Katedra aplikované mechaniky
Algoritmus pro stanovení t ě žišt ě t ě lesa z m ěř ení na tenzometrické plošin ě
Algorithm for Determination of Center of Gravity based on Measurements on Strain Gauge Platform
Student: David Bolek
Vedoucí bakalá ř ské práce: Ing. Zden ě k Poruba, Ph.D.
Ostrava 2017
Místopřísežné prohlášení studenta
Prohlašuji, že jsem celou bakalářskou práci včetně příloh vypracoval samostatně pod vedením vedoucího bakalářské práce a uvedl jsem všechny použité podklady a literaturu.
V Ostravě 15. 05. 2017 ...
podpis studenta
Poděkování
Především bych chtěl poděkovat svému Bohu, že mě dovedl v mém životě až do této chvíle. Děkuji Ing. Zdeňku Porubovi, Ph.D. za odborné vedení při vypracování této práce a za nadšenost s jakou se pouštěl do řešení problémů, které se objevily. Dále bych chtěl poděkovat Ing. Pavlu Maršálkovi za hodnotné rady, které byly klíčové pro zdárný průběh práce. V neposlední řadě bych chtěl poděkovat Davidovi Paříkovi za pomoc s kompilací aplikace pro výpočet těžiště. Děkuji také rodině za podporu a důvěru v každém čase.
Prohlašuji, že
• jsem byl seznámen s tím, že na moji bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., autorský zákon, zejména § 35 – užití díla v rámci občanských a náboženských obřadů, v rámci školních představení a užití díla školního a § 60 – školní dílo.
• beru na vědomí, že Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava (dále jen „VŠB-TUO“) má právo nevýdělečně ke své vnitřní potřebě bakalářskou práci užít (§ 35 odst. 3).
• souhlasím s tím, že bakalářská práce bude v elektronické podobě uložena v Ústřední knihovně VŠB- TUO k nahlédnutí a jeden výtisk bude uložen u vedoucího bakalářské práce. Souhlasím s tím, že údaje o kvalifikační práci budou zveřejněny v informačním systému VŠB-TUO.
• bylo sjednáno, že s VŠB-TUO, v případě zájmu z její strany, uzavřu licenční smlouvu s oprávněním užít dílo v rozsahu § 12 odst. 4 autorského zákona.
• bylo sjednáno, že užít své dílo – bakalářskou práci nebo poskytnout licenci k jejímu využití mohu jen se souhlasem VŠB-TUO, která je oprávněna v takovém případě ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, které byly VŠB-TUO na vytvoření díla vynaloženy (až do jejich skutečné výše).
• beru na vědomí, že odevzdáním své práce souhlasím se zveřejněním své práce podle zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozdějších předpisů, bez ohledu na výsledek její obhajoby.
V Ostravě 15. 05. 2017
...
podpis
Jméno a příjmení autora práce: David Bolek
Adresa trvalého pobytu autora práce: Lokalitní 1181/6, 735 35 Horní Suchá
ANOTACE BAKALÁ Ř SKÉ PRÁCE
BOLEK, D. Algoritmus pro stanovení těžiště tělesa z měření na tenzometrické plošině:
bakalářská práce. Ostrava: VŠB – Technická univerzita Ostrava, Fakulta strojní, Katedra mechaniky, 2017, 50 s. Vedoucí práce: Poruba, Z.
Cílem bakalářské práce je nalézt algoritmus pro stanovení těžiště tělesa z měření na tenzometrické plošině. V úvodu práce jsou popsána existující zařízení z oblasti medicíny a automobilového průmyslu, která jsou schopná měřit polohu těžiště tělesa. Hlavní obsah práce pojednává o sestavení algoritmu.
Postup je rozdělen do dvou částí. V první části je vytvořen základní algoritmus na zjednodušeném modelu plošiny. Ve druhé části je vytvořen algoritmus na 3D modelu reálné tenzometrické plošiny.
Správnost algoritmu je ověřena v softwaru ANSYS Workbench 18.0. Výpočet těžiště tělesa je usnadněn aplikací vytvořenou v softwaru MATLAB. Na závěr je využití algoritmu demonstrováno na modelu vysokozdvižného vozíku.
ANNOTATION OF BACHELOR THESIS
BOLEK, D. Algorithm for Determination of Center of Gravity based on Measurements on Strain Gauge Platform: Bachelor Thesis. Ostrava: VŠB – Technical University of Ostrava, Faculty of Mechanical Engineering, Department of Mechanics, 2017, 50 p. Thesis head: Poruba, Z.
The main goal of bachelor thesis is to find an algorithm for determination of center of gravity based on measurements on strain gauge platform. The introductory part of this work contains a description of existing gadgets used in medical science and automotive industry that are able to measure the center of gravity. Main content of thesis is about creation of the algorithm and consists of two parts. In the first part, basic algorithm is created for the basic model of platform. In the second part, algorithm is created for the 3D model of real strain gauge platform. Functionality of the algorithm is verified using software ANSYS Workbench 18.0. Further, application in software MATLAB is created in order to make calculation of center of gravity simpler. Finally, application of algorithm is manifested on the fork-lift.
