≠ 1, (13)

• (ln⏐x⏐)´ = ¹

x pro∀x∈R, x ≠ 0, (14)

• (log_a x)′= ¹

x.lna pro∀x∈R, x ≠ 0, pro∀a∈R, a > 0, a ≠ 1, (15)

• (sin x)´ = cos x pro∀x∈R, (16)

• (cos x)´ = -sin x pro∀x∈R, (17)

• (tg x)´ = 1

cos2 x pro∀x∈R, x ≠ (2k+1)π/2, (18)

• (cotg x)´ = - 1

sin2 x pro∀x∈R, x ≠ kπ. (19)

Pro derivaci složené funkce platí:

Má-li funkce u = g x( ) derivaci v bodě x₀ a funkce y= f u( ) derivaci v odpovídajícím bodě u0 = g(x₀), pak složená funkce y= f g x( ( )) , má derivaci v bodě x₀ a platí

•

[

]