2.4 Sc´ en´ aˇre s nejednoznaˇ cn´ ymi rovnov´ ahami
2.4.3 Grafick´ e zn´ azornˇ en´ı uˇ zitk˚ u
Pro pˇredstavu m˚uˇzeme hodnoty uˇzitk˚u obou hr´aˇc˚u ve v´yˇse zm´ınˇen´ych sc´en´ a-ˇr´ıch vyj´adˇrit graficky. Hr´aˇc m´a ˇctyˇri uˇzitky, kaˇzd´y jako v´ysledek kombinace dvou strategi´ı. Dvˇema uˇzitk˚um pˇriˇrad´ıme fixn´ı hodnotu a budeme zkoumat
10
21 1 p
10 21
1 q
Obr´azek 2.2: Reakˇcn´ı funkce pro Jestˇr´aby a holubice
-4 -2 2 4 a
-4 -2 2 4 d
VP
JH
Obr´azek 2.3: Grafick´e zn´azornˇen´ı uˇzitk˚u a a d hr´aˇce M pro oba sc´en´aˇre pˇri volbˇe b = 1 ac= 0
-4 -2 2 4 y
-4 -2 2 4 x
JH
VP
Obr´azek 2.4: Grafick´e zn´azornˇen´ı uˇzitk˚u x a y hr´aˇce F pro oba sc´en´aˇre pˇri volbˇe z = 1 a w= 0
pˇr´ıpustn´e oblasti pro zbyl´e hodnoty uˇzitk˚u. Grafy jsme rozdˇelili podle hr´aˇc˚u na graf uˇzitk˚u hr´aˇce M a graf uˇzitk˚u hr´aˇce F.
Na Obr´azku 2.3 jsou vyznaˇcen´e dvˇe oblasti. Oblast VP vymezuje moˇznou volbu uˇzitk˚u a a d pro sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı, za pˇredpokladu, ˇze zb´yvaj´ıc´ı uˇzitky maj´ı zafixovan´e hodnoty, a to b = 1 a c= 0. Oblast JH zn´azornˇnuje tak´e moˇznou volbu uˇzitk˚uaadpˇri stejnˇe zafixovan´ych uˇzitc´ıchb ac, ale pro sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice.
Na dalˇs´ım Obr´azku 2.4 jsou vyznaˇcen´e moˇzn´e volby uˇzitk˚ux a y, pokud w= 0 az = 1. Oblast VP opˇet znaˇc´ı moˇznosti pro sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı a JH pro sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice.
V t´eto kapitole pˇredstav´ıme tˇr´ıdu dynamick´ych her. V tomto typu her nena-st´avaj´ı tahy hr´aˇc˚u souˇcasnˇe, ale postupnˇe. Hry jsou tedy minim´alnˇe dvouta-hov´e (v prvn´ı tahu hraje jeden hr´aˇc, ve druh´em tahu hraje druh´y hr´aˇc). Po-kud by byla dynamick´a hra jednotahov´a, jednalo by se pouze o optimalizaci.
Hlavn´ı odliˇsnost od statick´ych her je fakt, ˇze hr´aˇc zn´a v´ysledek pˇredchoz´ıho tahu a m´a moˇznost na nˇej reagovat.
3.1 Zobrazen´ı dynamick´ e hry
Dynamick´e hry se zobrazuj´ı v explicitn´ım tvaru pomoc´ı strom˚u. Na Ob-r´azku 3.1 je zn´azornˇena hra V´alka pohlav´ı jako dynamick´a hra. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe m´a moˇznost prvn´ıho tahu hr´aˇc M a vyb´ır´a opˇet ze dvou strategi´ı {R, S}. Aˇz po ukonˇcen´ı tahu prvn´ıho hr´aˇce zaˇc´ın´a tah druh´eho hr´aˇce, kter´y uˇz zn´a v´ysledek pˇredchoz´ıho tahu. Hr´aˇc F m´a na v´ybˇer strategie {r,s}, ale nem˚uˇze uˇz nijak ovlivnit tah prvn´ıho hr´aˇce. V druh´em pˇr´ıpadˇe prob´ıh´a hra stejn´ym zp˚usobem, pouze je vymˇenˇen´e poˇrad´ı hr´aˇc˚u.