Obsah
Úvod ...12
1 Zařízení pro měření polohy těžiště tělesa ...13
1.1 Force plate ... 13
Příklady využití: ... 13
Princip fungování ... 13
BioWare® ... 14
1.2 Smart Balance Master® ... 14
Standardní měřící protokoly: ... 15
1.3 InTenso+ ... 15
Princip fungování ... 15
1.4 SE90168 ... 16
Princip fungování ... 16
2 Základní algoritmus...17
2.1 Úvod do problematiky ... 17
Volba souřadného systému ... 17
Známé a neznámé veličiny ... 17
Měřené stavy ... 17
2.2 Zjednodušený model ... 18
2.3 Měřené stavy ... 19
Stav A ... 19
Stav B ... 20
Stav C ... 21
Stav D ... 23
3 Zjednodušený model v softwaru ANSYS ...25
3.1 Tvorba geometrie ... 25
3.2 Materiál plošiny a vytváření sítě ... 26
3.3 Souřadné systémy ... 27
3.4 Okrajové podmínky ... 27
3.5 Zpracování výsledků ... 28
3.6 Srovnání výsledků ... 29
4 Rozšířený algoritmus...30
4.1 Rozměry plošiny ... 30
4.2 Měřené stavy ... 31
Stav A ... 31
Stav B ... 32
Stav C ... 33
Stav D ... 34
5 Reálný model ...35
5.1 Testovací model ... 35
Tvorba geometrie ... 35
Vytváření sítě ... 37
Okrajové podmínky ... 38
Zpracování výsledků ... 38
Srovnání výsledků ... 40
5.2 Těžiště vysokozdvižného vozíku... 40
Tvorba geometrie ... 40
Vytváření sítě a okrajové podmínky ... 41
Zpracování výsledků ... 41
6 Vytváření aplikace v Matlabu ...43
6.1 Aplikace CoG ... 43
Ovládání aplikace ... 44
6.2 Aplikace CoG_Company ... 45
Naklápění tenzometrické plošiny ... 47
7 Závěr ...48
8 Seznam použité literatury ...49
9 Seznam příloh ...50
Seznam použitých zna č ek a symbol ů
Značka Veličina Jednotka
∝ Úhel natočení plošiny [°]
Vzdálenost mezi reakčními silami [ ] Vzdálenost mezi reakčními silami [ ] Vzdálenost osy otáčení od bližší reakce [ ] Relativní odchylka měření souřadnice x [%]
Relativní odchylka měření souřadnice y [%]
Relativní odchylka měření souřadnice z [%]
Modul pružnosti v tahu [ ]
I-tá síla [ ]
Tíha plošiny [ ]
Tíha nepohyblivé části plošiny [ ]
Tíha pohyblivé části plošiny [ ]
Tíha tělesa [ ]
Vzdálenost osy otáčení od počátku lokálního
souřadného systému [ ]
Délka kvádru [ ]
I-tý moment síly k ose x [ ∙ ]
I-tý moment síly k ose y [ ∙ ]
Poissonovo číslo [−]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Značka Veličina Jednotka
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Reakční síla v podpoře [ ]
Σ Suma [−]
Poloha těžiště nepohyblivé části plošiny [ ] Poloha těžiště pohyblivé části plošiny [ ]
Šířka kvádru [ ]
Souřadnice polohy těžiště plošiny [ ] Souřadnice polohy těžiště tělesa [ ]
′ Vypočtená poloha těžiště tělesa [ ]
Poloha působení tíhy plošiny [ ]
Souřadnice polohy těžiště plošiny [ ] Souřadnice polohy těžiště tělesa [ ]
′ Vypočtená poloha těžiště tělesa [ ]
Souřadnice polohy těžiště tělesa [ ]
′ Vypočtená poloha těžiště tělesa [ ]
Zkratka Význam 2D Dvourozměrný 3D Trojrozměrný ADT Adaptation Test
COG (Center of Gravity) Těžiště COM (Centre of Mass) Hmotný střed
COP (Centre of Pressure) GSS Globální souřadný systém LOS (Limits of Stability)
Zkratka Význam
LSS Lokální souřadný systém
MOI (Moment of Inertia) Moment setrvačnosti RWS (Rhythmic Weight Shift)
SOT (Sensory Organization Test) US (Unilateral Stance)
WBS (Weight Bearing Squat)
12
Úvod
Jedním z klíčových parametrů při návrhu a konstrukci aut, letadel a dalších strojů je znalost polohy těžiště daného stroje. Polohu těžiště lze získat z měření na tenzometrické plošině. Tenzometrická plošina je zařízení, na kterém jsou umístěny tenzometrické siloměry pro měření sil – reakcí – při jejím zatížení.
Se znalostí hodnot reakčních sil lze vypočítat polohu těžiště tělesa, což je cílem této bakalářské práce.
Při hledání algoritmu budeme v bakalářské práci postupovat tak, že sestavíme rovnice rovnováhy, na základě kterých nalezneme matematické vztahy – algoritmus - pro výpočet polohy těžiště tělesa.
Abychom si usnadnili výpočet těžiště tělesa, vytvoříme aplikaci v softwaru MATLAB, do které algoritmus implementujeme. Protože měření na tenzometrické plošině není k dispozici, použijeme pro získání reakčních sil software ANSYS Workbench 18.0. Reakční síly vypočítáme pro těleso se známou polohou těžiště a pro těleso s neznámou polohou těžiště. Z hodnot reakcí pro známou polohu těžiště tělesa provedeme kontrolu algoritmu, kdy výsledek polohy těžiště z algoritmu a ANSYSu musí být velmi podobný. Praktické využití algoritmu v praxi prezentujeme na tělesu s neznámou polohou těžiště.
13
1 Za ř ízení pro m ěř ení polohy t ě žišt ě t ě lesa
1.1 Force plate
Force plate od společnosti Kistler reprezentuje měřicí plošinu využívanou především ve sportovních odvětvích a v biomechanice. Plošina má rozměry 60x40x10 cm a váží pouhých 16 kg.
P ř íklady využití
• Analýza vysoce dynamických sportovních aktivit k optimalizaci tréninku – výkonnostní měření.
• Při biomechanických vyšetřeních se zaznamenávají síly vyvolané lidskou nohou při stoji, chůzi nebo běhu.
• Určování pokroku při rehabilitacích pacientů se zlomeninou.
• Provádění ortopedických vyšetření.
• Pomocí softwaru BioWare® lze určit statický a kinematický činitel tření. [1]
Princip fungování
Síla působící na horní panel je rozložena mezi čtyři senzory umístěné mezi montážní základnou a horním panelem. Každý senzor má 3 páry piezoelektrických kroužků, jeden citlivý na tlak v ose z a další dva citlivé na střih v ose x a y.
Obr. 1 - Force plate [1]
14
BioWare®
Data získaná z měřících senzorů jsou zpracována softwarem BioWare®. Naměřené hodnoty jsou vykresleny přehledně v grafech.
Pomocí softwaru BioWare® můžeme vyhodnotit tyto veličiny:
• Reakční síly Fx, Fy, Fz
• Souřadnice působení síly na povrch plošiny COP = Centre of Pressure
• Krouticí moment okolo normály povrchu plošiny
• Gradient síly
• Posunutí, rychlost a zrychlení hmotného bodu (COM = Centre of Mass)
• Práce, energie, impulz síly [2]
1.2 Smart Balance Master
®Smart Balance Master® využívá dynamické silové plošiny s možností naklápění, která přenáší zatížení přenesené přes pacientova chodidla. Pomocí reakčních sil se měří poloha působení gravitační síly COG (Center of Gravity) a posturální kontrola pacienta. Díky dynamickému vizuálnímu systému pacient vidí pozici COG svého těla a snaží se reagovat na změny, aby udržel rovnováhu. [3]
Obr. 2 - Force plate – senzory [1]
15
Standardní m ěř ící protokoly:
Sensory Organization Test (SOT) Adaptation Test (ADT)
Limits of Stability (LOS) Rhythmic Weight Shift (RWS) Weight Bearing Squat (WBS) Unilateral Stance (US) Sequence Training Weight Bearing Training Custom Training
LOS kvantifikuje maximální náklon, který je schopen pacient udělat, aby udržel stabilitu v dané pozici. Měřené parametry jsou reakční čas, rychlost pohybu COG, maximální výchylka COG při udržení rovnováhy pacienta.
