Hlavní práce5560_xbukj04.pdf, 577.5 kB Stáhnout

(1)

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta financí a účetnictví

Katedra bankovnictví a pojišťovnictví Studijní obor : Finance

Arbitrážní a zajišťovací vztahy na trzích futures kontraktů na úrokovou míru

Autor diplomové práce : Bc. Jan Bukovský

Vedoucí diplomové práce : doc. Mgr. Jiří Málek PhD.

Rok obhajoby : 2007

(2)

Strana 2 Arbitrážní a zajišťovací vztahy na trzích futures kontraktů na úrokovou míru

Čestné prohlášení :

Prohlašuji, že diplomovou práci na téma Arbitrážní a zajišťovací vztahy na trzích futures kontraktů na úrokovou míru jsem vypracoval samostatně a veškerou použitou literaturu a další prameny jsem řádně označil a uvedl v příloženém seznamu.

V Praze dne 2. 5. 2007

...

(3)

Obsah

1. VZNIK A VÝVOJ TRHŮ S FINANČNÍMI FUTURES ... 12

1.1. FORWARD KONTRAKT... 15

1.2. FUTURES KONTRAKT... 17

2. STANDARDIZACE A ZÁKLADNÍ TERMINOLOGIE ... 18

2.1. ZÁKLADNÍ POJMY... 19

2.1.1. Open quote... 19

2.1.2. High a low quote... 19

2.1.3. Settlement price ... 19

2.1.4. Settlement change ... 20

2.1.5. Open interest ... 20

2.1.6. Trading volume... 20

2.2. DENNÍ VYPOŘÁDÁNÍ A CLEARINGHOUSE... 20

2.3. KONVERGENCE SPOTOVÉ CENY A FUTURES CENY... 23

2.4. MARŽOVÝ ÚČET... 23

2.5. MARŽOVÝ ÚČET A JEHO VYPOŘÁDÁVÁNÍ... 24

2.5.1. INITIAL MARGIN... 24

2.5.2. MAINTENANCE MARGIN... 24

3. VYUŽITÍ FINANČNÍCH FUTURES ... 26

3.1. S^PEKULACE... 26

3.2. Z^AJIŠTĚNÍ... 26

3.2.1. Zajištění pomocí futures na krátkodobou úrokovou míru... 27

3.2.2. Zajištění pomocí futures na dlouhodobou úrokovou míru ... 29

3.3. ARBITRÁŽ... 30

3.3.1. Cash and Carry (C&C) arbitráž... 31

3.3.2. Čistá arbitráž... 32

3.3.3. Bezarbitrážní ekvilibrium ... 33

3.3.4. Fundamentální bezarbitrážní rovnice... 33

3.3.5. Transakční náklady a arbitráž... 37

3.3.6. C&C arbitráž a transakční náklady... 38

4. FUTURES NA KRÁTKODOBOU ÚROKOVOU ... 40

4.1. PODKLADOVÝ TRH... 41

(4)

4.2. FUTURES TRH... 41

4.3. FUNDAMENTÁLNÍ BEZARBITRÁŽNÍ ROVNICE... 47

5. FUTURES NA DLOUHODOBOU ÚROKOVOU MÍRU ... 53

5.1. TRH AMERICKÝCH VLÁDNÍCH DLUHOPISŮ... 53

5.2. VÝNOSNOST VLÁDNÍCH DLUHOPISŮ A KONVENCE JEJICH KOTACE... 54

5.3. DURACE... 55

5.4. VYUŽITÍ DURACE PŘI ZAJIŠTĚNÍ... 57

5.5. POŘADÍ ÚKONŮ PŘI DODÁNÍ PODKLADOVÉHO AKTIVA... 59

5.6. DODÁNÍ A CTD ... 59

5.7. URČENÍ CTD VDOBĚ SPLATNOSTI... 61

5.8. FUNDAMENTÁLNÍ BEZARBITRÁŽNÍ ROVNICE... 63

(5)

Seznam tabulek :

Tabulka 2-1 Hodnoty pro příklad č. 2-1 ... 25

Tabulka 3-1 Dopočtení příkladu 3-1... 28

Tabulka 3-2 Dopočtení příkladu 3-3... 30

Tabulka 4-1 Hodnoty potřebné k příkladu 4-4... 50

Tabulka 4-2 Výsledné hodnoty k příkladu 4-4 ... 51

Tabulka 5-1 Hodnoty dostupné v době expirace... 62

(6)

Seznam grafů :

Graf 1-1 Počet nevypořádaných futures kontraktů v letech 2003 – 2006... 14 Graf 1-2 Počet nevypořádaných futures kontraktů podle místa obchodu... 15 Graf 2-1 Konvergence spotové a futures ceny u kontraktů MAR7 na zlato ... 23

(7)

Seznam příkladů

Příklad 2-1 Základní počítání zisků a ztrát u 3M Euribor futures kontraktu... 25

Příklad 3-1Výpočet kontraktů potřebných k zajištění krátkodobé úr. míry ... 27

Příklad 3-2 Výpočet kontraktů potřebných k zajištění dlouhodobé úr. míry... 29

Příklad 3-3 C&C arbitráž... 31

Příklad 4-1 : Základní úročení s eurodollarovými depozity ... 41

Příklad 4-2 Základní počítání zisků a ztrát z držby ED Futures kontraktu ... 44

Příklad 4-3 Zajištění výpůjční úrokové sazby ... 45

Příklad 4-4 Ověření bezarbitrážní rovnice ... 50

Příklad 5-1 Výpočet množství potřebných kontraktů k zajištění ... 58

Příklad 5-2 Výpočet celkové invoice price... 60

(8)

Seznam rovnic :

Rovnice 2-1 Settlement change ... 20

Rovnice 2-2 Výpočet zisku a ztrát v rámci denního přecenění... 21

Rovnice 3-1 Množství kontraktů potřebných pro zajištění krát. úr. míry ... 27

Rovnice 3-2 Množství kontraktů potřebných pro zajištění dlouh. úr. míry ... 29

Rovnice 3-3 Implikovaná repo sazba... 34

Rovnice 3-4 Implikovaná reverzní repo sazba... 34

Rovnice 3-5 Bezarbitrážní rovnice... 34

Rovnice 3-6 Základní bezarbitrážní rovnice u podkl. aktiv nenesoucí výplatu... 35

