Elektrická potenciální energie

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE

ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

E E L L E E K K T T R R I I C C K K Ý Ý P P O O T T E E N N C C I I Á Á L L

Elektrická potenciální energie

Newtonův zákon Coulombův zákon pro gravitační sílu pro elektrostatickou sílu

m m

¹₂ ²

F G

= r

Q Q

¹₂ ²

F k

= r

Pro elektrostatickou sílu platí řada stejných obecných závěrů jako pro sílu gravitační:

ƒ Elektrostatická síla je síla konzervativní.

ƒ Existuje tedy elektrostatická (elektrická) potenciální energie

(pro systém dvou nebo více částic).

ƒ Změní-li se poloha nabité částice, vykoná na ní elektrostatická síla práci. Pak změně potenciální energie odpovídá

∆ E

_p

= E

_{p f,}

− E

_{p i,}

= − W

ƒ Protože je elektrostatická síla konzervativní, platí, že

práce touto silou vykonaná nezávisí na trajektorii.

ƒ Pro jednoznačné určení potenciální energie je nutno zvolit

konfiguraci, pro níž pokládáme potenciální energii za nulovou.

Elektrostatickou potenciální energii nabité částice pokládáme za nulovou, je-li částice od systému nekonečně vzdálená.

ƒ Práci, kterou vykonají elektrostatické síly při přesunu nabité částice z nekonečna do místa, kde chceme znát potenciální energii,

označíme symbolem W_∞. Pak je potenciální energie

E

p

= − W

_{∞ .}

Elektrický potenciál

Elektrický potenciál neboli potenciál elektrického pole definujeme:

ϕ ( ) G = E

_p

r Q

Potenciál

• nezávisí na náboji testovací částice

Q

₀,

• charakterizuje elektrické pole v místě s polohovým vektorem ,

r

G

• je skalární veličina – skalární funkce prostorových proměnných.

) , , ( )

( r ϕ x y z ϕ

ϕ = G =

Volíme-li v nekonečnu E_{p i,} = 0, pak také potenciál v nekonečnu ϕ_i = 0. Protože

E

_p

= − W

_∞ je hodnota v libovolném místě elektrického pole

_f

W

ϕ = − Q

^∞

Elektrické napětí, definice

Rozdíl potenciálů mezi dvěma libovolnými body nazýváme

elektrické napětí mezi těmito body.

f i

U = ∆ϕ = ϕ − ϕ

₌

E

^{p f,}

E

^{p i,}

E

^p

W

Q Q Q Q

− = ∆ = −

Î

W

U = − Q

Jednotka napětí

1J

-1

[ ] 1V= 1JC

U = 1C =

, 1 volt

Umožňuje zavést používanější jednotku pro intenzitu elektrického pole.

Vhodnější jednotka pro

E

G

:

F E = Q

G G

,

1

-1 -

-1

N Jm V

1 1 1

C JV m

[ ]EG

= = = =

1Vm

Poznámka:

Často užívaná jednotka pro energii elektronů, děr, elementárních částic:

1 elektronvolt = 1 eV = e (1V) = 1,6.10^-19

C. J. C

^-1

= 1,6.10

^-19 J

Důležitá poznámka z HRW.

Ekvipotenciální plocha

Části čtyř ekvipotenciálních ploch Čtyři trajektorie nabité testovací částice

Naznačeny dvě elektrické siločáry

Plochu, na níž má potenciál stejnou hodnotu. nazveme ekvipotenciální plocha Přemístí-li se po libovolné náboj mezi dvěma body téže ekvipotenciální plochy,

nevykoná elektrické pole žádnou práci.

dráze

Plyne to z dříve uvedeného vztahu pro napětí

( _{i f}

W

U = − ϕ ϕ = − Q

).

Je-li

ϕ ϕ

_i

=

_f , musí být

W = 0

.

Elektrické siločáry a příčné řezy ekvipotenciálních ploch

Homogenní elektrické pole

Elektrické pole bodového náboje

(centrální pole)

Pole

elektrického dipólu

Výpočet potenciálu ze známé intenzity elektrického pole

Kladný testovací náboj se

pohybuje v elektrickém poli z bodu (i) do bodu (f). Hledáme práci

elektrostatické síly

Q

0

F G = Q E

0

G

. Platí, že

d W F d r Q E

₀

d r

drG

= ⋅

G G

=

G

⋅

G

.

Protože elektrostatická síla je konzervativní, vedou všechny možné cesty z (i) do (f) ke stejnému výsledku. Nemusíme integrovat po určité křivce, stačí uvést výchozí a koncový bod.

d

₀

d

f

i

W = ∫ W = Q ∫ E ^G ⋅ r ^G

Vyjádříme rozdíl potenciálů

0

0 0

d d

f f

f i

i i

Q

W E r E r

Q Q

ϕ − = − ϕ = − ∫ ^G ⋅ ^G = − ∫ ^G ⋅ ^G

^{⇒ ( ) d}

f

f i

i

U = ϕ − = − ϕ ∫ E ^G ⋅ r ^G

Potenciál bodového náboje

N áboj

Q

vyvolává v bodě

P

elektrické pole o intenzitě

E

G a potenciálu

ϕ

. Potenciál v bodě

P

určujeme pomocí testovacího náboje , který přemísťujeme z bodu

P

do nekonečna.

