12.2 Plátkování
12.2.2 Nehorizontální
Při nehorizontálním plátkování vycházím z myšlenky , rozdělení modelu na stejně velké segmenty ve směru tangenty na povrch materiálu, namísto rozdělení na stejně vysoké plátky. Analýzu povrchu skořepiny uděláme pomocí příčného řezu. Poté změříme délku křivky povrchu v řezu a na základě námi zvolené velikosti segmentu ji rozdělíme. V těchto místech poté proběhne plátkování a vytvoří se křivky pro trajektorii pohybu nástroje.
Následně je opět vygenerován souřadný systém, jehož orientaci musíme upravit. Mezi vrstvy se poté opět přidávají přechodové body pro přetáčení os robota.
12.2.2.1 Příčný řez
Řez provedeme v polovině rozměru šířky tělesa (obr.59). Předpokládáme, že těleso je rotační a tudíž by měl řez probíhat osou rotace. Kolem geometrie provedeme uděláme ohraničující kvádr (2). Ohraničení za použití uzlu „Geometry.BoundingBox“ a
„BoundingBox.ToCuboid“, kterým ohraničení převedeme na kvádr. Změříme délku kvádru a tuto hodnotu vydělíme dvěma (3). O tuto hodnotu posuneme ohraničující kvádr (4). Takto se jeho hrana bude nacházet v polovině rotačního tělesa (v místě osy). Nyní provedeme řez (5), kde ořezávaná geometrie je rotační těleso a řezací geometrie je
Obr. 47 Pootočení počátku křivek znázorňující jednotlivé plátky (Zdroj: Autor)
Obr. 48 Řez paraboloidem pro příprave nehorizontálního plátkování (Zdroj: Autor)
- 68 -
posunutý ohraničující kvádr, pomocí uzlu „Solid.DefferenceAll“. Výsledek je geometrie poloviny rotačního tělesa, jehož část můžeme vidět v pozadí na obrázku X.
12.2.2.2 Výběr křivky řezu
Nyní ořezaný model rozložíme (obr. 60) na jeho povrchy (1) a vybereme povrch v rovině řezu (2). Z tohoto povrchu extrahujeme jeho hraniční křivky (3) pomocí uzlu
„Surface.PerimeterCurves“. A opět vybereme krajní křivku (4) pomocí uzlu
„List.GetItemAtIndex“. Pro větší přesnost tyto křivku odsadíme o polovinu tloušťky skořepiny, aby křivka procházela středem stěny skořepiny (5).
12.2.2.3 Výpočet výšky plátků
U získané křivky změříme její délku (1) pomocí uzle „Curve.Length“. Tuto délku vydělíme (2) hodnotou, která se rovná výšce vytlačované vrstvy nástrojem (3), a zjistíme tak počet segmentů, podle kterých křivku rozdělíme. Použijeme k tomu uzel
„Curve.PointsAtEqualChordLength“ a tak vytvoříme na křivce body (4). Pomocí uzle
„Point.Z“ z těchto bodů extrahujeme jejich souřadnici Z (5), čímž zjistíme v jaké výšce plátkovat model. Stejným způsobem zjistíme souřadnici Z počáteční křivky bodu (6), pro počáteční bod křivky použijeme uzel „Curve.StartPoint“.
Obr. 49 Výběr profilové křivky v řezu (Zdroj: Autor)
Obr. 50 Výpočet výšky plátku pro nehorizontální tisk (Zdroj: Autor)
- 69 - 12.2.2.4 Průnik plátků s modelem
Podobně jako u horizontálního plátkování nakopírujeme v odsazené vzdálenosti (1) pomocí uzlu „Surface.Offset“. Tyto vzdálenosti získáme pomocí vzorce (IX) a použijeme k tomu souřadnice Z získané z předchozího kroku. Od Z souřadnic segmentů odečteme souřadnici Z počátečního bodu (2). Následně opět uděláme průsečík těchto ploch a hlavního modelu paraboloidu (3). Získáme hraniční křivky těchto průsečíků (4) použitím
„Surface.PerimeterCurves“.