Rovnice 3-7 Základní bezarbitrážní rovnice u podkl. aktiv nesoucí výplatu... 36

Rovnice 3-8 Přepsání základní bezarbitrážní rovnice ... 36

Rovnice 3-9 Net carry... 36

Rovnice 3-10 Vyjádření futures ceny pomocí net carry ... 37

Rovnice 3-11 C&C bezarbitrážní rovnice s transakčními náklady... 38

Rovnice 3-12 Reverzní C&C bezarbitrážní rovnice s transakčními náklady... 39

Rovnice 4-1 : Základní bezarbitrážní rovnice u futures na krát. úr. sazbu... 47

Rovnice 4-2 : Formule pro implikovanou úrokovou míru ... 47

Rovnice 5-1 Formule pro výpočet ceny US Treasury T-bonds ... 54

Rovnice 5-2 Výpočet alikvotního úrokového výnosu... 55

Rovnice 5-3 Celková transakční cena US Treasury T-bonds... 55

Rovnice 5-4 Výpočet durace dluhopisu při nomin. hodnotě 1 ... 56

Rovnice 5-5 Výpočet durace portfolia ... 56

Rovnice 5-6 Zjednodušený zápis durace dluhopisu ... 57

Rovnice 5-7 Přepsání zjednodušeného zápisu durace ... 57

Rovnice 5-8 Využití durace při zajištění futures kontrakty ... 57

Rovnice 5-9 Počet kontraktů nutných k zajištění ... 57

Rovnice 5-10 Invoice price ... 60

Rovnice 5-11 Invoice Principal Amount ... 60

Rovnice 5-12 Základní bezarbitrážní rovnice u futures na dlouh. úr. sazbu ... 63

Rovnice 5-13 Kotovaná futures cena pro CTD dluhopis ... 63

Rovnice 5-14 Celková transakční cena dluhopisu ... 64

Rovnice 5-15 Přepsání rovnice pro kotovanou futures cenu pro CTD dluhopis ... 65

Rovnice 5-16 Vyjádření kotované futures ceny pro CTD dluhopis pomocí DASP... 65

Rovnice 5-17 Přepsání rovnice s kotovaná futures cena pro CTD dluhopis ... 65

(9)

Úvod

Na počátku jedenadvacátého století rozhodně neexistuje nikdo, kdo by neznal výrazy jako jsou peníze, ekonomika, ekonomie. Již od prvních pospolitých společností si každý uvědomoval, že ke svému přežití je nutné vynaložit určitou dávku energie v podobě činností jako je lov, sběr plodin a jiné. Jak šel čas měnila se pouze struktura lidských činností, které musí člověk vyvinout k tomu, aby dokázal ve své době přežít.

Přes jednotlivé průmyslové revoluce, světové války, hospodářské a ropné krize až dodnes se rozšiřovalo množství lidských aktivit, které bylo nutné více sledovat, analyzovat a hledat nejefektivnější způsoby jejich řízení. Stejně jak se jednotlivá společenství vyvíjela, zdokonalovala, vyvíjely se taktéž jejich ekonomiky a ekonomické poznání. Pokud dříve v minulosti stačil jeden člověk na to, aby zvládl na dobré úrovni takové přírodní disciplíny jako jsou matematika, fyzikální a chemické vědy, dnes by k dané úrovni znalostí bylo nutné mít několik odborníků.

Z tohoto hlediska není ekonomie žádnou výjimkou. Jestliže dnes bude chtít člověk pojmout veškerou ekonomickou disciplínu na vysoké úrovni, rozhodně před ním bude ležet těžký úkol. Proto pro mě nebylo jednoduché si vybrat oblast, která by pro mne byla tou nejlákavější.

V rámci své diplomové práce jsem si vybral téma z oblasti finančních derivátů, speciálně finančních futures. A v rámci finančních futures zejména futures na úrokovou míru. V současnosti jistě neexistuje ekonom, který by neznal finanční deriváty. Tyto

„odvozeniny“ od klasických instrumentů finančního trhu se staly¹ v průběhu let velmi významnými nástroji pro zajištění a spekulaci jednotlivých účastníků finančního trhu.

Dnes již každá i ta nejmenší finanční instituce ví, co jsou to pojmy jako řízení rizik, VAR² a jiné. Pozice finanční instituce, ať již je to banka, penzijní fond, investiční

1 Rozšíření finančních derivátů výrazným způsobem napomohl rozpad Brettenwoodského měnového systému (1973) a obecně nárůst volatility na všech světových trzích.

2 VAR – Value At Risk

(10)

společnost nebo zajišťovna je každý den „nahlodávána“ různými typy rizik. Těmto rizikům se musí bránit a zároveň je řídit. Podle ekonomického zákona ovšem každé větší riziko s sebou nese i větší míru zisku. Proto pokud chce taková instituce v dnešní době vůbec přežít, musí se naučit s rizikem a s jistou mírou nejistoty pracovat a efektivně ji využívat k dosahování lepších finančních výsledků. Tyto jednotlivé rizikové expozice je nutné zajistit, tj. hledat nejlepší způsob, jak případnou ztrátu vyvolanou změnou ceny v dané pozici³ nahradit ziskem z jiné pozice, který by byl ovšem vygenerován stejnou změnou ceny jaká předtím generovala na jiné pozici ztrátu. Právě zatím to účelem došlo ke vzniku finančních derivátů a jejich rozšíření do celého světa. Důvodem proč jsem si vybral právě futures na úrokovou míru je jejich velmi oblíbená použitelnost pro zajištění proti změně úrokových sazeb⁴ na světových trzích což také dokládá objem pozic držených v tomto instrumentu jednotlivými účastníky trhu.

Již jenom proto, že přímo k tomuto tématu nenajde čtenář velké množství českých překladů zahraničních autorů nebo dokonce původem česky psané literatury je mojí ambicí přiblížit čtenáři pojem finančních futures, seznámit ho s jeho základním pojmy, historickým vývojem a vlastnostmi. Tato část bude náplní první a druhé kapitoly.

V kapitole třetí se pokusím o přiblížení obecného využití finančních futures a opět na příkladech se pokusím demonstrovat v jakých případech by takovéto použití bylo vhodné.

Poté se v kapitole 4 a 5 pokusím plynule přejít k samotným futures na úrokovou míru. Zde nejvíce rozvedu jejich jednotlivé vlastnosti a hlavním cílem této práce bude ukázat na příkladech jeho způsoby využití při reálném zajišťování pro reálné situace a taktéž přiblížit jednotlivé možné arbitrážní situace.

3 V této práci budu používat slovo POZICE ve významu známém pro finanční trhy, tj. držba daného instrumentu (akcie, dluhopisy, futures, opce, atd. ) v daný den na daném trhu v daném množství. Tato pozice může být jednak tzv. LONG (dlouhá, překoupená) nebo SHORT (krátká, přeprodaná ).

4 V dnešní době je riziko změny úrokových sazeb jedním z největších rizik pro finanční instituce

(11)

Tato práce bude tedy koncipována stylem, že v prvních kapitolách se budeme věnovat základním pojmům, abychom mohli později za použití daných již vysvětlených jevů lépe ilustrovat reálné využití tohoto instrumentu.

(12)

1. Vznik a vývoj trhů s finančními futures

Jak jsem se již zmínil v úvodu své práce finanční futures se staly během posledních desítek let velmi oblíbenými investičními instrumenty. Důvody toho jsou zpravidla dva⁵:

¾ Umožňují investorovi zajistit se proti riziku nepříznivého cenového vývoje podkladového aktiva⁶

¾ Umožňují investorovi investovat prostředky s velkým pákovým efektem

Stavební konstrukce finančních futures jako derivátu má za cíl krýt možné ztráty, které mohou vznikat na podkladových trzích, zatímco na trzích odvozených (derivátových) způsobí pohyb ceny podkladového aktiva zisk. Toto je základní vlastnost derivátů (finančních futures nevyjímaje) a také důvod jejich velké oblíbenosti.

