Systém robota se skládá z komponentů, které můžeme vidět na obrázku 16, obsahují jej všechny sestavy průmyslových robotů. Mezi komponenty patří samotný robot včetně manipulátoru (mechanický systém a elektronická instalace), rozvaděče, spojovací kabely, koncové nástroje a další vybavení [19].
Obr. 16 Popis součástí systému robota KUKA; 1. Manipulátor, 2. smartPAD, 3. Připojovací kabel, smartPAD, 4.
Ovládací jednotka robota, 5. Připojovací kabel – datový, 6. Připojovací kabel, 7. motor (Zdroj: [19])
- 34 - 9.2 Popis mechanismu manipulátoru
Manipulátor je tvořen kloubovými rameny z lehké slitiny, které mají dohromady 6 os volnosti. Každé rameno je vybaveno brzdou. Všechny motorové jednotky a kabely jsou chráněny proti nečistotám a vlhkost pod šroubovanými krycími deskami. Základní komponenty robota jsou označeny a popsány na obrázku 17 a 18.
Funkce a vlastnosti jednotlivých částí můžeme popsat takto:
Liniové zápěstí (osy A4, A5 a A6) – Na konci ramene jsou k dispozici 3 elektromagnetické úchyty 5/2-cestné a datový kabel CAT5, které mohou být použity ke kontrolování připojeného nástroje. Je zde také umístěn kruhový konektor s deseti přípoji pro I/O kabel a rozhraní A4 pro přívod energie.
Rameno (osa A3) – Rameno s osou A3 spojuje liniové zápěstí a spojovacím ramenem. Je ovládáno motorem pro osu A3.
Spojovací rameno (osa A2) – je umístěno mezi Ramenem A3 a otočným sloupkem. Je zde umístěn motor a převodovka pro osu A2. Vedou zde také sady kabelů pro zásobování energie motorů s osami A2 až A6.
Obr. 17 Popis částí manipulátoru; 1. Liniové zápěstí, 2.
rameno, 3. spojovací rameno 4. rotující sloup, 5.
elektroinstalace, 6. základní rám (Zdroj: [19])
Obr. 18 Značení os otáčení manipulátoru (Zdroj: [19])
- 35 -
Otočný sloup (osa A1) – Otočný sloupek obsahuje motor os A1 a A2. Rotační pohyb osy A1 je prováděn pomocí otočného sloupku, které je poháněno motorem zde umístěném.
K rotačnímu sloupku je také připevněno spojovací rameno.
Základní rám – Základní rám je základem robota. Rozhraní osy A1 se nachází v zadní části rámu. Obsahuje místo pro styk mezi propojovacími kabely robota, regulátory a systém napájení.
Elektroinstalace – Elektroinstalace zahrnují veškeré motorové a řídící kabely pro motory os A1 až A6. Ke všem připojením je možno se napojit konektory. Elektroinstalace obsahují také RDC box, který je součástí robota. Konektory pro motor a data kabely jsou umístěny v základním rámu. Takto jsou pomocí konektoru k robotu napojeny připojovací kabely vedoucí z řídící jednotky robota. Elektroinstalace také obsahují ochranný elektrický obvod.
9.3 Technické vlastnosti (zdroj KUKA)
V následujíc kapitole jsou popsány technické vlastnosti robota KR 10 R 1100 sixx.
9.3.1 Základní data, KR 10 R 1100 sixx
Hodnocení bezpečnosti robota IP 54 Připraven pracovat s připojenými kabely (dle EN 60 529)
Možné umístění robota Podlaha, stěna, strop Hladina akustického tlaku < 70 dB mimo pracovní prostor
Rozměr základny 320 mm x 320 mm
Ovladač robota KR C4 compact
Okrajové podmínky okolního prostředí
Operační teplota +5 °C až +45 °C (278 K až 318 K) Zabránění kondenzace
- 36 -
Manipulační teplota -40 °C až +60 °C (233 K až 333 K) Vlhkost prostředí Relativní vlhkost vzduchu ≤ 90%
Nadmořská výška Do 1000 m n.m. bez poklesu výkonu
1000-4000 m n.m. s poklesem výkonu o 5%/1000 m n.m.
Tabulka 3 Základní data robota KUKA (Zdroj: [19])
9.3.2 Informace o osách, KR 10 sixx(zdroj KUKA-uvést jaký zdroj)
V tabulce 4 jsou uvedeny rozsahy pohybu a rychlost otáčení ramen robota. Pro směr a lepší znázornění jednotlivých kloubů a jejich směrů pohybu můžeme použít obrázek 18.