RWS měří schopnost pacienta měnit pozici COG pomocí naklánění těla zepředu dozadu a zleva doprava. Měření se provádí ve 3 odlišných rychlostech. Výsledkem testování získáme rychlost pohybu COG v jednotlivých směrech a odezvu na schopnost pacienta udržovat rovnováhu. [4]
1.3 InTenso+
InTenso+ je zařízení schopné měřit váhu objektu, pozici COG ve 3 osách a moment setrvačnosti v daných rovinách. Systém je výhodný díky jediné montážní konfiguraci, při které jsou měřeny všechny hmotnostní parametry.
InTenso+ je možné zatížit v rozmezí 500 až 3500 kg. Díky tomuto rozpětí je možné testovat celá vozidla.
Princip fungování
InTenso systém je nelineární kyvadlo. Náklad je namontován na rám visící na kabelech. Nejprve se změří váha tělesa. Následně se v rámu vybudí oscilace a zaznamenávají se nelineární vibrace zatíženého tělesa společně s působícími silami. Pomocí navrženého softwaru je možné ze získaných dat ze snímačů vypočítat těžiště (COG) a momenty setrvačnosti (MOI = Moment of Inertia). [6]
Obr. 3- Smart balance systém [5]
16
1.4 SE90168
SE90168 je levný model pro měření malých nákladů se střední přesností. Měřit můžeme objekty o váze až do 54,4 kg spřesností polohy těžiště 1,5 mm.
Princip fungování
Těleso je položeno na měřící stůl v relativní pozici k orientační nule. COG a váha objektu jsou následně spočítány ze získaných dat ze snímačů. Váha se získá ze sumy výstupních hodnot snímačů. Souřadnice COG se vypočítají pomocí rovnic zahrnujících umístění snímačů a rozložení sil. Takto je možné získat dvě souřadnice COG. Třetí souřadnici získáme pootočením objektu o 90 stupňů. [7]
Obr. 4 – InTenso [6]
Obr. 5 – SE90168 [7]
17
2 Základní algoritmus
2.1 Úvod do problematiky
Mějme těleso – např. vysokozdvižný vozík, u kterého chceme zjistit polohu těžiště. Vysokozdvižným vozíkem najedeme na tenzometrickou plošinu. Plošina disponuje funkcí naklápění.
Z tenzometrů umístěných na plošině obdržíme velikost reakcí vzniklých jako odezva na zatížení tíhou samotné plošiny a vysokozdvižného vozíku. Jak určit těžiště vysokozdvižného vozíku?
K této problematice budeme přistupovat v těchto krocích
volba souřadného systému – známé a neznámé veličiny – měřené stavy.
Volba sou ř adného systému
Prvním důležitým krokem je vhodná volba souřadného systému, ve kterém budeme určovat polohu těžiště vozíku. Při volbě souřadného systému zohledňujeme rozměry plošiny a poznatek, že plošinu je možné naklápět.
Známé a neznámé veli č iny
Tenzometrická plošina známých rozměrů nám poskytuje informace o velikosti reakcí působících proti směru působení gravitační síly. Parametry, které neznáme, jsou tíha plošiny, těžiště plošiny, tíha tělesa a hledané souřadnice těžiště vozíku (Tabulka 1).
Známé veličiny Neznámé veličiny Rozměry plošiny Tíha plošiny Reakční síly Těžiště plošiny
Tíha tělesa
Těžiště tělesa
M ěř ené stavy
Hodnoty reakcí získaných po najetí vozíku na plošinu nejsou dostačující pro výpočet těžiště. Je nutné také znát hodnoty reakcí ve stavu, kdy na plošině není umístěn vozík, a také v dalších případech, v tzv. „Měřených stavech“.
Tab. 1 – Přehled známých a neznámých veličin
18
2.2 Zjednodušený model
Prvotní představa tenzometrické plošiny uvažuje třírozměrnou plošinu ve tvaru kvádru podepřeného ve čtyřech rozích. Kvádr je absolutně tuhý. Ve směru kolmém na podepřenou stranu působí gravitační síla. Na kvádru je umístěno zkoumané těleso, u kterého chceme zjistit polohu těžiště.
Plošinu můžeme dále zjednodušit na dva nosníky o délce kvádru a šířce kvádru staticky uložené na dvou podporách – kloubové vazbě pevné a kloubové vazbě posuvné. Dále ve zjednodušeném modelu zanedbáme výšku kvádru, tedy považujeme nosníky za prvky, jejichž délkový rozměr je výrazně větší než ostatní rozměry (Obr. 6). Podobně můžeme postupovat při zjednodušení naklopené plošiny, kterou rovněž nahradíme nosníky. Poznamenejme, že nosníky jsou absolutně tuhé. Zkoumané těleso znázorníme jako 2D objekt – obdélník s těžištěm umístěným v jeho středu.
Jak již bylo uvedeno dříve (kapitola 2.1.3), aby bylo možné vypočítat těžiště tělesa, musí se určit stavy, při kterých budou z tenzometrické plošiny měřeny reakce. Přehled těchto stavů je uveden v následujících tabulkách.
Stav A
Plošina není naklopená a je bez tělesa
Stav B Plošina není naklopená a je na ní těleso
Obr. 6 – Kvádr zjednodušený na nosníky
Tab. 2a – Měřené stavy
19 Stav C Plošina je naklopená a není na
ní těleso
Stav D Plošina je naklopená a je na ní těleso
2.3 M ěř ené stavy
Nyní pro každý měřený stav napíšeme rovnice rovnováhy a z nich odvodíme rovnice pro výpočet polohy těžiště tělesa.
Stav A
Stav A představuje nenaklopenou plošinu bez tělesa, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Rovnice rovnováhy pro Stav A jsou
0 − , (2.1)
0 ∙ − ∙ , (2.2)
0 ∙ − ∙ , (2.3)
Obr. 7 - Stav A Tab. 2b – Měřené stavy
20 kde jsou , , , - reakční síly v podporách, - tíha plošiny,
a - souřadnice polohy těžiště plošiny, - šířka,
– délka.