Obr´azek 3.1: Dynamick´a hra - V´alka pohlav´ı
3.2 Reˇ ˇ sen´ı dynamick´ e hry
Pro nalezen´ı rovnov´ahy dynamick´e hry pouˇz´ıv´ame zpˇetnou indukci. Proch´ a-z´ıme hru od konce a vyuˇz´ıv´ame znalost´ı o pˇredchoz´ıch taz´ıch. Pokud tuto metodu pouˇzijeme na hru z Obr´azku 3.1 (moˇznost, kde hr´aˇc M hraje jako prvn´ı), budeme postupovat n´asledovnˇe: Hr´aˇc F m´a v kaˇzd´e vˇetvi dvˇe moˇ z-nosti, a to r nebo s. Pokud by hr´aˇc M zahr´al R, hr´aˇc F vybere tak´e r, protoˇze z t´eto strategie m´a lepˇs´ı uˇzitek, ve druh´e vˇetvi dopadne v´ybˇer analo-gicky. Nyn´ı se pˇresuneme na tah hr´aˇce M. Hr´aˇc M uˇz v´ı, ˇze pokud zahraje R, F zahraje taky r a pokud zahraje S, hr´aˇc F zahraje taky s. Staˇc´ı pouze vy-brat strategii, ze kter´e m´a lepˇc´ı uˇzitek, tedy R. T´ımto postupem dostaneme rovnov´ahu (R, r).
Pro dynamick´e hry m˚uˇzeme tak´e definovat Nashovu rovnov´ahu, kter´a vych´az´ı z konstrukce zpˇetn´e indukce. Nejprve ale potˇrebujeme zav´est pojem dynamick´a podhra.
Definice 4. Dynamick´a podhra je podstrom, kter´y mus´ı splˇnovat n´asleduj´ıc´ı podm´ınky:
1. Zaˇc´atek se nach´az´ı v libovoln´em uzlu stromu (vyjma koneˇcn´ych uzl˚u s uˇzitky).
2. Hr´aˇc zn´a vˇsechna rozhodnut´ı proveden´a do tohoto ˇcasu (ve kter´em se nach´az´ı poˇc´ateˇcn´ı uzel).
3. Podhra obsahuje vˇsechny uzly, kter´e n´asleduj´ı poˇc´ateˇcn´ı uzel.
Definice 5. Nashova rovnov´aha vzhledem k podhr´am je rovnov´aha dyna-mick´e hry, kter´a je Nashovou rovnov´ahou v kaˇzd´e podhˇre t´eto dynamick´e hry.
Probl´em existence takov´e rovnov´ahy je vyˇreˇsen n´asleduj´ıc´ı vˇetou, jej´ıˇz d˚ukaz je uveden ve Webb [1].
Vˇeta 2. Kaˇzd´a koneˇcn´a dynamick´a hra m´a alespoˇn jednu Nashovu rovnov´ahu vzhledem k podhr´am.
Ot´azka jednoznaˇcnosti rovnov´ahy je u dynmaick´ych her snaˇzˇs´ı neˇz u sta-tick´ych her.
Vˇeta 3. Pokud je hra generick´a, tj. nenast´av´a rovnost uˇzitk˚u, pak existuje pr´avˇe jedna Nashova rovnov´aha vzhledem k podhr´am.
D˚ukaz. Vypl´yv´a z konstrukce zpˇetn´e indukce.
3.3 V´ yhoda poˇ rad´ı
Z Vˇety 3 vypl´yv´a, ˇze dynamick´a verze hry V´alka pohlav´ı m´a pr´avˇe jednu Nashovu rovnov´ahu vzhledem k podhr´am, stejnˇe jako dynamick´a verze hry Jestˇr´abi a holubice. Pro nalezen´ı jednoznaˇcn´e rovnov´ahy tˇechto statick´ych her je staˇc´ı pouze pˇrev´est na dynamickou hru. Je zˇrejm´e (kv˚uli jednoznaˇcnosti rovnov´ahy), ˇze v´ysledn´a rovnov´aha je v´yhodnˇejˇs´ı pouze pro jednoho hr´aˇce.
Zavedeme pojem v´yhra hr´aˇce.
Definice 6. Budeme ˇr´ıkat, ˇze hr´aˇc, jehoˇz preferovan´a rovnov´aha je Nashova rovn´aha vzhledem k podhr´am, vyhr´al.
N´asleduj´ıc´ı vˇety uv´adˇej´ı podm´ınky v´yhry hr´aˇc˚u.
Lemma 1. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı. Hru vyhraje hr´aˇc, kter´y m´a moˇznost prvn´ıho tahu.