Další příčinou popularity různých finančních derivátů je dále to, že možnost této investice nabízí velmi výrazný pákový efekt. Vezmeme-li např. nákup futures na akciový index, tak k tomu, abychom se stali vlastníky několika futures kontraktů nám stačí složit u příslušného brokera⁷ pouze poměrnou část (často to bývá do 20 %) nominální hodnoty kontraktu. Této poměrné části se říká initial margin a slouží pouze k bezprostřednímu krytí denního vypořádání zisků a ztrát u clearingového centra⁸. Toto znamená, že investor nemusí vydat částku, která by odpovídala nákupu daného koše akcií, které tvoří daný akciový index k tomu, aby profitoval nebo naopak ztratil z pohybu cen daného akciového koše.

Obě tyto vlastnosti jsou poměrně zásadní. Než se pustím do samotné problematiky finančních futures projdeme si krátce historii obchodování s futures jako takovými.

5 FITZGERALD, M. : Financial futures 2. vyd., London, Euromoney Books 1993, str. 4

6 V angl. literatuře underlying asset

7 Tento broker složí tento náš initial margin u clearingového centra dané burzy

8 Clearinghouse, viz. kapitola 2.2

(13)

Futures kontrakt je dohoda mezi dvěma stranami, které se domluvili na tom, že jedna strana prodá druhé straně komoditu, cenný papír nebo jiný instrument v dané ceně a k danému datu. Futures kontrakty na rozdíl od velmi podobného forwardu⁹ jsou obchodovány na centralizovaných burzách. Od poloviny 19. století se futures kontrakty začaly objevovat v USA. Do sedmdesátých let dvacátého století se jednalo převážně o futures kontrakty na zemědělské plodiny jako jsou pšenice, kukuřice, sojové boby nebo kontrakty na vzácné kovy jako jsou zlato a stříbro. „K opětovné renesanci burzovních termínovaných obchodů dochází v roce 1972, kdy na chicagské burze Chicago Mercantile Exchange je zahájeno obchodování s financial futurem, které představují moderní verzi termínových fixních obchodů.“¹⁰ Během sedmdesátých let došlo kvůli rozpadu Brettenwoodského měnového systému k nárůstu volatility jednotlivých měn, což mělo za následek prudký rozvoj futures kontraktů jejichž podkladem byl nejen měnový kurs, ale také US Treasury bills¹¹, dluhopisy, akciové indexy a také eurodolarová deposita¹².

Další velká kapitola byla otevřena v roce 1978, kdy byl na trh uveden první kontrakt na topný olej¹³. V této době docházelo k obrovským nárůstům objemů obchodovaných futures kontraktů a to také díky futures na úrokovou míru. Naproti tomu došlo k poklesu podílu obchodovaných zemědělských futures. Příčinou tohoto nárůstu byl také pokus Johnosonovi administrativy financovat Great Society Program a vietnamskou válku¹⁴. Tyto a další tlaky vedly ke zvýšení inflace (nejen v USA), která byla doprovázena cenovou a úrokovou volatilitou, proti níž finanční instituce stále častěji

9 S označením forward se můžeme velmi často setkat i v této zkrácené podobě - FWD

10Musílek, P.: Trhy cenných papírů, Ekopress 2002,1. vyd., str. 93

11 Treasury bill – pokladniční poukázka

12 Eurodolar Time deposit – viz. kapitola 4

13 Další kontrakty na ropu nebo ropné produkty následovaly v 80. letech

14 Siegel, Futures Market, McGraw-Hill copany, 1990, str.3

(14)

využívaly zajištění pomocí futures na úrokovou míru (hlavně Eurodollar Time Deposit a futures on Treasury bills). Dosud byla většina futures obchodů obchodována hlavně v USA a to na Chicago Board of Trade (CBOT), Chicago Mercantile Exchange (CME), New York Mercantile Exchange (NYME). Stejný vliv jako měl rozpad Brettenwoodského měnového systému na rozvoj měnových futures mělo taktéž ropné embargo arabských zemí na vývoz ropy z jejich zemí v roce 1973 a taktéž v roce 1979 iránská revoluce na rozvoj obchodování s ropnými futures. Po těchto událostech (hovoříme o prvním ropném šoku) došlo k dalšímu prudkému nárůstu cen ropy (stejně tak v 80. letech při druhém ropném šoku). Tato volatilita v cenách se bezesporu podepsala na touze jednotlivých účastníků trhů se více zajistit proti tomuto riziku a zároveň umožňovala obchodníkům profitovat ze vzrůstající volatility na trhu.

V současné době zcela převažují futures na úrokovou míru, kde jejich podíl je více jak poloviční.

Graf 1-1 Počet nevypořádaných futures kontraktů v letech 2003 – 2006

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Počet kontraktů v mil

2003 2004 2005 2006

Čas v letech

Počet nevypořádaných kontraktů

All markets Interest rate Currency Equity index

Pramen : Bank for International Settlements, Statistical Annex¹⁵

15 Bank for International Settlements, Statistical Annex, Statistics on exchange traded derivates, převzato [13.4.2007], dostupné z < http://www.bis.org/publ/qtrpdf/r_qa0703.pdf#page=108 >

(15)

Také z pohledu dnešních nejvýznamnější světových burz hrají zcela jednoznačně prim severoamerické burzy, kde se obchoduje téměř 80 % veškerých futures kontraktů.

Graf 1-2 Počet nevypořádaných futures kontraktů podle místa obchodu

0 50 100 150

Počet kontraktů v mil.

2003 2004 2005 2006

Čas v letech

Počet nevypořádaných kontraktů podle místa obchodu

All markets North America Europe Asia Other

Pramen : Bank for International Settlements, Statistical Annex¹⁶

Z krátkého průřezu historií obchodování s futures je vidět, že finanční futures jsou poměrně mladým instrumentem, který se neustále vyvíjí. Vedle futures kontraktu má podobné vlastnosti také forwardový kontrakt. Z finančního pohledu se jedná o jednodušší instrument a tak bude nejlepší začít u něj.

1.1. Forward kontrakt

Forwardový kontrakt je úmluva mezi subjekty nakupujícího a prodávajícího, která má následující charakteristiky :

¾ Smluveno množství, datum splatnosti a typ komodity nebo cenného papíru, který je předmětem kontraktu.

16Bank for International Settlements, Statistical Annex, Statistics on exchange traded derivates, převzato [13.4.2007], dostupné z < http://www.bis.org/publ/qtrpdf/r_qa0703.pdf#page=109 >

(16)

¾ Smluveno místo dodání (delivery place).

¾ Smluvená cena.