Jak již bylo dříve zmíněno, nosník je absolutně tuhý, proto platí, že při zatížení nedochází k jeho průhybu, a tak se síly přenáší pouze ve směru působení gravitace. Normálové síly jsou proto nulové.
Z rovnice (2.1) určíme tíhu plošiny
. (2.4)
Souřadnice polohy těžiště plošiny a vyjádříme z rovnic (2.2) a (2.3)
∙ , (2.5)
∙ . (2.6)
Z měření Stavu A jsme získali velikost tíhy plošiny a polohu jejího působení (těžiště).
Stav B
Stav B představuje nenaklopenou plošinu s tělesem, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Obr. 8 - Stav B
21 Rovnice rovnováhy pro Stav B jsou
0 − − , (2.7)
0 ∙ ∙ − ∙ , (2.8)
0 ∙ ∙ − ∙ , (2.9)
kde je - tíha Tělesa,
a - souřadnice polohy těžiště Tělesa.
Protože již známe velikost tíhy plošiny, spočítáme z rovnice (2.7) tíhu Tělesa
− . (2.10)
Tíhu tělesa dosadíme společně s vypočtenými hodnotami do rovnic (2.8) a (2.9) a obdržíme dvě souřadnice polohy těžiště tělesa
∙ − ∙
, (2.11)
∙ − ∙ . (2.12)
Z měření STAVU B jsme získali dvě souřadnice působení tíhy (těžiště) Tělesa a její velikost.
Stav C
Stav C představuje naklopenou plošinu bez tělesa, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
22 Rovnice rovnováhy pro Stav C jsou
0 − − , (2.13)
0 ∙ ∙ ∙ − ∙ , (2.14)
kde je - poloha těžiště nepohyblivé části plošiny, - poloha těžiště pohyblivé části plošiny, - tíha nepohyblivé části plošiny, - tíha pohyblivé části plošiny.
Naklopením plošiny se plošina rozdělí na dvěčásti, a to část pohyblivou a nepohyblivou. Každá část má jinou velikost vlastní tíhy a působiště. Hodnotu těchto veličin neznáme.
Rovnice rovnováhy nám nepřináší žádný nový poznatek, protože součet tíhy pohyblivé a nepohyblivé části plošiny je roven tíze celé plošiny, kterou známe
. (2.15)
Obr. 9 - Stav C
23
Protože momentová rovnice obsahuje mnoho neznámých, pomůžeme si přidáním rovnice pro zjištění souřadnice působení tíhy celé plošiny
∙ ∙ ∙
. (2.16)
Převedením součtu tíhy a na levou stranu, provedeme substituci, kterou můžeme nahradit neznámé a obdržíme rovnici o jedné neznámé
0 ∙ − ∙ , (2.17)
ze které snadno vyjádříme polohu těžiště plošiny
∙ . (2.18)
Změření STAVU C jsme získali souřadnici působení tíhy (těžiště) naklopené plošiny.
Stav D
Stav D představuje naklopenou plošinu s tělesem, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Obr. 10 - Stav D
24 Rovnice rovnováhy vypadají takto
0 − − − , (2.19)
0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ − ∙
− ∙ , (2.20)
kde je – třetí souřadnice polohy těžiště tělesa.
V rovnici (2.20) použijeme substituci z rovnice (2.16) a získáme
0 ∙ ∙ ∙ − ∙ − ∙ . (2.21)
Osamostatněním obdržíme třetí souřadnici polohy těžiště tělesa
∙ ∙ ∙ − ∙
∙ . (2.22)
Změření STAVU D jsme získali třetí souřadnici působení tíhy (těžiště) Tělesa.
Pomocí 4 Stavů (A, B, C, D) jsme dokázali z naměřených hodnot reakčních sil určit 3 souřadnice polohy těžiště tělesa.
25
3 Zjednodušený model v softwaru ANSYS
Poté, co jsme nalezli základní algoritmus pro výpočet polohy těžiště tělesa na tenzometrické plošině, si ověříme jeho správnost. Využijeme k tomu komerční software ANSYS Workbench 18.0, ve kterém vytvoříme zjednodušený 3D model plošiny. Výsledné hodnoty reakčních sil dosadíme do základního algoritmu a porovnáme vypočtenou polohu těžiště tělesa s polohou těžiště tělesa v modelu.
3.1 Tvorba geometrie
Při tvorbě geometrie základního modelu vyjdeme z prvotní představy, viz Obr. 6. Výpočet zahrnuje čtyři stavy, a proto potřebujeme vytvořit čtyři modely.
Geometrie modelu Stavu D je vytvořena pomocí 2 skořepinových desek o rozměrech 2000x1000 mm, které jsou vzájemně naklopené o úhel (volím 30°). Deskám je přiřazena tloušťka 100 mm. Rozřezáním modelu se vytvoří pole, na které působí hmotný bod reprezentující těleso (žluté pole na Obr. 11). Hmotný bod umístíme libovolně nad plošinu a zaznamenáme jeho přesnou polohu.
Obr. 11 - Geometrie zjednodušeného modelu
26
Geometrie modelů ostatních stavů vychází z postupu tvorby geometrie Stavu D.
3.2 Materiál plošiny a vytvá ř ení sít ě
Materiál plošiny je konstrukční ocel o modulu pružnosti 210000 a Poissonově čísle 0,3. Algoritmus však vychází z předpokladu nulového průhybu plošiny při jejím zatížení, tedy plošina je absolutně tuhá. Zvýšení tuhosti plošiny v modelu docílíme zvětšením modulu pružnosti.
Volím 2100000 , což je 10x více než má konstrukční ocel.
Protože je model jednoduchý, není třeba vytvářet hustou a složitou síť.
Obr. 12 - Geometrie Stavů A, B, C, D
Obr. 13 - Síť základního modelu
27
3.3 Sou ř adné systémy
V modelu zavedeme dva souřadné systémy. První souřadný systém – Globální s. s. (GSS) – vychází z nepohyblivé základny plošiny a slouží pro vytváření okrajových podmínek. Nepohyblivá základna tvoří rovinu x-y a kolmice k základně představuje osu z. GSS má počátek v geometrickém středu základny. Druhý souřadný systém – Lokální s. s. (LSS) – vychází z pohyblivé části plošiny a slouží pro určení polohy hmotného bodu. Rovina plošiny tvoří rovinu x-y a kolmice odpovídá ose z. Počátek LSS leží v zadním rohu průsečnice pohyblivé a nepohyblivé části plošiny (Obr. 14).