D˚ukaz. D˚ukaz provedeme tak, ˇze vyˇreˇs´ıme hru zpˇetnou indukc´ı pro obˇe dvˇe varianty zaˇc´ınaj´ıc´ıho hr´aˇce. T´ım bude vˇeta dok´azan´a pro oba dva hr´aˇce, pro-toˇze uk´aˇzeme, ˇze hr´aˇc M vyhraje, kdyˇz bude zaˇc´ınat a z´aroveˇn nevyhraje, kdyˇz bude zaˇc´ınat hr´aˇc F. Varianta hry, kde zaˇc´ın´a hr´aˇc M je uˇz vyˇreˇsen´a v kapitole 3.2. Nashova rovnov´aha je v tomto pˇr´ıpadˇe (R, r), coˇz je v´ysledek preferovan´y hr´aˇcem M. Pokud zaˇc´ın´a hru hr´aˇc F, zpˇetn´a indukce bude vy-padat takto: Hr´aˇc M vyb´ır´a lepˇs´ı strategii v obou vˇetv´ıch. Ve vˇetvi stromu, kde v´ı, ˇze F zahr´al strategii r vybere strategii R, ve druh´e vˇetvi vybere S.
Hr´aˇc F v´ı, jak´e strategie bude hr´at M v z´avislosti na jeho volbˇe, vybere tedy v´yhodnˇejˇs´ı strategii, kterou je S. Nashova rovnov´aha he tedy (s, S), v´ysledek preferovan´y hr´aˇcem F. (V rovnov´aze u dynamick´ych her p´ıˇseme nejprve stra-tegii zaˇc´ınaj´ıc´ıho hr´aˇce, z toho d˚uvodu jsou strategie v opaˇcn´em poˇrad´ı.) Lemma 2. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice. Hru vyhraje hr´aˇc, kter´y m´a moˇznost prvn´ıho tahu.
D˚ukaz. D˚ukaz provedeme stejnˇe jako u pˇredchoz´ı vˇety. Zpˇetn´a indukce pro pˇr´ıpad, kdy zaˇc´ın´a hr´aˇc M: Hr´aˇc F vyb´ır´a lepˇs´ı strategii v obou vˇetv´ıch stromu. Ve vˇetvi, kde v´ı, ˇze hr´aˇc M zahr´al strategiiR, zahraje strategii s, ve druh´e vˇetvi vybere strategiir. Hr´aˇc M zn´a strategie, kter´e bude hr´at hr´aˇc F v z´avislosti na jeho volbˇe v prvn´ım kole. Vybere tedy v´yhodnˇejˇs´ı strategii R a vznikne Nashova rovnov´aha (R, s). Zpˇetn´a indukce pro hru, kdyˇz zaˇc´ın´a hr´aˇc F: Hr´aˇc M opˇet vybere nejv´yhodnˇejˇs´ı strategii v obou vˇetv´ıch. Ve vˇetvi, kde hr´aˇc F vybral r, vybere S, ve druh´e vˇetvi zvol´ıR. Hr´aˇc F zn´a reakce hr´aˇce M, vybere tedy v´yhodnˇejˇs´ı strategii r a vznikne Nashova rovnov´aha (r, S). Kaˇzd´a rovnov´aha je opˇet preferovan´y v´ysledek zaˇc´ınaj´ıc´ıho hr´aˇce.
Hr´aˇc, kter´y m´a v´yhodu prvn´ıho tahu se naz´yv´a Stackelberg˚uv leader.
Probl´em nejednoznaˇcnosti rovnov´ahy ve statick´e hˇre je moˇzn´e vyˇreˇsit pˇreve-den´ım na dynamickou hru. Preferovanou rovnov´ahu potom z´ısk´a hr´aˇc, kter´y m´a moˇznost prvn´ıho tahu, tedy Stackelberg˚uv leader.
ˇ casov´ an´ım tah˚ u
Tato kapitola popisuje tak´e dynamick´e hry, ale se speci´aln´ım ˇcasov´an´ım tah˚u.
Budeme uvaˇzovat ˇcasov´an´ı n´ahodn´e, zadan´e nˇejak´ym pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım. Tato myˇslenka m´a sv´e koˇreny pˇredevˇs´ım v ˇcl´anc´ıch Libich a Steh-l´ık [3], Cho a Matsui [4], Lagunoff a Matsui [5] a Kamada a Kandori [6]. Ve ˇ
cl´anku Libich a Stehl´ık [3] autoˇri uvaˇzovali n´ahodn´e ˇcasov´an´ı tah˚u pouze pro jednoho hr´aˇce. Druh´y hr´aˇc mˇel moˇznost pouze simult´ann´ıho tahu. V t´eto kapitole se budeme zab´yvat situac´ı, kde se n´ahodn´e ˇcasov´an´ı tah˚u t´yk´a obou hr´aˇc˚u, ale pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı tohoto ˇcasov´an´ı tah˚u jednotliv´ych hr´aˇc˚u se navz´ajem nepˇrekr´yv´a.
