Markovovy ˇretˇezce – pˇr´ıklady

Markovovy ˇ retˇ ezce – pˇ r´ıklady

Mirko Navara

Centrum strojov´ eho vn´ım´ an´ı katedra kybernetiky FEL ˇ CVUT

Karlovo n´ amˇ est´ı, budova G, m´ıstnost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/˜navara/stat

2. 1. 2021

Cviˇcen´ı. V Markovovˇe ˇretˇezci dle obr´azku odhadnˇete parametr q na z´akladˇe pozo- rovan´e posloupnosti stav˚u

(1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,1,2,1,2,2,1).

1 2

1 − q

q

1 − q q

Cviˇcen´ı. V Markovovˇe ˇretˇezci dle obr´azku odhadnˇete parametr q na z´akladˇe pozo- rovan´e posloupnosti stav˚u

(1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,1,2,1,2,2,1).

1 2

1 − q

q

1 − q q

Reˇˇ sen´ı. Poˇcty pˇrechod˚u v datech jsou n´asleduj´ıc´ı:

1 2

5

5

1 5

Cviˇcen´ı. V Markovovˇe ˇretˇezci dle obr´azku odhadnˇete parametr q na z´akladˇe pozo- rovan´e posloupnosti stav˚u

(1,1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,1,2,1,2,2,1).

1 2

1 − q

q

1 − q q

Reˇˇ sen´ı. Poˇcty pˇrechod˚u v datech jsou n´asleduj´ıc´ı:

1 2

5

5

1 5

Pravdˇepodobnost kaˇzd´eho pˇrechodu umocn´ıme na jeho ˇcetnost

1 2

(1 − q)⁵

q⁵

(1 − q)¹ q⁵

a vˇsechny vyn´asob´ıme; dostaneme vˇerohodnost L(q) = q¹⁰ (1 − q)⁶ ,

L(q) = q¹⁰ (1 − q)⁶ ,

L(q) = q¹⁰ (1 − q)⁶ ,

`(q) = 10 ln q + 6 ln(1 − q), 0 = `⁰(q) = 10

q − 6

1 − q , q = 10

16 = 5 8 .

Cviˇcen´ı. Porovnejte model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s druh´ym modelem (vpravo):

1 2

3 8

5 8

3 8 5

8

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

Cviˇcen´ı. Porovnejte model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s druh´ym modelem (vpravo):

1 2

3 8

5 8

3 8 5

8

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

Reˇˇ sen´ı. Vˇerohodnosti:

1 2

3

8

₅

5

8

₅

3

8

₁

5

8

₅

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1

4

₁

3

4

₅

Cviˇcen´ı. Porovnejte model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s druh´ym modelem (vpravo):

1 2

3 8

5 8

3 8 5

8

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

Reˇˇ sen´ı. Vˇerohodnosti:

1 2

3

8

₅

5

8

₅

3

8

₁

5

8

₅

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1

4

₁

3

4

₅

L₁

5

8

=

5

8

₁₀ 3

8

₆

, L₂ =

1

2

₁₀ 3

4

₅ 1

4

, L₁

5

8

= 5¹⁰ 3⁶

2⁴⁸ , L₂ = 3⁵

2²² ,

L₁ ⁵₈

L₂ = 5¹⁰ 3 2²⁶

= 0.437. < 1, druh´y model (vpravo) je vˇerohodnˇejˇs´ı.

Cviˇcen´ı. Porovnejte druh´y model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s tˇret´ım modelem (vpravo):

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

1 2

1 2

1 2

1

Cviˇcen´ı. Porovnejte druh´y model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s tˇret´ım modelem (vpravo):

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

1 2

1 2

1 2

1

Reˇˇ sen´ı.

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1

4

₁

3

4

₅

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1⁵

Cviˇcen´ı. Porovnejte druh´y model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s tˇret´ım modelem (vpravo):

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

1 2

1 2

1 2

1

Reˇˇ sen´ı.

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1

4

₁

3

4

₅

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1⁵

Tak ne!

Cviˇcen´ı. Porovnejte druh´y model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu (vlevo) s tˇret´ım modelem (vpravo):

1 2

1 2

1 2

1 4 3

4

1 2

1 2

1 2

1

Reˇˇ sen´ı.

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1

4

₁

3

4

₅

1 2

1

2

₅

1

2

₅

1⁵

Tak ne!

Chyb´ı n´am pˇrechod 2 → 2, kter´y nastal, ale model vpravo ho nepˇripouˇst´ı, takˇze takov´y model je nemoˇzn´y.

Cviˇcen´ı. Najdˇete model z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚u, nejsou-li pravdˇepodobnosti nijak omezeny.

Cviˇcen´ı. Najdˇete model z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚u, nejsou-li pravdˇepodobnosti nijak omezeny.

Reˇˇ sen´ı.

1 2

1 − p

p

1 − q q

1 2

(1 − p)⁵

p⁵

(1 − q)¹ q⁵

Cviˇcen´ı. Najdˇete model z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚u, nejsou-li pravdˇepodobnosti nijak omezeny.

Reˇˇ sen´ı.

1 2

1 − p

p

1 − q q

1 2

(1 − p)⁵

p⁵

(1 − q)¹ q⁵

L₄(p, q) = (1 − p)⁵ p⁵ q⁵ (1 − q), `<sub>4</sub>(p, q) = 5 ln(1 − p) + 5 lnp + 5 lnq + ln(1 − q), 0 = ∂`₄(p, q)

p = 5

p − 5

1 − p , 0 = ∂`₄(p, q)

q = 5

q − 1

1 − q , p = 5

10 = 1

2 , q = 5

6 , coˇz odpov´ıd´a empirick´ym podm´ınˇen´ym ˇcetnostem.

Vˇerohodnost tohoto modelu je nejvˇetˇs´ı moˇzn´a, tedy vˇetˇs´ı neˇz u pˇredchoz´ıch:

L₄

1

2, 5 6

=

1

2

₁₀ 5

6

₅ 1

6

= 5⁵

2¹⁶ 3⁶ = 5⁵ 2⁶

3¹¹ L₂ .

= 1.13L₂ .

Cviˇcen´ı. Pro model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu vyberte z n´asleduj´ıc´ıch moˇznost´ı nej- pravdˇepodobnˇejˇs´ı pokraˇcov´an´ı z poˇc´ateˇcn´ıho stavu 1:

1. (2,1,1,2,1,1,2,1,1),

2. (2,1,2,1,2,2,1,2,1),

3. (2,1,1,1,1,1,2,1,2).

Cviˇcen´ı. Pro model z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu vyberte z n´asleduj´ıc´ıch moˇznost´ı nej- pravdˇepodobnˇejˇs´ı pokraˇcov´an´ı z poˇc´ateˇcn´ıho stavu 1:

1. (2,1,1,2,1,1,2,1,1),

2. (2,1,2,1,2,2,1,2,1),

3. (2,1,1,1,1,1,2,1,2).

Reˇˇ sen´ı.

L₁ =

1

2

₆ 5

6

₃

= 0.009. ,

L₂ =

1

2

₄ 5

6

₄ 1

6

.

= 0.005 , L₃ =

1

2

₇ 5

6

₂

= 0.0054. , nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı je prvn´ı posloupnost stav˚u.