Slo¾ité chování øady nelineárních dynamických systémù je známo ji¾ velmi dlouho, pøinej-men¹ím od doby klasických Poincarého studií komplikovaného charakteru orbit více na-vzájem gravitujících tìles. Av¹ak teprve systematické a rozsáhlé zkoumaní tìchto problémù v posledních desetiletích | z nemalé èásti umo¾nìné výkonnými poèítaèi | vedlo k usta-vení do znaèné míry samostatného oboru studia: deterministického chaosu [104]. Studium chaosu v jeho nesèetných aplikacích neustále pøiná¹í nové poznatky, které vedou k nebývale rychlému rozvoji této disciplíny, a to jak do hloubky, tak do ¹íøky.
Ve fyzice byl deterministický chaos doposud studován pøedev¹ím v rámci nebeské me-chaniky, meteorologie, vysokoteplotního plazmatu, èi kvantové mechaniky a optiky. Není ale nijak pøekvapující, ¾e chaotické chování mnoha konkrétních systémù bylo ji¾ popsáno a studováno také v kontextu Einsteinovy obecné teorie relativity | jedná se pøece o nelineární teoriipar excellence.
Prvními systémy, u nich¾ bylo nalezeno chaotické chování, se stala øe¹ení Einsteinových rovnic gravitaèního pole, je¾ popisují prostorovì homogenní av¹ak anizotropní kosmologické modely. Studie souvisely s tzv. þprogramem chaotické kosmologieÿ, který inicioval v roce 1968 Misner. Pozornost se zamìøila pøedev¹ím na zkoumání dynamiky Bianchiho modelù typu IX (tzv. mixmaster vesmíry), které vykazují oscilující charakter funkcí expanze v rùz-ných prostorových smìrech v závislosti na èase. Problém byl podrobnì studován analyticky i
(C) Chaos v gravitaèních vlnách 25 numerickyve velikémpoètu prací, jejich¾ pøehled lze nalézt napøíklad v pøíspìvcích sborníku [105]. Hlavní diskuse se týkala otázky, jak rigoróznì byla existence chaosu v tìchto relati-vistických systémech prokázána, nebo» vìt¹ina standardních metod stanovení chaotického chování (Poincarého øezy, Ljapunovovy koecienty atd.) je souøadnicovì závislá. Problém byl vyøe¹en teprve nedávno pomocí fraktálové metody, je¾ má invariantní charakter [106].
Komplikované nelineární efekty byly nalezeny také u kosmologických modelù, u nich¾ je poèet stupòù volnosti zvý¹en tím, ¾e gravitaèní pole je navázáno na dodateèná skalární èi Yangova-Millsova pole [107].
Jiným velmi významným typem problémù, poskytujícím nelineární dynamický systém v kontextu obecné relativity, jestudium pohybu testovacích èástic v rùzných prostoroèasech.
Je v¹obecnì známo, ¾e newtonovské soustavy mnoha gravitujících tìles vykazují chaotické chování, a je tudí¾ zajímavé zkoumat podobné soustavy v Einsteinovì teorii gravitace.
Relativistickým analogonem klasického problému pohybu èástic v okolí dvou center je studium geodetik v prostoroèasech se dvìma (extrémními) Reissnerovými-Nordstromovými èernými dírami, které jsou ve statické (by» nestabilní) konguraci. Chaotické chování geode-tik v této soustavì poprvé odhalil Contopoulos [108] a pozdìji ho dále studovali Dettmann, Frankel, Cornish a Yurtsever [109]. Cornish a Gibbons [110] nedávno zobecnili tyto výsledky na prostoroèasy reprezentující dvì pevná centra v Einsteinovì-Maxwellovì-dilatonové teorii.
Geodetiky ve sféricky symetrickém Schwarzschildovì prostoroèase jsou | jak známo | integrabilní. Bombellis Calzettou a Letelier s Vieirou [111] v¹ak ukázali, ¾e v perturbovaných Schwarzschildových prostoroèasech geodetiky vykazují chaotické chování. Toté¾ platí i pro pohyb testovacích èástic se spinem, co¾ demonstroval Suzuki a Maeda [112].