3.4 Okrajové podmínky
Plošina je podepřena ve čtyřech rozích označených čísly 1-4. Ve směru osy z působí gravitační síla.
Aby nedocházelo k rotaci kolem globální osy z, rohu č. 1 je zabráněno v pohybu ve směru x a rohu č. 2 pohybu ve směru y GSS.
Obr. 15 – Zjednodušený model - okrajové podmínky Obr. 14 – Zjednodušený model - souřadné systémy
28
3.5 Zpracování výsledk ů
Výpočet je prováděn v modulu Static Structural. Po spuštění výpočtu obdržíme velikosti reakčních sil ve směru osy z. Reakční síly působící v ostatních směrech jsou nulové nebo velice malé. Velikost reakčních sil v newtonech je zobrazena v červeném rámečku na Obr. 16. Dosazením reakčních sil v newtonech do aplikace v softwaru MATLAB, která je blíže popsána v kapitole 6, obdržíme souřadnice těžiště tělesa (Obr. 17).
Obr. 16 - Reakční síly v softwaru ANSYS
Obr. 17 – Reakční síly v softwaru MATLAB
29
3.6 Srovnání výsledk ů
Abychom srovnali přesnost výsledků, provedeme výpočet pro další dvě pozice hmotného bodu.
Srovnání výsledků pro umístění hmotného bodu ve třech pozicích je uvedeno v Tabulce 3.
Skutečná poloha v [mm] Vypočtená poloha v [mm]
Případ č. xT yT zT xT' yT' zT' 1 250 1400 500 250,005 1399,993 500,057
2 777 298 500 777,004 297,999 499,998
3 611 912 149 610,995 911,999 148,993
Relativní odchylku vypočteme podle vzorců
′ − ∙ 100 (3.1)
′ − ∙ 100 (3.2)
′ − ∙ 100 (3.3)
Vypočtené relativní odchylky jsou uvedeny v Tabulce 4.
Relativní odchylka v [%]
Případ
č. δx δy δz
1 0,002 -0,00049 0,0114 2 0,000515 -0,00034 -0,0004 3 -0,00082 -0,00011 -0,0047
Přesnost výpočtu polohy těžiště tělesa pracuje při výše uvedeném nastavení konečnoprvkového modelu s relativní odchylkou o hodnotě nejvýše 0,01 %.
Tab. 3 – Srovnání výsledků
Tab. 4 – Relativní odchylka
30
4 Rozší ř ený algoritmus
4.1 Rozm ě ry plošiny
Předešlý model plošiny odpovídal zjednodušenému algoritmu, který uvažuje obecné rozměry a podpory umístěné přesně v rozích. Nyní se zaměříme na rozšíření algoritmu o rozměry odpovídající modelu plošiny poskytnuté zadavatelem práce.
Na Obr. 18 jsou zakótovány důležité rozměry pro sestavení rovnic rovnováhy. Těžiště tělesa určujeme v lokálním souřadném systému LSS (viz kapitola 2.1.1), nacházejícím se v levé části plošiny.
Reakce působí na spodní část plošiny v tzv. středicích trnech. Geometrii plošiny zjednodušíme na nosníkovou konstrukci a opět sestavíme rovnovážné rovnice pro čtyři měřicí stavy.
Obr. 18 – Rozměry plošiny
31
4.2 M ěř ené stavy
Stav A
Stav A představuje nenaklopenou plošinu bez tělesa, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Rovnice rovnováhy jsou
0 − , (4.1)
0 ∙ − ∙ − ∙ , (4.2)
0 ∙ − ∙ − ∙ , (4.3)
kde je - vzdálenost osy otáčení od bližší reakce, - vzdálenost osy otáčení od počátku LSS, - vzdálenost mezi reakcemi,
- vzdálenost mezi reakcemi.
Z rovnic rovnováhy určíme tíhu plošiny
, (4.4)
a souřadnice polohy těžiště plošiny
∙ ∙ − , (4.5)
∙ ∙
− . (4.6)
Z měření STAVU A jsme získali polohu působení (těžiště) a velikost tíhy plošiny.
Obr. 19 – Stav A
32
Stav B
Stav B představuje nenaklopenou plošinu s tělesem, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Rovnice rovnováhy jsou následující
0 − − , (4.7)
0 ∙ ∙ − ∙
− ∙ ,
(4.8)
0 ∙ ∙ − ∙
− ∙ . (4.9)
Ze silové rovnice (4.7) určíme tíhu tělesa
− , (4.10)
a z momentových rovnic (4.8) a (4.9) souřadnice polohy těžiště tělesa
∙ ∙ − ∙ − , (4.11)
∙ ∙ − ∙
− . (4.12)
Z měření STAVU B jsme získali dvě souřadnice působení tíhy (těžiště) Tělesa a její velikost.
Obr. 20 – Stav B
33
Stav C
Stav C představuje naklopenou plošinu bez tělesa, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Rovnice rovnováhy jsou
0 − , (4.13)
0 ∙ − ∙ − ∙ , (4.14)
Z momentové rovnice (4.14) určíme polohu těžiště plošiny
∙ ∙ − . (4.15)
Změření STAVU C jsme získali souřadnici působení tíhy (těžiště) naklopené plošiny.
Obr. 21 - Stav C
34
Stav D
Stav D představuje naklopenou plošinu s tělesem, viz Tabulka 2a a Tabulka 2b.
Rovnice rovnováhy jsou
0 − − − , (4.16)
0 ∙ ∙ ∙ − ∙
− ∙ − ∙ .
(4.17)
V momentové rovnici (4.17) nám již zbývá poslední neznámá, a to třetí souřadnice polohy těžiště tělesa. Po osamostatnění dostaneme
∙ ∙ ∙ − ∙ − ∙
∙ − . (4.18)
Změření STAVU D jsme získali třetí souřadnici působení tíhy (těžiště) Tělesa.
Pomocí 4 Stavů (A, B, C, D) jsme dokázali z naměřených hodnot reakčních sil určit 3 souřadnice polohy těžiště tělesa.
V další kapitole se budeme zabývat ověřením správnosti rozšířeného algoritmu.
