Úvod a podìkování 1

gravitaèních vln

Jiøí Podolsk y

Ústav teoretické fyziky Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze

habilitaèní práce

obor: fyzika { teoretická fyzika

Praha prosinec 2000

Obsah

Úvod a podìkování 1

Nìkolik historických poznámek a zaøazení práce do obecného kontextu 3

1 (A) Pøesné záøivé prostoroèasy 7

1.1 Shrnutí pùvodních výsledkù : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10 1.2 Závìry a výhledy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14

2 (B) Impulzní vlny 15

2.1 Shrnutí pùvodních výsledkù : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17 2.2 Závìry a výhledy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

3 (C) Chaos v gravitaèních vlnách 24

3.1 Shrnutí pùvodních výsledkù : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 3.2 Závìry a výhledy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

4 (D) Související problémy 30

Shrnutí a závìreèné poznámky 31

Literatura 32

Publikace vybrané pro habilitaèní práci a jejich ohlasy 40

(A) Pøesné záøivé prostoroèasy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 (B) Impulzní vlny: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41 (C) Chaos v gravitaèních vlnách : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 (D) Související problémy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44

Pøíloha: úplné znìní publikací vybraných pro habilitaèní práci 45

Cenu má pouze cesta.

Pouze ona trvá,

kde¾to cíl je iluzí poutníka.

Antoine de Saint-Exupéry,Citadela, XLIX

1

Úvod a podìkování

Pøedkládaná habilitaèní práce shrnuje pùvodní výsledky, je¾ jsou obsahem mých publika- cí oti¹tìných bìhem nìkolika posledních let v recenzovaných èasopisech. V pøevá¾né míøe vznikly bìhem mého pùsobení na Ústavu (døíve Katedøe) teoretické fyziky MFF UK a také bìhem pravidelných pracovních pobytù na Universitì v Loughborough.

Spoleèným jmenovatelemzmínìných publikací je problematika pøesných gravitaèních vln v Einsteinovì obecné teorii relativity. Z dùvodu pøehlednìj¹ího uspoøádání jsou publikace rozèlenìny do nìkolika tématických okruhù, které denují základní strukturu habilitaèní práce:

èást A: Pøesné záøivé prostoroèasy

Shrnuje publikace týkající se obecných charakteristik nìkterých významných pøesných øe¹ení Einsteinových rovnic (vèetnì kosmologické konstanty), je¾ popisují gravitaèní vlny, pohyby testovacích èástic v nich a jejich globální strukturu.

èást B: Impulzní vlny

Pøíspìvky týkající se studia impulzních gravitaèních vln, které se mohou ¹íøit Min- kowského pøípadnì (anti{)de Sitterovým vesmírem.Jejich obsahem je pøedev¹ím úplná geometrická klasikace, nalezení rùzných metod konstrukce a fyzikální interpretace.

èást C: Chaos v gravitaèních vlnách

Pøíspìvky k nové, rychle se rozvíjející problematice chaosu v Einsteinovì teorii. V nich se nám podaøilo nalézt a do znaèné hloubky prostudovat chaotické chování geodetik ve známé tøídì rovinných gravitaèních vln s paralelními paprsky.

èást D: Související problémy

Ostatní èlánky, v nich¾ jsme studovali øe¹ení s nenulovou kosmologickou konstantou.

Hlavní èásti A, B a C mají také podobnou strukturu. V¾dy je v nich nejprve popsána daná problematika spolu s uvedením klíèových odkazù na literaturu. Poté následuje oddíl, ve kterém jsou do obecného kontextu zaøazeny na¹e nové výsledky z pøíslu¹ných publikací vèetnì zaznamenaných nejdùle¾itìj¹íchohlasù. Ka¾dou èást uzavírá shrnutí spolu se zmínkou o nejzajímavìj¹ích otevøených problémech.

Poznamenejme rovnì¾, ¾e pro vìt¹í pøehlednost jsou také pùvodní publikace rozèlenìny podle struktury habilitaèní práce. Odkaz na nì (uvádìný v obvyklých hranatých závorkách) se skládá z písmene pøíslu¹né èásti následovaného arabským èíslem. Seznam pùvodních pub- likací je uveden na str. 40, jejich úplné znìní je obsahem Pøílohy.

Znaèná èást pøedkládaných publikací vznikala v èetných diskuzích s øadou kolegù. Moje hluboké a upøímné podìkování patøí zejména spoluautorùm, k nim¾ mne nyní vá¾e pouto nejen odborné, ale i osobní. Na prvním místì je to prof. Jiøí Bièák, vedoucí mé diplomové i kandidátské práce, uèitel, jen¾ mne zasvìtil do mnoha tajù a kouzel Einsteinovy teorie, vedl moje první krùèky v relativistickém svìtì, formoval i usmìròoval moji odbornou èin- nost. Publikace vzniklé ve spolupráci s ním tvoøí základ èásti A této habilitaèní práce. Velká

2

vìt¹ina publikací zahrnutých do èásti B je výsledkem pravidelných pobytù u prof. Jerryho Grithse v anglickém Loughborough. Byl to on, kdo pøed léty pøi¹el s nápadem spoleèného projektu na téma impulzních gravitaèních vln, umo¾nil mi sdílet klidné a tvùrèí prostøedí tamního kampusu a stal se výteènýmpartnerem v nesèetných diskuzích i zdlouhavých výpoè- tech. Publikace obsa¾ené v èásti C jsou pak výsledkem spoleèného úsilí s magistrem Karlem Veselým. Jeho schopnosti, peèlivost i vytrvalost rychle vedly k tomu, ¾e se ze studenta záhy stal opravdový kolega.

Mùj dík rovnì¾ patøí v¹em, kdo utváøeli a utváøejí stimulující lidské prostøedí i technické zázemí na Ústavu teoretické fyziky, zejména Tomá¹ovi Ledvinkovi i ostatním kolegùm z Re- lativistického semináøe. Vìt¹ina z nich jsou navíc spoluøe¹iteli grantù þRelativistická fyzika a astrofyzikaÿ (GAÈR, r. 1993-95, 1996-98, 1999-2001) a þRelativistické teorie gravitace, astrofyzika a kosmologieÿ (GAUK, r. 1993-95, 1996-98, 2000-02). Byla to nanèní pomoc tìchto grantù, která spolu s pobytovými granty udìlenými Royal Society (èerven 1997, 98, 99, bøezen-kvìten 2000) umo¾nila mé studijní a pracovní pobyty v zahranièí i úèasti na konferencích.

V neposlední øadì pak vyjadøuji upøímné podìkování svým rodièùm a zejména nejbli¾¹í rodinì | Kateøinì, Markétce a Terezce | za to, s jak nev¹ední trpìlivostí sná¹ejí, ¾e svùj èas dìlím mezi nì a studium gravitaèních vln.

V Praze dne 1. prosince 2000

Zaøazení práce do kontextu 3

Nìkolik historických poznámek a zaøazení práce do obecného kontextu

Zdá se být velmi pravdìpodobné, ¾e bìhem nìkolika nejbli¾¹ích let ji¾ bude existence gra- vitaèních vln poprvé prokázána pøímým experimentálním zpùsobem. Nejvyspìlej¹í státy svìta v souèasné dobì vynakládají znaèné prostøedky | v øádu desítek miliard korun | na výstavbu interferometrických detektorù obøích rozmìrù. Ji¾ vybudovaný nìmecko-britský GEO má délku ramen 600 m, dvojice dokonèovaných detektorù gravitaèních vln amerického projektuLIGO má ramena dlouhá 4 km, italsko-francouzský V IRGO má rozmìry 3 km a pøipravují se podobné projekty v Japonsku a Austrálii. S pomocí tìchto unikátních zaøízení, je¾ doslova na hranicích mo¾ností vyu¾ívají soudobé ¹pièkové technologie, bude mo¾né mìøit relativní zmìny vzdáleností testovacích tìles men¹í ne¾h = _L^L 10^?21. Tak velké citlivosti (obraznì ji lze pøirovnat napøíklad k hypotetické schopnosti promìøovat vzdálenost Zemì od Slunce s pøesností rozmìru jednotlivého atomu) bude dosa¾eno díky symbióze kvanto- vé optiky, techniky ultravysokého vakua, speciálních procedur poèítaèového zpracování dat a mnoha dal¹ích teoretických i aplikovaných oborù (podrobnosti lze nalézt v [1] pøípadnì [2]). Zmínìné detektory snad koneènì umo¾ní úspì¹nì zavr¹it doposud marné úsilí o zachy- cení étericky slabých gravitaèních vln. Po takøka celém jednom století by tím byla pøímo potvrzena dal¹í z významných pøedpovìdí obecné relativity, Einsteinovy teorie gravitace.

Gravitaèní vlny se podle Einsteina v mnohém podobají vlnám elektromagnetickým. Oba druhy vln se ¹íøí prázdným prostorem rychlostí svìtla, oba majípøíèný charakter a pøipou¹tìjí dva nezávislé polarizaèní stavy.