Øada autorù studovala chaotické chování testovacích èástic také v mnoha statických, axiálnì symetrických prostoroèasech [113] a rovnì¾ v (topologicky netriviálních) vesmírech Friedmannova-Robertsonova-Walkerova typu se zápornou køivostí [114]. Seznam publikací týkajících se chaotického charakteru pohybù v rùzných relativistických systémech se pocho-pitelnì neustále rozrùstá.
3.1 Shrnutí pùvodních výsledkù
Publikace [C1]-[C5] zaøazené do této èásti habilitaèní práce jsou na¹ím pøíspìvkem k pro-blematice chaotického chování geodetik v pøesných relativistických prostoroèasech. Podaøilo se nám ukázat a postupnì také hloubìji analyzovat vcelku pøekvapivou skuteènost, toti¾
¾e pohyby èástic mohou být chaotické i v tak známých prostoroèasech, jakými jsou rovin-né gravitaèní pp-vlny. Ji¾ jsme uvedli, ¾e jsou to nejjednodu¹¹í neexpandující vlny tøídy KN( = 0), jejich¾ metriku lze psát ve tvaru (1)
ds2 = 2d d?2dudv?(f + f)du2 ; (20)
kde f(;u) je libovolná funkce. Je-li f lineární v , popisuje (20) jen Minkowského vesmír.
Nejjednodu¹¹í gravitaèní vlny jsou dány metrikou (20), kdy¾f = h(u)2, kde h(u) je libo-volná funkce urèující prol vlny. Tato øe¹ení se nazývají homogenní a byla v literatuøe velmi podrobnì studována (odkazy lze nalézt napøíklad v [27], [57]), vèetnì na¹ich pøíspìvkù [A3], [A4] týkajících se konstrukce nestandardních sendvièových vln.
Je zajímavé, ¾e obecnìj¹í, nehomogennípp-vlny urèené strukturní funkcí
f = n2 h(u)n ; pro n = 3;4; ; (21)
26 (C) Chaos v gravitaèních vlnách nebyly dosud zkoumány. V práci [C1] a v na¹em následné pøíspìvku [C2], v nìm¾ jsme po-drobnìji popsali pøípad n = 3, jsme ukázali, ¾e geodetické pohyby v nehomogenních vakuo-vých pp-vlnovakuo-vých prostoroèasech(20), (21) s konstantním prolemh(u) = C jsou chaotické. Pokud je nám známo, jde o první známý pøípad chaosu v pøesných gravitaèních vlnách.
Pro nalezení geodetik v (20) je klíèové øe¹it komplexní rovnici
+ 12U2 f; = 0 ; (22)
kde U je konstanta a teèka znaèí derivaci vùèi normalizovanému annímu parametru . Je-li známo (), lze zbývající funkce u() a v() urèující v¹echny èasové, prostorové i nulové geodetiky získat následnì pouhými integracemi. Zavedeme-li reálné souøadnicex a y vztahem = x + iy, lze (22) chápat jako pohybové rovnice pøíslu¹ející Hamiltoniánu
H = 12p2x +p2y
+V (x;y;u) ; (23)
kde potenciál je V (x;y;u) = 12U2Ref, tedy pro (21)
V (x;y;u) = n1U2h(u)Ren : (24)
Pro ka¾dou pevnou hodnotu retardovaného èasu u = u0 lze tento potenciál snadno znázornit v polárních souøadnicích = exp(i), v nich¾ má tvar V ncos(n), pro který bývá nazývánn-sedlo.
V sérii matematických èlánkù [115]-[117] Rod, Churchill a Pecelli ji¾ pøed mnoha lety dokázali, a to ve zcela rigorózním smyslu, ¾e pohyby v hamiltonovských systémech (23) s polynomiálními potenciály (24) jsou pro h(u) = C chaotické.
Je pozoruhodné, ¾e pro nejjednodu¹¹í volbun = 3 dostáváme potenciál ve tvaru þopièího sedlaÿ, V (x;y) 13x3?xy2, který je speciálním pøípadem známého Hénonova-Heilessova hamiltoniánu [118], doslova þuèebnicového pøíkladuÿ chaotického systému (viz napø. [104]).