¾ Prodávající má povinnost prodat kupujícímu za výše uvedených podmínek.

¾ Do splatnosti kontraktu nedochází kromě poplatků k žádným finančním tokům.

Terminologie futures a forward kontraktů zavedla několik základních termínů.

Straně, která souhlasí s nákupem kontraktu v budoucnu se říká long positon (dlouhá pozice). Strana, která na druhé straně vstupuje do kontraktu jako prodávající se říká short position (krátká pozice). Forwardová cena je taková cena, za kterou budou strany nakupovat v době splatnosti (expiration). Stejně tak podkladové aktivum je takové aktivum, které je předmětem kontraktu, tedy budoucího nákupu nebo prodeje.

Obrázek 1-1 Časová linie forwardu

Pramen : Vlastní obrázek

Forwardová cena je dohodnutá cena, při které bude strana v short pozici dodávat podkladové aktivum k budoucímu předem sjednanému datu. Podkladové aktivum kontraktu je takové aktivum, které může být nakoupeno nebo prodáno v době splatnosti kontraktu. Pro příklad, strana, která drží long pozici ve forwardu na zlato souhlasí s nákupem předem definovaného množství zlata k nějakému datu v budoucnu a při nějaké dohodnuté forwardové ceně. Zisk nebo ztráta (profit&loss – Z&Z) z forwardové pozice je determinována budoucí očekávanou spotovou cenou. Strana, která je v době splatnosti kontraktu v long pozici bude zisková, pokud bude spotová cena vyšší než cena forwardová. Naopak tomu bude v short pozici.

(17)

1.2. Futures kontrakt

Futures kontrakty jsou fundamentálně podobné kontraktům forwardovým v tom, že cena dohodnutá dnes se vztahuje k budoucí transakci. V porovnání s předchozím typem zde najdeme ale i podstatné rozdíly.

Futures kontrakty jsou standardizovány úpravou množství a dnem dodání, zatímco u forwardu záleží na domluvě dvou smluvních stran. Futures kontrakty jsou obchodovány centralizovaně na k tomu zřízené derivátové burze (Derivative Exchange), zatímco forward je obchodován mezi dvěma dealery, kteří nemusejí být v určitou chvíli na daném místě (OTC Market).

Futures kontrakty umožňují účastníkům realizovat své zisky a ztráty na denní bázi.

Naproti tomu forward toto umožní až při jeho dodání. Pro vstup do pozice ve futures kontraktech musí příslušná osoba složit určitý procentní podíl z nominální hodnoty kontraktu (face value) na účet, který se nazývá margin account¹⁷. Tento účet se zřizuje u našeho brokera (v případě přímého obchodování na burze se obnos skládá na maržový účet u clearing centra). Dalším rozdílem je, že futures kontrakty jsou regulované, zatímco forward je instrument neregulovaný.

17 Viz. kapitola 2.4.

(18)

2. Standardizace a základní terminologie

Futures kontrakty jsou standardizované za podmínek stanovených derivátovou burzou, při kterých se pak obchodují.

Obrázek 2-1 Příklad futures kontraktu na dvouletý U.S. Treasury Note

Pramen : Chicago board of trade, Treasury¹⁸

Jednou z předností standardizace je koncentrace obchodování na několika málo kontraktech. Proto jsou tyto trhy mimořádně likvidní. Kdyby například nedošlo ke standardizaci dne dodání (Delivery Date) a takovýto kontrakt by mohl být k dodání každý pracovní den v roce, potom by pravděpodobně nebyl daný kontrakt dostatečně likvidní.

Standardizace ovšem slouží také k jednoduššímu porovnávání cen daných kontraktů.

18Chicago board of trade, Treasury, převzato [20.3.2007], dostupné z http://www.cbot.com/cbot/pub/cont_detail/1,3206,1522+14435,00.html

(19)

2.1. Základní pojmy

Na následujícím obrázku se pokusím vysvětlit několik teoretických pojmů.

Obrázek 2-2 Příklad kotace futures na dvouletý U.S. Treasury Note

Pramen : datový terminál XTRA3000 Reuters

2.1.1. Open quote

Je cena prvního provedeného obchodu dne pro daný obchodní den. Zpravidla nedochází k větší odchylce od včerejší uzavírací ceny.

2.1.2. High a low quote

Jsou nejvyšší a nejnižší ceny kotované v průběhu daného obchodního dne.

Zpravidla v dobách zvýšené volatility trhů dochází k nárůstu cenových rozdílu mezi těmito cenami.

2.1.3. Settlement price

Je cena, kterou burza používá pro přepočítání denních zisku a ztrát. Každý večer po uzavření obchodního dne se sejde Komise pro vypořádání (Settlement Committee) složená z členů burzy, která stanový settlement price pro každý kontrakt. Komise zkoumá poslední obchody před uzavřením obchodního dne. Často je jako settlement price vybrána cena posledního obchodu. Pokud nedošlo v blízkosti ukončení obchodování k žádnému obchodu, burza často stanoví jako settlement price průměr všech bid a ask cen pro zvolené obchody před koncem obchodování. Pokud naopak dojde před koncem obchodního dne k horečné obchodní aktivitě potom Komise opět stanoví průměr daných posledních obchodů.

(20)

2.1.4. Settlement change Je procentní změnou včerejší oproti dnešní settlement price¹⁹.

Rovnice 2-1 Settlement change

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ Δ

−1 t

t

SP SP SP

2.1.5. Open interest

Je celkový počet kontraktů, které zůstávají otevřené (outstanding) na konci obchodního dne a jsou převáděny do obchodního dne následujícího.

2.1.6. Trading volume

Je počet celkových zobchodovaných kontraktů k danému obchodnímu dni.

2.2. Denní vypořádání a Clearinghouse

Jak již bylo řečeno zisky a ztráty jsou ve futures kontraktech realizovány jinak než u forwardů. Zisky a ztráty (Z&Z) jsou u forwardu realizovány při splatnosti. I když jedna ze stran forwardu vykompenzuje svou původní pozici protipozicí i potom jsou případné Z&Z realizovány až v době splatnosti. Na druhé straně u futures kontraktů účastníci trhu realizují Z&Z na denní bázi. Systém denního vypořádání se nazývá Marking to Market²⁰ a provádí se pomocí osoby (instituce), která plní roli prostředníka a ta je nazývána Clearinghouse. „Clearingové centrum najde k obchodníkovi s krátkou pozicí ve futurem obchodníka s dlouhou pozicí ve futures, který má tuto pozici největší a oba obchodníky

19 SP – Settlement Price

20 Tomuto procesu často říkáme MTM process

(21)

seznámí.“²¹ Předpokládejme nyní, že vstupujeme jako protistrana A například do long pozice v daném kontraktu. Obchod je uzavřený přes Clearinghouse C. Jakmile je transakce provedena, Clearinghouse spáruje tuto long pozici s short pozicí B. Potom je Clearinghouse v long a short pozici zároveň a tyto dvě pozice se mu navzájem kompenzují.