Osa Rozsah pohybu Rychlost otáčení s užitným zatížením
1 +/- 170° 300 °/s
2 + 45° až -190° 225 °/s
3 + 156° až -120° 225 °/s
4 +/- 185° 381 °/s
5 +/- 120° 311 °/s
6 +/- 350° 492 °/s
Tabulka 4 Hodnoty rozsahů pohybu jednotlivých os robota KR 10 R1100 (Zdroj: [19])
- 37 - 9.3.3 Pracovní prostor robota
Obr. 19 Obálka pracovního prostoru robota KR 10 R1100 (Zdroj: [19])
10 Dynamo
Původně navrženo jako doplněk (plugin) pro Building Information Modeling v prostředí Autodesk Revit nebo Vasari se Dynamo postupně stalo plnohodnotným softwarem s mnoha možnostmi a může fungovat i samostatně. Především je to platforma pro projektanty a architekty, která jim umožňuje objevovat vizuální programování, řešit problémy a vytvářet nástroje, které mu mohou ušetřit čas při návrhu.
- 38 -
Dynamo je open source pod licencí the Apache 2.0. Jako plugin pro Autodesk Revit je ke stažení na webových stránkách http://dynamoBIM.org, a stejně tak zdrojový kód je dostupný na https://github.com/ikeough/Dynamo [20].
10.1 Proč se nebát algoritmizace
Projektování je složitá činnost a často zahrnuje vytvoření geometrických, systémových nebo vizuálních vztahů mezi jednotlivými částmi návrhu. Často tyto vztahy vznikají na základě pracovních postupů, které nás při dodržování určitých pravidel, dostanou od konceptu k výslednému návrhu. Možná, aniž bychom si to uvědomovali, postupujeme algoritmicky – myšleno provádíme soubor činností krok za krokem. Na základě vstupních hodnot, které zpracujeme danými procesy, dostaneme naše výstupní hodnoty pro návrh. Programování nám umožňuje tyto procesy zautomatizovat, pokud jsme schopni jasně logicky formulovat jednotlivé kroky, algoritmy.
10.1.1 Algoritmy v životě
Zatímco algoritmizace představuje obrovské příležitosti, jak zefektivňovat výrobní procesy, jeho pojem může pro někoho představovat něco neznámého a hůře představitelného. Ve skutečnosti není složitá a v jiných formách pro nás již známá. Jako příklad si můžeme představit pracovní postup pro narýsování kružnice (obr 20).
Instrukce v grafické formě:
Obr. 20 Grafický návod sestrojení kružnice (Zdroj: Kateřina Vrbová)
- 39 - Instrukce v písemné formě:
1. Narýsujeme osy X, Y a měřítko našeho souřadného systému 2. Odměříme X a Y souřadnice bodu S, který je středem kružnice k 3. Vyneseme bod S
4. Na kružítku odměříme poloměr kružnice k
5. Kružítko umístíme na bod S a vyneseme kružnici k
Následování instrukcí ať písemných nebo grafických by nás mělo dovést ke stejnému výsledku v podobě kružnice k se středem S [x; y] o poloměru r. Jejich následováním jste použili algoritmus, díky kterému bychom měli být schopni v dané rovině vyhotovit libovolné množství různých kružnic, které nám dovolí okrajové podmínky (např. definiční obor souřadnic X a Y, které mohou zastupovat velikost papíru).
Jediný rozdíl v tomto sledu instrukcí je, jakým způsobem jsou jednotlivé kroky formulovány a náš způsob jejich přečtení, což nás vede k programování. Programování je formulace jednotlivých akcí procesu, které je možno provést. Pokud jsme schopni jednotlivé kroky, například výše zmíněného rýsování kružnice, dát do formátu, které náš počítač rozezná a může provést, vytvořili jsme program [20].
10.1.2 Vizuální programování
To nás vede k hlavnímu klíči a překážce, která v programování nastává, a to naučit se jistou formu abstraktní komunikace pro účinný překlad našich kroků procesu do programu.
Ta existuje ve formách číslicových programovacích jazyků jako je JavaScript, Python, C#
a dalších. Pokud jsme schopni napsat řadu opakovatelných instrukcí, jako konstrukce kružnice, zbývá nám tyto instrukce přeložit do formy pro náš program a jsme na cestě k tomu, aby náš počítač byl schopný konstruovat libovolné množství kružnic, které se vzájemně mohou lišit na základě vstupních hodnot. To je potenciál programování, kde počítač opakovaně vykonává sled akcí, které jsme mu byli schopni formulovat, bez rizika lidské chyby [20].