(IX) distance = segmentPoint - startPoint;
12.2.2.5 Křivky pro cestu nástroje
Zjištěné seznamy křivek vyčistíme a vložíme do jediného listu (1). Pomocí uzlu
„List.DropEveryNthItem“ vyfiltrujeme každou druhou křivku, čímž získáme z každého plátku právě jednu křivku (2). Pro větší přesnost tuto křivku odsadíme o polovinu tloušťky skořepiny modelu (3), aby se nacházela ve střední části skořepiny. Použijeme k tomu uzel
„Curve.Offset“ (4). Takto získáme křivky, na kterých budeme moci vygenerovat souřadné systémy pro cestu nástroje.
Obr. 51 Průnik modelu a plátků při nehorizontálním plátkování (Zdroj: Autor)
Obr. 52 Vybrání křivek pro cestu nástroje (Zdroj: Autor)
- 70 - 12.3 Generování souřadných systémů
V tomto kroku vygenerujeme na křivkách souřadné systémy, které budou řídit cestu a orientaci nástroje robota (obr.64). Souřadné systémy chceme umístit rovnoměrně podél celé křivky. Zjistíme tedy její délku (1) pomocí uzlu „Curve.Length“ a vydělíme předběžnou délkou (2), kterou chceme, aby se mezi souřadnými systémy nacházela. Tím získáme počet segmentů, jejichž počet zaokrouhlíme na celé číslo (3) uzlem
„Math.Round“ a opět vydělíme délku křivky touto hodnotou a získáme poslední vstup kroku pro číselnou řadu. Nyní vytvoříme číselnou řadu (4) začínající hodnotou 0, počet čísel se rovná počtu segmentů a přidáme krok řady. Číselná řada představuje vzdálenost na křivce, kde bude vytvořen souřadný systém (5) pomocí uzlu
„Curve.CoordinateSystemAtSegmentLenght“. Tímto bychom měli minimalizovat nepravidelné rozmístění souřadných systémů na koncích křivky v případě, že bychom zadali vzdálenosti mezi nimi pevně.
12.4 Úprava orientace souřadných systémů
Pro správný chod nástroje robota musíme upravit orientace souřadných systémů.
Vygenerované systémy mají osu Y ve směru tangenty křivky, osa X směřuje do středu tělesa a má vektor normály křivky. Vyzkoušel jsem dvě možnosti, jak souřadné systémy orientovat. První by zaručovala orientaci nástroje stále stejným směrem vůči bázi. To by však mohlo ovlivňovat strukturu povrchu, neboť na nástroji mohou být umístěny hladítka a jiné komponenty upravující povrch vytlačovaného materiálu. Proto by nástroj měl být orientován stále stejně k povrchu materiálu, což udávám jako druhou možnost.
Obr. 53 Generování souřadných systémů na křivce trajektorie nástroje (Zdroj: Autor)
- 71 - 12.4.1 Horizontální bez otáčení nástroje
První možností je přeorientovat systémy tak, aby vzhledem k bázi zaujímaly stále stejnou orientaci. Osa X směřuje opačným směrem než osa Z báze (směrem dolů kolmo na tisknutou vrstvu) a osa Y stále ve směru Y osy báze (obr.65). Jednoduše extrahujeme ze souřadného systému její základní bod (1), vytvoříme rovinu (2), kde jako normálový vektor roviny zvolíme osu X báze, a vytvoříme nový souřadný systém z této roviny (3).
Obr. 54 Přeorientování souřadných systémů pro pohyb bez otáčení orientace nástroje (Zdroj: Autor)
- 72 - 12.4.2 Horizontální s otáčením nástroje
V druhém případě (obr. 66) máme souřadné systémy předpřipraveny pomocí způsobu
generování uzlem „Curve.CoordinateSystemAtSegmentLenght“. Zbývá nám jen otočit osu X směrem k povrchu tisknuté vrstvy (směrem dolů). Otáčet budeme kolem osy Y každého souřadného systému, který extrahujeme (1). Stejně tak extrahujeme bod každého systému (2). Nyní už můžeme jednotlivé systémy otáčet a použijeme uzel
„CoordinateSystem.Rotate“, do kterého jako vstupy vložíme extrahované body a osy Y (3). Jelikož původně směřovala osa X ve směru normály křivky, nyní otočíme systémy o 90°.