Obrázek 2-3 Clearing house a vztahy s okolím

Pramen : Vlastní obrazek

Clearinghouse vypořádává Z&Z pro každou pozici každý den. V našem příkladu Clearinghouse vyplatí zisky straně A pokud dojde k nárůstu ceny, pokud dojde k poklesu ceny futures potom strana B vyplatí C svou ztrátu. Všechny Z&Z jsou vypočítávány na základě změny včeřejší a dnešní settlement price.

Rovnice 2-2 Výpočet zisku a ztrát v rámci denního přecenění

(

MTM MTM

)

TV

PL= _t − _t₋₁ *

21 Jílek, J.: Finanční a komoditní deriváty v praxi, Grada 2005, str. 270

(22)

kde

PL = zisk nebo ztráta,

MTMt = dnešní settlement price MTMt = včerejší settlement price

TV = Tick Value²²

Futures kontrakty se svým MTM procesem mají několik nesporných výhod oproti forwardu :

¾ Strana, která vstupuje do futures pozice se nemusí obávat kredibility protistrany, protože protistranou je vždy Clearinghouse, který ze své podstaty je vždy kredibilní.

¾ Protože ztráty jsou placeny postupně tak jak přicházejí, Clearinghouse snadno dohledá protistranu, která utrpěla značné ztráty a uzavře její pozici.

¾ Je snadné uzavřít futures pozici pro MTM systém. Jak jsme již řekli, vyvázat se z forwadového kontraktu nemusí být nejjednodušší věc. Při vykompenzování původní pozice musím stejně obě pozice držet až do splatnosti. Při obchodování s futures kontrakty již byly Z&Z realizovány. Strana, která se rozhodne vykompenzovat svou původní pozici potom tedy při samotném tomto obchodu již nerealizuje žádné cash flow. Clearinghouse poté považuje obě pozice této jedné strany za uzavřené.

¾ Vykompenzování své pozice je nejčastějším způsobem ukončení. Do splatnosti se drží v průměru pouze do 5 % celkového objemu (zde ovšem záleží na typu futures kontraktu).

22 Tick value je hodnota nejmenšího možného pohyby kotované ceny (tick size)

(23)

2.3. Konvergence spotové ceny a futures ceny

Denní Z&Z získané futures pozicí jsou determinovány denními pohyby futures cen.

V průběhu života kontraktu se přibližuje futures cena blíže ceně spotové daného podkladového nástroje. Až při dni splatnosti se rovná tzv. Final Settlement Price spotové ceně. Tomuto procesu se říká konvergence spotové a futures ceny (Delivery Data Convergence). Značnou měrou k tomuto procesu přispívají právě arbitrážní obchody na podkladovém a futures trhu (viz. kapitola 3).

Graf 2-1 Konvergence spotové a futures ceny u kontraktů MAR7 na zlato

600 610 620 630 640 650 660 670 680 690

29.12.2006 5.1.2007 12.1.2007 19.1.2007 26.1.2007 2.2.2007 9.2.2007 16.2.2007 23.2.2007 2.3.2007 9.3.2007 16.3.2007

Hodnota v USD

Vývoj v čase

Spotová cena Futures cena

Pramen : datový terminál XTRA3000 Reuters a vlastní úpravy

2.4. Maržový účet

Osoba, která vstoupí do futures pozice musí složit určitý obnos peněz, kterému se říká margin na účet, kterému se říká maržový účet (margin account). Tento margin je složen na účtu u brokera, který na oplátku tyto finanční prostředky složí u svého Clearinghousu. Derivátové burzy stanovují minimální požadavky na výši maržových účtů. Brokeři, přes které se dostáváme na derivátovou burzu vyžadují většinou větší obnos na maržovém účtu. Maržové účty mohou, ale také nemusí nést svému majiteli

(24)

úrok. Často se také používá jako alternativa peněžním zůstatkům složení cenných papírů (SPAN margin system²³).

2.5. Maržový účet a jeho vypořádávání

Tento účet se používá k vypořádávání denních změn ve futures pozicích. Pro některé klienty by mohlo být denní vybírání peněz z účtu nebo naopak jejich ukládání na maržový účet nevhodné a proto broker toto provádí pouze za delší časový úsek popřípadě při větších pohybech cen futures.

Zpravidla rozlišuje dva typy marží :

2.5.1. INITIAL MARGIN

Je původní finanční obnos, který musel být složen na maržový účet brokera při sjednání futures pozice. Pro určení výše Initial Margin derivátová burza zvažuje velikost posledních cenových změn a to tak, aby Clearinghouse mohl pomocí těchto marží krýt i významnější pohyby v cenách futures kontraktů. Často se tedy může stát, že v době vyšší volatility cen futures se taktéž zvyšují požadavky na Initial Margin.

2.5.2. MAINTENANCE MARGIN

Je minimální částka, která má být držena na maržovém účtu po dobu otevřené futures pozice (nejčastěji to bývá 75 % Initial Margin). Jestliže se cena pohybuje nepříznivě vůči klientovi, potom množství peněž na maržovém účtu klesne pod Maintenance Margin a broker musí klienta požádat o dotaci maržového účtu (v tomto případě mluvíme o Margin Call). Klient poté svůj maržový účet opět doplní. Zpravidla je požadováno, aby se obnos na maržovém účtu pohyboval na úrovni Initial Margin.

23 SPAN – Standard Portfolio Analysis of Risk – určuje riziko na bázi celého portfolia. Poskytuje metodu, která integruje obojí futures a options kontrakty do stejného systému pro určení rizika portfolia. Kontrakty jsou prověřovány přes jejich cenovou volatilitu tak, aby byla burza schopna určit potenciální budoucí zisk popř. ztrátu.

(25)

Tomuto obnosu, kterým klient dorovná svůj závazek vůči brokerovi se nazývá Variation Margin. Pokud klient nesplní tento svůj závazek, broker zpravidla likviduje klientovu pozici. Na následujícím příkladu si ukážeme, jakým způsobem probíhá denní přecenění.

Příklad 2-1 Základní počítání zisků a ztrát u 3M Euribor futures kontraktu

Jako příklad si vezmeme kotace cen tříměsíčního (3M) Euribor futures z března 2007. Předpokládejme, že v pondělí 9. 3. 2007 nakoupíme 1 tříměsíční Euribor futures kontrakt se splatností v červnu 2007. Dále předpokládejme, že burza vyžaduje Initial Margin ve výši 7 350 EUR a Maintanance Margin ve výši 5 500 EUR. Proto zároveň při svém nákupu musíme složit burze Initial Margin. V tabulce 2-1 můžeme vidět vývoj kotované ceny.