V pøípadì elektromagnetismu je vlnícím se þmédiemÿ elektromagnetické pole, pøièem¾ pøíslu¹ná vlnová rovnice je bezprostøedním dùsledkem elektrodynamických rovnic, jimi¾ se pole øídí. Je více ne¾ pozoruhodné, ¾e James Clerk Maxwell toto v¹e prezentoval souèas- nì, a to ve svém slavném díle [3] z roku 1864. V této práci poprvé (rozvíjeje Faradayovy intuitivní pøedstavy o þelektro-tonickém stavuÿ prostoru v okolí nábojù a o magnetických siloèárách) explicitnì zformuloval koncept dynamického elektromagnetickéhopole jako nosi- èe a zprostøedkovatele v¹ech elektrických a magnetických pùsobení. Pøekonal tím dvì století starou Newtonovu pøedstavu o tom, ¾e silové interakce mezi hmotnými body pùsobí bez- prostøednì a okam¾itì i na sebevìt¹í dálku. V tomté¾ díle Maxwell zavedl pøíslu¹né polní velièiny a pøedev¹ím zformuloval rovnice, které nyní nesou jeho jméno. Tato soustava di- ferenciálních rovnic svazuje, jak známo, polní velièiny s jejich zdroji, jimi¾ jsou náboje a proudy. V dal¹í èásti práce [3] ov¹em ihned matematickou manipulací s rovnicemi pole od- vodil, ¾e polní velièiny v nepøítomnosti zdrojù splòují vlnovou rovnici. Uèinil tím | ryze teoretickou | pøedpovìï existenceelektromagnetických vln. A proto¾e rychlost ¹íøení obje- vených vln souhlasila s rychlostí svìtla, vyvodil správný závìr, ¾e svìtlo je jen specickým druhem elektromagnetického záøení. V jediném geniálním díle se mu tak podaøilo sjednotit elektøinu s magnetismem a propojit je s optikou.

Trvalo ov¹em témìø 25 let, ne¾ byla Maxwellova teoretická pøedpovìï elektromagnetic- kých vln prokázána experimentálnì. A kdo mohl tehdy tu¹it, kdy¾ Heinrich Rudolf Hertz v letech 1887-1888 a nezávisle na nìm Oliver Lodge poprvé dokázali pøenést na vzdálenost nìkolika metrù drobné jiskøièky výbojù [4], ¾e z Maxwellova odkazu vzklíèí ve 20. století telekomunikaèní revoluce, je¾ tak hluboce pozmìní tváø svìta.

Maxwellova my¹lenka spojitého fyzikálního pole coby zprostøedkovatele interakcí si po- stupnì získávala své pøíznivce, tøeba¾e setrvaènost v u¾ívaní starých (i kdy¾ do té doby

4 Zaøazení práce do kontextu osvìdèených) Newtonových pojmù byla znaèná. Vynoøila se tak pøirozená otázka, zdali by té¾gravitaèní pùsobení nemohlo být zformulováno v podobì dynamické polní teorie. Mo¾ná právì tuto pøedstavu mìl Maxwell na mysli (jisté náznaky této my¹lenky kupodivu nalezne- me rovnì¾ v jeho slavné práci [3], a to na konci èásti IV), kdy¾ v roce 1871 bìhem setkání britských vìdcù v Edinburghu sepisoval (nevá¾nou) báseò svému pøíteli P.G. Taitovi, þhlav- nímu muzikantovi na kvaternionový operátor nablaÿ, je¾ konèí slokou [5]

Go to! prepare your mental bricks, Fetch them from every quarter, Firm on the sand your basement x

With best sensation mortar.

The tower shall rise to heaven on high | Or such an elevation,

That the swift whirl with which we y Shall conquer gravitation.

Bylo v¹ak zapotøebí takøka celého dal¹ího pùl století, ne¾ byl zmínìný program doveden do úspì¹ného konce. A vskutku, bylo pøi nìm nutno nejprve þpøipravit stavební kamenyÿ, pojmový aparát nové fyzikální teorie, þsnésti je i z tìch nejodlehlej¹ích koutùÿ matematiky a nalézt þpevnou pùdu pro její základyÿ opøenou o nepøedsudeèné vnímání a uva¾ování.

Teprve potom mohla být tì¾ká úloha, vtìlení gravitace do rámce konzistentní polní teorie po vzoru elektromagnetické teorie Maxwellovy, vyøe¹ena.

Jak známo, zmínìný intelektuální výkon se podaøil Albertu Einsteinovi. Výsledek byl fascinující a pøinesl mnohem více ne¾ jen dokonalej¹í teorii gravitace. Znamenal zásadní revizi názorù na podstatu prostoru a èasu, zrovnoprávnil v¹echny vzta¾né systémy, poskytl návod, jak formulovati dal¹í fyzikálníteorie v situacích,kdy je pøítomna gravitaèní interakce.

Jen málo poèinù v historii pøírodovìdy je s ním srovnatelných. Právem pomohl získat svému autorovi obecnou popularitu i respekt mezi odborníky (napøíklad v nedávné anketì pøi pøíle¾itosti konèícího milénia zvolila stovka pøedních fyzikù Einsteina nejvìt¹ím fyzikem v¹ech dob | pøed Newtonem, Maxwellem a Bohrem [6]).

V literatuøe je podrobnì popsáno [7], jakými zákruty i slepýmiulièkamivedla Einsteinova dlouhá cesta, ne¾ mohl svoji teorii známou pod názvem obecná relativita [8] prezentovat v denitivní podobì dne 25. listopadu 1915 na zasedání Pruské akademie vìd v Berlínì.

Zásadním problémem pøi hledání nové teorie bylo, ¾e ji ne¹lo formulovat nejjednodu¹¹ím mo¾ným zpùsobem, toti¾ cobyskalární polní teorii, jak se o to pokou¹eli napøíklad Gunnar Nordström, Max Abraham a zèásti té¾ Einstein sám bìhem svého pra¾ského období [9].

Vìc se ukázala býti slo¾itìj¹í: gravitaèní pole obecné relativity pøedstavuje tenzorové pole metriky prostoroèasu. To znamená, ¾e dynamickýmpolem je v pøípadì gravitace sám prostor a èas, pøesnìji øeèeno jejich metrické vlastnosti. Ve¹kerá hmota (èi ekvivalentnì energie) ovlivòujeve svémokolí geometriiprostoru i tok èasu, þdeformuje jeÿ, a to pøesnì denovaným zpùsobem, jen¾ je dán øe¹ením Einsteinových rovnic gravitaèního pole. Ty jsou analogonem rovnic Maxwellových, jsou v¹ak matematicky mnohem slo¾itìj¹í. Pøedev¹ím jsounelineární, a proto v obecné relativitì neplatí princip superpozice, tolik u¾iteèný v elektrodynamice.

Hledání pøesných øe¹ení rovnic gravitaèního pole je tak vìt¹inou obtí¾né a v øadì konkrétních realistických situací je nutno pou¾ít vhodných aproximaèních metod.

Einsteinova obecná relativita záhy prokázala své pozoruhodné prediktivní schopnosti. Ke slavným tøem základním testùm teorie (stáèení perihélia Merkura, ohybu paprskù v blízkos- ti Slunce a existenci gravitaèního rudého posuvu) pøibyla postupnì celá øada dal¹ích, velmi

Zaøazení práce do kontextu 5 pøesných experimentù (jejich detailní popis a shrnutí výsledkù lze nalézt napø. v [10]). Je svým zpùsobem pøekvapivé, ¾e Einsteinova teorie pro¹la v¹emi tìmito testy zatím bez úhony.

Toté¾ se nedá øíci o naprosté vìt¹inì konkurenèních gravitaèních teorií, které byly ve 20. sto- letí zformulovány, napøíklad o bimetrické Rosenovì teorii èi o nesymetrické teorii Moatovì [10]. V podstatì platí, ¾e z alternativních teorií vyhovují v¹em dosavadním experimentùm jen ty, které obecnou relativitu imitují vhodnou volbou þvolných parametrùÿ, je¾ obsahují (napø. Bransova-Dickeho skalárnì-tenzorová teorie). Einsteinova teorie pøitom ¾ádné volné parametry (vyjma tolik diskutované kosmologické konstanty ) neobsahuje, tak¾e je ka¾dým novým experimentem þohro¾enaÿ nejvíce. Lze proto oprávnìnì tvrdit, ¾e obecná relativita je dosud nejlep¹í konzistentní teorií gravitace, kterou dnes máme k dispozici.

I proto se postupem doby stala z ryze teoretického konceptu jedním ze základních pilíøù moderní astronomie a astrofyziky. V poslední dobì dokonce nachází i nìkteré ryze praktické aplikace, napøíklad pøi výpoètu pøesných pohybù umìlých dru¾ic.

Obecná relativita sehrála a sehrává dùle¾itou roli pøi popisu vnitøní struktury i evoluce hvìzd a pøedev¹ím procesù, které probíhají na konci jejich ¾ivota, kdy kolabují v bílé trpaslí- ky, neutronové hvìzdy èi dokonce èerné díry. Èerné díry, pøedstavující relativistické objekty par excellence, byly dlouho pova¾ovány za jakousi ryze hypotetickou kuriozitu. Studium vzdáleného vesmíru v posledních letech pomocí Hubbleova kosmického teleskopu i dal¹ích dru¾icových a pozemských observatoøí v¹ak odhalilo, ¾e právì ony jsou þhnacím motoremÿ kvazarù i aktivních galaxií a ¾e supermasivní èerné díry se nejspí¹e nacházejí v centru vìt¹iny galaxií vèetnì té na¹í [11].