4.1 Popis hry
Hra prob´ıh´a v ˇcasov´em intervalu od 0 do 1. V ˇcase 0 zahraj´ı oba hr´aˇci simul-t´ann´ı tah, tedy ani jeden nev´ı, jakou strategii zahr´al soupeˇr. D´ale pˇredpokl´ a-d´ame, ˇze hr´aˇc M m´a moˇznost opakov´an´ı tah˚u v ˇcasov´em intervalu [0, K], kde 0 < K < 1. Hr´aˇc F m´a moˇznost opakov´an´ı tah˚u v ˇcasov´em intervalu [L,1], kde K ≤L <1.
Definice 7. Tahy, kter´e n´asleduj´ı po simult´ann´ım tahu, budeme naz´yvat revize. Prvn´ı provedenou revizi kaˇzd´eho hr´aˇce oznaˇc´ıme jakoRevize(s velk´ym p´ısmenem).
Pro oba hr´aˇce je d˚uleˇzit´a pouze prvn´ı Revize. T´ımto tahem mohou po-prv´e reagovat na simult´ann´ı tah (v pˇr´ıpadˇe prvn´ıho hr´aˇce) nebo reagovat na Revizi prvn´ıho hr´aˇce (v pˇr´ıpadˇe druh´eho hr´aˇce). Vˇsechny ostatn´ı revize jsou zanedbateln´e, protoˇze jsou prov´adˇeny za stejn´ych podm´ınek jako Revize a nemaj´ı uˇz ˇz´adn´y vliv na pr˚ubˇeh hry.
4.2 Casov´ ˇ an´ı reviz´ı
Hr´aˇci maj´ı moˇznost reviz´ı omezenou na urˇcit´y podinterval ([0, K] pro hr´aˇce M a [L,1] pro hr´aˇce F) celkov´eho hern´ıho ˇcasu [0,1] a z´aroveˇn je ˇcasov´an´ı reviz´ı
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t
urˇceno pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım na tomto podintervalu.
Definice 8. Pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı reviz´ı je po-ps´ano pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı nebo funkc´ı hustoty dan´eho pravdˇ epodob-nostn´ıho rozdˇelen´ı. Pro hr´aˇce M oznaˇc´ıme funkci m(t), pro hr´aˇce F ji ozna-ˇ
c´ıme f(t).
Pro ´uˇcely naˇs´ı pr´ace bude d˚uleˇzitˇejˇs´ı distribuˇcn´ı funkce tohoto pravdˇ epo-dobnostn´ıho rozdˇelen´ı.
Definice 9. Distribuˇcn´ı funkce pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı M(t) : [0,1]→[0,1], M(0) = 0, M(K) = 1,
F(t) : [0,1]→[0,1], F(L) = 0, F(1) = 1, nazveme Revizn´ı funkce.
Pˇr´ıklady Revizn´ıch funkc´ı m´ame na Obr´azku 4.1. Rozdˇelen´ı n´ahodn´ych tah˚u je pro jednoduchost rovnomˇern´e a hodnoty parametr˚u jsou K = 0,3 aL= 0,6. Plochy pod funkcemiM(t) aF(t) jsou urˇceny integr´alyRK
0 M(t)dt
a R1
LF(t)dt. Tyto plochy ud´avaj´ı rychlost reakc´ı hr´aˇc˚u, zat´ımco integr´aly RK
0 (1−M(t))dt a R1
L(1−F(t))dt, tedy plochy nad funkcemi M(t) a F(t), ud´avaj´ı rigiditu hr´aˇc˚u (vˇernost p˚uvodn´ımu rozhodnut´ı). Z Obr´azku 4.1 je zˇrejm´e, ˇze pro hr´aˇce M bude platit
4.3 V´ ybˇ er optim´ aln´ı rovnov´ ahy
Zkoum´ame takov´yto typ hry pro dva uveden´e sc´en´aˇre: V´alka pohlav´ı a Jes-tˇr´abi a holubice. V tˇechto hr´ach ve statick´e formˇe existuj´ı dvˇe ˇcist´e Nashovy rovnov´ahy, ale doch´az´ı ke stˇretu z´ajm˚u hr´aˇc˚u. Kaˇzd´y hr´aˇc preferuje jinou rovnov´ahu. Stejnˇe jako klasickou dynamickou hrou, m˚uˇzeme i t´ımto zp˚ uso-bem vyˇreˇsit probl´em v´ybˇeru optim´aln´ı rovnov´ahy. Nejprve definujeme pojem v´yhra.
Definice 10. Pokud hr´aˇcova preferovan´a rovnov´aha bude Nashovou rovno-v´ahou v cel´em pr˚ubˇehu hry, potom ˇrekneme, ˇzehr´aˇc vyhr´av´a hru.