Tabulka 2-1 Hodnoty pro příklad č. 2-1

Den QFP Hodnota kontraktu Zisk a Ztráta Balance

5.3.2007 96,020 240 050,00 0,00 7 430,00

5.3.2007 96,025 240 062,50 12,50 7 442,50

6.3.2007 96,010 240 025,00 -37,50 7 405,00

7.3.2007 96,000 240 000,00 -25,00 7 380,00

8.3.2007 95,965 239 912,50 -87,50 7 292,50

9.3.2007 95,935 239 837,50 -75,00 7 217,50

12.3.2007 95,94 239 850,00 12,50 7 230,00

13.3.2007 95,94 239 850,00 0,00 7 230,00

14.3.2007 95,955 239 887,50 37,50 7 267,50

15.3.2007 95,935 239 837,50 -50,00 7 217,50

16.3.2007 95,945 239 862,50 25,00 7 242,50

19.3.2007 95,93 239 825,00 -37,50 7 205,00

20.3.2007 95,935 239 837,50 12,50 7 217,50

21.3.2007 95,93 239 825,00 -12,50 7 205,00

22.3.2007 95,935 239 837,50 12,50 7 217,50

23.3.2007 95,935 239 837,50 0,00 7 217,50

Pramen : Datový terminál XTRA a vlastní výpočty

V případě, že by během doby, kdy držím pozici v tomto futures kontraktu klesl zůstatek na mém maržovém účtu pod hranici 5 500 EUR mám jako klient povinnost dorovnat svůj účet zpět do výše 7 430 EUR. Na našem příkladu kotace z března 2007 je vidět, že jsme nebyli nuceni náš maržový účet dorovnávat.

(26)

3. Využití finančních futures

Pro využívání futures kontraktů existují zpravidla tři motivy²⁴ :

¾ Motiv spekulativní

¾ Motiv zajišťující

¾ Motiv arbitrážní

3.1. Spekulace

Spekulant je investor, který si přeje podstoupit riziko futures pozice ve víře budoucích zisků. Jeden typ spekulantů využívá fundamentální analýzy ekonomických podmínek k tomu, aby se rozhodl o jaký typ futures pozice půjde. Typický fundamentální analytik předpovídá futures cenu na základě ekonomických příčin možných změn spotové ceny. Na základě této skutečnosti zaujme pozici, pro kterou vynáší jeho fundamentální analýza největší výnosy.

Dalším typem spekulantů jsou investoři pokoušejících se predikovat, jak se bude futures cena pohybovat na základě historických dat. Takovým spekulantům říkáme techničtí analytici.

3.2. Zajištění

Osoba, která používá futures trhy pouze ke snížení rizika pohybu ceny komodit, cenných papírů, měnových kursů nebo úrokových sazeb se nazývá zajistitel (hedger).

Tato strategie eleminuje zajistitelovu celkou rizikovou expozici.

24 SIEGEL, R. – SIEGEL F. : The Futures Markets, London, McGraw-Hill Book Company, str. 30

(27)

3.2.1. Zajištění pomocí futures na krátkodobou úrokovou míru Jak nejlépe zajistit naší expozici proti např. poklesu krátkodobých úrokových sazeb se pokusím ukázat na následujícím příkladu. V tomto příkladu se zdá jako nevhodnější zajištění využít futures na krátkodobou úrokovou míru. Otázkou potom je, kolik takových kontraktů k zajištění použít.

Příklad 3-1Výpočet kontraktů potřebných k zajištění krátkodobé úr. míry

Předpokládejme, že je 10. července a ABC Corp. očekává nadbytek finančních prostředků ve výši 120 mil.USD, které se chystá uložit za tři týdny (31. července) do depozitních certifikátů na dobu šesti měsíců. Společnost se obává, že v průběhu těchto tří týdnů dojde k poklesu úrokových sazeb a tak se rozhodne proti tomuto očekávanému poklesu zajistit. Na trhu existuje silná pozitivní korelace mezi úrokovou mírou z šestiměsíčních depozitních certifikátů a implikovanou úrokovou mírou eurodollarových futures. Hodnota korelačního koeficientu je 0,92 (pro upřesnění nominální hodnota eurodollarového futures je 1 mil. USD²⁵). K výpočtu množství potřebných kontraktů použijeme následující formule :

Rovnice 3-1 Množství kontraktů potřebných pro zajištění krát. úr. míry ²⁶

RC SFC ME

NoC = FV^asset * *

kde

NoC = Počet kontraktů

asset

FV = Nominální hodnota aktiva k zajištění²⁷

25 Viz. kapitola 4

26 Futures Trading, Reuters Group, eStudy, neveřejný zdroj,

https://issunas1.uki.ime.reuters.com:14741/OA_HTML/OA.jsp?akRegionCode=OTA_TRAINING_TOP_S S&akRegionApplicationId=810&pTrainingViewCode=20&retainAM=Y&addBreadCrumb=RS&dbc=issu ndb1_prdwwoa6&transactionid=286BB093CAE9AC3EABEC3AE45A154431

(28)

SFC = Nominální hodnota futures kontraktu²⁸ ME = Peněžní ekvivalent²⁹

RC = Regresní koeficient Potom tedy NoC je :

221

92 , 0 25*

*50 1

120

≈

= NoC

mil NoC mil

Proto se tedy ABC Corp. zajistí proti poklesu úrokové míry z depozitních certifikátů nákupem 221 eurodollarových futures.

Nyní si přiklad dopočítáme a zjistíme, že podle tabulky 3-1 bude jeho celková pozice i přes zajištění ztrátová :

Tabulka 3-1 Dopočtení příkladu 3-1

Datum Pozice na spotovém trhu Pozice na futures trhu

10.7.2007 5,625 % p.a. Nákup 221 zářijových

kontraktů za cenu 94,58

31.7.2007 5,250 % p.a. Prodej 221 zářijových

kontraktů za cenu 94,96

Celkem

Ztráta = 120 000 x (5,625 - 5.25) x 180/360 =

225 000

Zisk = 221 x (94,96 - 94,58) / 0,005 x 12,50 = 209 950 Pramen : Vlastní výpočty

27 FV - Face value

28 SFC – Size of Futures Contract

29 Peněžní ekvivalent je vyjádření změny ceny daného futures kontraktu daného změnou 1 bazického bodu (0,01 % p. a.) v úrokové sazbě. Pro eurodollarový futures kontrakt je to 25 USD. 0,01 procentní změna koresponduje 1mil. x 0,01 x 3/12 = 25 USD. Cena jednoročního instrumentu s nominální hodnotou 1 mil.

klesne nebo stoupne o 100 USD jak úroková sazba vzroste nebo klesne o 0,01 % p.a. (1 mil. USD x 0,01

% x 12/12). Proto budeme potřebovat 2 eurodollarové kontrakty, abychom mohli zajistit půl roční instrument se stejnou nominální hodnotou.

