Bakal´aˇrsk´a pr´ace ˇCasov´e struktury v teorii her

Fakulta aplikovan´ ych vˇed Katedra matematiky

Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace

Casov´ ˇ e struktury v teorii

her

Prohlaˇsuji, ˇze jsem bakal´aˇrskou pr´aci vypracovala samostatnˇe a v´yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ych pramen˚u.

V Plzni dne 28. kvˇetna 2013

Lucie ˇStejrov´a

C´ılem t´eto pr´ace je sestavit srozumiteln´e shrnut´ı role ˇcasov´an´ı v teorii her.

Hlavn´ı pozornost je upˇrena na hry, kter´e ve sv´e statick´e formˇe maj´ı v´ıce rovnov´ah. Konkr´etnˇe se vˇenuje dvˇema sc´en´aˇr˚um V´alka pohlav´ı a Jestˇr´abi a holubice. V pr´aci je uk´az´ano, jak ˇcasov´an´ı mˇen´ı poˇcet a zejm´ena jedno- znaˇcnost rovnov´ah. Pr´ace se vˇenuje ˇcasov´ym struktur´am v bˇeˇznˇe zn´am´ych dynamick´ych hr´ach, ale i ve speci´aln´ıch typech dynamick´ych her, kde je ˇca- sov´an´ı n´ahodn´e.

Kl´ıˇcov´a slova: Teorie her, V´alka pohlav´ı, Jestˇr´abi a holubice, statick´e hry, dynamick´e hry, dynamick´e hry s n´ahodn´ym ˇcasov´an´ım tah˚u

The aim of this work is to make clear summary of timing structures in the game theory. The main attention is given to situations, which have mul- tiple Nash equilibria in the form of static game. Namely it is The Battle of Sexes scenario and The Game of Chicken scenario. In the work we show how timing can cause change of number of equilibria and especially uniqueness of equalibria. This work pursues commonly known dynamic games but also gives attention to special types of dynamic games with stochastic timing of moves.

Key words: Game theory, Battle of Sexes, Game of Chicken, static ga- mes, dynamic games, dynamic games with stochastic timing of moves

1 Uvod´ 1

2 Z´akladn´ı pojmy teorie her 2

2.1 Uvod do teorie her . . . .´ 2

2.2 Hra, hr´aˇc, strategie, uˇzitek . . . 2

2.2.1 Typy her . . . 3

2.3 Statick´e hry . . . 3

2.4 Sc´en´aˇre s nejednoznaˇcn´ymi rovnov´ahami . . . 5

2.4.1 V´alka pohlav´ı . . . 6

2.4.2 Jestˇr´abi a holubice . . . 8

2.4.3 Grafick´e zn´azornˇen´ı uˇzitk˚u . . . 9

3 Dynamick´e hry 12 3.1 Zobrazen´ı dynamick´e hry . . . 12

3.2 Reˇsen´ı dynamick´ˇ e hry . . . 13

3.3 V´yhoda poˇrad´ı . . . 14

4 Dynamick´e hry s n´ahodn´ym ˇcasov´an´ım tah˚u 16 4.1 Popis hry . . . 16

4.2 Casov´ˇ an´ı reviz´ı . . . 16

4.3 V´ybˇer optim´aln´ı rovnov´ahy . . . 18

4.3.1 Jin´y zp˚usob vyj´adˇren´ı podm´ınky v´yhry . . . 22

4.3.2 V´ymˇena poˇrad´ı hr´aˇc˚u . . . 23

5 Pˇr´ıklady, z´avislosti na parametrech a uˇzitc´ıch 25 5.1 Ilustraˇcn´ı pˇr´ıklady . . . 25

5.2 Z´avislost podm´ınek v´yhry . . . 29

5.2.1 Shrnut´ı . . . 32

6 Z´avˇer 35

C´ılem t´eto pr´ace je pˇredstavit roli ˇcasov´an´ı v teorii her s ohledem hlavnˇe na kooperaˇcn´ı hry a situace s n´asobn´ymi rovnov´ahami, kde ˇcasov´an´ım m˚uˇzeme dos´ahnout zmˇeny poˇctu a jednoznaˇcnosti rovnov´ah. Zab´yv´ame se klasick´ymi dynamick´ymi hrami, ale i situacemi, kde je ˇcasov´an´ı tah˚u n´ahodn´e. Hlavn´ım n´amˇetem pro tuto pr´aci byl ˇcl´anek Libich a Stehl´ık [3].