12.4.3 Nehorizontální
U nehorizontálního tisku se snažíme dodržet teorii podle kapitoly 6. Souřadné systémy upravíme tak, aby osa X byla normála k předchozí vrstvě a tangenciálně
Obr. 55 Přeorientování souřadných systémů pro pohyb s otáčením nástroje (Zdroj: Autor)
Obr. 56 Přeorientování souřadných systémů pro pohyb nástroje u nehorizontálního 3D tisku (Zdroj: Autor)
- 73 -
k povrchu modelu (směrový vektor vytlačování hmoty z nástroje je ve směru osy X), (obr.67). Vygenerované souřadné systémy v předchozím kroku mají určený směr osy Y souřadného systému v tangenciálním směru křivky v daném bodě, což můžeme využít a podél této osy budeme rotovat souřadný systém do požadované polohy. Ze současných souřadných systémů extrahujeme jejich nulové body (1) a osy X a Y (2), (3). Nyní musíme zjistit požadovaný úhel pootočení. Použijeme uzel „Surface.NormalAtPoint“ (4), jehož výstupem je normálový vektor na povrchu v daném bodě. Jako povrch použijeme povrch klenby vytvořeného při modelování tělesa (kapitola 12.1.3) a jako bod námi extrahovaný ze souřadných systémů (1). Zjistíme úhel mezi normálou povrchu a osou X současných souřadných systémů pomocí uzlu „Vector.AngleWithVector“ (5). O zápornou hodnotu zjištěného úhlu (6) budeme otáčet souřadné systémy. Pro rotaci souřadného systému použijeme uzel (7) „CoordinateSystem.Rotate“. Jako vstupy do tohoto uzlu vložíme původní souřadné systémy, bod otáčení (1), osu Y (3), kolem které budeme otáčet, a získanou hodnotu rozdílu úhlů (6). Sestavu uzlů a výsledek v pozadí můžeme vidět na obrázku 67.
12.5 Umístění modelu
Po těchto krocích se může umístit model do vhodného prostoru vůči bázi, kde se bude nacházet robot. Použijeme k tomu uzle „Geometry,Translate“ a případně
„Geometry.Rotate“.
12.6 Přechodové body mezi vrstvami
Mezi jednotlivými vrstvami navrhneme přechodové body. Ty mohou mít několik důvodů. Prvním je bezproblémový přechod mezi vrstvami, aby nedošlo k poškození již vytisknutých částí modelu. Druhým důvodem může být přetočení os robota. To děláme z důvodů limitů otáčení jednotlivých os (viz. kapitola 9.3.2), kterých by robot mohl během tisknutí vrstvy dosáhnout. Chceme, aby tisknutý materiál byl co nejvíce soudržný a kompaktní. Jedním z předpokladů je, aby tisknutí každé vrstvy proběhlo v jednom sledu, aniž by robot dosáhl limitů otáčení. Tím by musel tisknutí přerušit, přetočit své osy a poté opět pokračovat v tisknutí. Vznikaly by tak další pracovní spáry, které by zhoršovaly kvalitu skořepiny.
- 74 - 12.6.1 Horizontální bez otáčení nástroje
U prvního nejsnadnějšího způsobu robot nedosahuje limitu otáčení svých os (obr. 68).
Přechodové body mají tedy důvod pro bezpečný přechod mezi vrstvami. Přechodové body vybereme z jednotlivých pomocí uzlů pro správu listů „List.LastItem“ a „List.FirstItem“.
Tím vybereme z každé vrstvy první (1) a poslední (2) souřadný systém. Všimněme si, že u těchto uzlů musíme zvolit úroveň seznamu pro výběr „L2“. Seznam souřadných systémů obsahuje celkem tři úrovně listů. Nejvyšší, třetí úroveň, je list obsahující listy jednotlivých vrstev. Druhá úroveň jsou jednotlivé listy vrstev obsahující souřadné systémy pro svou vrstvu, které mají úroveň jedna. Pokud bychom nechali výchozí nastavení (nejvyšší
úroveň, v tomto případě „L3“), byla by ze seznamu vybrána první a poslední vrstva rozplátkovaného modelu se všemi souřadnými systémy těchto vrstev. Pokud bychom zvolili úroveň „L1“, vybral by se první souřadný systém první vrstvy. Takto se vnoříme do listů úrovně „L2“ a z každého vezmeme první a poslední prvek, souřadný systém.
Takto vybrané prvky posuneme ve směru osy Z (5) uzlem „Geometry.Translate“. První bod posuneme o bezpečnostní vzdálenost (3). Poslední bod posuneme o bezpečnostní vzdálenost a výšku dané vrstvy (4).