Einsteinova teorie gravitace také umo¾nila poprvé v historii uèinit plnohodnotnou vìdec- kou disciplínu z kosmologie. Relativistický model rozpínajícího se vesmíru a teorie velkého tøesku jsou dnes dobøe potvrzovány øadou pozorovacích faktù, pøedev¹ím rudým posuvem galaxií, existencí reliktního mikrovlnného záøení a chemickýmslo¾ením vesmíru, je¾ je v sou- ladu s teoretickými modely prvotní nukleosyntézy [12].

Vedle zkoumání èerných dìr a vesmíru jako celku v¹ak obecná relativita umo¾nila otevøít je¹tì jeden úplnì nový rozsáhlý obor studia: pøedpovìdìla existenci gravitaèních vln.

Ji¾ jsme uvedli, ¾e gravitaèní vlny se podobají vlnám elektromagnetickým. Z intuitivní- ho hlediska tato skuteènost pøíli¹ nepøekvapuje, nebo» Einsteinova teorie se podobá teorii Maxwellovì. Pøedev¹ím v tom smyslu, ¾e obì pøedstavují klasické (mínìno nekvantové) dy- namické polní teorie. Einsteinovy i Maxwellovy evoluèní rovnice jsou navíc z matematického pohledu diferenciálními rovnicemi hyperbolického typu a pøipou¹tìjí proto vlnová øe¹ení. To v obou pøípadech fyzikálnì znamená, ¾e nerovnomìrné pohyby zdrojù vyvolávají rozruchy pole v jejich okolí, které se ¹íøí pryè, a to koneènou rychlostí.

Pøes zmínìnou podobnost ov¹em existují i zásadní odli¹nosti. Elektromagnetické vlny pùsobí jen na tìlesa nesoucí elektrické náboje, zatímco gravitaèní vlny ovlivòují univerzálnì v¹echny objekty. Lze si je pøedstavit jako vlnky køivosti prostoroèasu, které v rovinì kolmé na smìr svého ¹íøení zpùsobují specické deformace (relativní smr¹»ování a natahování) prostoru a tedy i v¹ech v nìm umístìných tìles. Velikost tìchto relativních deformací je dána amplitudou h, zatímco jejich charakter je urèen tenzorovou strukturou gravitaèního pole:

kdy¾ v jednom smìru v transverzální rovinì dochází ke smr¹»ování, ve smìru k nìmu kolmém je prostor natahován, a naopak. V tom spoèívá dal¹í odli¹nost oproti elektrodynamice, v ní¾ jsou elektrické náboje v transverzální rovinì urychlovány jen ve smìru dané polarizace.

Zcela zásadní kvantitativní odli¹ností je ov¹em þnesmírná slabostÿ gravitaèních vln. Ta je zpùsobena skuteèností, ¾e gravitace jenejslab¹í ze známých fyzikálních interakcí. (Pøesto je dominantní silou ovládající vesmír,nebo» na rozdíl od ostatních interakcí pùsobí i na velké

6 Zaøazení práce do kontextu vzdálenosti a je v¾dy pøita¾livá.)Kupøíkladu pomìr velikostigravitaèní ku elektrostatickésíle pùsobící mezidvìmaelektrony je pouhých 10^?42. To znamená, ¾e vzájemnávazba mezizdroji a pøíslu¹ným polem je v pøípadì gravitace mnohem slab¹í ne¾ u elektromagnetismu. Jinými slovy, generovat a detektovat elektromagnetické vlny je neporovnatelnì snaz¹í ve srovnání s tými¾ procesy pro vlny gravitaèní. A to je dùvod, proè se je prostøednictvím jejich pøímého pùsobení na experimentální zaøízení doposud nepodaøilo zaznamenat, ani takøka celé století po teoretické pøedpovìdi jejich existence. První, dnes u¾ legendární pokusy v tomto smìru, provádìné pomocí tzv. rezonanèních detektorù, jsou spojeny se jménem Josepha Webera a spadají do 60. let [13]. I kdy¾ od té doby vzrostla citlivost detektorù o nìkolik øádù, na zachycení gravitaèních vln stále je¹tì nestaèí.

Pøesto v¹ak existuje dùvod k optimismu. Právì dokonèované interferometrické detektory, zmínìné v úvodu, budou schopny zaznamenávat relativní deformace prostorových vzdále- ností øádu h 10^?21. A to je hodnota, jakou by zde na Zemi mìly mít, podle dne¹ních teoretických výpoètù, amplitudy gravitaèních vln vysílaných pøedpokládanými nejsilnìj¹ími astrofyzikálnímizdroji [14]. Mezi nì patøí pøedev¹ím supernovy (pokud je výbuch dostateènì nesymetrický nebo jsou významné tzv.r-módy nestabilit [15]) a srá¾ky neutronových hvìzd èi dokonce èerných dìr, jak ukazuje následující tabulka:

zdroj amplituda typ signálu frekvence

supernova 10^?21 puls 1 kHz

srá¾ka èerných dìr 10^?20 kvaziperiodický 10 Hz srá¾ka neutron.hvìzd 10^?22 kvaziperiodický < 1 kHz vibrace èerné díry ? tlumené oscilace < 10 kHz

velký tøesk ? ¹um ?

Mohlo by se zdát, ¾e uvedené události jsou nesmírnì vzácné. Ve skuteènosti v¹ak astrono- mové ka¾dým rokem pozorují (prostøednictvím elektromagnetických vln) nìkolik supernov v nejbli¾¹í kupì galaxií v souhvìzdí Panny. A èetnost srá¾ek dvou neutronových hvìzd nebo èerných dìr by mìla být podobná. Dvojhvìzdných systémù tohoto typu toti¾ existuje ve vesmíru veliké mno¾ství a srá¾ka obou slo¾ek je jen nevyhnutelným a spektakulárním dù- sledkem jejich vzájemného spirálovitého pøibli¾ování. To nastává díky postupnému úbytku vazbové energie obíhajících kompaktních slo¾ek, kterou odná¹ejí vyzaøované gravitaèní vlny.

Spirálovité pøibli¾ování dvou obíhajících neutronových hvìzd bylo ji¾ astronomy u nìkoli- ka systémù pozorováno. Za objev prvního z nich, slavného binárního pulzaruPSR 1913+16 byla v roce 1993 J. H. Taylorovi a R. A. Hulsovi udìlena Nobelova cena [16]. Mìøené zkra- cování obì¾né doby o 76;00;5 s za rok vynikajícím zpùsobem souhlasí s teoretickou hodnotou 75;8 s za rok, kterou pøedpovídá obecná relativita. Nejen¾e tím byla opìt ovìøe- na platnost Einsteinovy teorie (poprvé v oblasti extrémnì silných gravitaèních polí), ale byl tím souèasnì podán velmi pøesvìdèivý | by» nepøímý | dùkaz, ¾e gravitaèní vlny opravdu existují.

Studium gravitaèního záøení dnes pøedstavuje velice rozsáhlý obor, který pøesahuje rá- mec ryze teoretické relativistické fyziky. Je úzce propojen s astronomií a astrofyzikou, pokud jde o zdroje gravitaèních vln. Tato tématika je dnes opravdu ¾ivým (a¾ horeènatým) po- lem, co¾ souvisí s oèekávaným brzkým uvedením velkých interferometrùLIGO a V IRGO do provozu. Cílem této velké aktivity je poskytnout co nejpøesnìj¹í þkatalogÿ signálù od pøedpokládaných zdrojù (mo¾ných frekvencí, tvarù vlnoploch, polarizací a pøedev¹ím jejich

(A) Pøesné záøivé prostoroèasy 7 èasových závislostí), aby bylo mo¾né podle nich s pomocí poèítaèových programù v reálném èase prozkoumávat mìøená data a v jejich ¹umu (koneènì) rozpoznat hledaný vzácný signál.

Sama problematikadetekce gravitaèních vln je pochopitelnì dal¹ím pøesahem, jím¾ obec- ná relativita vstupuje do kontaktu s kvantovou mechanikou a kvantovou optikou, zejména teorií vysoce stabilních laserù s mohutnou recyklací výkonu [1], s vakuovou fyzikou, fyzikou pevné fáze a dal¹ími na nì navazujícímitechnickýmiobory. Zpracování dat pøedstavuje zcela samostatnou kapitolu, je¾ je výzvou poèítaèové technice i softwarovému in¾enýrství.

Tìmito zajímavými tématy se v¹ak v pøedkládané habilitaèní práci dále nezabýváme.

Dùvodem je pøedev¹ím skuteènost, ¾e vý¹e nastínìné obory studia gravitaèního záøení (ge- nerování vln astrofyzikálními zdroji a jejich interakce s mìøícíaparaturou) dnes nutnì musejí

| mají-li poskytnout realistická data | pou¾ívat aproximaèní nebo numerické metody øe-

¹ení Einsteinových polních rovnic i rovnic pohybových. Pøedmìtem na¹eho zájmu je ov¹em problematika jiná: studium gravitaèních vln, které jsou pøesnými øe¹eními Einsteinových nelineárních rovnic gravitaèního pole.

Je zøejmé, ¾e takové studium má pøevá¾nì teoretický charakter. Jeho význam spoèívá v tom, ¾e | na rozdíl od perturbaèních èi poèítaèových pøístupù | umo¾òuje zkoumat øadu principiálních problémù, jako napøíklad globální strukturu prostoroèasù, vlastnosti horizontù, charakter singularit vèetnì testování hypotézy þkosmické cenzuryÿ, chování vln v kosmologických modelech, které nejsou nikde ploché, nelineární efekty pùsobení vln na èástice èi pole, a tak dále. Analýza konkrétních, explicitních pøesných øe¹ení pomáhá získat fyzikální intuici nutnou k pochopení obecných zákonitostí gravitaèního záøení. Umo¾òuje té¾ konstrukci modelù v kanonické kvantové gravitaci i teorii superstrun.