Tento systém byl studován v øadì prací, zejména v èlánku Roda [115] a následnì pak v [116], [117]. Autoøi se soustøedili na studium topologie vázaných orbit na energetické va-rietìH = E > 0. Ukázali, ¾e orbity asymptotické pro !1k základním hyperbolickým nestabilním periodickým orbitám j,j = 1;2;;n, se protínají transverzálnì. Podél tìchto homoklinických a heteroklinických orbit lze proto explicitnì vnoøit Smaleho þpodkovovitéÿ zobrazení. Tato skuteènost platí nejen pro pøípadn = 3, ale pro libovolnou hodnotu n. Tím je dokázáno, ¾e chování geodetik vev¹ech nehomogenníchpp-vlnových prostoroèasech (20) s funkcí (21) akonstantním prolem h(u) = C je chaotické.
Dùkaz chaotiènosti podaný ve vý¹e uvedených matematických pracích je sice rigorozní, av¹ak nepøíli¹ názorný. Abychom pøinesli nezávislé a pøesvìdèivìj¹í argumenty pro chaotické chování geodetik v nehomogenních pp-vlnách, zkoumali jsme v [C1] a [C2] strukturu po-hybù také fraktálovou metodou [104], [108]-[110]. Tato moderní, na souøadnicích nezávislá metoda je zalo¾ena na tom, ¾e je nejprve denována reprezentativní mno¾ina poèáteèních dat. Pro ka¾dý bod z této mno¾iny je evolucí systému spoètena pøíslu¹ná orbita a urèe-no její asymptotické chování. Bodùm v murèe-no¾inì poèáteèních dat je tím pøiøazena diskrétní hodnota vyjadøující, do jakého asymptotického stavu je systém evolucí doveden. Systém je chaotický, pokud hranice oddìlující mno¾iny poèáteèních dat vedoucí k rùzným asymptotic-kým stavùm majífraktálovou strukturu. Fraktálový charakter hranic je projevem chaotické dynamiky a jejich fraktálová dimenze je kvantitativní mírou extrémní citlivosti systému na volbu poèáteèních podmínek.
(C) Chaos v gravitaèních vlnách 27 Pøesnì takové fraktálové struktury jsme nalezli pøi studiu geodetik v nehomogenníchpp -vlnách. Numericky jsme integrovali pohybové rovnice urèené (23), (24) pro h(u) = C. Bez újmy na obecnosti lze poèáteèní podmínky volit tak, ¾e geodetiky zaèínají v = 0 z klidu na jednotkové kru¾nici v rovinì (x;y) a mohou být proto parametrizovány úhlem 2[?;), x(0) = cos, y(0) = sin. Numerická simulace ukazuje, ¾e typické geodetiky þunikajíÿ do nekoneèna (kde se nachází singularita køivosti) v¾dyjen podél jednoho znrùzných únikových kanálù v potenciálu V . Ty jsou urèeny radiálními smìry j = (2j ?1)=n, j = 1;;n.
(Jak jsme analyticky ukázali v [C1], orbity unikající do nekoneèna oscilují kolem tìchto os se zmen¹ující se amplitudou a s frekvencí rostoucí nade v¹echny meze.) Tìchton únikových kanálù, je¾ lze oèíslovatj = 1, j = 2,,j = n, denuje mo¾né asymptotické stavy systému zkoumaných geodetik. Funkcej() pak reprezentuje hledaný portrét struktury poèáteèních dat. Jak jsme nespornì prokázali v èláncích [C1] a [C2], hranice mají fraktálovou strukturu.
Kupøíkladu pro n = 3 má struktura funkce j() tu vlastnost, ¾e na ka¾dé úrovni le¾í mezi libovolnýmidvìmamno¾inamigeodetik s výstupnímikanályj1 aj2 6=j1v¾dy men¹í mno¾ina geodetik s kanálemj3 takovým, ¾e j3 6=j1 a souèasnì j3 6=j2. Mno¾ina poèáteèních dat má tedy strukturu Cantorova diskontinua.