12.6.2 Horizontální s otáčením nástroje
Při pohybu nástroje stále orientovaného stejně vůči tisknuté části povrchu musíme u přechodových bodů také přidat přetáčení os opačným směrem, než byla osa otáčena během
Obr. 57 Umístění přechodových bodů (Zdroj: Autor)
- 75 -
tisku vrstvy (obr. 69). Musíme robota navést, jakým směrem se má otáčeti a tak první bod přetočíme o 120° v rovině YZ (1), což je třetina jedné otočky. Druhý přechodový bod
přetočíme o 240° v rovině YZ (2). K prvnímu bodu následující vrstvy se poté robot dotočí o zbylých 120° a tím docílíme celkového přetočení 360°. Poté následuje tisk dané vrstvy, kde se postupně osa otáčí opačným směrem o -360°. Pro přetáčení souřadných systémů daných bodů používáme uzel „Geometry.Rotate“ (3).
12.6.3 Nehorizontální
U posledního nejsložitějšího způsobu použijeme u přechodových bodů přetáčení i odstup nástroje v bezpečné vzdálenosti. Rozdílný bude směr odstupu pro bezpečnou vzdálenost (obr. 70). V případě, že by na trysce byly umístěny také hladítka, mohly by při pohybu přímo ve směru osy Z souřadného systému prostředí tyto hladítka poškodit nehorizontálně vytištěnou vrstvu. Směr pohybu pro bezpečný odstup bude tedy veden ve směru osy X souřadného systému nástroje v jeho aktuální poloze. Pro vytvoření těchto bodů použijeme „Geometry.Translate“ (1), kde se jako vstup zadává kromě geometrie
Obr. 59 Úprava přechodových bodů u nehorizontálního tisku (Zdroj: Autor) Obr. 58 Přeorientování přechodových bodů (Zdroj: Autor)
- 76 -
směr a vzdálenost. Vzdálenost zůstane stejná (2) a potřebujeme tedy jen extrahovat osu X souřadného systému nástroje (3). Pro přetáčení jsou použity stejné operace, jako bylo znázorněno v předchozí kapitole.
12.7 Posloupnost a analýza pohybů
Po vytvoření souřadných systémů vrstev a přechodových bodů, převedeme tyto systémy na pohyb z bodu do bodu pomocí uzlů „PTP Movement – KUKA | prc“. Nyní musíme správně uspořádat kombinování těchto tří skupin pohybů pro správnou posloupnost. Cyklus by měl vypadat takto:
1. Sled bodových pohybů vrstvy n 2. Přechodový poslední bod vrstvy n 3. Přechodový první bod vrstvy n+1
Ke spojení těchto skupin pohybů použijeme uzel „List.Combine“, do kterého napojíme zmíněné tři skupiny bodů (obr. 72). Jako první vstupní list přechodové první body vrstvy (3), jako druhý vstupní list připojíme list sledu bodů v dané vrstvě (1) a třetí vstupní list jsou přechodové poslední body vrstvy (2). Poslední zbývající vstup je typ kombinátoru těchto listů, který volíme jako „List.Join“ (5). Tím se v jednom cyklu připojí prvek v nejvyšší úrovni daného listu. Pro (3) to je tedy jeden přechodový bod, pro (1) list bodů v jedné vrstvě a pro (2) je to opět jeden přechodový bod. U typu kombinátoru (5) nesmíme zapomenout otevřít tolik listů, kolik chceme připojit.
- 77 -
Na obrázku 71 můžeme vidět konečnou sestavu pro simulaci pohybu. Pro analýzu využití os robota, použijeme graf získaný z nodu „KUKA | prc CORE“ po kliknutí na tlačítko Settings a přejití na kartu analýza viz. kapitola X.
12.7.1 Horizontální bez otáčení nástroje
Obr. 61 Sestava uzlú pro správné seřazení pohybů po vrstvách a přechodovými body (Zdroj: Autor)
Obr. 60 Konečná sestava pro generování kódu pro pohyb robota (Zdroj: Autor)
- 78 -
Pro analýzu využití os robota, použijeme graf získaný z nodu „KUKA | prc CORE“
po kliknutí na nastavení vybereme záložku Analysis. Na obrázku 73 můžeme vidět graf analyzující otáčení os robota v závislosti na čase.