1 (A) Pøesné záøivé prostoroèasy

V limitì slabých nestacionárních gravitaèních polí mimo zdroje vede linearizace Einsteino- vých rovnic ihned na homogenní vlnovou rovnici pro poruchy h, je¾ reprezentují malé odchylky od metriky Minkowského prostoroèasu [17]. Existence tìchto linearizovaných gravitaèních vln si byl Einstein dobøe vìdom [18] (spolu s ním té¾ Weyl, Eddington a dal¹í [19]), a to dokonce je¹tì pøed koneènou formulací obecné relativity. Dobøe to ilustruje napøí- klad diskuse s Maxem Bornem, je¾ se odehrála po Einsteinovì pøedná¹ce ve Vídni dne 23.

záøí 1913 [20]:

Born: þRád bych polo¾il panu Einsteinovi otázku, toti¾ jak rychle se gravitaèní pùso- bení podle jeho teorie ¹íøí. ®e se tak dìje rychlostí svìtla mi není docela zøejmé...ÿ

Einstein: þJe velmi jednoduché napsat rovnice pro pøípad, kdy perturbace pole jsou nekoneènì malé. V tom pøípadì se (slo¾ky metriky) ^g li¹í jen nekoneènì málo od tìch, je¾ by byly v nepøítomnosti perturbací. Perturbace se pak ¹íøí stejnou rychlostí jako svìtlo.ÿ

Born: þAle pro velké perturbace je vìc jistì velmi komplikovaná?ÿ

Einstein: þAno, je to matematicky slo¾itý problém. Pøedev¹ím je obtí¾né nalézt pøesná øe¹ení rovnic, proto¾e rovnice jsou nelineární.ÿ

Citát je zajímavý i tím, ¾e naznaèuje slo¾itost principiální otázky, zda existují gravitaèní vlny i v úplné (tedy nelinearizované) obecné teorii relativity. Tato otázka byla s koneènou platností kladnì zodpovìdìna a¾ po více ne¾ ètyøiceti letech.

První tøídu záøivých øe¹ení Einsteinových rovnic pøedstavující pøesnérovinnégravitaèní vlny (tzv.pp-vlny) nalezl v roce 1923 Brinkmann[21], jejich fyzikální významv¹ak rozpoznal

8 (A) Pøesné záøivé prostoroèasy a¾ Robinson a Bondi [22]. O dva roky pozdìji odvodil Beck [23] øe¹ení pro cylindrické gravitaèní vlny. Tato tøída øe¹ení (spolu s nìkterými metrikami Brinkmannova typu) byla nezávisle objevena a zkoumána Einsteinem a Rosenem [24].

V 50. letech Lichnerowicz a dal¹í zkoumali Einsteinovy rovnice pole z hlediska teorie charakteristik (viz [25], kde lze nalézt pøíslu¹né citace). To umo¾nilo hloubìji pochopit matematickou strukturu obecné relativity. Algebraický charakter nespojitostí v druhých derivacích metriky zpùsobuje transverzální povahu gravitaèního záøení, co¾ plnì odpovídá vlastnostem vln nalezených v lineární aproximaci. Teorie navíc odhalila dal¹í souvislost mezi gravitací a elektromagnetismem. V elektromagnetismu lze lokálnì algebraicky rozli¹it záøivé tzv. þnulovéÿ pole (napøíklad rovinné vlny) a pole obecné. Pro þnulovéÿ pole platí vztahy FF = 0 = FF, a Fk = 0 = Fk, kde k je tzv. hlavní nulový smìr ¹íøení.

V pøípadì gravitace lze analogicky rozli¹it nikoli dva, ale celkem ¹est algebraických typù gravitaèních polí, tzv. Petrovových typù [26], dnes oznaèovaných I, II, D, III, N a 0, co¾ je zpùsobeno slo¾itìj¹í strukturou Riemannova (resp. Weylova) tenzoru [27], [28]. Pro þnu- lovéÿ gravitaèní pole typu N (napøíklad pro pp-vlny) platí vztahy podobné tìm pro záøivá elektromagnetická pole:RR = 0 = RR a Rk = 0 = Rk.

Tato skuteènost inspirovala Piraniho [29] a dal¹í (pøehled lze nalézt napø. v [30]) k prvním pokusùm o formulaci obecné, invariantní denice gravitaèního záøení zalo¾ené na algebraicky speciální struktuøe øe¹ení. Navr¾ené denice se nicménì ukázaly být pøíli¹ zjednodu¹ující, co¾ je zøejmé napøíklad z tzv. þpeeling-oÿ vlastnosti gravitaèního pole objevené Sachsem [31]. V asymptoticky þjednoduchýchÿ prostoroèasech popisujících prostorovì omezené zdroje záøení toti¾ platí, ¾en ze ètyø hlavních nulových smìrù k koinciduje a¾ do øádu r^n?5, kde r charakterizuje radiální vzdálenost od zdroje. Pro pole typu N, u nìho¾ v¹echny ètyøi nulové smìry koincidují, klesá odpovídající èást Riemannova tenzoru jako r^?1, pro pole typu III jako r^?2, atd. Gravitaèní pole obecného izolovaného systému tudí¾ je obecného typuIv libovolném pevnì zvoleném bodì, a proto denice zalo¾ené na algebraicky speciální struktuøe øe¹ení obecnì nemohou zahrnovat realistická záøivá øe¹ení. Je-li v¹ak systém záøící, bude se pole vevelké vzdálenosti jevit jako pole typuN v tom smyslu, ¾e èleny odpovídající typu N budou dominantní. Není tudí¾ ¾ádných pochyb, ¾e prostoroèasy, které jsou v¹ude typu N, gravitaèní vlny obsahují.

U¾iteèným nástrojem ke studiu gravitaèního záøení a klasikaci nových pøesných øe¹ení se stala té¾ þpaprsková gravitaèní optikaÿ zformulovaná rovnì¾ v [31]. Sachs prozkoumal, kterak mù¾e svazek paprskù (kongruence) zvìt¹it, stoèit pøípadnì zdeformovat stín vr¾ený neprùhledným objektem, a zavedl za tímto úèelem pøíslu¹néoptické skaláry , ! a . Ty charakterizují odpovídající zmìny ve velikosti, otoèení a tvaru stínu. Klíèový podnìt v teorii gravitaèního záøení se objevil v práci Bondiho, van der Burga a Metznera [32]. Ti øe¹ili rovnice pole asymptoticky a ukázali, ¾e gravitaèní vlny vyzaøované prostorovì omezenými zdroji odná¹ejí do nekoneèna hmotu. Zavedli dùle¾itý pojem tzv. informaèní funkce (news function), která reprezentuje (zhruba øeèeno) tok gravitaèního záøení v nekoneènu. Následnì Newman a Penrose [33] zformulovali na základì spinorového formalismu metodu spinových koecientù, která zobecòuje práci Bondihoet. al. i práci Sachse týkající se optických skalárù.

Pomocí tìchto nových metod a pøístupù bylo mo¾no záhy nalézt a interpretovat pøesná záøivá øe¹ení, je¾ jsou dodnes pova¾ována za þprototypyÿ gravitaèních vln v obecné relativi- tì: neexpandující gravitaèní vlny Kundtova typu s rovinnými vlnoplochami [22], [34], [35], Robinsonovy-Trautmanovy expandující þsférickéÿ vlny [36], a dal¹í.

Významný krok v teorii gravitaèního záøení prostorovì izolovaných zdrojù uèinil Roger Penrose [37], kdy¾ pøedlo¾il exaktní geometrickou denici asymptoticky plochých prostoro-

(A) Pøesné záøivé prostoroèasy 9 èasù(viz [28], [38] a reference tam uvedené). Pojem nulového nekoneèna (scri) a Penroseovy diagramy konstruované pomocí konformních transformací se staly jedním ze standardních nástrojù relativistù [17]. Teprve zcela nedávno v¹ak bylo ukázáno [39]{[41], ¾e pøesná záøivá asymptoticky plochá øe¹ení opravdu existují pro nepøíli¹ þsilnáÿ poèáteèní data (pøehled a diskuse výsledkù viz [42]). Nicménì jedinými explicitnì známými záøivými øe¹eními, která popisují koneèné zdroje a jsou asymptoticky plochá v Penroseovì smyslu (a¾ na ètyøi body na scri) jsou nìkterá speciální boostovì a rotaènì symetrická øe¹ení pøedstavující þrovnomìrnì urychlené zdrojeÿ rùzného typu [43]{[45]. Podrobnosti lze nalézt zejména v [46], [47].

Velmi zajímavou otázkou v problematice záøení je od poèátku 70. let studium srá¾ejících se rovinných gravitaèních vln þsendvièovéhoÿ pøípadnì impulzního prolu. Dvì vlny køivosti v plochém vesmíru, z nich¾ ka¾dá je vymezena dvìma zprvu rovnobì¾nými rovinnými vlno- plochami, se na poèátku ¹íøí rychlostí svìtla proti sobì, a¾ dojde k jejich srá¾ce. Prostoroèas v interakèní oblasti má obecnì slo¾itou strukturu, je¾ je v literatuøe intenzívnì zkoumána.

