3.5 Operace s vektory

(1)

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Mgr. Petra Toboříková, Ph.D.

VOŠZ a SZŠ Hradec Králové, Komenského 234

3.5 Operace s vektory

(2)

• Sčítání vektorů

u = (4;0)

v = (1;3) u + v

• graficky doplníme na rovnoběžník

• početně sečteme souřadnice: 4 1  5 3 3

0  

Součet vektorů definujeme jako u  v 



u₁  v₁;u₂  v₂



(3)

• Odčítání (rozdíl) vektorů

u = (-1;-1)

v = (-1;2)

u - v

• graficky rozdíl převedeme na součet vektoru a vektoru opačného

• početně odečteme souřadnice: 1  1  0 3 2

1  



Rozdíl vektorů definujeme jako u  v 



u₁  v₁;u₂  v₂



-v

(4)

a) a

Př.: Vypočítej a graficky zakresli součet a rozdíl vektorů :



1;3



u  



u₁ v₁;u₂ v₂



v

u   

 

5;2 v 

 1 5;3 2

v

u    

 4;5 v

u 

u

v u+v



u₁ v₁;u₂ v₂



v

u   

 1 5;3 2

v

u    

 6;1

v

u  

u - v

-v

(5)

b) a

 

0;8 a 



a₁ b₁;a₂ b₂



b

a   



3; 4



b  

0 3;8 4

b

a   

 3;4 b

a 



a₁ b₁;a₂ b₂



b

a   

0 3;8 4

b

a   

 3;12

b

a  

(6)

c) a

 

5;5 e 



e₁ f₁;e₂ f₂



f

e    



1; 1



f   

5 1;5 1

f

e    

 4;4 f

e  



e₁ f₁;e₂ f₂



f

e    

5 1;5 1

f

e    

 6;6 f

e  

(7)

• Násobení vektoru skalárem (konstantou)

u = (2;1)

2u =(4;2)



u₁ u₂

 

k u₁;k u₂



k u

k       

• graficky zvětšení či zmenšení vektoru

(8)

a) a

Př.: Vypočítej a graficky zakresli součin vektoru skalárem:

2 k 



k u₁;k u₂



u

k    



3;6



u  

 

2 3 ;2 6

u

2    

 6;12

u

2  

u 2u

(9)

c) a

3 k  1



k u₁;k u₂



u

k   



3;6



u  

  _



 



   



 6

3

;1 3 3

u 1 3 1

 1;2

3 u

1   

u

1/3u

(10)

d) a

5 , 0 k  



k u₁;k u₂



u

k   



3;6



u  

 

 0,5 3 ; 0,5 6

u 5 ,

0       



1,5; 3

u 5 ,

0   



u

-0,5u

(11)

a) , kde

Př.: Vypočítej souřadnice vektoru, je-li dáno:

v 4 u

3

w   u 

 

2;3 , v 



 5;4



, v

4 u

3

w  

  

2;3 4 5;4



3

w   

  

6;9 20;16



w   

 



6 20 ;9 16



w    



26; 7



w  

(12)

b) , kde

Př.: Vypočítej souřadnice vektoru, je-li dáno:

c 2 3b

a 1

d     a 



2;2



,b 



6;9



,c 

 

1;0 c

2 3b

a 1

d    



2; 2

 

2; 3

  

2;0

d     



2 2 2; 2 3 0



d      



²^; ⁵



d  

(13)

c) , kde

Př.: Vypočítej souřadnice vektoru, je-li dáno:

2 c b 1

4 a

3

u    a 



2;2



,b 



6;9



,c 

 

8;6



6;6

 

24; 36

  

4;3

u     



6 24 4;6 36 3



u      



²⁶^;⁴⁵



u  

2 c b 1

4 a

3

u   

(14)

= vektory u a v jsou kolineární (rovnoběžné), když jeden je násobkem druhého,

tj. když existuje číslo k tak, že platí:

• Kolineace (rovnoběžnost) vektorů

v k

u  

2 2 1

1

v u v

k  u 

Podmínka kolineace:

Jestliže jsou vektory souhlasně kolineární, pro jsou vektory nesouhlasně kolineární.