Pokud byste si měli vybrat návod s instrukcemi pro určitou činnost, vybrali byste si návod písemný, grafický anebo kombinaci grafického a písemného? Jestli se ve Vaší odpovědi objevilo slovo grafický, mohlo by být vizuální programování způsob, jak ušetřit čas opakovanými činnostmi svěřením je programům, které nejsou jen nekonečné řádky písmen a čísel, ale názorné a přehledně ukazující souvislosti mezi jednotlivými kroky.
- 40 -
Podobně jako jsme mohli vidět rozdíl mezi instrukcemi podanými písemně nebo graficky, můžeme si ukázat rozdíl mezi programem v textové a grafické (vizuální) formě. Jako příklad, pro dokázání podobností s instrukcemi v předchozí podkapitole, si ukážeme algoritmus pro vytvoření kružnice. Jako první ukážeme klasické textové programování v jazyku jako je Python.
Textový program:
1. x = 4;
2. y = 7;
3. S = Point.ByCoordinates(x,y,0.0);
4. r = 3;
5. k = Circle.ByCenterPointRadius(S,r);
Význam jednotlivých řádků a funkce můžeme přeložit následovně:
1. Zadání hodnoty x = 4 2. Zadání hodnoty y = 7
3. Vytvoření bodu S na souřadnicích [x;y;0.0]
4. Zadání hodnoty r = 3
5. Vytvoření kružnice k se středem S a poloměrem r Vizuální program:
Na obrázku 21 můžeme vidět vizuální program vyhotovený v prostředí Autodesk Dynamo Studio 2017 pro vytvoření kružnice. Kroky jsou označeny zelenými čísly a shodují se s řádky textového programu výše. V pozadí můžeme vidět námi vytvořenou kružnici. O uživatelském prostředí, funkcí jednotlivých objektů pojednává více následující podkapitola 10.2.1.
Obr. 21 Zobrazení sestavy uzlů pro konstrukci kružnice v prostředí Dynamo (Zdroj: Autor)
- 41 -
Stejně jako ve stavebnictví volíme druh technologie, z nichž některé můžou být vhodnější než jiné, i v programování můžeme zvolit jinou metodu pro dosažení stejného výsledku (obr. 22).
10.2 Struktura algoritmu
V Dynamu vytváříme vizuální programy v pracovním prostředí pomocí uzlů (angl.
Nodes), které spojujeme hranami (angl. Wires) pro určení toku a přiřazení dat, funkcí a výsledků. Uzle jsou umístěny v knihovně. V této kapitole se pokusím popsat tyto nástroje a práci s nimi [20].
10.2.1 Uživatelské prostředí
Na obrázku 23 je vidět uživatelské prostředí, ve kterém probíhá tvorba algoritmů a programování. Můžeme ho rozdělit na pět částí:
1. Menu – V menu můžeme najít základní funkce aplikace Dynama pro správu jednotlivých programů. Podobně, jako ve většině aplikací Windows, zde v prvních dvou nabídkách nalezneme nástroje pro správu souborů a editování (angl. File, Edit). Dalšími ovládáme pohled na pracovní prostředí (View), správu jednotlivých balíčků s uzly (Packages), nastavení (Settings) a nápovědu (Help).
2. Panel nástrojů – V této liště se nachází rychlé nástroje pro ukládání, otevírání, či pro posun zpět a vpřed mezi našimi kroky. Na liště zcela vpravo je také nástroj pro rychlé uložení aktuálního obrazu pracovního prostředí ve formátu PNG pro dokumentaci nebo sdílení.
Obr. 22 Zobrazení sestavy uzlů pro konstrukci kružnice v prostředí Dynamo druhý způsob (Zdroj: Autor)
- 42 -
3. Knihovna – Základní uzle jsou přidány při samotné instalaci aplikace. Mimo ně jsou poskytovány ke stažení samostatnými týmy vývojářů v balíčcích další uzle s jinými, většinou více specifickými funkcemi. Nalezneme zde také uzly námi vytvořené. Knihovna obsahuje v horní části vyhledávač, kterým můžeme filtrovat či slovy popsat hledaný uzel.