(29)

3.2.2. Zajištění pomocí futures na dlouhodobou úrokovou míru Pokud naopak se jedná o zajištění, které trvá delší dobu (např. více jak jeden rok), potom je k zajištění vhodné využít např. futures na dluhopisy. Potom pro zajištění použije následující rovnice :

Rovnice 3-2 Množství kontraktů potřebných pro zajištění dlouh. úr. míry³⁰

SFC CF

NoC= FV^asset*

kde

CF = konverzní faktor³¹

Opět se pokusím tuto problematiku přiblížit pomocí následujícího příkladu :

Příklad 3-2 Výpočet kontraktů potřebných k zajištění dlouhodobé úr. míry

Předpokládejme, že je 28. června 2007 a Sigma banka drží portfolio s americkým vládními dluhopisy s nominální hodnotou 87 mil. USD a s kupónem 7 1/8 % se splatností v březnu 2025. Sigma bank předpokládá, že tuto pozici zlikviduje dne 28.

července. Sigma banka se ovšem obává růstu úrokových sazeb (což má za následek pokles cen dluhopisů) před samotnou likvidací pozice. Proto se banka rozhodne pro zajištění pomocí US Treasury Bond futures s nominální hodnotou 100 000 USD (očekávaný konverzní faktor je 1,1217). Při použití rovnice 3-2 dostane následující výsledek :

30 Futures Trading, Reuters Group, eStudy, neveřejný zdroj,

https://issunas1.uki.ime.reuters.com:14741/OA_HTML/OA.jsp?akRegionCode=OTA_TRAINING_TOP_S S&akRegionApplicationId=810&pTrainingViewCode=20&retainAM=Y&addBreadCrumb=RS&dbc=issu ndb1_prdwwoa6&transactionid=286BB093CAE9AC3EABEC3AE45A154431

31 Konverzní faktor je koeficient, který vyrovnává cenu dluhopisových futures kontraktů s různými podkladovými dluhopisy k dodání.

(30)

976

1217 , 1 100 *

87

≈

= NoC

tis NoC mil

Pokud dojde k vývoji cen podle následující tabulky, potom zisk z futures pozice bude nahrazovat ztrátu z podkladové pozice našeho portfolia.

Tabulka 3-2 Dopočtení příkladu 3-3

Datum Pozice na spot trhu Pozice na futures trhu

28.6.2007 107 7/8

Prodej 976 zářijových kontraktů za cenu 96-19

28.7.2007 103 13/16 Nákup 976 zářijových kontraktů

za cenu 92-28

Celkem

Ztráta = 87mil x (107,875 -103,8125)/100 =

3 534 375 Zisk = 976 x (96-19 - 92-28) / (1/32) x 31,25 = 3 629 500 Pramen : Vlastní výpočty

Tímto jsme si ukázali některé možné přístupy k zajišťování našich expozic pomocí úrokových futures.

3.3. Arbitráž

Arbitražér je obchodník, který se pokouší realizovat zisk z rozdílů mezi cenami futures a spotovými cenami (ceny podkladových nástrojů). Konvergence futures cen k cenám spotovým je dosahována právě arbitrážním obchodováním. Arbitražér používá několik strategií jak dosáhnout zisku z obchodování mezi spotovým a futures trhem. Pro zjednodušení budeme uvažovat o hypotetickém futures kontraktu vypsaném na jednu hypotetickou akcii. Tento kontrakt může být jako futures na index při tom, že koš akcií, ze kterých se index počítá obsahuje pouze jednu naši akcii. Základní formou arbitráže, kterou se budu zabývat na následujících stranách je tzv. Cash and Carry arbitráž.

(31)

3.3.1. Cash and Carry (C&C) arbitráž

Jak již jméno napovídá tato strategie v sobě zahrnuje nákup pokladového aktiva pro futures kontrakt na spotovém trhu a držení ho (carrying) až do konce splatnosti short futures pozice. Následující příklad nám pomůže lépe C&C arbitráž pochopit.

Příklad 3-3 C&C arbitráž

Předpokládejme, že arbitražér má na trhu k dispozici tyto ceny. Na spotovém trhu může koupit naši akcii za 140 USD a futures kontrakt s maturitou za jeden rok se obchoduje za 155 USD. Pro zjednodušení předpokládejme, že naše akcie nenese žádné dividendy a že obchodování nestojí žádné transakční poplatky. Arbitražér zaujme následující pozici :

¾ Nakoupí 1 milion akcií za 140 USD

¾ Prodá 1 milion futures kontraktů na naši akci za 155 USD

¾ Drží akcie po dobu jednoho roku do splatnosti futures kontraktu.

Tato strategie stojí dnes 140 milionů USD a přinese nám 155 milionů při splatnosti futures kontraktu. Výnosnost této operace je dána :

% 71 , 10

140 140 155

=

= −

RR

mil mil RR mil

CO CO RR CI

t t T

kde

CIT = Peněžní přítok (Cash inflow) v čase T COt = Peněžní odtok (Cash outflow) v čase t RR = Výnosová míra (Rate of return)

(32)

Tento příklad 3-3 nám ilustruje základní kroky C&C arbitráže. Vstup do C&C arbitráže umožňuje arbitražerovi vytvořit investici, která se chová jako diskontovaný dluhopis s nominální hodnotou 155 mil. USD, který se obchoduje v současnosti za 140 mil. USD. Arbitražér zaplatí dnešní cenu za pokladové akcie a využije futures kontraktu k uzavření své pozice za rok při splatnosti. Jelikož u futures kontraktů je malá pravděpodobnost nedodání protistranou (defaultu), potom tato strategie vede k vytvoření bezrikového diskontního dluhopisu podobného např. T-bills v USA.

Tomuto dluhopisu říkáme syntetický dluhopis. Také se této situaci říká, že arbitražér vytvořil syntetickou zápůjčku³². Arbitržér ve skutečnosti půjčil peníze, které dostane zpět při úrokové sazbě, které říkáme syntetická zápůjční úroková sazba.

3.3.2. Čistá arbitráž

Příklad 3-3 nám také ukázal, že arbitražér může vydělat 10,71 % tím, že vytvoří syntetickou zápůjčku. Nyní předpokládejme, že arbitražér si může půjčit 140 mil. USD za 10 %. Tato strategie tedy potom vede k zisku při nulové investici. Takovému bezrizikovému zisku říkáme čistá arbitráž³³ . Tedy čistá C&C arbitráž existuje jestliže :

syntetická zápůjční úroková sazba > výpůjční úroková sazba Takto opakovaná strategie vede k následujícím cenovým pohybům :

¾ Cena naší akcie poroste vzhledem ke zvýšené poptávce na spotovém trhu, která je způsobena opakovaným vstupem do C&C arbitráže.

¾ Futures cena kontraktu na naší akcii poklesne vzhledem k prodejním tlakům.

¾ Cena našich zápůjčních fondů se bude zvyšovat pod tlakem zvyšující se poptávky.

32 Synthetic loan

33 Pure abritrage

(33)

Stejné chování lze aplikovat i opačným směrem, tedy utvořit opačnou strategii, které říkáme reverzní C&C arbitráž.

Někdy se lze setkat i s jinou než výše uvedenou terminologií. Syntetické zápůjční úrokové sazbě v C&C se může říkat implikovaná repo sazba a syntetické výpůjční úrokové sazbě v reverzní C&C se může říkat implikovaná reverzní úroková sazba.