V zaˇc´atku pr´ace ˇcten´aˇre sezn´am´ıme se z´akladn´ımi pojmy teorie her, kter´e d´ale pouˇz´ıv´ame. Pˇredstav´ıme tak´e z´akladn´ı pˇredpoklady teorie her. Velk´a ˇ

c´ast t´eto kapitoly je vˇenov´ana statick´ym hr´am a dvˇema sc´en´aˇr˚um s n´asob- n´ymi rovnov´ahami: V´alka pohlav´ı a Jestˇr´abi a holubice.

V dalˇs´ı kapitole zkoum´ame dynamick´e hry. Uk´aˇzeme jak pˇreveden´ım sta- tick´ych her, s v´yˇse uveden´ymi sc´en´aˇri, na dynamickou hru m˚uˇzeme vyˇreˇsit probl´em nejednoznaˇcnosti rovnov´ahy.

N´aslednˇe se vˇenujeme dynamick´ym hr´am se speci´aln´ım ˇcasov´an´ım tah˚u, kter´e je n´ahodn´e, zadan´e nˇejak´ym pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım. Pop´ı- ˇseme tento typ hry a snaˇz´ıme se opˇet vyˇreˇsit nejednoznaˇcnost rovnov´ahy.

Pro ilustraci nalezen´eho ˇreˇsen´ı uvedeme pˇr´ıklady. Nakonec zkoum´ame z´avis- lost ˇreˇsen´ı na obsaˇzen´ych parametrech.

Tato kapitola slouˇz´ı jako struˇcn´y ´uvod do problematiky teorie her. Jsou zde vysvˇetlen´e z´akladn´ı pojmy a myˇslenky t´eto discipl´ıny. Vˇetˇsina definic a vˇet je pˇrejata z literatury Webb [1] a Fudenberg [2]. D´ale zde pˇredstav´ıme a po- p´ıˇseme statick´e hry a uk´aˇzeme dva z´akladn´ı sc´en´aˇre.

2.1 Uvod do teorie her ´

Teorie her je matematick´a discipl´ına, kter´a aplikuje matematick´e poznatky pˇri rozhodovac´ıch a konfliktn´ıch situac´ıch, kter´e mohou bˇeˇznˇe nastat. Situ- ace rozhodov´an´ı racion´aln´ıch hr´aˇc˚u jsou pˇrev´adˇeny na matematick´e modely.

Z tohoto modelu se potom pomoc´ı v´ypoˇct˚u snaˇz´ı nal´ezt nejlepˇs´ı strategii pro vˇsechny hr´aˇce. Zde se nach´az´ı hlavn´ı rozd´ıl mezi teori´ı her a optimalizac´ı.

Pˇri optimalizaci hled´ame nejlepˇs´ı alternativu pro jednoho hr´aˇce, kter´y za- nedb´av´a okol´ı, zat´ımco v teorii her hled´ame nejlepˇs´ı strategii pro hr´aˇce za pˇredpokladu vlivu naprosto racion´aln´ıho okol´ı (dalˇs´ıch hr´aˇc˚u).

Teorie her m´a mnoho aplikac´ı v soci´aln´ıch, politick´ych a poˇc´ıtaˇcov´ych vˇed´ach, stejnˇe jako v biologii. Ze soci´aln´ıch vˇed je to pˇredevˇs´ım ekonomie. Pro biologii jsou d˚uleˇzit´e evoluˇcn´ı hry, kter´e mohou modelovat chov´an´ı r˚uzn´ych ˇ

zivoˇciˇsn´ych druh˚u.