Podrobný pøehled prací a výsledkù lze nalézt v [48]{[50]. Úsilí se soustøeïuje pøedev¹ím na hledání specických pøesných øe¹ení uvedeného typu pomocí rùzných matematických metod a na interpretaci jejich globální struktury, zejména charakteru singularit a vlastností Killingových-Cauchyových horizontù vznikajících v dùsledku srá¾ky.

Vedle zmínìného studia gravitaèního záøení izolovaných zdrojù v asymptoticky plochých prostoroèasech (motivovaného þastrofyzikálnìÿ), pøípadnì záøivých systémù, které jsou plo- ché alespoò v nìkterých smìrech(jako je tomu v pøípadì srá¾ek gravitaèních vln) se v posled- ní dobì pozornost zamìøuje té¾ na zkoumáníkosmologických gravitaèních vln. Byla nalezena a zkoumána celá øada pøesných øe¹ení, je¾ pøedstavují obecné, ¹okové èi impulzní gravitaèní vlny ¹íøící se expandujícím vesmírem, jím¾ je vìt¹inou Friedmannùv-Robertsonùv-Walkerùv model pøípadnì nìkterý z prostorovì anizotropních Bianchiho modelù [51]-[55]. Nìkterá z tìchto øe¹ení mohou slou¾it jako pøíklady primordiálních gravitaèních vln vzniklých pøi velkém tøesku a pøispívajících ke gravitaènì-vlnovému kosmologickému pozadí. Pokud ty- to (doposud hypotetické) vlny skuteènì existují, mohly by se v budoucnu prostøednictvím detektorù gravitaèních vln stát cenným zdrojem zajímavých informací o raných stádiích existence na¹eho vesmíru (viz tabulka na str. 6).

Smyslem tìchto nìkolika úvodních odstavcù bylo alespoò v hrubých rysech naznaèit hlavní okruhy problémù studované v teorii pøesných záøivých prostoroèasù. V na¹em výbìru jsme navíc polo¾ili dùraz na uvedení tìch základních pojmù a témat, jimi¾ se podrobnìji zabýváme v pùvodních publikacích tvoøících soubor pøedkládané habilitaèní práce. Na¹í am- bicí také nebylo podat kompletní pøehled literatury. V tomto smìru odkazujeme na velmi podrobné a peèlivì zpracované pøehledové práce [39], [42], [48]-[50], [52], [56], [57]. V nich lze nalézt øadu detailních informací spolu s velkým poètem konkrétních citací. Nìkteré z nich budou té¾ uvedeny dále, a to v pøíslu¹ném kontextu na¹ich pùvodních výsledkù, je¾ se týkají nejen obecné problematiky pøesných záøivých prostoroèasù, ale i konstrukce a interpreta- ce impulzních gravitaèních vln, analýzy chaotických pohybù v obecné relativitì a dal¹ích souvisejících témat.

10 (A) Pøesné záøivé prostoroèasy

1.1 Shrnutí pùvodních výsledkù

Obecnì lze øíci, ¾e pøedmìtem na¹eho zájmu je pøedev¹ím geometrická a fyzikální interpreta- ce nìkterých pøesných záøivých øe¹ení Einsteinových rovnic. Vìt¹inou se zabýváme øe¹eními vakuovými, tedy prostoroèasy bez hmotného obsahu, pøipou¹tíme v¹ak mo¾nost nenulové kosmologické konstanty .

Jak známo, kosmologickou konstantu zavedl do rovnic gravitaèního pole sám Einstein, a to ve svém slavném èlánku [58] z roku 1917, pøedstavujícím milník, jen¾ stojí u zrodu kosmologie v moderním slova smyslu. Einstein v nìm pøedlo¾il model uzavøeného vesmíru vyplnìného homogenním a izotropním þgalaktickýmÿ prachem. Dodateèný èlen v rovnicích v podobì kladné kosmologickékonstanty byl nutný k tomu,aby Einsteinùv model mohl být statický. Bezprostøednì na to nalezl Wilhelm de Sitter dal¹í øe¹ení s > 0, av¹ak bez hmoty [59]. Toto vakuové de Sitterovo øe¹ení, popisující prázdný exponenciálnì expandující vesmír, dnes tvoøí spolu s Minkowského plochým prostoroèasem ( = 0) a tzv. anti{de Sitterovým øe¹ením (< 0) trojici fundamentálních prostoroèasù obecné relativity. Jejich jedineènost spoèívá v tom, ¾e popisují vesmíry,jejich¾ køivost (kladná, nulová, resp. záporná) je stejná ve v¹ech bodech. Jsou té¾ maximálnì symetrické (pøipou¹tìjí 10 izometrií) a konformnì ploché [60]. Tvoøí proto pøirozená a nejjednodu¹¹í þpozadíÿ v¹ech ostatních, ménì symetrických vakuových prostoroèasù.

Historie diskusí ohlednì mo¾né nenulové hodnoty kosmologické konstanty v na¹em skuteèném vesmíru je dlouhá a dosti slo¾itá, její popis lze nalézt napøíklad v [61]. Uveïme proto jen, ¾e souèasná pozorování existenci > 0 nejen nevyluèují, ale dokonce mo¾ná implikují [62].

Studium prostoroèasù s ⁶= 0 je v posledních letech velice aktivní a atraktivní oblastí výzkumu. Pøedev¹ím proto, ¾e se de Sitterovo øe¹ení stalo klíèovou ingrediencí inaèních kosmologických modelù, exponenciální fáze expanze velmi raného vesmíru [63], [12], [50].

Podle kvantových teorií velkého sjednocení interakcí souvisí se vznikem doèasného stavu þfale¹ného vakuaÿ pøíslu¹ných skalárních polí (jejich potenciál závisí na teplotì vesmíru, co¾ vede ke specickému fázovému pøechodu). Tato zajímavá idea, rozpracovaná dnes v mnoha rùzných konkrétních verzích, umo¾òuje v principu elegantnì vysvìtlit uniformitu vesmíru a øadu dal¹ích jeho pozorovaných vlastností, které jinak musí být postulovány coby speciální poèáteèní podmínky.

Ponìkud pøekvapivì jsou také øe¹ení se zápornou hodnotou v poslední dobì intenzívnì zkoumána, a to v kontextu strunových teorií (základní pøehled lze nalézt napøíklad v [64]).

Podle Maldacenovy hypotézy [65] toti¾ existuje souvislost mezi teorií fundamentálních strun v anti{de Sitterovì vesmíru a teoriemi negravitaèních konformních polí na jeho hranici. Tato tzv. AdS/CFT korespondence je významnou demonstrací 't Hooftova obecného þholograc- kého principuÿ v kvantové gravitaci [66], podle kterého jsou pozorovatelné stupnì volnosti kvantového systému lokalizovány na hranici pøíslu¹né prostorové oblasti. Podrobný pøehled vèetnì vyèerpávajícího seznamu pùvodních prací lze nalézt v [67].

Základní problém, jak popisovat gravitaèní záøení v prostoroèasech, které nejsou asym- ptoticky ploché, i vý¹e zmínìné skuteènosti jsou velkou fyzikální i matematickou motivací pro studiumpøesných záøivých prostoroèasù s nenulovou kosmologickou konstantou. Právì tomuto tématu jsme se vìnovali ve dvou na¹ich rozsáhlých, na sebe navazujících èláncích [A1] a [A2]. První z nich obsahuje klasikaci a pøehled v¹ech vakuových øe¹ení s , je¾ jsou algebraického typuN(tedy þèistì záøiváÿ) a nerotující (optický skalár! podél nulových smì- rù ¹íøení vln je nulový). Ukázali jsme, ¾e v¹echna øe¹ení tohoto druhu patøí buï do skupiny

(A) Pøesné záøivé prostoroèasy 11 neexpandujících vln Kundtova typu, kterou oznaèujemeKN(), nebo mezi expandující vlny Robinsonovy-Trautmanovy tøídyRTN(). Obecnou a úplnou tøídu KN(), kterou nalezli v roce 1985 Ozsváth, Robinson a Rózga [68], lze psát ve tvaru

ds² = 2 1p² d d^?2 qp²² dudv + Fdu² ; (1)

kde p = 1 + ⁶, q = (1 ^{? 6}) + + , F = (q²=p²)v^{2 ?}(q²=p²);uv ^?(q=p)H, = ³²+2, a H = (f;+ f;)^?3(f + f)=p, pøièem¾ f(;u) je libovolná funkce. Autoøi také ukázali, ¾e existuje nìkolika invariantnì denovaných kanonických podtøíd urèených speciálními hodnotami parametrù a . V pøípadì = 0 jsou to ji¾ v úvodu zmiòované pp-vlny ( = 1; = 0) a rovinné KN vlny [35] ( = 0; = 1); pro < 0 existují tøi rùzné podtøídy, zatímco pro > 0 pouze jediná.

Øe¹eníRTN() byla známá dlouho [36], [27], ale v roce 1981 nalezli Garca a Plebanski [69] vhodné explicitní souøadnice

ds² = 2v²d d+ 2vAd du + 2vAddu + 2 dudv + 2(AA + B)du² ; (2) kde A =^?vf, B =^?+¹²v (f;+ f;)+⁶v² , = 1+, a = ^?1;0;+1. I v tomto pøípadì øe¹ení závisí na libovolné funkcif(;u).

