Mongeovo zobrazení Osová aﬁnita

(1)

Osová aﬁnita

(2)

(3)

nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovinaρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC,

(4)

promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelníkA₁B₁C₁,

(5)

studujme nyní zda mezi trojúhelníky ABC a A₁B₁C₁ existuje nějaký vztah (tzv. geometrická příbuznost),

(6)

zřejmě platí, že odpovídající si body, tj.A,A1;B,B1;C,C1, leží na navzájem rovnoběžných přímkách,

(7)

dále si můžeme všimnout, že odpovídající si přímky, např. AB, A₁B₁, se protínají na průsečnici rovin π,ρ,

(8)

z vlastností pravoúhlého promítání také plyne, že střed S úsečky AB se zobrazí na středS₁ úsečky A₁B₁,

(9)

nalezli jsme tedy geometrickou příbuznost mezi útvary v rovině ρ a jejich průměty v roviněπ,

(10)

(11)

Deﬁnice

Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky

(12)

Deﬁnice

a) odpovídající si body leží na navzájem rovnoběžných přímkách,

(13)

Deﬁnice

a) odpovídající si body leží na navzájem rovnoběžných přímkách, b) odpovídající si přímky se protínají na téže přímceo,

(14)

Deﬁnice

c) zachovává se incidence,

(15)

Deﬁnice

c) zachovává se incidence, se nazýváosová aﬁnita.

(16)

Deﬁnice

se nazýváosová aﬁnita. Přímkao se nazývá osa aﬁnity

(17)

Deﬁnice

se nazýváosová afinita. Přímkao se nazývá osa afinitya směr přímek určených odpovídajícími si body se nazývásměr afinity.

(18)

(19)

Pro každou aﬁnitu lze dokázat následující věty.

(20)

Věta 1

Aﬁnita je určena osou aﬁnity a dvojicí odpovídajících si bodů.

(21)

Věta 1

Věta 2

Navzájem rovnoběžným přímkám odpovídají v aﬁnitě opět navzájem rovnoběžné přímky.

(22)

Věta 1

Věta 2

Věta 3

Přímce rovnoběžné s osou aﬁnity odpovídá zase přímka rovnoběžná s osou aﬁnity.

(23)

Věta 1

Věta 2

Věta 3

Přímce rovnoběžné s osou aﬁnity odpovídá zase přímka rovnoběžná s osou aﬁnity.

Věta 4

Aﬁnita zachovává dělící poměr bodů. Tj. střed úsečky se zobrazí opět na střed úsečky.

(24)

(25)

Příklad č. 1

V osové aﬁnitě dané osouo a dvojicí odpovídajících si bodůA,A^′, sestrojte sdružený obraz pravidelného šestiúhelníkuABCDEF se středemS.

(26)

Příklad č. 1 - řešení

Nejprve sestrojíme sdružený obraz boduS.

(27)

BodemS vedeme přímkup rovnoběžnou se směrem aﬁnity. Určíme průsečíkI přímky AS s osou aﬁnity.

(28)

Průsečík přímekA^′I,p je hledaným bodemS^′.

(29)

Analogicky sestrojíme sdružené obrazy bodůB,C.

(30)

Sdružené obrazy bodůD,E,F můžeme určit několika způsoby.

(31)

Například obraz boduD se musí zobrazit jako obraz bodu A^′ ve středové souměrnosti se středemS^′.

(32)

Obraz boduE musí ležet na přímce procházející bodemE, která je rovnoběžná se směrem aﬁnity. A zároveň na přímce procházející bodemD^′, která je rovnoběžná s přímkouA^′B^′.

(33)

Obraz boduF musí ležet na přímce a^′ (A^′ ∈a^′∧a^′ kC^′D^′) a zároveň na přímcee^′ (E^′ ∈e^′∧e^′ kB^′C^′).

(34)

Sdruženým obrazem pravidelného šestiúhelníkuABCDEF

je šestiúhelníkA^′B^′C^′D^′E^′F^′, který má protější strany rovnoběžné.

Animace

(35)

Prezentace je určena pro podporu výuky deskriptivní geometrie na středních školách.

Je v souladu s rámcovými vzdělávacími programy.

Vytvořeno v rámci projektu „Nová cesta za poznáním“, reg. číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za ﬁnanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky.

Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora – Nevyužívejte dílo komerčně – Zachovejte licenci 3.0 Česko