Fraktálovou strukturu má rovnì¾ funkces(), která pro ka¾dé vyjadøuje èas , v nìm¾ geodetika zaèínající na dosáhne singularity. Ukázali jsme, ¾e hodnota sdiverguje na ka¾dé diskontinuitì funkce j(). Ty odpovídají nestabilním vázaným geodetikám, které nav¾dy zùstanou v centrální oblasti potenciálu. Hodnota s navíc narùstá s tím, jak se ponoøujeme do vy¹¹ích úrovní fraktálu. To je pøirozené, nebo» vy¹¹í úrovnì pøíslu¹ejí geodetikám, je¾ vykonají více þodrazùÿ v centrální oblasti pøed tím, ne¾ uniknou nìkterým z výstupních kanálù do nekoneèna.
V èlánku [C2] jsme ov¹em studovali i celou øadu dal¹ích podrobností, kupøíkladu defor-maci krou¾ku testovacích èástic vlivem þfraktalizaèního efektuÿ, numerickéurèení fraktálové dimenze i dal¹í související problémy.
Tyto výsledky jsme v na¹ich nedávných èláncích zobecnili na ponìkud realistiètìj¹í situa-ce, ne¾ pøedstavují vlny s konstantním prolemh(u) = C. V pøíspìvku [C3] jsem studovali geodetiky v nehomogenních ¹okových a sendvièových pp-vlnách se þètvercovýmÿ prolem vlnyh(u) = (1=~a)[(u)?(u?a)], kde a a ~a jsou kladné konstanty. Podaøilo se nám ukázat,
¾e èím je délka trvání a vlny krat¹í, tím ménì chaotické jsou výsledné pohyby. K rigorózní charakterizaci N-té úrovnì fraktálové struktury jsme pou¾ili poèet N radiálních þodrazùÿ pøíslu¹ných geodetik, pøesnìji poèet lokálních maxim funkce(u) =qx2(u) + y2(u) urèující vzdálenost od poèátku. To nám umo¾nilokvantitativnì studovat míru þrozmazáváníÿ chaosu v závislosti na tom, jak se posloupnost sendvièových vln blí¾í impulzní limitì,a = ~a ! 0.
Fraktálová struktura poèáteèních dat charakterizující chaos je toti¾ oøezávána na èím dál ni¾¹ích úrovních. To znamená, ¾e pro men¹í hodnoty a je závislost predikce výsledku na poèáteèních datech ménì citlivá, tak¾e ji lze uèinit i pøi men¹ím rozli¹ení. Demonstrovali jsme také skuteènost, ¾e toto zanikání chaotického chování souvisí s postupným þmizenímÿ únikových kanálù v potenciálu, tak¾e èím dál vìt¹í poèet èástic se pohybuje mimo nì.
V limitì impulzních vln a = ~a ! 0 , tedy pro f = n2 (u)n, n 3, je pohyb zcela nechaotický. Pomocí spojitého souøadného systému nalezeného v [B2] se nám podaøilo najít explicitní tvar geodetik. Parametrizujeme-li poèáteèní polohu ka¾dé èástice (u < 0) = 0exp(i0), je pohyb za impulzem (u > 0) dán
x(u) = 0cos0?Cn0?1cos[(n?1)0]u ;
y(u) = 0sin0 +Cn0?1sin[(n?1)0]u : (25)
28 (C) Chaos v gravitaèních vlnách Je vidìt, ¾e výsledný pohyb je rovnomìrný, trajektorie jsou pøímky v pøíèné rovinì (x;y).
Oznaèíme-li jejich sklony pøed a za impulzemi resp. i, lze z (25) odvodit refrakèní for-mule cotx+ cotx = Cn0?1cos[(n?1)0] a coty + coty = ?Cn0?1sin[(n?1)0]), které zobecòují vztah známý pro chování geodetik v axiálnì symetrickém impulzním pro-storoèase Aichelburga a Sexla [82], viz napø. [85], [119]. Zkoumali jsme chování geodetik také v podélném smìru a zjistili, ¾e na u = 0 dochází pøítomností impulzu ke skoku zM = tM = ?p22nCn0cos(n0). Tento þposuvnýÿ efekt byl pro speciální øe¹ení Ai-chelburga a Sexla popsán ji¾ døíve [85].