Obr. 22 – Stav D
35
5 Reálný model
5.1 Testovací model
Správnost rozšířeného algoritmu si nyní ověříme na 3D modelu plošiny, který máme k dispozici ve formátu step. Na plošinu umístíme krychli a její známou polohu zaznamenáme. Vzniklé reakční síly dosadíme do algoritmu a vypočtenou polohu těžiště tělesa porovnáme se známou polohou těžiště tělesa v modelu.
Tvorba geometrie
Plošinu ve formátu step importujeme do ANSYSu. Plošina je rozdělena na několik částí – pohyblivá část, nepohyblivá část, kolébka, středicí trny, válec a píst. Pro každou danou část plošiny vytvoříme skupinu – part, čímž zajistíme spojení těles příslušejících dané části plošiny. V následujícím kroku vytvoříme nový souřadný systém – LSS (viz kapitola 2.1.1), ve kterém budeme určovat polohu těžiště tělesa. Souřadný systém umístíme na horní stranu pohyblivé části (viz Obr. 23). Nyní vytvoříme krychli o zvolených rozměrech 500x500x500 mm a umístíme ji pomocí LSS na povrch plošiny. Jak bylo uvedeno výše, plošina je sestavena z několika částí, které vzájemně nejsou propojené. Propojenosti dosáhneme vytvořením spojů - joints. Spoje umožňují vytvoření specifického typu vzájemného pohybu mezi dvěma částmi. Na Obr. 24 je zobrazeno použití spojení v geometrii.
Posledním krokem je naklopení plošiny o určitý úhel (volím 30°). Toho docílíme vysunutím pístu z válce o vzájemnou osovou vzdálenost a zatížením posuvného spoje.
Obr. 23 – Testovací model - souřadné systémy
36
Obr. 24 – a) Rotační spojení – kolébka a nepohyblivá část, b) rotační spojení – kolébka a válec, c) posuvné spojení – válec a píst, d) rotační spojení – píst a pohyblivá část, e) rotační spojení – pohyblivá a nepohyblivá část, f) pevné spojení – nepohyblivá část a středící trn
37
Geometrii ostatních stavů vytvoříme obdobně vynecháním některých kroků.
Vytvá ř ení sít ě
Jak již bylo dříve zmíněno, algoritmus počítá s absolutní tuhostí konstrukce. V softwaru ANSYS je možné docílit zvýšení tuhosti manuálním zvětšením modulu pružnosti materiálu, nebo změnou chování konstrukce z „Flexible“ – pružný, na „Rigid“ – tuhý. Chceme-li však na danou část použít vazby typu „Displacement“ musí být její chování pružné. Proto oddělíme spodní část plošiny – středicí trny – od ostatních částí a přiřadíme jim pružné chování. Ostatním komponentům přiřadíme tuhé chování.
Následné vytváření sítě probíhá u obou typů elementů různě. Síťování tuhého tělesa se prezentuje jako model zredukovaný na kontaktní plochy a bod uprostřed modelu. Jinými slovy, pokud je těleso definováno jako tuhé těleso, vysíťovány jsou jen kontaktní plochy a je vytvořen hmotný bod v těžišti tělesa. Při síťování pružného tělesa vzniká síť napříč celým objemem tělesa. [8]
Protože geometrie středicích trnů obsahuje otvory a zkosení hran, byla vytvořena jemná síť s velikostí elementu 5 mm (viz Obr. 26).
Obr. 25 – Testovací model - stavy A-D
38
Okrajové podmínky
Aby nedošlo k samovolnému sklopení pohyblivé části plošiny, zabráníme rotaci v pantech.
Zachycení posunutí v ose x a y znemožní otáčení kolem osy z. Ostatní vazby zamezují pohybu v ose z.
Zpracování výsledk ů
Po spuštění výpočtu obdržíme velikosti sil - reakcí ve směru proti působení gravitační síly. Reakční síly působící v ostatních směrech jsou nulové nebo velice malé. Velikost reakčních sil v ANSYSu
Obr. 26 - Síť
Obr. 27 - Okrajové podmínky
39
vidíme v červeném rámečku na Obr 28. Vypočtené reakční síly slouží jako vstupní hodnoty pro kontrolní výpočet známé polohy těžiště.
Dosazením velikosti těchto reakčních sil v newtonech do aplikace v MATLABu obdržíme zpětně souřadnice těžiště tělesa (Obr. 29).
Obr. 28 - Reakční síly v softwaru ANSYS
Obr. 29 - Reakční síly v softwaru MATLAB
40
Srovnání výsledk ů
Abychom srovnali přesnost výsledků, provedeme výpočet pro další dvě pozice tělesa. Srovnání vypočtené polohy těžiště tělesa se skutečnou polohou tělesa v modelu je uvedeno v Tabulce 5.
Relativní odchylku měření spočteme podle vzorců (3.1), (3.2) a (3.3). Relativní odchylka měření u testovacího modelu je uvedena Tabulce 6.
Relativní odchylka v [%]
Případ č. δx δy δz
1 0,036 -0,026 -0,157
2 0,239 0,044 -0,184
3 0,02 -0,019 -0,181
Přesnost výpočtu polohy těžiště tělesa pro výše uvedené nastavení konečnoprvkového modelu pracuje s relativní odchylkou o hodnotě nejvýše 0,24 %.
5.2 T ě žišt ě vysokozdvižného vozíku
Srovnáním vypočtené polohy těžiště tělesa se skutečnou polohou tělesa v modelu byla ověřena funkčnost algoritmu. Využití algoritmu je dále demonstrováno na modelu vysokozdvižného vozíku s neznámou polohou těžiště.
Tvorba geometrie
Nejprve je do softwaru ANSYS importován model vysokozdvižného vozíku ve formátu step. Vozík umístíme na plošinu a přidáme do skupiny společně s pohyblivou částí plošiny, čímž zajistíme jejich pevné spojení. Pro jednotlivé části plošiny vytvoříme spoje podle kapitoly 5.1.1. Vytvořené modely pro Stavy A-D jsou zobrazeny na Obr. 30.
Skutečná poloha v [mm] Vypočtená poloha v [mm]
Případ č. xT yT zT xT' yT' zT' 1 2800 3000 250 2801,009 2999,223 249,609 2 629 1111 250 630,5092 1111,487 249,5398 3 3866 2489 250 3866,773 2488,531 249,5483
Tab. 5 – Srovnání polohy těžiště u testovacího modelu
Tab. 6 – Relativní odchylka měření u testovacího modelu
41
Vytvá ř ení sít ě a okrajové podmínky
Síťování modelu a vytváření okrajových podmínek je provedeno podle kapitoly 5.1.2 a 5.1.3.