Q

0

dr G ′

P

^d

( ) ( ) d d cos 0 d

E r

f i

r r r

r E r E r E r

ϕ ϕ ϕ ϕ

↑↑ ′

∞ ∞ ∞

′ ′ ′

− = ∞ − = − ∫ ⋅ = − ∫ ° = − ∫ =

G G

G G

2 2

0 0 0

1 1 1

d d

4 4 4

_r

r r

Q Q Q

r r

r r r

πε πε πε

∞ ∞ ∞

⎡ ⎤

′ ′

= − ∫ ′ = − ∫ ′ = − ⎢ ⎣ − ′ ⎥ ⎦ =

0 0 0 0

1 1 1 1 1

4 πε r

_r

4 πε ( ) r 4 πε 0 r 4 πε r

Q ⎡ ⎤

^∞

Q ⎛ ⎞ Q ⎛ ⎞

−

Q

=

+

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ′ = ⎜ ⎝ ∞ − ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ − ⎠ ⎟ =

Odvodili jsme

0

( ) ( ) 1

4 r Q

ϕ ϕ r

∞ − = − πε

. Nulovou hladinu volíme v

∞

, tj.

ϕ ( ) ∞ = 0

,

potom

0

( ) 1

4 r Q

ϕ r

= πε

Potenciál pro kladný náboj v bodě P Pro více nábojů (soustavu) platí princip superpozice.

Počítačem vytvořený prostorový diagram průběhu elektrického potenciálu

ϕ

^{v bodech}

roviny

z

= 0 v závislosti na vzdálenosti

r

od kladného bodového náboje v počátku roviny

xy

. Hodnoty potenciálu v bodech této roviny jsou vyneseny svisle. Nekonečná hodnota potenciálu

ϕ

není samozřejmě zobrazena.

Soustava bodových nábojů – princip superpozice

1 0 1

1 4

n n

i i

i i i

Q

ϕ ϕ r

=

πε

=

= ∑ = ∑

Nabité těleso P

dϕ

R

dQ= dVρ ρ

(V)

0 0

1 d

d 4 4

1 d

Q V

R R

ϕ ρ

= πε =

πε

0 ( )

1 d

4

V

( )

R d

V V

ϕ = ϕ = ρ

∫ πε ∫

Výhoda: při výpočtu potenciálu stačí spočítat

jen jeden integrál (ϕ je skalární funkce).

Po nalezení potenciálu ϕ lze snadno určit souřadnice vektoru

E

G

jak uvidíme dále ze vztahu:

E G = − grad ϕ

(což je pouhé derivování).

Příklad HRW 25.21.

Částice na obr. mají náboje

Q

₁=

+Q

,

Q

₂

= -3Q

^{. Zvolte}

ϕ

= 0 v nekonečnu a určete na ose

x

všechny body, v nichž je potenciál jimi vytvořeného

elektrického pole roven nule.

Hledaný bod se může nacházet:

a) mezi náboji

Q

₁^,

Q

₂

, nebo

b) vlevo od náboje

Q

₁^.

Vzdálenost tohoto bodu od náboje Q₁ označíme x.

ad a) Vpravo od náboje Q₁

Platí princip superpozice, proto potenciály sečteme.

Platí tedy

( )

1 2

0 0

3 0

4 4

Q Q

x d x

ϕ ϕ ϕ

πε πε

= + = + − =

−

⇒

( )

0 0

3

4 4

Q Q

x d x

πε ⁼ πε −

Odtud je

d − = x 3 x

⇒

4

x = d

^.

d

y

x x

Q

₂

Q

₁

d - x

ad b) Podobně pro bod vlevo od náboje Q₁

y

x x

Q

₂

Q

₁

d

( ) ( )

1 2

0 0

3 0

4 4

Q Q

x d x

ϕ ϕ ϕ

πε πε

= + = + − =

+

⇒

( )

0 0

3

4 4

Q Q

x d x

πε ⁼ πε + 3

d + = x x

⇒

2

x = d

nalevo, tj. v poloze

2

x = − d

.

Výpočet intenzity elektrického pole ze známého potenciálu

d ϕ =− ⋅ E G x d x i G =− E x d x

,

d ϕ =− E y d y

,

d ϕ =− E z d z

Odtud složky

E G

:

x x

E ∂

− ∂

= ϕ

y y

E ∂

− ∂

= ϕ

z z

E ∂

− ∂

= ϕ

Složka intenzity pole

E G

v libovolném směru je rovna poklesu potenciálu v tomto směru připadajícímu na jednotkovou vzdálenost.