Získané výsledky nám umo¾nily studovat fokuzaèní efekty v nehomogenních impulzních gravitaèníchpp-vlnách. Ukázali jsme, ¾e krou¾ek testovacích èástic = 0 je v pøíèném prù-mìtu deformován do uzavøených hypotrochoidálních køivek s n smyèkami (hypotrochoidy mohou být generovány bodem pevnì spojeným s kru¾nicí polomìru n?11 0 ve vzdálenosti Cun0?1 od jejího støedu, která se valí po vnitøku pevné kru¾nice polomìru nn?10). Doda-teèná specická deformace v podélném smìru pak vede ke vzniku uzavøené kaustické plochy.
Jedná se o nový efekt, nebo» pro homogenní impulzní vlny uzavøení nenastává.
V pøíspìvku [C4] jsme struènì shrnuli dosavadní poznatky týkající se chaotického cho-vání geodetik v nehomogenních pp-vlnách. Pøedev¹ím se nám v¹ak podaøilo kvantitativnì charakterizovat mizení chaosu v limitì sendvièových vln, a to numerickým spoètením zá-vislosti fraktálové (tzv. box-counting) dimenzed na hodnotì a. Tu lze urèit (viz [104]) ze vztahuP(")"1?d, kdeP(") je relativní èást poèáteèních hodnot, je¾ jsou þnejistéÿ, pokud jde o urèení únikového kanálu za pøítomnosti poèáteèní chyby" (tj. porovnáním geodetik startujících na 0 a 0 "). Ze závislosti lnP(") na ln" pøi " ! 0 jsme pro n = 3 získali následující výsledky:d = 0;2 pro a = 100, d = 0;3 pro a = 60, d = 0;6 pro a = 20, d = 0;9 pro a = 10. V impulzní limitì a! 0 se hodnota dimenze blí¾íd = 1, tedy celému èíslu. To znamená, ¾e fraktálové hranice se stávají regulárními a v limitì je pohyb nechaotický.
Ná¹ zatím poslední èlánek [C5] byl vìnován jinému pøirozenému zobecnìní výsledkù pre-zentovaných v [C1], [C2]. Studovali jsme chování geodetik ve vakuovýchpp-vlnách (20), je¾ mají jak homogenní, tak nehomogenní slo¾ku, tedy kvadratický i kubický èlen ve struktur-ní funkci, f = 2 + 233. Netriviální kladné konstanty a lze bez újmy na obecnosti pøe¹kálovat vhodnou transformací a , tak¾e pohybová rovnice (22) pøíslu¹í hamiltoniánu (23) s potenciálem
V (x;y) = 12(x2?y2) + 13(x3?3xy2) : (26) Lze ho nazvat þmodikovaný Hénonùv-Heilesùvpotenciálÿ, nebo» má takøka stejný tvar jako standardní Hénonùv-Heilesùv potenciál V (x;y) = 12(x2+y2) + 13(x3?3xy2), a¾ na záporné znaménko u èlenu y2. Jak jsme v¹ak ukázali, tato vcelku nepatrná zmìna zpùsobuje, ¾e chovaní geodetik v obou systémech je kvalitativnì dosti odli¹né.
V pøíspìvku [C5] jsme nejprve klasikovali a popsali charakter energetických varietH = E pro rùzné hodnoty E. Pro E < 0 nemohou geodetiky zvolit mezi rùznými únikovými kanály a pohyb chaotický není. Naopak proE > 16 existují tøi mo¾né kanály do nekoneèna a geodetiky vykazují chaotické chování podobné tomu, které jsme zkoumali ji¾ v èlánku [C2].