N´asleduj´ıc´ı vˇety ud´avaj´ı podm´ınky v´yhry hr´aˇce M pro oba zm´ınˇen´e sc´ e-n´aˇre. Postup nalezen´ı tˇechto podm´ınek bude demonstrov´an v d˚ukazu.
Vˇeta 4. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı. Hr´aˇc M vyhraje hru (tj. rovnov´aha (R, r) bude Nashova rovnov´aha v cel´em pr˚ubˇehu hry), pokud budou splnˇen´e podm´ınky
Pozn´amka 3. Levou stranu nerovnice (4.1) oznaˇc´ımeUM1 , pravou stranuVV P1 . Lev´a strana nerovnice (4.2) bude m´ıt oznaˇcen´ıUM2 a prav´a strana VV P2 . D˚ukaz. Pˇri d˚ukazu Vˇety 4 budeme postupovat od konce hry, tzv. zpˇetnou indukc´ı. Pro v´yhru hr´aˇce M, je nutn´e, aby oba hr´aˇci ve vˇsech sv´ych taz´ıch volili strategie R (v pˇr´ıpadˇe hr´aˇce M) a r (v pˇr´ıpadˇe hr´aˇce F). Zaˇcneme tedy Reviz´ı hr´aˇce F. Tento tah je hr´aˇc˚uv posledn´ı, coˇz znamen´a, ˇze mus´ı volit strategii, ze kter´e mu plyne nejvˇetˇs´ı uˇzitek. Tento uˇzitek pak pro nˇej pˇretrv´av´a pouze do konce hry, tedy ˇcas dan´y v´yrazem R1
LF(t)dt. Mohou nastat dvˇe situace v z´avislosti na strategii, kterou zvol´ı hr´aˇc M ve sv´e Revizi:
(I) Hr´aˇc M zvol´ı v Revizi strategii R.
(II) Hr´aˇc M zvol´ı v Revizi strategii S.
V prvn´ım pˇr´ıpadˇe (I) je pro hr´aˇce F nejlepˇs´ı reakce strategie r a v druh´em pˇr´ıpadˇe (II) strategies. Z obou tˇechto voleb m´a nejvˇetˇs´ı moˇzn´y uˇzitek. V´ıme tedy, ˇze hr´aˇc F se svoj´ı Reviz´ı pˇrizp˚usob´ı Revizi hr´aˇce M.
Nyn´ı nalezneme podm´ınku pro Revizi hr´aˇce M. Potˇrebujeme, aby hr´aˇc M volil ve sv´e Revizi strategii R. Opˇet m˚uˇzeme rozdˇelit na dva pˇr´ıpady v z´avislosti na simult´ann´ım tahu hr´aˇce F:
(I) Hr´aˇc F zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii r.
(II) Hr´aˇc F zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii s.
Pokud nastane situace (I), nejlepˇs´ı reakce hr´aˇce M je zahr´at strategiiR a to z toho d˚uvodu, ˇze F v Revizi zahraje tak´er. T´ım je zajiˇstˇeno, ˇze hr´aˇc M bude m´ıt aˇz do konce hry uˇziteka, kter´y je podle nerovnice (2.4.1) z kapitoly 2.4.1 vˇzdy vˇetˇs´ı neˇz jak´ykoliv jin´y. V pˇr´ıpadˇe ˇze nastane situace (II), mus´ı b´yt splnˇena n´asleduj´ıc´ı nerovnice, aby se hr´aˇci M vyplatilo zahr´at strategii R, tj. celkov´y souˇcet uˇzitk˚u, kter´e hr´aˇc m´a ze strategie R, n´asoben´ych ˇcasem, ve kter´em pˇretrv´avaj´ı, mus´ı b´yt vˇetˇs´ı, neˇz celkov´y souˇcet uˇzitk˚u n´asoben´ych ˇ
casem, ve kter´em pˇretrv´avaj´ı, jeˇz hr´aˇci plynou ze strategie S.
b
Jednotliv´e ˇcleny nerovnice (4.3) znamenaj´ı vˇzdy nˇejak´y ˇcasov´y ´usek hry. potom pˇretrv´avaj´ı uˇzitky ze zvolen´ych strategi´ı obou hr´aˇc˚u. Napˇr´ıklad v ˇcase RK
0 M(t)dt pˇretrv´av´a pro hr´aˇce M uˇzitek b, kter´y odpov´ıd´a tomu, ˇze hr´aˇc F zvolil v simult´ann´ım tahu strategii s a hr´aˇc M zahr´al v Revizi strategii R.
Nerovnici (4.3) m˚uˇzeme d´ale upravit.
(b−d) Vydˇel´ıme nerovnici (4.4) ˇclenyR1
LF(t)dta (b−d). Protoˇze (b−d) je z´aporn´y, mus´ıme z´aroveˇn zamˇenit znam´enko nerovnosti.