V práci [A1] jsme jednotným zpùsobem shrnuli oba druhy prostoroèasù (1), (2) vèetnì zavedení vhodné klasikace pøíslu¹ných podtøíd. Nalezli jsme té¾ jejich vztahy na pøedchozí literaturu. Ukázali jsme napøíklad explicitnì, ¾e øe¹ení KNIII( < 0) jsou identická se zajímavou tøídou pøesných øe¹ení objevenou v roce 1985 Siklosem [70], pro ní¾ je ètyønásobný Debeverùv-Penroseùv vektor souèasnì vektorem Killingovým. Dokázali jsme také, ¾e tøída KNI() reprezentuje v¹echna netriviální øe¹ení, je¾ jsou konformní s KN. Explicitnì jsme nalezli transformace pøedstavující souøadnicovou volnost.

V následujícím èlánku [A2] jsme se zamìøili na fyzikální interpretaci vý¹e uvedených zá- øivých øe¹ení. Na¹í základní metodou bylo zkoumání relativních pohybù testovacích èástic urèených rovnicí geodetické deviace [71]. V ka¾dém z øe¹ení (1) a (2) jsme pro libovolného èasového pozorovatele explicitnì nalezli vhodnou privilegovanou ortonormální bázi (podrob- nì jsme také zkoumali, za jakých okolností je paralelnì pøená¹ená). Ukázali jsme, ¾e v ní se gravitaèní efekty dají jasnì interpretovat, nebo» relativní pohyby jsou urèeny rovnicemi

Z⁽¹⁾ = ³Z^(1)?A+Z⁽¹⁾+^AZ⁽²⁾ ;

Z⁽²⁾ = ³Z⁽²⁾+^A+Z⁽²⁾+^AZ⁽¹⁾ ; (3)

Z⁽³⁾ = ³Z⁽³⁾ ;

kde amplitudy ^A+ = ^Re^A, ^A = ^Im^A jsou pro Kundtovy KN() prostoroèasy dány vztahy ^A = ¹²pq _u²f; a pro RTN() øe¹ení Robinsona-Trautmana ^A = ^?12( =v)_u²f;. Rovnice (3) urèují relativní zrychlení volných testovacích èástic jako¾to funkci jejich okam¾i- té vzájemné polohy Z⁽ⁱ⁾. Je ihned vidìt, ¾e èástice se pohybují izotropnì pokud f; = 0, tedy v Minkowského, de Sitterovì resp. anti{de Sitterovì vesmíru tvoøících pøíslu¹né pozadí.

Pokudf;⁶= 0, amplitudy^A+a^Ajsou nenulové a èástice jsou ovlivneny pøítomnougravi- taèní vlnou. Efekt vlny, zpùsobující známou deformaci krou¾ku testovacích èástic do elipsy, se ov¹em v pøípadì ⁶= 0 sèítá s vlivem kosmologického pozadí, tedy s (anti{)de Sitterovou izotropní expanzí (kontrakcí). Díky tomu lze metrikyKN() i RTN() interpretovat jako pøesné transverzální gravitaèní vlny ¹íøící se ve smìru

e

Vlna má dva polarizaèní módy (þ+ÿ a þÿ) s odpovídajícími amplitudami ^A+ resp. ^A,

12 (A) Pøesné záøivé prostoroèasy které se pøi otoèení v pøíèné rovinì pøíslu¹ným zpùsobem transformují. Pomocí (3) lze té¾ zkoumat charakter singularit.

V publikaci [A2] jsme dále explicitnì nalezli speciální èasupodobné geodetiky, pro nì¾ je = ⁰ = konst: a strukturní funkce má tvar f = c³(u)( ^?0)³+c⁴(u)( ^?0)⁴ +. Pomocí nich jsme mohli pro podtøídy s > 0 ovìøit platnost kosmické þno-hairÿ hypotézy: amplitudy gravitaèních vln jsou exponenciálnì rychle utlumovány, ^A exp(^?3^q=3), v RTN( > 0), resp. ^Aexp(^?2^q=3), v KNI( > 0) prostoroèasech, kde je vlastní èas. Prostoroèasy se tedy asymptoticky lokálnì blí¾í k de Sitterovì vesmíru. Poznamenejme,

¾e studované prostoroèasy pøedstavují pøesná záøivá øe¹ení a obecnì nemají ¾ádnou symetrii.

V literatuøe je známo pouze málo pøíkladù tohoto typu, na nich¾ byla kosmická þno-hairÿ hypotéza explicitnì demonstrována (pøehled lze nalézt napø. v [72]).

Nìkolikdal¹ích pùvodních publikací jsmevìnovalidetailnìj¹ímustudiu nìkterých podtøíd Kundtova i Robinsonova-Trautmanova typu.

V èláncích [A3] a [A4] jsme sestrojili nová øe¹ení odpovídající specickým sendvièovým homogenním pp-vlnám s nestandardními proly, pro nì¾ je amplituda ^A gravitaèních vln závislá pouze na retardovaném èaseu. Na¹li jsme pohyby testovacích èástic v tìchto prosto- roèasech. Pomocí nich jsme mohli studovat nejen fokuzaèní vlastnosti vln (obecnì popsané v [73]), ale té¾ demonstrovat, ¾e chování èástic v impulzní limitì tìchto øe¹ení je zcela ne- závislé na konkrétním prolu sekvence sendvièových vln, jimi¾ je limita získána. Tento ná¹ výsledek se stal jednou z inspirací pro nedávné práce Steinbauera a Kunzingera [74]. Ti s pomocí Colombaeuovy algebry zobecnìných nelineárních funkcí (v jejím¾ rámci lze dát dobrý smysl souèinu distribucí) rigoróznì a zcela obecnì dokázali, ¾e distribuèní limita geo- detických pohybù v impulzníchpp-vlnách je nezávislá na konkrétní formì regularizace.

Práce [A5] byla vìnována geometrické a fyzikální interpretaci konformnì plochého Kun- dtova øe¹ení s èistým záøením [75]. Jedním ze zajímavých výsledkù, jen¾ platí i pro rovinné vlny tøídy KN, je skuteènost, ¾e posloupnost vlnoploch u = konst: pøedstavuje soustavu nulových polorovin, které se postupnì stáèejí kolem svìtelného ku¾ele, k nìmu¾ jsou teèné.

Ukázali jsme, ¾e na tomto ku¾eli tvoøícím obálku zmínìných vlnoploch je ve standardním tvaru metriky souøadnicová singularita. Otevírá se tak mo¾nost prodlou¾it øe¹ení té¾ dovnitø nulového ku¾ele. V impulzní limitì se øe¹ení redukuje na obvykloupp-vlnu v Minkowského vesmíru, její¾ smìr ¹íøení závisí na hodnotì u.

V rozsáhlej¹í publikaci [A6] jsme podrobnì interpretovali Siklosovu tøídu øe¹ení [70]

ds² =^?3x^?2(dx²+ dy²+ 2dudv + H du²) ; (4) je¾ | jak jsme ukázali | je identická s podtøídou KNIII( < 0) Kundtových neexpan- dujících vln (1) se zápornou kosmologickou konstantou a parametry = 1, =^q?=6.

Relativní pohyby testovacích èástic jsou opìt dány vztahy (3), pøièem¾ v tomto konkrétním pøípadì interpretaèní bázerovnomìrnì rotujevùèi paralelnì pøená¹ené tetrádì úhlovou rych- lostí =^q?=3. Smìr ¹íøení gravitaèní vlny v anti{de Sitterovì vesmíruse tedy stáèí. Velmi detailnì jsme v práci [A6] dále studovali vlastnosti Kaigorodovova øe¹ení [76], [27] urèeného funkcí H = x³, které pøedstavuje nejjednodu¹¹í netriviální vakuový prostoroèas Siklosova typu (je to homogenní øe¹ení typuNs < 0 a pìti izometriemi). Nalezli jsme explicitnì v¹e- chny geodetiky i obecné øe¹ení rovnice geodetické deviace, co¾ nám umo¾nilo získat základní pøedstavu o globální struktuøe studovaného prostoroèasu (charakter singularity, lokalizace asymptoticky anti{de sitterovské oblasti atd). Demonstrovali jsme, ¾e Kaigorodovovo øe¹ení lze chápat jako nejpøirozenìj¹í analogon známých pp-vln pro pøípad záporné kosmologické

(A) Pøesné záøivé prostoroèasy 13 konstanty. Oprotipp-vlnám ¹íøícím se v plochém prostoroèase v¹ak nejsou vlnové nadplochy u = konst: rovinami, ale hyperbolickými plochami konstantní záporné køivosti. V nedávné dobì výsledky práce [A6] týkající se vlastností Kaigorodovova øe¹ení pou¾ili Cvetiè, Lu a Pope a té¾ Chamblin s Gibbonsem [77] ke konstrukci specických kosmologických modelù s bránami, motivovaných AdS/CFT hypotézou [67]. (V bránových kosmologiích je obvykle ná¹ vesmír chápán jako (3+1)-dimenzionální hranice vícerozmìrného prostoroèasu, napøí- klad (4+1)-dimenzionálního anti{de Sitterova prostoroèasu. Hranicí je vìt¹inou D-brána, tedy membrána, na ní¾ pole fundamentálních strun splòují Dirichletovy okrajové podmínky.