Zpracování výsledk ů
Přehled reakcí vypočtených v ANSYSu je na Obr. 31. Reakce dosadíme do aplikace v MATLABu.
Obr. 30 – Vysokozdvižný vozík - stavy A-D
Obr. 31 – Reakce v softwaru ANSYS
42
Výsledné souřadnice těžiště tělesa se vztahují k LSS (viz kapitola 5.1.1). Vypočtená poloha těžiště vysokozdvižného vozíku je uvedena v Tabulce 7.
Vypočtená poloha těžiště vozíku v [mm]
xT' yT' zT'
2315,334 2144,721 1454,243 Obr. 32 – Reakce v MATLABu
Tab. 7 – Vypočtená poloha těžiště vysokozdvižného vozíku
43
6 Vytvá ř ení aplikace v Matlabu
Algoritmus získaný v předchozích kapitolách 2.3 a 4.2 byl následně implementován do aplikace, s jejíž pomocí se usnadní výpočet polohy těžiště tělesa.
Software MATLAB nabízí možnost vytvoření vlastního grafického uživatelského prostředí GUI (Graphical User Interface), které lze zkompilovat na samostatně spustitelnou aplikaci. Jelikož tématem práce není programování v MATLABu, nebudeme se zabývat jednotlivými příkazy ve zdrojovém kódu, ale ukážeme si základní operace a funkce, které lze v MATLABu provést. Pro naše účely si vystačíme se základními matematickými operacemi a funkcemi pro zobrazení 2D a 3D grafu.
Jsou vytvořeny dvě aplikace. První aplikace s názvem „CoG“ obsahuje základní algoritmus pro výpočet těžiště z reakcí ze zjednodušeného modelu. Druhá aplikace vychází z rozšířeného algoritmu a nese název „CoG_Company“.
6.1 Aplikace CoG
Část zdrojového kódu pro vytvoření první aplikace je uvedena v následujícím výpisu. Zdrojový kód je doplněn o poznámky (uvedeno zeleně), které usnadňují orientaci v kódu.
%Převod z [rad] na [°]
alfa_st=str2num(get(handles.alfa,'String'));
alfa_rad=alfa_st*pi/180;
%Stav A
Gp=r1a+r2a+r3a+r4a;
xp=(r2a+r3a)*w/Gp;
yp=(r3a+r4a)*l/Gp;
%Stav B
Gt=r1b+r2b+r3b+r4b-Gp;
xt=((r2b+r3b)*w-Gp*xp)/Gt;
yt=((r3b+r4b)*l-Gp*yp)/Gt;
%Stav C
ycp=abs(r3c+r4c)*l/Gp
%Stav D
zt=((ycp*Gp-(r3d+r4d)*l)+Gt*cos(alfa_st)*yt)/(Gt*sin(alfa_st));
%Výstup - souřadnice CoG X=num2str(xt);
Y=num2str(yt);
Z=num2str(zt);
set(handles.X,'String',X);
set(handles.Y,'String',Y);
set(handles.Z,'String',Z);
44 %2D Graf x-y
axes(handles.axes1);
plot(xt,yt,'o',linspace(0,w),linspace(0,l),'white');
xlabel('x'); ylabel('y');
grid on
%2D Graf y-z
axes(handles.axes2);
plot(yt,zt,'o',linspace(0,l),linspace(0,zt),'white');
xlabel('y'); ylabel('z');
grid on
%3D Graf x-y-z
axes(handles.axes3);
plot3(xt,yt,zt,'o',linspace(0,w),linspace(0,l),linspace(0,zt),'white');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
grid on
Ve výpisu 1 se objevuje funkce Plot a Plot3. Pomocí funkce Plot je vytvořen 2D graf, který je možné dále upravit, např. zvolit rozsah os, zobrazit mřížku, přidat legendu a další. Funkce Plot3 umožňuje vytvoření 3D grafu. Ostatní úkony ve výpisu jsou základní matematické operace.
Ovládání aplikace
Samotné GUI pro výpočet zjednodušeného modelu vypadá následovně. Výpis 1 – CoG
Obr. 33 – GUI aplikace CoG
45
Do prázdných polí doplníme hodnoty reakcí v newtonech získané z tenzometrické plošiny.
Nastavíme úhel naklopení plošiny. Pro variantu zjednodušeného modelu navíc vyplňujeme rozměry
plošiny. Po stisknutí tlačítka „Solve“ obdržíme polohu těžiště tělesa. Stisknutím tlačítka „Reset“
se vynulují veškeré hodnoty. Vykreslené grafy slouží pro přibližnou představu umístění těžiště na plošině.
6.2 Aplikace CoG_Company
Výpis zdrojového kódu pro druhou aplikaci.
%Rozměry plošiny l=71;
d=530.83;
cl=4762.35;
cw=2762.35;
%Převod z [rad] na [°]
alfa_st=str2double(get(handles.alfa,'String'));
alfa_rad=alfa_st*pi/180;
%Stav A
Gp=r1a+r2a+r3a+r4a
xp=((r2a+r3a)*(cl+d)+(r1a+r4a)*(d))/Gp-l yp=((r3a+r4a)*(cw+d)+(r1a+r2a)*d)/Gp-l
%Stav B
Gt=r1b+r2b+r3b+r4b-Gp
xt=((r2b+r3b)*(cl+d)+(r1b+r4b)*(d)-Gp*(xp+l))/Gt-l;
yt=((r3b+r4b)*(cw+d)+(r1b+r2b)*d-Gp*(yp+l))/Gt-l;
%Stav C
Gp=r1c+r2c+r3c+r4c
ycp=((r3c+r4c)*(cw+d)+(r1c+r2c)*d)/Gp-l
%Stav D
Gt=r1d+r2d+r3d+r4d-Gp
zt=((ycp+l)*Gp-(r3d+r4d)*(cw+d)-
(r1d+r2d)*d+Gt*cos(alfa_st)*(yt+l))/(Gt*sin(alfa_st))-l;
%Výstup - souřadnice CoG X=num2str(xt);
Y=num2str(yt);
Z=num2str(zt);
set(handles.X,'String',X);
set(handles.Y,'String',Y);
set(handles.Z,'String',Z);
%2D Graf x-y
axes(handles.axes1);
plot(xt,yt,'o',linspace(0,L),linspace(0,W),'white');
xlabel('x');
ylabel('y');
46 grid on
%2D Graf y-z
axes(handles.axes2);
plot(yt,zt,'o',linspace(0,W),linspace(0,zt),'white');
xlabel('y');
ylabel('z');
grid on
%3D Graf x-y-z
axes(handles.axes3);
plot3(xt,yt,zt,'o',linspace(0,L),linspace(0,W),linspace(0,zt),'white');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
grid on
Výsledný vzhled aplikace CoG_Company je na Obr. 34. Oproti aplikaci CoG není možné nastavit rozměry plošiny, protože ty jsou dány rozměry modelu (viz kapitola 4.1). Nově je v aplikaci možnost nastavení „Naklopení - Osa I“ a „Naklopení - Osa II“, které je blíže popsáno v následující kapitole.