RK
Pokud uˇz jen rozˇs´ıˇr´ıme zlomek na prav´e stranˇe nerovice (4.5) hodnotou −1, dost´av´ame tvar (4.1) uveden´y v dokazovan´e vˇetˇe, kter´y je n´azornˇejˇs´ı, protoˇze na jedn´e stranˇe obsahuje pouze hodnoty z´avisl´e na parametrech K aL a na stranˇe druh´e zase jen hodnoty uˇzitk˚ua,b ad.
Nakonec mus´ıme zajistit, aby oba hr´aˇci volili v simult´ann´ım tahu strategiiR, popˇr´ıpadˇe r. Nejprve vyˇsetˇr´ıme simult´ann´ı tah hr´aˇce F. Znovu se n´am tato situace rozpadne na dvˇe ˇc´asti:
(I) Hr´aˇc M zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii R.
(II) Hr´aˇc M zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii S.
V prvn´ım pˇr´ıpadˇe (I) je pro hr´aˇce F vˇzdy nejlepˇs´ı zvolit strategii r, nebot’
z´ısk´a po celou dobu do sv´e Revize uˇzitekw, kter´y je dle nerovnic (2.4.1) vˇetˇs´ı neˇzx. Pokud nastane situace (II), mus´ı b´yt splnˇena n´asleduj´ıc´ı nerovnice, aby hr´aˇc F zahr´al strategiir.
y
clen obsahuj´ıc´ı tento integr´al by byl na obou stran´ach nerovnice (4.6) stejn´y.
Tuto nerovnici (4.6) m˚uˇzeme stejn´ymi algebraick´ymi ´upravami dostat do po-ˇ
zadovan´eho tvaru (4.2), kter´y je uveden´y v dokazovan´e vˇetˇe.
Stejn´ym zp˚usobem zjist´ıme podm´ınku pro to, aby hr´aˇc M volil v simult´ann´ım tahu strategii R. Tentokr´at n´as bude ale zaj´ımat jen ˇcas do Revize hr´aˇce M, kter´y je dan´y integr´alemRK
0 (1−M((t))dt. Pokud budeme pˇredpokl´adat, ˇze hr´aˇc F v simult´ann´ım tahu zahraje strategiir, staˇc´ı pouze porovnat jak´y bude m´ıt ve zm´ınˇen´em ˇcase hr´aˇc M uˇzitek ze zvolen´ı strategie R, coˇz je uˇzitek a, a ze zvolen´ı strategie S, coˇz je uˇzitek c. Dle nerovnic (2.4.1) je zˇrejm´e, ˇze a > c, hr´aˇc M tedy bude volit strategii R v simult´ann´ım tahu pokud bude splnˇen´a podm´ınka pro simult´ann´ı tah hr´aˇce F oznaˇcen´a (4.2).
Vˇeta 5. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice. Hr´aˇc M vyhraje hru (tj. rov-nov´aha (R, s) bude Nashova rovnov´aha v cel´em pr˚ubˇehu hry), pokud budou splnˇen´e podm´ınky D˚ukaz. D˚ukaz bude proveden´y stejn´ym zp˚usobem jako pro Vˇetu 4.
4.3.1 Jin´ y zp˚ usob vyj´ adˇ ren´ı podm´ınky v´ yhry
V nˇekter´ych pˇr´ıpadech mohou b´yt Revizn´ı funkce sloˇzit´e, tˇeˇzko integrovateln´e nebo je nezn´ame pˇresnˇe. Z toho d˚uvodu jsme naˇsli jin´y ekvivalentn´ı tvar podm´ınky v´yhry hr´aˇce M, kter´y vyuˇz´ıv´a pouze znalosti parametr˚u K a L a stˇredn´ıch hodnot pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı tah˚u.
N´asleduj´ıc´ı lemma je bˇeˇznˇe zn´am´y statistick´y v´ysledek, vysvˇetlen´y napˇr´ıklad v Kallenberg [7], z toho d˚uvodu je zde uv´adˇena bez d˚ukazu.
Lemma 3. Uvaˇzujeme funkci M(t) z Definice 9. Potom plat´ı Z K
0
(1−M(t))dt=µM. (4.9)
Stejnˇe tak uvaˇzujeme funkci F(t) z Definice 9. Potom plat´ı Z 1 nutn´e upravit integr´alyRK
0 M(t)dtaR1
LF(t)dtpouˇzit´ım vzorc˚u pro linearitu a aditivitu urˇcit´ych integr´al˚u.
Z K
Uˇzit´ım Lemmatu 3 dost´av´ame Z K
0
M(t)dt=K−µM,
Z 1 L
F(t)dt = 1−µF.