12.7.2 Horizontální s otáčením nástroje
Na obrázku 74 můžeme vidět graf analyzující otočení os v závislosti na čase. V grafu je vyznačen pohyb robota pro první vrstvu (1) a proces přetáčení mezi přechodovými body po druhé vrstvě (2). Můžeme si také všimnout nárůstu doby tisku vlivem přechodových bodů.
Obr. 62 Graf využití os robota v závislosti na čase bez přetáčení nástroje (Zdroj: Autor)
Obr. 63 Graf využití os v závislosti na čase při přetáčení nástroje (Zdroj: Autor)
- 79 - 12.7.3 Nehorizontální
U grafu při nehorizntálním tisku docházelo v horních vrstvách k dosažení limitu os (obr. 75). Jednalo se o osu 05, která nešla předtočit přechodovými body. Vyřešit by problém šel zvolením jiného tvaru nástroje. Pokud jsem zvolil simulaci bez použití nástroje, proběhla analýza bez kolizí.
12.8 Porovnání verzí plátkování
V této kapitole jsem chtěl ukázat rozdíly vzniklé různou metodou plátkování. Zpětně jsem vygeneroval těleso vysunutím hmoty podél křivek, reprezentující jednotlivé plátky.
V prvním případě (obr. 77), na obrázku, můžeme vidět klasické horizontální plátkování s konstantní tloušťkou vrstvy. Je zde patrné, že vrchní části modelu levitují ve vzduchu. Na obrázku 78 je opět horizontální plátkování, ovšem s proměnnou tloušťkou vrstev. Je zde použitou plátkování, které bylo použito pro nehorizontální pohyb robota. Konstantní vzdálenost je mezi průsečíkovými křivkami. V posledním případě (obr. 79), na obrázku, je použito stejná metoda plátkování ovšem hmota je vysunuta ve směru, jakou by měla orientace nástroje, tedy směr vytlačování hmoty. Zde už se zdá být povrch téměř hladký.
V horních vrstvách se však vnitřní hrany vysunutých vrstev prolínají, na vnější straně pak dochází k opačnému efektu a tvoří se mezi vrstvami mezery.
Obr. 64 Graf využité os robota v závislosti na čase při nehorizontálním tisku s vyznačením dosažených limitů otočení os (Zdroj: Autor)
- 80 -
Obr. 66 Porovnání tvarů modelu při horizontálním plátkování s konstantní výškou plátků (Zdroj: Autor)
Obr. 65 Porovnání tvarů modelu při horizontálním plátkování s proměnnou výškou plátků (Zdroj: Autor)
- 81 - 12.9 Fyzická simulace pohybu robota
Fotografie (obr. 79) ze zkoušky pohybů robota v robotické laboratoři KUKA na fakultě stavební. Celé video je v příloze této diplomové práce.
Obr. 67 Porovnání tvarů modelu při nehorizontálním tisku s proměnnou výškou plátků (Zdroj: Autor)
Obr. 68 Fotografie z robotické laboratoře KUKA při testování robota (Zdroj: Ing. Michal Kovářík)
- 82 -
13 Núbijská klenba
Prvním modelovaným tělesem je núbijská klenba. Její vlastnosti a technologie zhotovení byly popsány v kapitole 7.
13.1 Modelování tvaru tělesa s využitím technologie núbijské klenby
Pro vymodelování núbijské klenby využijeme zkušenosti z předchozí kapitoly při tvorbě paraboly. Myšlenka pro vymodelování klenby byla sestrojit vrcholovou křivku, na které budou umístěny v kolmém směru další křivky tvořící profil pro vytažení plochy skrz tyto profily. Křivky těchto profilů budou zároveň tvořit základ pro cestu nástroje.
13.1.1 Vrcholová křivka
Sestava uzlů pro sestrojení vrcholové křivky je na obrázku 43. Je použito podobného systému jako pro sestrojení paraboly. Pro lepší kontrolu křivky bylo pro souřadnice jednotlivých bodů vytvořeny dvě číselné řady zvlášť pro X a Z se vzorcem (I). Musíme však dodržet, aby se v každé číselné řadě nacházel stejný počet čísel. Na vytvořené křivce umístíme body, kterými křivku rozdělíme na segmenty o délce, která představuje výšku jedné tisknuté vrstvy. Pro tuto akci použijeme uzel „Curve.PointAtSegmentLength“, kde jako vstup, kromě samotné křivky, vkládáme číselnou řadu vzdáleností, kde bude vytvořen
bod. Krok této řady představuje onu výšku vrstvy.