4. Výběr spuštění – V tomto výběru volíme, jakým způsobem má být náš program spouštěn. Volíme mezi spuštěním ručně (po kliknutí na tlačítko start), automaticky (algoritmy jsou pří změně automaticky přepočítány), či periodicky.
Poslední možnost spuštění způsobuje rytmické spouštění ve frekvenci, kterou nastavujeme v milisekundách.
5. Pracovní prostředí – Tato část zaujímá největší prostor v okně aplikace a vytváříme v něm algoritmy. V hlavní, grafové části, sestavujeme uzly pomocí hran do algoritmů. Geometrické výstupy jsou zobrazovány v pozadí pracovního prostředí v 3D pohledu. Mezi těmito módy se můžeme přepínat pomocí tlačítka v pravém horním rohu a nastavit tak pohled na model dle našich představ.
Obr. 23 Ukázku a popis uživatelského prostředí softwaru Dynamo Studio (Zdroj: Autor)
- 43 - 10.2.2 Uzel
V Dynamu jsou uzly objekty, které spojením tvoří vizuální program. Každý uzel představuje určitý druh operace – někdy může jít o jednoduché uložení čísla nebo může jít o složitější akce, jako tvoření geometrií nebo správy dat [20].
10.2.2.1 Stavba uzlu
Většina uzlů v Dynamu je složena z pěti částí, které můžeme s použitím obrázku 24 popsat následovně:
1. Název – Název uzlu psaný formou „Kategorie.Název“
2. Tělo – Hlavní tělo uzlu. Pravým kliknutím
3. Porty – Přijímač napojení drátů/hran (wires), které představují tok dat. Mohou do uzlu (Node) vcházet (Port input) a data do uzlu dodávat nebo vycházet (Port output) a nová data zpracované v uzlu dále poskytovat.
4. Ikona řetězení (Lacing Icon) – Značí, jakým způsobem se vkládaná data budou kombinovat.
5. Výchozí hodnoty – Pravým kliknutím na input Port – můžeme u některých uzlů nastavit využívat výchozí hodnoty (většinou 0)
10.2.2.2 Porty
Vstupy a výstupy uzlů jsou nazývány Porty a fungují jako přijímače pro hrany (wires). Data vstupují do uzlu skrz porty na levé straně a po provedení operace uzlu vychází na jeho pravé straně. Přijímače očekávají příchozí data v určitém typu formátu.
Například spojení uzlu s číslem 2,0 do přijímače uzlu „Point.ByCoordinates“ vyústí
Obr. 24 Struktura těla uzlu v softwaru Dynamo Studio (Zdroj:
http://primer.dynamobim.org/en/)
- 44 -
v úspěšný konec operace s výsledkem. Pokud do uzlu ale připojíme string s hodnotou
„dva“ skončí naše operace neúspěchem, uzel se dostane do chybového stavu [20].
10.2.2.3 Stavy uzlu
Dynamo nám dává najevo stav procesu v našem programu vykreslováním barevnými schématy na základě statusu každého uzlu (obr 25). Najetím kurzoru na chybová hlášení se nám zobrazí informace způsobující chybový stav a případně, jak chybu napravit.
1. Aktivní – Uzel s tmavě šedým pozadím v názvu je správně napojen a všechny jeho vstupy jsou ve správném formátu.
2. Neaktivní – Celé šedivé uzly jsou neaktivní a potřebují být napojeny pomocí hran (wires) do průběhu našeho programu.
3. Chybový stav – Červená značí chybový stav uzlu a zpravidla nevytvářejí žádné výstupy.
4. Zmrazeno – Průhledné uzly jsou zmrazeny, což znamená, že je pozastaveno vykonávání operací daného uzlu.
5. Zvoleno – Aktuálně zvolený uzel má modře zvýrazněny své okraje a stejně tak jsou zbarveny všechny napojené hrany (wires).
6. Upozornění – Žlutě zbarvené uzly upozorňují možnou chybu, například nesprávně zvolený datový typ pro vstupní data.
7. Zobrazen – Tmavě šedé uzly značí, že jejich zobrazení na pozadí pracovního prostoru je vypnuto.
Obr. 25 Ukázka možných stavů uzlu (Zdroj: http://primer.dynamobim.org/en/)
- 45 - 10.2.3 Hrany
Hrany představují spojení mezi jednotlivými uzly a udávají tak vztahy mezi nimi a tok informací programem. Můžeme si je představit jako elektrický drát, který svými pulsy přenáší data z jednoho uzlu do druhého. Hrany spojují výstupy (angl. Output port) z jednoho uzlu do vstupu (angl. Input port) uzlu druhého. Takto se přímo určuje směr toku informací ve vizuálním programování. Přestože můžeme uzly umístit v pracovním prostoru, kdekoliv si přejeme, na základě pozic umístění input Portů na levé straně a output Portů na pravé straně, se zpravidla uvažuje směr toku dat programu zleva doprava [20].