Odkazy na konkrétní práce týkající se této problematiky, lze nalézt napøíklad v [78].) Zatímco publikace [A3]-[A6] byly vìnovány pøesným neexpandujícím gravitaèním vl- nám Kundtovy tøídy (1) v Minkowského, pøípadnì v anti{de Sitterovì prostoroèase, na¹e práce [A7] a [A8] se týkají studia vlastností Robinsonových-Trautmanových øe¹ení s klad- nou kosmologickou konstantou. Ty popisují vyzaøování gravitaèních vln do asymptoticky de Sitterova vesmíru.

Prostoroèasy této tøídy se v minulém desetiletí staly pøedmìtem znaèného zájmu. Øa- da autorù postupnì ukázala [79], nejrigoróznìji pak Chrusciel [80], ¾e obecná vakuová Robinsonova-Trautmanova øe¹ení typuII

ds² = 2r²P^?2d d^?2dudr^?h2P²(lnP);^?2r(lnP);u^?2m=r^{? 3}r²ⁱ du² ; (5) pro = 0 existují, a to globálnì pro v¹echny hodnoty u u⁰, jsou-li zadány libovolné hladké poèáteèní podmínky nau⁰. Øe¹ení navíc asymptotickykonvergujíke Schwarzschildovì metrice s odpovídající hmotností m: zavedeme-li P = f(u;; )(1 + ¹²), pak pro u^{! 1} platí

f = ^X

i;j⁰fi;ju^je^?2iu=m= 1 +f¹;⁰e^?2u=m+f²;⁰e^?4u=m++f¹⁴;⁰e^?28u=m

+f¹⁵;¹ue^?30u=m+f¹⁵;⁰e^?30u=m+ ; (6) kdefi;j jsou hladké funkce promìnných a . Lze v¹ak ukázat, ¾e prodlou¾ení pøes budoucí horizont událostíu = +¹vzniklé èerné díry není analytické a má pouze koneènou hladkost (metrika mù¾e být maximálnì tøídyC¹¹⁷).

V práci [A7] jsme tyto výsledky zobecnili na pøípad, kdy je pøítomna kosmologická kon- stanta > 0. Ukázali jsme, ¾e øe¹ení (5) s 0 < 9m² < 1 rovnì¾ existují a asymptoticky se blí¾í sféricky symetrickému Schwarzschildovu-de Sitterovu prostoroèasu pro u ^! +¹. Pøítomnost kladné kosmologické konstanty má ov¹em zásadní vliv na globální vlastnosti prostoroèasù, je¾ jsou zcela odli¹né od øe¹ení s = 0. Hladké budoucí nulové nekoneèno^J+ existuje, má v¹ak prostorový charakter. Navíc jsme ukázali, ¾e Robinsonovy-Tratutmanovy metriky (5) mohou slou¾it jako konkrétní modely demonstrující platnost kosmické þno- hairÿ hypotézy (zmínìné ji¾ v souvislosti s publikací [A2]). V blízkosti^J+ se toti¾ lokálnì asymptoticky blí¾í de Sitterovu prostoroèasu. To lze explicitnì vidìt po provedení vhodné transformace k souøadnicím, v nich¾ mají øe¹ení (5) asymptotický tvar (pro ^!1)

ds² =^?d²+e^2p=3hd²+f^1?22(d² + sin²d'²)ⁱ+^X1

n⁼⁰e^?np=3h⁽abⁿ⁾dx^adx^b; (7) kdef¹=f^j!1 a funkce h⁽_abⁿ⁾ závisejí jen na prostorových souøadnicích ^fx^ag=^f;;^g.

Pøítomnost > 0 má rovnì¾ podstatný vliv na stupeò hladkosti, s jakým lze øe¹ení prodlou¾it pøes horizontu = +¹vzniklé èerné díry. Funkcef, s ní¾ se øe¹ení blí¾í pøíslu¹né

14 (A) Pøesné záøivé prostoroèasy Schwarzschildovì-de Sitterovì metrice (odpovídající f = 1) je stále dána rozvojem (6), av¹ak pro 0 < 9m² < 1 je nutno pou¾ít jinou transformaci ke Kruskalovým souøadnicím.

To zpùsobí | jak jsme ukázali v [A7] | ¾e prodlou¾ení pøes horizont mù¾e být hlad¹í ne¾ v pøípadì = 0. Horizont lze dokonce uèinit þlibovolnì hladkýmÿ, pokud necháme hodnotu blí¾it se extrémní hodnotì, ^! 1=9m².

Tento zajímavý fakt nás motivoval k tomu, abychom podrobnì prostudovali vlastnosti Robinsonových-Trautmanových pøesných øe¹ení (5)v þextrémnímÿ pøípadì 9m² = 1, pro který èernodìrový a kosmologický horizont splývají. To je obsahem na¹í následné publikace [A8]. Ukázali jsme, ¾e pro pøípad extrémní hodnoty = 1=9m² má asymptotický rozvoj (6) v pøíslu¹ných Kruskalových nulových souøadnicích ^u, ^v tvar

f = 1 + f¹;⁰e^{?(2=m)cotu^}++f¹⁴;⁰e^{?(28=m)cotu^}+f¹⁵;¹cot ^u e^{?(30=m)cotu^}+ ; (8) kde = ^?(3 ^?2ln2)m < 0. Z rozvoje (8) plyne, ¾e Robinsonovy-Trautmanovy prosto- roèasy lze zcela hladce prodlou¾it pøes horizont ^u = 0^? a napojit je na øe¹ení popisující extrémní Schwarzschildùv-de Sitterùv prostoroèas se stejnými (extrémními) hodnotami a m. Roz¹íøení je hladké av¹ak nejednoznaèné, a tudí¾ nikoli analytické. Tohoto, do jisté míry pøekvapivého, výsledku pou¾il nedávno Chrusciel [81] jako argument proti þpøirozenémuÿ pøedpokladu analytiènosti, jen¾ je obvykle kladen pøi dùkazech zásadního teorému (tzv. te- orému þrigidityÿ), podle nìho¾ jsou stacionární analytické elektro-vakuové èerné díry nutnì buï statické nebo axiálnì symetrické.

Kromì extrémního Robinsonova-Trautmanova øe¹ení jsme v [A8] vy¹etøili té¾ þnadext- rémníÿ pøípad 9m² > 1, kdy vzniká nahá singularita v de Sitterovì vesmíru, a také øe¹ení s < 0 odpovídající vzniku èerné díry v anti{de Siterovì vesmíru.Ukázali jsme, ¾e èímje ab- solutní hodnota záporné kosmologické konstanty vìt¹í, tím je hladkost prodlou¾ení metriky pøes horizont èerné díry hor¹í.

1.2 Závìry a výhledy

V publikacích [A1]-[A8] shrnutých v této èásti habilitaèní práce jsme studovali obecné vlast- nosti pøesných gravitaèních vln, které se ¹íøí v Minkowského, de Sitterovì nebo anti{de Sitterovì vesmíru. Zamìøili jsme se pøedev¹ím na významné þprototypyÿ pøesných záøivých vakuových prostoroèasù, jimi¾ jsou neexpandující øe¹ení Kundtovy tøídy a Robinsonovy- Trautmanovy expandující øe¹ení.

Studium tìchto tøíd záøivých øe¹ení s kosmologickou konstantou v [A2] ukázalo, ¾e v¾dy lze nalézt uspokojivou fyzikální interpretaci, vycházíme-li z rovnice geodetické deviace ur- èující relativní pohyby testovacích èástic. Podobnì jako v linearizované teorii je i pro pøesné gravitaèní vlny typickou vlastností jejich transverzalita a specické polarizaèní vlastnosti.

V pøípadì nenulové kosmologické konstanty se efekt gravitaèních vln sèítá s izotropními pohyby vyvolanými vlivem pozadí, jím¾ je de Sitterùv resp. anti{de Sitterùv vesmír. V pøí- padì kladné kosmologické konstanty mohou zkoumané prostoroèasy slou¾it jako explicitní pøíklady platnosti kosmické þno-hairÿ hypotézy a mohou být vyu¾ity pro testy numerických simulací, které zkoumají tuto hypotézu v realistických podmínkách raného vesmíru.

Rovnice geodetické deviace mù¾e pochopitelnì pøispìt pouze k lokální analýze záøivých prostoroèasù. K hlub¹ímu pochopení problematiky gravitaèního záøení v kosmologických modelech je nutná znalost jejich globální struktury, role okrajových podmínek atd. Drobným pøíspìvkem k této problematice jsou na¹e práce [A5] a [A6] týkající se geometrických a globálních vlastností Kundtovy ( = 0) resp. Siklosovy (< 0) tøídy øe¹ení.

(B) Impulzní vlny 15 Publikace [A7] a [A8] jsou pak þglobálním problémùmÿ zasvìceny výhradnì. Ukázali jsme v nich, ¾e Robinsonova-Trautmanova øe¹ení typuIIs ⁶= 0 se za dosti obecných pøed- pokladù asymptoticky blí¾í odpovídajícímu sféricky symetrickému Schwarzschildovu-(anti{) de Sitterovu øe¹ení. Mohou tedy slou¾it jako pøesné modely vzniku èerných dìr v záøivých prostoroèasech, které nejsou asymptoticky ploché, pøièem¾ hladkost jejich horizontu mù¾e být lep¹í pro vìt¹í hodnoty kosmologické konstanty. Pro > 0 jsou to té¾ jediné známé explicitní pøíklady demonstrující platnost kosmické þno-hairÿ hypotézy za pøítomnosti gra- vitaèních vln a èerné díry, tedy ve smyslu první formulace hypotézy pøedlo¾ené v roce 1977 Gibbonsem a Hawkingem [72].