(I) X.point = p * x * x;
(II) Z.point = z;
Obr. 69 Generování vrcholové křivky núbijské klenby (Zdroj: Autor)
- 83 - 13.1.2 Profilová křivka
K vytvoření profilu, skrz které bude probíhat vysunutí, používáme opět způsob pro sestrojení paraboly. Pro hodnotu souřadnic Y a Z jsou použity vzorce (III, IV). Pro vytvoření křivky použijeme uzel „NurbsCurve.ByControlPoints“, protože v případě, že bychom použili uzel „PolyCurve.ByPoints“, rozpadla by se nám křivka v dalším kroku ne segmenty a nemohli bychom ji použít jako profil. Jelikož chceme vrstvy tisknout v určitém sklonu, pootáčíme zhotovenou křivku pomocí uzlu „Geometry.Rotate“. Jako vstupy zde musíme, kromě samotné geometrie (křivky) a stupňů pootočení, zadat osu otáčení, kterou určíme směrem (vektorem) a bodem procházení osy. Protože jsme křivku vytvářeli od základního souřadného systému, volíme bod se souřadnicemi [0; 0; 0] a vektor jako osu Y.
Celou sestavu uzlů můžeme vidět na obrázku 44.
(III) Y.point = y;
(IV) Z.point = - p * z * z;
Obr. 70 Generování profilové křivky - paraboloidu (Zdroj: Autor)
- 84 - 13.1.3 Vygenerování profilů na vrcholové křivce
Nyní přichází krok pro vytvoření profilů. Použijeme uzel „Geometry.Translate“ (4), který má funkci přesunout geometrii (1) daným směrem (vektorem). Vektor sestrojíme pomocí dvou bodů a uzlu „Vector.ByTwoPoints“ (3). První bod se opět nachází v bodě [0;
0; 0] a je zároveň vrcholem profilové křivky. Druhý bod bude vybírán ze soustavy bodů vytvořených na vrcholové křivce, které jsme tvořili v předchozím kroku (2). Takto vytvořené vektory mají nejen směr ale i velikost vektoru, která určuje vzdálenost posunu.
Tím jsme docílili, že jsou podél vrcholové křivky po požadovaných délkách nakopírovány křivky.
Obr. 71 Generování profilových křivek po vrcholové křivce (Zdroj: Autor)
- 85 - 13.2 Oříznutí a vytvoření povrchu
Jak si můžeme všimnout, pokračují křivky i pod rovinu XY, pomyslný povrch prostoru. Je nutné tyto přesahy oříznout. To uděláme vytvořením teoretického pracovního prostoru (1,2,3), který má tvar kvádru, a umístíme ho do prostoru současné soustavy křivek. Poté použijeme uzel „Geometry.IntersectAll“, do kterého vkládáme ořezávanou geometrii a seznam dalších geometrických tvarů, v které se má první geometrie nacházet a vrátí nám jejich průnik (4). Křivky jsou ořezávány jedna po druhé a vkládány do samostatných listů. Jednotlivé ořezané křivky potřebujeme pro poslední krok v jediném listu, použijeme proto uzel „Flatten“, který nám vytvoří jediný list se všemi křivkami (5).
Poslední konečný krok pro vytvoření povrchu je pomocí uzlu „Surface.ByLoft“. Tento uzel vytváří povrchy mezi jednotlivými křivkami pomocí interpolace mezi nimi (6).
Sestavu uzlů a v pozadí vymodelovanou klenbu můžeme vidět na obrázku 46.
13.3 Plátkování
V tomto případě, kdy jsme klenbu tvořili pomocí křivek, které byly umístěny na vrcholové křivce po určených vzdálenostech, jsme nehorizontální plátkování provedli již při samotné konstrukci. Použijeme ořezané křivky tvořící příčné profily klenby. V případě, že bychom chtěli zhustit nebo rozptýlit počet plátků, upravíme vstupní hodnoty délek
V tomto případě, kdy jsme klenbu tvořili pomocí křivek, které byly umístěny na vrcholové křivce po určených vzdálenostech, jsme nehorizontální plátkování provedli již při samotné konstrukci. Použijeme ořezané křivky tvořící příčné profily klenby. V případě, že bychom chtěli zhustit nebo rozptýlit počet plátků, upravíme vstupní hodnoty délek