Po dosazen´ı za integr´aly do podm´ınek v´yhry hr´aˇce M m´ame
K−µM +µF −L+L−K
1−µF = µF −µM
1−µF < Vi1 i={V P, J H},
K−µM +µF −L+l−K
µM = µF −µM
µM > Vi2 i={V P, J H}, coˇz jsou pˇresnˇe dokazovan´e nerovnice (4.11) a (4.12).
4.3.2 V´ ymˇ ena poˇ rad´ı hr´ aˇ c˚ u
Doposud jsme pˇredpokl´adali, ˇze hr´aˇc M m´a moˇznost opakovat tah dˇr´ıve neˇz hr´aˇc F. Nyn´ı budeme pˇredpokl´adat opaˇcn´e poˇrad´ı hr´aˇc˚u.
Pozn´amka 5. M˚uˇzeme tak´e uvaˇzovat, ˇze hr´aˇc F bude m´ıt moˇznost prov´est Revizi jako prvn´ı. Revizn´ı funkce jsou v tomto pˇr´ıpadˇe
F(t) : [0,1]→[0,1], F(0) = 0, F(K) = 1, M(t) : [0,1]→[0,1], M(L) = 0, M(1) = 1.
Podm´ınky v´yhry hr´aˇce F jsou ve stejn´em tvaru, pouze jsou pouˇzity pˇr´ısluˇsn´e Revizn´ı funkce a uˇzitky. Hr´aˇc F vyhraje, tj. jeho preferovan´a rovnov´aha bude Nashovou rovnov´ahou v cel´em pr˚ubˇehu hry, pokud bude splnˇeno, ˇze
RK
0 F(t)dt+ (L−K) +R1
L(1−M(t))dt R1
LM(t)dt < Wi1 i={V P, J H}, (4.13)
RK
0 F(t)dt+ (L−K) +R1
L(1−M(t))dt RK
0 (1−F(t))dt > Wi2 i={V P, J H}. (4.14) Levou stranu nerovnice (4.13) oznaˇc´ıme jakoUF1 a levou stranu nerovnice (4.14) jako UF2. Podm´ınku v´yhry m˚uˇzeme vyj´adˇrit i ve tvaru s vyuˇzit´ım stˇredn´ıch hodnot pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı tah˚u.
µM −µF
1−µM < Wi1 i={V P, J H}, µM −µF
µF > Wi2 i={V P, J H}.
Pro sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı je
WV P1 = z−w
w−x, WV P2 = a−c d−b. Pro sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice je
WJ H1 = y−x
x−w, WJ H2 = b−d c−a.
a uˇ zitc´ıch
V t´eto kapitole uvedeme pˇr´ıklady pro ilustraci v´yˇse uveden´ych Vˇet 4 a 6, kter´e ud´avaj´ı podm´ınku v´yhry hr´aˇce M ve sc´en´aˇr´ıch V´alka pohlav´ı a Jestˇr´abi a holubice. D´ale prozkoum´ame, jak jsou tyto podm´ınky v´yher z´avisl´e na zmˇen´ach parametr˚u (K, L) a uˇzitk˚u (a, b, c, d, w, x, y, z).
5.1 Ilustraˇ cn´ı pˇ r´ıklady
Uvedeme zde dva pˇr´ıklady. V prvn´ım pˇr´ıkladu vyuˇzijeme pro v´ypoˇcet Vˇetu 4, ve druh´em pouˇzijeme zjednoduˇsˇsen´e tvary tˇechto podm´ınek z Vˇety 6.
Pˇr´ıklad 3. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı a uˇzitky zvol´ıme n´asledovnˇe:
F
a b
M A 2,1 0,0 B 0,0 1,2
Parametry K a L zvol´ıme tak, ˇze K =L = 0,5. Revizn´ı funkce jsou distri-buˇcn´ı funkce rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı zn´azornˇen´e na Obr´azku 5.1:
M(t) =
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t
Obr´azek 5.1: Revizn´ı funkce pouˇzit´e v pˇr´ıkladu 3
UM1 =
Pˇr´ıklad 4. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice a uˇzitky zvol´ıme n´asledovnˇe:
F
a b
M A 0,0 5,1 B 1,5 0,0
Zvol´ımeK = 0,4 aL= 0,6. Revizn´ı funkce v tomto pˇr´ıpadˇe nezn´ame. Zn´ame pouze stˇredn´ı hodnoty pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı Reviz´ı, a toµM = 0,1 a µF = 0,7.
Vypoˇcteme zjednoduˇsˇsen´e UM1 a VJ H1 a zjist´ıme, zda je splnˇen´a podm´ınka (4.11), kterou ud´av´a Vˇeta 6.