Teorie gravitaèního záøení by nakonec mìla být formulována s okrajovými podmínkami, je¾ jsou obecnìj¹í ne¾ Penroseovy podmínky asymptotické plochosti. Explicitní pøíklady pøesných gravitaèních vln v kosmologickém prostoru, jen¾ není asymptoticky plochý | jako napøíklad ty studované v [A1] a¾ [A8] | mohou pøinést u¾iteèný vhled do problému. Nìkteré z nich nalezly ji¾ dnes své uplatnìní pøi ovìøování hypotéz, je¾ se vynoøily v souvislosti s teorií strun a polí na køivém pozadí. Mohou také poslou¾it jako testovací pøíklady numerických kódù pro simulaci relatistiètìj¹ích situací, pøi nich¾ jsou generovány gravitaèní vlny.

2 (B) Impulzní vlny

Je v¹eobecnì známo, ¾e elektromagnetické pole náboje, který se pohybuje, ji¾ není coulom- bické. Pùvodnì statické a sféricky symetrické elektrické pole se pøi rostoucí rychlosti stále více deformuje a objevuje se i slo¾ka magnetická. Blí¾í-li se rychlost pohybuv rychlosti ¹íøení svìtlac, zaèínají být vektory elektrického i magnetického pole lokalizovány takøka výhradnì do roviny pøíèné na smìr pohybu a souèasnì kolmé navzájem. V limitìv^!c má charakter pole pohybujícího se náboje pøesnì strukturu rovinné elektromagnetické vlny, ov¹em loka- lizované dojediné nulové vlnoplochy procházející zdrojovým nábojem. Jedná se tedy o im- pulzníelektromagnetickou vlnu: je-li kupøíkladu

e

E

r

e

B

r

e

V roce 1971 Aichelburg a Sexl [82] ukázali, ¾e naprosto analogický jev lze pozorovat i v Einsteinovì teorii gravitace. Vy¹li ze Schwarzschildova øe¹ení, je¾ (vnì horizontu) popisuje statické a sféricky symetrické gravitaèní pole hmotného bodu. Urychlením (þboostemÿ) to- hoto zdroje na rychlost svìtla získali pøesné øe¹ení odpovídající impulzní rovinné gravitaèní vlnì. Konkrétnì se jedná o nehomogenní vakuovou pp-vlnu, viz (1),

ds² = 2d d^?2dudv + (F + F)(u)du² ; (9)

s vlnovým prolem daným Diracovou -distribucí a specickou amplitudou F() = C ln, kdeC je konstanta. Øe¹ení diverguje pro = 0, kde se nachází singulární bodový zdroj im- pulzu pohybující se rychlostí svìtla. Stejnou metodou následnì øada autorù získala dal¹í spe- cické impulznípp-vlny tím, ¾e provedli þboostÿ obecnìj¹ích øe¹ení z Kerrovy-Newmanovy rodiny [83]. Symetrie tìchto øe¹ení, je¾ tvoøí mnohem bohat¹í strukturu oproti klasickému pøípadu s hladkým prolem vlny, byly zkoumány v [84]. Chování geodetik v impulzních pp-vlnách bylo popsáno v [85], zcela rigoróznì (pomocí Colombeauovy teorie) pak nedávno v ji¾ zmiòovaných èláncích [74]

Provedení þboostuÿ vhodných statických øe¹ení není ov¹em jedinou mo¾ností, jak sestro- jit impulzní rovinné gravitaèní vlny ¹íøící se plochým prostoroèasem. V práci [86] a podrobnì pak v dnes þklasickémÿ pøíspìvku [87] pøedlo¾il Penrose jinou, velmi elegantní geometric- kou metodu, pomocí ní¾ lze zkonstruovatzcela obecnou impulznípp-vlnu. Je to tzv. metoda

16 (B) Impulzní vlny þnù¾ek a lepidlaÿ: Minkowského prostoroèas, ds² = 2d d^?2dudv , je þrozstøihnutÿ podél nulové nadplochyu = 0 a obì èásti (u < 0 a u > 0) jsou následnì znovu þslepenyÿ. Identi- kace pøíslu¹ných bodù je ov¹em provedena s jistou þdeformacíÿ, je¾ je urèena Penroseovými podmínkami navázání (; ;u = 0^?;v)^!(; ;u = 0⁺;v^?12[F()+ F()]). V práci [87] bylo ukázáno, ¾e tyto podmínky garantují splnìní rovnic gravitaèního pole i na u = 0, pøièem¾ tenzor køivosti i Weylùv tenzor jsou úmìrné(u). Prostor je tedy plochý (pro v¹echna u⁶= 0) vyjma nulové nadplochyu = 0, je¾ pøíslu¹í impulzní gravitaèní vlnì.

Distribuèní tvar metriky (9), v nìm¾ explicitnì vystupuje Diracova distribuce, je sice názorný, pøiná¹í v¹ak problémy pøi øe¹ení rovnic geodetik i geodetické deviace. Ty obsahují souèiny distribucí, co¾ je matematicky obtí¾nì denovaný koncept [74]. Je v¹ak mo¾né pro impulzní vlny najít spojitý souøadný systém, v nìm¾ je metrika tøídy C⁰. První derivace nìkterých metrických slo¾ek ov¹em obsahují skok na u = 0, Riemannùv a Weylùv tenzor (odpovídající druhým derivacím) jsou pak úmìrné-distribuci. Zmínìný spojitý systém pro Aichelburgovo-Sexlovo øe¹ení | fyzikálnì nejdùle¾itìj¹í impulzní øe¹ení | nalezl explicitnì D'Eath [88] v roce 1978 a pou¾il ho pro analytické modelování ultrarelativistické srá¾ky dvou èerných dìr. Metrika se pou¾ívá i ke studiu vysokoenergetického rozptylu v kvantové gravitaci na Planckovì úrovni [89], kde výmìny gravitonù dominují nad v¹emi ostatními interakèními procesy.

Existuje je¹tì jiná, pøímoèaøej¹ímetoda konstrukce rovinných impulzníchvln: lze je získat jakoimpulzní limituposloupnosti klasickýchsendvièových vln s vhodným prolem,f(;u) = F()d"(u), pøièem¾ (u) je distribuèní limita funkcí d"(u) pro "^!0, viz napøíklad [90]. Tato konstrukce byla pro nìkteré nestandardní proly popsána i v na¹ich publikacích [A3] a [A4].

V klíèové práci [87] z roku 1972 Penrose ukázal, ¾e kromì neexpandujících rovinných im- pulzních gravitaèních vln lze metodou þnù¾ek a lepidlaÿ formálnì sestrojit té¾ expandující sférické impulzní vlny v plochém prostoru. V tomto pøípadì je nulovou nadplochou u = 0 sféra rozpínající se rychlostí svìtla, nebo» výchozí Minkowského metrika se v tomto pøípadì pøepisuje do tvaru ds² = 2v²d d^?2dudv , který lze z tvaru standardního získat trans- formací ^!v, u^!v+ u. Penroseovy podmínky navázání mají v tomto pøípadì o nìco slo¾itìj¹í tvar (; ;u = 0^?;v) ^! (h();h();u = 0⁺;v=^jh^0j). Touto geometrickou metodou lze získat obecné vakuové øe¹ení daného typu, nebo» funkceh() je libovolná.

Podobný pøístup jako Penrose zvolili v roce 1989 Gleiser a Pullin [91]. Slepením dvou vhodných tvarù plochého prostoroèasu získali konkrétní explicitní øe¹ení popisující expandu- jící sférickou impulznígravitaèní vlnu, která vznikla þroztr¾enímÿ nekoneèné kosmickéstruny na dvì poloviny. Naprosto stejné øe¹ení získal záhy jiným, mnohem fyzikálnìj¹ím zpùsobem Bièák [92], kdy¾ zobecnil práci [93]. Vy¹el ze známého Bonnorova-Swaminarayanova øe¹ení s boostovou a rotaèní symetrií [44], které popisuje dvì èástice vzdalující se od sebe s kon- stantním zrychlením, a to pùsobením kosmických strun napjatých od èástic do nekoneèna podél osy symetrie. V limitním pøípadì nekoneèného zrychlení (tj. vzdalování obou èástic rychlostí svìtla) dostal metriku zcela identickou s [91]. Rozbor rovnic pole navíc umo¾nil ukázat, ¾e toto øe¹ení nepopisuje striktnì vzato roztr¾ení jediné kosmické struny, ale dvì polonekoneèné struny, jejich¾ konce se nejprve rychlostí svìtla pøibli¾ují, kolidují a teprve potom vzdalují [92].

Podobnì jako pro rovinné impulzní vlny je mo¾no i pro obecné expandující sférické vlny nalézt spojitý souøadný systém, jen¾ byl poprvé pøedlo¾en v [94], jeho explicitní konstrukci pak prezentoval a podrobnì analyzoval Hogan [95]. Této tøídy øe¹ení vyu¾ili v nedávné dobì Hortacsu a jeho spolupracovníci ke studiu kvantových uktuací a tvoøení èástic [96].