Na obrázku 26 můžeme vidět stavy a operace s hranou:
1. Existující hrany
2. Pro změnu vstupu klikneme na konec hrany a levým klikem zvolíme jiný vstup 3. Pro vymazání hrany a vstupu klikneme na hranu stejně jako při změně poté však
klikneme do prázdného prostředí pracovní plochy
10.2.4 Knihovna
Knihovna Dynama obsahuje uzly, které přidáváme do pracovního prostoru k vytvoření programu. V knihovně můžeme listovat dle vytvořených kategorií anebo vyplníme pole pro vyhledávání klíčovým slovem popisující požadovanou operaci. Uzly zde obsažené – základní, uživatelské a externí z balíčků – jsou hierarchicky podle kategorií. Knihovna aplikace je ve skutečnosti tvořena více knihovnami, většinou zaměřených funkcemi na určitou oblast problematiky a seskupených do kategorií, což umožňuje snadnější orientaci mezi základními uzly aplikace, uživatelskými uzly a uzly ze stažených balíčků. Knihovny jsou uspořádány do hierarchické struktury. Jak se postupujeme do nižších úrovní struktury přes knihovny, kategorie knihoven, sub-kategorie kategorií dostaneme se do nejnižší úrovně s uzly.
Obr. 26 Ukázka manipulace hranou mezi uzly (Zdroj: http://primer.dynamobim.org/en/)
- 46 - 10.3 Přehled používaných kategorií uzlů
10.3.1 Bod, vektor, rovina a souřadný systém
Body jsou základním kamenem veškeré modelované geometrie. Pro vytvoření křivky potřebujeme alespoň dva body, pro polygon nebo hmotu potřebujeme body alespoň tři a tak dále. Definování vztahů, seřazení a pozice mezi body nám umožňuje kontrolovat vyšší druh geometrie. Bod můžeme v Dynamu definovat třemi způsoby (obr. 27):
1. Bod v eukleidovském prostoru pomocí soustavy souřadnic: [X; Y; Z];
2. Bod na křivce pomocí soustavy souřadnic parametru: [t];
3. Bod na povrchu pomocí soustavy souřadnic parametrů [U; V];
Parametry pro definování bodu na křivce nebo ploše jsou spojité v intervalu ‹0;1›.
Vzhledem k tomu, že tvary, které definují prostor parametrů, jsou umístěny v trojrozměrném systému světových souřadnic, můžeme vždy přeložit parametrický souřadný systém do souřadnic „světa“ (systém světových souřadnic je myšlen základní trojdimenzionální prostor v prostředí Dynama). Takže například bod na povrchu S o parametrických souřadnicích [0.35; 0.6] můžeme převést do souřadnic světa v kartézské soustavě souřadnic [1.2; 3.0; 4.8].
Vektor je geometrická informace, která má kromě velikosti i směr, tím se liší od prostého čísla neboli skaláru, která má pouze velikost. Vektor může být snadno zaměněn s bodem, protože oba mají stejnou formu zapsání jejich hodnot [dX; dY; dZ]. Body však popisují polohu v daném souřadném systému, zatímco vektory popisují relativní rozdíl v poloze, které můžeme také nazvat pojmem „směr“. Vektory jsou zařazeny do abstraktní kategorie dat, proto je v pracovním prostředí neuvidíme zobrazeny.
Obr. 27 Ukázka zobrazení umístění bodu v prostoru prostředí Dynama (Zdroj: http://primer.dynamobim.org/en/)
- 47 -
Roviny jsou dvourozměrný geometrický útvar, které si můžeme představit jako neomezenou rovnou plochu. V Dynamu mají roviny také svůj počátek, čímž se trochu liší od běžné definice. V pracovním prostředí jsou zobrazeny jako malé ploché čtverce uprostřed počátku. Roviny nemají výšku, ale pomohou nám v určení orientace, kromě zmíněného počátku nám udávají směr X, směr Y a směr Z neboli normálový vektor. Tento popis nám může přijít povědomí, jako poslední popisovaný geometrický útvar, který získáme z roviny. Souřadný systém má stejné části jako rovina. Místo směrů X, Y a Z akorát zvolíme pojem osa, což nám poskytuje klasický Euklidovský neboli „XYZ“
souřadný systém. Jsou zde i jiné typy souřadných systémů, jako je například válcový nebo sférický. V této práci však budeme používat klasický souřadný systém XYZ.