UM1 = µF −µM
1−µF = 0,7−0,1 1−0,7 = 2
VJ H1 = b−c
c−a = 5−1 1−0 = 4
M´ame UM1 < VJ H1 , podm´ınka pro revizi hr´aˇce M je splnˇen´a. Nyn´ı zjist´ıme, zda je splnˇen´a i druh´a podm´ınka (4.8) z Vˇety 6.
UM2 = µF −µM
µM = 0,7−0,1 0,1 = 6
VJ H2 = y−z
x−w = 5−0 1−0 = 5
Druh´a podm´ınka v´yhry je v tomto pˇr´ıkladˇe tak´e splnˇen´a, m˚uˇzeme ˇr´ıct, ˇre hr´aˇc vyhr´av´a hru. Jeho preferovan´a rovnov´aha (R, s) bude Nashovou rovnov´ahou v cel´em pr˚ubˇehu hry.
V Tabulce 4 je udˇelan´y mal´y pˇrehled z´avislosti stˇredn´ı hodnoty µF na stˇredn´ı hodnotˇe µM pˇri nˇekter´ych hodnot´ach prav´ych stran podm´ınek v´yhry VJ H1 a VJ H2 . Vyznaˇcen´a oblast obsahuje hodnoty µM a µF, pˇri kter´ych bu-dou podm´ınky v´yhry hr´aˇce, kter´e jsou zaveden´e ve Vˇetˇe 6. Obr´azek v ˇr´adce VJ H1 = 4 a sloupciVJ H2 = 5 se vztahuje pˇr´ımo k Pˇr´ıkladu 4.
V Pˇr´ıkladu 3 nen´ı splnˇen´a prvn´ı podm´ınka v´yhry (4.1) z Vˇety 4. Tento fakt m˚uˇzeme ovlivnit zmˇenou jednotliv´ych parametr˚u a uˇzitk˚u, coˇz je n´aplˇn dalˇs´ı podkapitoly.
VJ H2 = 2 VJ H2 = 5
5.2 Z´ avislost podm´ınek v´ yhry
V podm´ınk´ach v´yhry hr´aˇce figuruje v´ıce uˇzitk˚u (a, b, c, d, w, x, y, z) a pa-rametr˚u (K, L), jejichˇz zvˇetˇsov´an´ım nebo zmenˇsov´an´ım m˚uˇzeme ovlivˇnovat v´ysledek hry. V t´eto ˇc´asti pr´ace pop´ıˇseme jak m˚uˇzeme ˇsanci hr´aˇce na v´yhru zv´yˇsit zmˇenou hodnoty vˇzdy pouze jednoho uˇzitku nebo parametru.
Nejprve vyˇreˇs´ıme prvn´ı podm´ınku, tj. podm´ınka pro Revizi prvn´ıho hr´aˇce (4.1), (4.8) a (4.13). Lev´e strany tˇechto nerovnic oznaˇcen´eUM1 aUF1 jsou vˇzdy pro oba sc´en´aˇre stejn´e. Rozd´ıl pro hr´aˇce je pouze ve v´ymˇenˇe pˇr´ısluˇsn´ych Revizn´ıch funkc´ı.
Lemma 4. V´yraz UM1 , popˇr´ıpadˇe UF1, se zmenˇsuje s klesaj´ıc´ım L.
D˚ukaz. Provedeme d˚ukaz pouze pro v´yraz UM1 . D˚ukaz pro UF1 by byl pro-v´adˇen´y stejn´ym zp˚usobem, pouze se zamˇenˇen´ymi Revizn´ımi funkcemi. V´ y-raz UM1 mus´ıme zderivovat podle parametru L.
d ne-m˚uˇzeme obecnˇe rozhodnout. Derivace obou v´yraz˚u podle K se rovn´a 0.
Prav´e strany nerovnic (4.1), (4.7), (4.13), jsou postupnˇe oznaˇceny VV P1 , VJ H1 , WV P1 a WJ H1 . Pˇri snaze o zv´yˇsen´ı ˇsance na v´yhru je nutn´e tyto zlomky zvˇetˇsit. N´asleduj´ıc´ı lemma demonstruje, jak´y vliv maj´ı uˇzitky vystupuj´ıc´ı
Prav´e strany nerovnic (4.1), (4.7), (4.13), jsou postupnˇe oznaˇceny VV P1 , VJ H1 , WV P1 a WJ H1 . Pˇri snaze o zv´yˇsen´ı ˇsance na v´yhru je nutn´e tyto zlomky zvˇetˇsit. N´asleduj´ıc´ı lemma demonstruje, jak´y vliv maj´ı uˇzitky vystupuj´ıc´ı