2.2 Hra, hr´ aˇ c, strategie, uˇ zitek

Jako hra je v teorii her oznaˇcov´ana jak´akoliv rozhodovac´ı situace, kde vystu- puj´ı alespoˇn dvahr´aˇci. Pro takov´e hry uvaˇzujeme obecn´e pˇredpoklady teorie her.

Pˇredpoklad 1. (i) Hr´aˇci jsou racion´aln´ı. (ii) Vˇsichni ´uˇcastn´ıci znaj´ı pravi- dla a ta se v pr˚ubˇehu jedn´e hry nemˇen´ı. (iii) Hr´aˇci znaj´ı sv´e vlastn´ı uˇzitky a z´aroveˇn maj´ı pˇrehled o uˇzitc´ıch ostatn´ıch hr´aˇc˚u.

Jakohr´aˇce uvaˇzujeme jedince, kter´y m´a moˇznost uˇcinit rozhodnut´ı, tj. vy- brat jednu z mnoˇziny moˇzn´ych strategi´ı. Jedno urˇcit´e rozhodnut´ı je tedy

oznaˇcov´ano jako strategie. Kaˇzd´y hr´aˇc m´a dan´e uˇzitky pro kombinaci sv´ych strategi´ı postupnˇe se vˇsemi strategiemi protihr´aˇc˚u.

2.2.1 Typy her

Hry m˚uˇzeme dˇelit dle r˚uzn´ych krit´eri´ı. Za z´akladn´ı dˇelen´ı povaˇzujeme dva typy, a to hry statick´e (v norm´aln´ım tvaru) a hry dynamick´e (v explicitn´ım tvaru). Tˇemto typ˚um her budou vˇenov´any samostatn´e kapitoly v pr˚ubˇehu t´eto pr´ace.

Dalˇs´ı dˇelen´ı m˚uˇzeme prov´adˇet dle poˇctu hr´aˇc˚u, nejˇcastˇeji se vˇsak setk´ame s typem her, kde se vyskytuj´ı pouze dva hr´aˇci. Nen´ı potom vylouˇcen´e, ˇze jeden hr´aˇc zastupuje celou skupinu jedinc˚u se stejn´ymi z´ajmy.

Hry m˚uˇzeme rozdˇelit i podle poˇctu strategi´ı na hry s koneˇcn´ym poˇctem strategi´ı a hry s nekoneˇcn´ym poˇctem strategi´ı. Nekoneˇcn´y poˇcet strategi´ı m˚uˇze nastat tehdy, pokud hr´aˇc vyb´ır´a napˇr´ıklad re´aln´e ˇc´ıslo ze spojit´eho intervalu.

2.3 Statick´ e hry

Statick´a hra je jednotahov´a hra dvou nebo v´ıce hr´aˇc˚u se dvˇema nebo v´ıce strategiemi. Tento typ hry se nˇekdy naz´yv´a simult´ann´ı hra, protoˇze hr´aˇci uskuteˇcˇnuj´ı sv´e rozhodnut´ı ve stejn´y okamˇzik a neznaj´ı pˇredem volbu ostat- n´ıch. Matematick´e vyj´adˇren´ı t´eto hry je pops´ano n´asleduj´ıc´ı definic´ı.

Definice 1. Statick´a hra je matematick´a struktura skl´adaj´ıc´ı se ze tˇr´ı mno- ˇ

zin:

1. Mnoˇzina hr´aˇc˚u i∈ {1,2, ..., N}, 2. mnoˇzina jejich strategi´ıS_i,

3. uˇzitky π_i(s₁, s₂, ..., s_N) pro kaˇzdou moˇznou kombinaci ˇcist´ych strategi´ı vˇsech hr´aˇc˚u, kde s₁ ∈S₁, s₂ ∈S₂, ..., s_n∈S_n.