3.3.3. Bezarbitrážní ekvilibrium

Čistá C&C arbitráž existuje, když implikovaná repo sazba převyšuje výpůjční úrokovou sazbu a naopak reverzní C&C arbitráž existuje když reverzní implikovaná úroková sazba je menší než tržní zápůjční úroková sazba. Arbitráž neexistuje když implikovaná repo sazba je menší nebo rovna výpůjční sazbě a když implikovaná reverzní repo sazba je větší nebo rovna zápůjční sazbě. Při rovnovážné ceně neexistují arbitrážní příležitosti.

3.3.4. Fundamentální bezarbitrážní rovnice

Arbitražér bude sledovat C&C arbitráž mezi spotovým a futures trhem právě tak dlouho, dokud bude tato nulová počáteční investice vynášet bezrizikový zisk. Toto opakované obchodování způsobí, že ceny na obou trzích budou udržovány v bezarbitrážním pásmu.

3.3.4.1. Arbitráž u futures s podkladovým aktivem nenesoucím výplatu

Tento arbitrážní vztah se nejčastěji používá u futures na komodity nebo cenné papíry nenesoucí výplatu během života futures kontraktu. Jedná se o futures kontrakt s následujícími charakteristikami :

¾ Podkladové aktivum může být nakoupeno nebo prodáno na spotovém trhu bez transakčních nákladů.

¾ Podkladové aktivum je drženo bez jakýchkoli nákladů (skladovací, pojišťovací náklady).

(34)

¾ Toto aktivum může být prodáno nakrátko.

¾ Aktivum nenese žádnou výplatu typu dividend, kupónu atd.

¾ Také předpokládáme, že arbitražér si může vypůjčit a zároveň zapůjčit za stejnou úrokovou sazbu.

Úrok obdržený nebo zaplacený mezi t a T bude označovat jako r_t_,_T. V předchozích pasážích jsme si ukázali, že arbitražér nakoupí podkladové aktivum v čase t za P_ta uzamkne svoji prodejní cenu v čase T prodejní cenou futures kontraktu F_t_,_T. Implikovanou repo sazbu můžeme potom vyjádřit takto (popisky k rovnici jsou stejné jako u příkladu 3-3) :

Rovnice 3-3 Implikovaná repo sazba

t t T T

T T t

CO CO CI

P P

F −

− =

,

Pro případ reverzní C&C arbitráže uzamkne svoji nákupní cenu v čase T.

Implikovaná reverzní repo sazba je tedy potom :

Rovnice 3-4 Implikovaná reverzní repo sazba

t t T T

T T t

CI CI CO P

P

F_, − = −

Skloubením obou rovnic 3-3 a 3-4 za podmínky bezarbitrážní příležitosti dostaneme výraz :

Rovnice 3-5 Bezarbitrážní rovnice

T t T

T T

t r

P P F

,

, − =

(35)

Rovnici 3-5 můžeme vyjádřit jako vztah mezi futures cenou a spotovou cenou za předpokladu bezarbitrážních zisků a ztrát. Tomuto vztahu říkáme základní bezarbitrážní vztah :

Rovnice 3-6 Základní bezarbitrážní rovnice u podkl. aktiv nenesoucí výplatu

(

tT

)

t T

t

P r

F

_,

= 1 +

_,

kde

T

Ft_, = futures cena

Pt = spotová cena

T

rt_, = zápůjční (výpůjční) úroková sazba

(36)

3.3.4.2. Arbitráž u futures s podkladovým aktivem nesoucím výplatu

Pro mnoho cenných papírů znamená jejich držba výnos v podobě dividend, kupónových plateb atd. Toto je příklad pozitivních plateb. Ovšem existují i platby negativní, jakými jsou náklady na uskladnění. Takovéto platby samozřejmě mění také bezarbitrážní rovnici:

Rovnice 3-7 Základní bezarbitrážní rovnice u podkl. aktiv nesoucí výplatu

(

tT

)

T

(

tT

)

t T

t P r FV výplata

F_, = 1+ _, − _,

kde

(

tT

)

T výplata

FV _, = budoucí hodnota výplat mezi t a T

Pozitivní výplaty redukují futures cenu zatímco negativní výplaty ji zvyšují.

Přestavěním rovnice 3-7 dostane následující vztah

Rovnice 3-8 Přepsání základní bezarbitrážní rovnice

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

− =

t T t T

T t t

t T t

P výplata r FV

P P

F _,

, ,

který nám říká, že procentní změna mezi futures a spotovou cenou se rovná zápůjční (výpůjční) úroková sazba mínus neanualizovaná výplatní sazba (výraz na pravé straně rovnice 3-8 se nazývá net carry).

Taktéž můžeme původní rovnici 3-5 přepsat do tvaru :

Rovnice 3-9 Net carry

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

t T t T

T

t P

výplata r FV

NC _, ^,

kde

NC = Net carry

potom lze tedy rovnici 3-9 přepsat do tvaru :

(37)

Rovnice 3-10 Vyjádření futures ceny pomocí net carry

( )( )

_t

t T

t

P net carry P F

_,

= + _

Rovnice 3-10 nám ukazuje, že spotová cena může být větší než futures cena pokud je net carry zaporná. Jestliže výplaty z držení podkladového aktiva jsou záporné, potom budoucí hodnot výplat bude negativní a net carry potom musí být pozitivní.

3.3.5. Transakční náklady a arbitráž

Až do teď jsme předpokládali, že čistá arbitráž mohla být zobchodována bez jakýchkoliv transakčních nákladů. Ovšem toto bylo pouze naše zjednodušení, protože takto tomu v reálném světě není. Náklady obchodování na trzích futures a jejich podkladových trzích bude ovlivňovat fundamentální bezarbitrážní rovnici.

3.3.5.1. Bid a Ask spread

Při obchodování s komoditami, cennými papíry nebo futures kontrakty zpravidla strana kupující platí větší částku než kdyby daný předmět v té chvíli prodávala. Tato diference se nazývá bid a ask spread. Toto platí i pro futures. Potom strana, která má zájem o long pozici zaplatí více než dostane kdyby měla zájem o short pozici.

3.3.5.2. Náklady na margin trading a short selling

Obchodník, který vstupuje do C&C arbitráže si musí půjčit prostředky k financování nákupu podkladového aktiva. Částka, kterou si takto může půjčit je obvykle nějakým způsobem omezená. Zpravidla bývá, že individuální investor si může vypůjčit maximálně 50 % nákladu od svého brokera. Finanční investice jako jsou investiční banky si mohou půjčit více v závislosti na úvěrové pozici. Podobným způsobem je upraven i short selling. Zde jsou také restrikce a transakční náklady.

3.3.5.3. Diference mezi zápůjční a výpůjční úrokovou sazbou Účastníci na trhu platí zpravidla větší úrokovou sazbu za možnost si vypůjčit než dostanou při zapůjčení volných peněžních prostředků.