Známe

ϕ ϕ = ( ) r G = ϕ ( , , ) x y z

v každém místě elektrického pole.

Víme, že

d

f

f i

i

E r ϕ ϕ ϕ

∆ = − = − ∫ ^G ⋅ ^G

^,

pro elementární změnu pak platí

d ϕ = − ⋅ E G d r G

. Hledáme

E G

.

Protože

ϕ

je skalár, platí tento vztah i pro jednotlivé složky vektoru

E G

, tj.:

dr^G

Z předchozí strany:

x x

E ∂

− ∂

= ϕ

y y

E ∂

− ∂

= ϕ

z z

E ∂

− ∂

= ϕ

Nyní můžeme intenzitu elektrického pole vyjádřit vektorově:

grad

grad

E E i E j E k i j k

x y z x y z

i j k

x y z

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

∂ ∂ ∂

= + + = − + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= − + + = −

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

G G

G G G G G

G G G

grad E G = − ϕ

Známe-li potenciál

ϕ ϕ = ( ) r G = ϕ ( , , ) x y z

ve všech bodech elektrického pole, lze určit složky intenzity

E E

_x

,

_y

, E

_z a tím také vektor

E G

v libovolném bodě pole.

Elektrická potenciální energie soustavy bodových nábojů

Vyjdeme z definičního vztahu pro potenciál, tj

( ) E

^p

r Q ϕ G =

a potenciální energii budeme hledat ze vztahu

E

_p

= ϕ ( ) r Q G

.

Dva bodové náboje

Q

₁ a

Q

₂ ve vzdálenosti

r

Bodový náboj , vytvoří elektrické pole, které má v místě bodového

Q

₁

náboje

Q

₂ potenciál ¹

0

( ) 1

4 r Q

ϕ r

= πε

.

Přítomnost náboje se projevuje elektrostatickou silou působící na náboj . Bude-li náboj přemísťován, bude práce při přemísťování rovna . Elektrická potenciální energie této dvojice nábojů je potom

Q

1

Q

2

Q

₂

Q

2

ϕ

1 2 0

2

( ) 1

p

4

E r Q Q Q

ϕ r

= πε

=

.

Soustava bodových nábojů:

a) Stanoví se elektrická potenciální energie každé dvojice nábojů.

b) Výsledná potenciální energie soustavy je jejich součtem.

Potenciál nabitého vodiče

Ve všech vnitřních bodech izolovaného vodiče se volný náboj rozmístí vždy pouze po jeho vnějším povrchu.

Pak z Gaussova zákona plyne, že uvnitř vodiče je

E G

= 0, tj. platí:

grad 0

E G = − ϕ = ⇒

. konst

ϕ =

Tzn., že vodič musí mít všude stejný potenciál (uvnitř i na povrchu).

Nabitá kulová plocha

a) Závislost potenciálu na vzdálenosti

r

od středu izolované kulové vodivé plochy. Vně koule se celkový náboj jeví jako bodový, umístěný ve středu koule. Při přenesení náboje dovnitř koule (malým otvorem) nekonáme

práci, protože na náboj uvnitř koule nepůsobí elektrická síla. Potenciál má tedy ve všech bodech uvnitř koule stejnou hodnotu jako na povrchu.

b) Průběh velikosti intenzity elektrického pole EG

(r) stejné kulové plochy.

Na povrchu koule je intenzita nespojitá.

Rozložení náboje na povrchu vodiče, který není kulově symetrický 9 Je-li izolovaný vodič vsunut do vnějšího elektrického pole, pak bude

ve všech jeho bodech stejný potenciál (

⇒ E G

je ve všech bodech vodiče nulová). Volné náboje vodiče se rozdělí po jeho vnějším povrchu.

9 Rozložení náboje není obecně rovnoměrné, závisí na tvaru vodiče.

Hustota náboje roste se zakřivením povrchu. V místech s velkou křivostí (hrany, hroty) bývá hustota náboje (a tím i

E G

) velmi vysoká.

9 Siločáry výsledného pole těsně nad povrchem vodiče jsou kolmé k jeho povrchu.

9 Hrot je místo s vysokou koncentrací náboje ⇒ je zde vysoká intenzita pole a tím může dojít k ionizaci vzduchu a poté ke koronovému výboji,

předzvěsti blesku.

Koronové výboje mohou vypadat jako zježené vlasy.

Koronové výboje, jako předzvěsti blesku mohou vidět také např. hráči golfu na

koncích golfových holí, horolezci na koncích cepínů, turisté na koncích větví keřů apod.

Uvnitř vodiče je vždy pole

E G

nulové.

Užití: ochrana před vnějším elektrickým polem v dutině vodivého předmětu (tzv.

Faradayova klec).

Příkladem je karosérie auta, kterou zasáhla mohutná elektrická jiskra. Ta přeskočila

přes izolující levou přední pneumatiku do země. Je vidět, že osoba v autě nezraněna.