10.3.2 Křivky
Je geometrický objekt, který popisuje všechny různé druhy zakřivených i přímých tvarů, kde jediným rozměrem je délka. Každý bod na křivce můžeme nalézt po zadání parametru „t“ do rovnice popisující tuto křivku. Bez ohledu na tvar křivek, každá má počátek i konec (v Dynamu má počátek i konec kružnice a další uzavřené křivky), které korespondují s minimální a maximální hodnotou parametru t. Díky tomu můžeme popsat i směr křivky. Všechny křivky mají také řadu vlastností nebo vlastností, které je lze použít k jejich popisu nebo analýze. Když je vzdálenost mezi počátečním a koncovým bodem nula, křivka je "uzavřena". Také každá křivka má řadu kontrolních bodů, pokud jsou všechny tyto body umístěny ve stejné rovině, křivka je "rovinná". Některé vlastnosti platí pro křivku jako celek, zatímco jiné platí pouze pro určité body podél křivky. Například rovinnost je globální vlastnost křivky, zatímco tangenciální vektor u dané hodnoty parametru t je místní vlastnost, který se může po délce křivky měnit (obr. 28). Křivky v Dynamu můžeme rozdělit do tří následujících skupin:
Obr. 28 Posloupnost parametrických hodnot pro zobrazení bodu na křivce (Zdroj: http://primer.dynamobim.org/en/)
- 48 -
Obr. 29 Vlevo - lomená čára; vpravo – polygon (Zdroj:
http://primer.dynamobim.org/en/)
Čáry – jsou nejjednodušší forma křivek. Nevypadají zakřiveně, ale přesto křivkami jsou – bez jakéhokoliv zakřivení. Existuje několik způsobů, jak čáru vytvořit, nejjednodušší je zadání z počátečního bodu A do koncového bodu B. Čára bude vykreslena mezi body A a B, ale matematická které definují tvar křivky, se dostaneme od čar k oblouku, kružnici či elipse, definováním poloměrů zakřivení. Rozdílem mezi obloukem a kružnicí nebo elipsou je, že první zmíněná je křivka uzavřená.
NURBS a polynomické křivky – NURBS (angl. Non-uniform rational Basis Splines) jsou druhy křivek, které mohou zobrazovat jakýkoliv tvar od základních rovinných čar přes kružnice a oblouky po nejsložitější trojdimenzionální křivky. Díky jejich možnosti přizpůsobení, snadné kontrole (relativně málo kontrolních bodů) a přesnosti (kontrolované matematickými funkcemi) mohou být křivky NURBS použity v procesu od ilustrace a animace po výrobu. Pro vymodelování NURBS křivek se určují tyto vlastnosti:
Stupeň: Stupni se určuje rozsah vlivu kontrolních bodů na tvar křivky, kde vyšší stupeň znamená vyšší rozsah kontroly. Toto číslo je kladné, obvykle mající hodnotu 1, 2, 3 nebo 5, ale může to být jakékoliv kladné číslo.
- 49 -
Kontrolní body: Kontrolními body jsou seznamem bodů o jeden větší než stupeň křivky. Jedním z nejjednodušších způsobů jak kontrolovat NURBS křivku, je přesunout její kontrolní body (obr. 30).
Dále se u těchto křivek dá určovat ještě váha a uzly, kterým se více charakterizuje vliv kontrolních bodů. Používají se při pokročilejším modelování křivek, které není součástí této práce a tak se jimi podrobněji zabývat nebudeme.
10.3.3 Povrchy a tělesa
Povrch je geometrický dvojrozměrný útvar definovaný funkcí a dvěma parametry.
Namísto parametru t používaného pro křivky používáme parametry U a V k popisu odpovídajícího prostoru parametrů. To znamená, že máme při práci s tímto typem geometrie více geometrických dat. Křivky mají například tangenciální vektory a
Namísto parametru t používaného pro křivky používáme parametry U a V k popisu odpovídajícího prostoru parametrů. To znamená, že máme při práci s tímto typem geometrie více geometrických dat. Křivky mají například tangenciální vektory a