0 k  0 k 

(15)

a)

Př.: Urči, zda jsou vektory kolineární:



4;6



,

u   ^v ^



^ ⁸^;¹²



v k u  

12 6 8

4 



Ano, vektory jsou kolineární (rovnoběžné) a platí: v 2 u  1 

2 2 1

1

v u v

k  u 

2 1 2

1 

(16)

b)

b k a  

4 8 5

10

 

Ne, vektory nejsou kolineární (rovnoběžné) .

2 2 1

1

b a b

k  a 

2 2  



10;8



,

a  b 



5;4



(17)

c)

f k e  

3 6 5

, 4 9

 



Ano, vektory jsou kolineární (rovnoběžné) a platí:

u   2  v

2 2 1

1

f e f

k  e 

2 2  



 

9;6 ,

e  f 



 4,5;3



(18)

Př.: Urči souřadnici vektoru tak, aby dané vektory byly kolineární (rovnoběžné):

a) u 



u₁;12



, v 



8;3



v k u  

3 12 8

u₁

 

v 4

u   

2 2 1

1

v u v

k  u 

32 u₁  

1 1

v k  u

8 k  32



4 k  

(19)

b) a 



5;a₂



, b 

 

1;2 b

k a  

2 a 1

5  ₂

b 5

a  

2 2 1

1

b a b

k  a 

10 a₂ 

1 1

b k  a

1 k  5

5 k 

(20)

c) e 

 

9;6 , f 



6;f₂



f k e  

f2

6 6

9 

2 f e  3 

2 2 1

1

f e f

k  e 

4 f₂ 

1 1

f k  e

6 k  9

2 k  3

(21)

definujeme jako

• Skalární součin vektorů u 



u₁;u₂



a

2 2 1

1

v u v

u v

u   

Výsledkem je skalár  číslo



v₁;v₂



v 

Př.: Urči skalární součin vektorů a .



4;6



u   v 



 8;12



2 2 1

1

v u v

u v

u   

  8 6 12 4

v

u        104

v

u  

(22)

Př.: Urči skalární součin vektorů :

a) u 



 2;1



, v 

 

3;4

2 2 1

1

v u v

u v

u   

4 1

3 2

v

u       2

v

u   

b) a 

 

5;2 ,^b ^



⁴^;^¹⁰



2 2 1

1

b a b

a b

a   

 10 

2 4

5 b

a       0

b

a  

(23)

definujeme jako: , kde

• Úhel vektorů

u

a

v u

v cos u



 



Vektory jsou kolmé, jestliže jejich skalární součin je roven 0.

v

Př.: Urči úhel vektorů a .u 

 

0;7 v 



3;4



2 2 2

1 2

2 2

1

2 2 1

1

v v

u u

v u v

cos u







 



 

²

2 2

2 7 3 4

0

4 7

3 cos 0















 



5 cos   4

´ 7 143^









;180

 0



(24)

 

2 ² 1² 3² 4² 4

1 3

cos 2















 



Př.: Urči úhel vektorů :

a) u 



 2;1



, v 

 

3;4

b) a 

 

2;2 , b 



3;3



2 2 2

1 2

2 2

1

2 2 1

1

v v

u u

v u v

cos u







 

 25

5 cos   2

´ 18 100^





2 2 2

1 2

2 2

1

2 2 1

1

b b

a a

b a b

cos a







 



   

² ²

2

2 2 3 3

2

3 2

3 cos 2



















 



1 cos  

180





0





(25)

 

²

2 2

2 6 3 2

4

2 6

3 cos 4















 



Př.: Urči úhel vektorů :

c) t 

 

4;6 , r 



3;2



2 2 2

1 2

2 2

1

2 2 1

1

r t

r t r

cos t







 



0 cos 

90





(26)

 

1 ² 1² 1² 2² 2

1 1

cos 1















 



Př.: V KSS jsou dány body a

Urči velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.A

 

0;1 ,

72







1;2



B  C

 

1;3 .

 

0;1 A



1;2



B 

 

¹^;³

C

 AB AC



1;1



AB  AC

 

1;2

72





36





(27)

Zdroje

• obrázky soustavy souřadnic byly vytvořeny v softwaru GeoGebra a pomocí prostředků softwaru MS PowerPoint