Nejzajímavìj¹í energetická oblast je tak vymezena podmínkou 0 < E < 16. V ní musí
| pøi zvy¹ování hodnoty E | dojít k pøechodu k chaotickému chování. Není tì¾ké ukázat analyticky,¾e tento pøechod nastává a¾ proE > 121 . Pro pøesnìj¹í urèení kritickéhodnoty pøe-chodu k chaosuE0 2[121 ;16] je v¹ak nutné pou¾ít numerických simulací. Opìt jsme aplikovali fraktálovou metodu charakterizující závislost chování systému na poèáteèních podmínkách (poznamenejme, ¾e studium standardního Hénonova-Heilesova systému touto metodou bylo
(C) Chaos v gravitaèních vlnách 29 provedeno teprve nedávno [120] a bylo inspirováno na¹imi èlánky [C1], [C2]). Zvolili jsme vhodnou mno¾inu poèáteèních dat parametrizovaných úhlem v té komponentì energetické variety, je¾ pøipou¹tí dva únikové kanály j do nekoneèna (y = +1 a y = ?1). Poté jsme numericky urèili závislost j(), je¾ je analogií rozptylové funkce u¾ívané pøi studiu chao-tického rozptylu v otevøených hamiltonovských systémech [121]. Na základì øady simulací jsme ukázali, ¾e pro energieE < E0 = 0;13640;0001 je jedinou hranicí v j() hodnota = 0 (pøíslu¹ející trajektorii podél osy x). Pøi energii E0 hranice bifurkuje a pro E > E0 ji¾ má fraktálovou strukturu, tak¾e geodetiky jsou chaotické.
Výpoèty ukázaly, ¾e pro energii E1 0;165 lze pozorovat dal¹í bifurkaci a struktura se stává je¹tì slo¾itej¹í. Zdá se být pravdìpodobné, ¾e pøi E ! 16 je pøítomno dokonce nekoneèné mno¾ství bifurkací ve fraktálové struktuøe hranic. Pro E > 16 se otevírá tøetí únikový kanál do nekoneèna a chování systému je kvalitativnì podobné jako pro pøípad þopièíhoÿ potenciálu studovaného v [C2].
Podaøilo se nám té¾ kvantitativnì charakterizovat míru slo¾itosti chaotických geodetik stanovením závislosti fraktálové (box-counting) dimenzed na energii E. Numerické simulace ukázaly, ¾ed = 1;340;07 pro E = 0;16 a d = 1;430;06 pro E = 0;166. Dimenze narùstá z hodnoty d = 1 pro E < E0 0;1364 na d!1;500;05 pøi E ! 16.
Uveïme závìrem, ¾e zkoumaný hamiltonovský systém s modikovaným Hénonovým-Heilesovýmpotenciálem(26) je výjimeènýtím,¾e v nejzajímavìj¹ímrozsahu energií obsahuje pouze dva výstupní kanály, a pøesto vykazuje chaotické chovaní, které je charakterizováno fraktálovou strukturou hranic v mno¾inì poèáteèních dat.
3.2 Závìry a výhledy
V navazujícím souboru prací [C1]-[C5] jsme demonstrovali chaotické chování geodetik v ne-homogenních pp-vlnách rùznými analytickými i numerickými metodami, pøedev¹ím inva-riantní metodou fraktálovou. Jedná se o první explicitní pøíklad chaosu vpøesných záøivých prostoroèasech. Pro úplnost uveïme, ¾e chaotická interakce èástic s linearizovanými gravi-taèními vlnami byla ji¾ studována v publikacích [122].
Nejprve jsme nalezli chaotické chování èástic i fotonù v prostoroèasech popisujících ne-homogenní gravitaèní pp-vlny s konstantními proly [C1], [C2]. Matematicky se problém redukuje na vy¹etøování hamiltonovského systému se dvìma stupni volnosti a polynomiál-ním potenciálem. Výsledky jsme poté zobecnili na sendvièové gravitaèní vlny tohoto ty-pu [C3], [C4], a na vlny, je¾ obsahují homogenní i nehomogenní slo¾ku [C5]. Pozoruhodné je, ¾e v nejjednodu¹¹ích pøípadech je potenciál studovaného systému toto¾ný se známým Hénonovým-Heilesovým potenciálem [118], pøípadnì jde o jeho modikace.
Proto¾epp-vlny pøedstavují vùbec nejjednodu¹¹í vakuová øe¹ení Einsteinovýchrovnic po-pisující pøesné gravitaèní vlny, je zajímavým otevøeným problémem, zda chaotické pohyby lze nalézt i v jiných záøivých prostoroèasech. Vhodnými kandidáty jsou pøirozenì Kundto-va øe¹ení KN() nebo øe¹ení Robinsonova-Trautmanova typu RTN(), je¾ pøipou¹tìjí i nenulovou kosmologickou konstantu. Ta se stanou pøedmìtem na¹eho budoucího studia.
30 (D) Související problémy