Obr. 34 – GUI – aplikace CoG_Company Výpis 2 – CoG_Company
47
Nakláp ě ní tenzometrické plošiny
Tenzometrickou plošinu je možné naklápět kolem čtyř os (viz Obr. 35 – červená, modrá, žlutá a zelená osa). Výpočty uvedené v kapitole 4.2 se vztahují k naklápění plošiny pouze kolem jedné osy.
Pohyblivá a nepohyblivá část plošiny, která definuje důležité rozměry pro výpočet těžiště tělesa, je však symetrická, proto lze tyto výpočty použít i pro protější osu. Výpočtu těžiště při naklápění kolem zbylých os dosáhneme cyklickou záměnou indexů v rovnicích z kapitoly 4.2.
Abychom vypočetli polohu těžiště tělesa, je nutné v aplikaci CoG_Company dosadit reakční síly ve správném pořadí. Při nastavení první možnosti - naklopení kolem Osy I (delší osy), pořadí reakčních sil volíme podle schématu na Obr. 36 (vlevo), nastavením druhé možnosti - naklopení kolem Osy II (kratší osy), volíme pořadí reakčních sil podle Obr. 36 (vpravo). Poloha těžiště tělesa je určena dle LSS na Obr. 36.
Obr. 35 – Osy naklápění tenzometrické plošiny
Obr. 36 – Pořadí reakčních sil
48
7 Záv ě r
Bakalářská práce se zabývala nalezením algoritmu pro stanovení těžiště tělesa z měření na tenzometrické plošině.
V úvodu práce byla popsána existující zařízení z oblasti medicíny a automobilového průmyslu, která jsou schopná měřit polohu těžiště tělesa.
V dalších kapitolách byl rozebrán postup při hledání algoritmu. Vstupními hodnotami pro výpočet těžiště tělesa byly reakční síly naměřené na tenzometrické plošině a rozměry plošiny. Aby bylo možné vypočítat těžiště tělesa, předpokládalo se měření na tenzometrické plošině ve čtyřech Stavech A-D (A – plošina není naklopená a je bez tělesa, B – plošina není naklopená a je na ní těleso, C – plošina je naklopená a není na ní těleso, D – plošina je naklopená a je na ní těleso). Pro každý stav bylo vytvořeno schéma se zaznamenanými rozměry plošiny a silami, které na plošinu působí. V práci je podrobně popsáno, jak byly pro jednotlivé stavy sestaveny rovnice rovnováhy a následně nalezen algoritmus pro výpočet těžiště tělesa. Aby se výpočet těžiště tělesa usnadnil, algoritmus byl implementován do aplikace vytvořené v softwaru MATLAB.
Protože měření na tenzometrické plošině nebylo k dispozici, hodnoty reakčních sil byly získány v softwaru ANSYS Workbench 18.0. Výpočet reakčních sil v ANSYSu byl proveden pro těleso se známou polohou těžiště (krychle) a pro těleso s neznámou polohou těžiště (vysokozdvižný vozík).
Hodnoty reakcí pro známou polohou těžiště tělesa se poté dosadily do algoritmu. Kontrola správnosti algoritmu byla provedena porovnáním vypočtené polohy těžiště tělesa užitím algoritmu a známé polohy těžiště tělesa v ANSYSu. Rozdíl vypočtené polohy a známé polohy těžiště tělesa byl vzhledem k rozměrům tenzometrické plošiny zanedbatelný. Na hodnotách s neznámou polohou těžiště bylo praktické využití algoritmu prezentováno v praxi.
49
8 Seznam použité literatury
[1] Instructional Manual. In: Instructional manual, Type 9281E.. [online]. Winterthur: Kistler Group, 2008 [cit. 2017-05-03]. Dostupné z:
https://www.kistler.com/cz/en/products/products-by-applications/sports-performance-analysis- products
[2] Multicomponent Force Plate. In: Data sheet, type 9821E.. [online]. Winterthur: Kistler Group, 2008 [cit. 2017-05-03]. Dostupné z: https://www.kistler.com/cz/en/applications/sensor- technology/biomechanics-and-force-plate/sports-performance-analysis/
[3] SMART Balance Master®. In: Natus Medical Incorporated - Balance Details [online]. Natus, 2017 [cit. 2017-05-03]. Dostupné z:
http://www.natus.com/index.cfm?page=products_1&crid=271&contentid=397 [4] NeuroCom Test Protocols. In: NeuroCom Test Protocols [online]. Natus, 2017 [cit.
2017-05-03]. Dostupné z: http://balanceandmobility.com/products/neurocom-test- protocols/
[5] Objective Quantification of Balance & Mobility. In: NCM Objective Quantifications - Test protocols [online]. Clackamas: NeuroCom, 2007 [cit. 2017-05-03]. Dostupné z:
http://www.natus.com/documents/NCM%20Objective%20Quantification%20-
%20Test%20Protocols.pdf
[6] InTenso Series. In: Space Electronics LLC [online]. Berlin: Space Electronics, 2017 [cit. 2017-05-03]. Dostupné z: https://www.space-
electronics.com/contentAssets/Literature/
[7] SE90168. In: Space Electronics LLC [online]. Berlin: Space Electronics, 2017 [cit.
2017-05-03]. Dostupné z: https://www.space- electronics.com/contentAssets/Literature/
[8] Rigid Body Meshing. Rigid Body Meshing [online]. 2015 [cit. 2017-05-03]. Dostupné z: https://www.sharcnet.ca/Software/Ansys/17.0/en-
us/help/wb_msh/msh_specialized_rigid_body.html
50
9 Seznam p ř íloh
CD-ROM s elektronickou podobou bakalářské práce a dvěma aplikacemi pro výpočet polohy těžiště tělesa.