D´ale, pro ´uˇcely t´eto pr´ace, budeme uvaˇzovat pouze hru dvou hr´aˇc˚u se dvˇema strategiemi. Statickou hru zapisujeme v norm´aln´ım tvaru, kde se vy-

skytuj´ı data ze vˇsech tˇr´ı nadefinovan´ych mnoˇzin. Hra m˚uˇze vypadat n´asle- dovnˇe:

H2

C D

H1 A a,w b,x B c,y d,z

Z´apis hry pomoc´ı tabulky se naz´yv´a norm´aln´ı tvar statick´e hry. M´ame tedy mnoˇzinu dvou hr´aˇc˚u{H1, H2}. Jejich strategie jsouS₁ ={A, B}aS₂ = {C, D}. Uˇzitky prvn´ıho hr´aˇce jsou{a, b, c, d}, kde napˇr´ıklad uˇzitekam˚uˇzeme zapsat jakoπ1(A, C). Uˇzitky druh´eho hr´aˇce jsou{w, x, y, z}. Strategie{A, B}

a {C, D} uveden´e v tabulce jsou ˇcist´e strategie, jejich kombinac´ı z´ısk´ame sm´ıˇsen´e strategie.

Definice 2. Sm´ıˇsen´a strategie i-t´eho hr´aˇce je vektor pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ıσ_i = (p_i1, p_i2, ..., p_iN) ˇcist´ych strategi´ı, kde kaˇzd´a sloˇzka p_ij ud´av´a pravdˇepodobnost s jakou bude i-t´y hr´aˇc hr´at strategii s_j. Mnoˇziny vˇsech moˇzn´ych sm´ıˇsen´ych strategi´ı oznaˇc´ıme Σ_i.

Reˇsen´ım hry je dvojice strategi´ı, kter´ˇ e by racion´aln´ı hr´aˇci pouˇzili. Tuto dvojici budeme naz´yvat rovnov´aha nebo rovnov´aˇzn´y stav hry a budeme ji zapisovat ve tvaru (s₁, s₂). Speci´aln´ı typ rovnov´ahy je Nashova rovnov´aha, kde ani jeden z hr´aˇc˚u nem˚uˇze z´ıskat lepˇs´ı uˇzitek pouˇzit´ım jin´e strategie.

Definice 3. Nashova rovnov´aha (pro dva hr´aˇce) je dvojice strategi´ı (σ₁^∗;σ^∗₂) takov´ych, ˇze plat´ı

π1(σ^∗₁;σ₂^∗)≥π1(σ1;σ₂^∗) ∀σ1 ∈Σ1, (2.1) π₂(σ^∗₁;σ₂^∗)≥π₂(σ^∗₁;σ₂) ∀σ₂ ∈Σ₂. (2.2) Pozn´amka 1. V pˇr´ıpadˇe, ˇze strategie σ^∗₁ a σ^∗₂ jsou ˇcist´e strategie, dostaneme ˇ

cistou Nashovu rovnov´ahu. Jinak budeme uvaˇzovat sm´ıˇsenou Nashovu rov- nov´ahu.

Pozn´amka 2. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se v rovnici (2.1) nebo (2.2) vyskytne neostr´a nerovnost, kaˇzd´a mal´a zmˇena v hodnot´ach uˇzitk˚u vytvoˇr´ı nov´e rovnov´ahy nebo vyruˇs´ı st´avaj´ıc´ı rovnov´ahy. Takov´e hˇre budeme ˇr´ıkat negenrick´a hra.

Nen´ı vylouˇcen´e, naopak je sp´ıˇs bˇeˇzn´e, ˇze hra m´a vˇetˇs´ı poˇcet rovnov´ah. Pro nalezen´ı ˇcist´ych Nashov´ych rovnov´ah m˚uˇzeme vyuˇz´ıt ˇreˇsen´ı pomoc´ı domino- van´ych strategi´ı, kter´e je uvedeno napˇr´ıklad ve Webb [1] a pro nalezen´ı vˇsech Nashov´ych rovnov´ah (ˇcist´e i sm´ıˇsen´e) je opˇet ve Webb [1] pops´an koncept nejlepˇs´ı odpovˇedi.

Probl´em existence Nashovy rovnov´ahy ve statick´ych hr´ach ˇreˇs´ı n´asleduj´ıc´ı vˇeta, jej´ıˇz d˚ukaz m˚uˇze ˇcten´aˇr naj´ıt ve Fudenberg [2].

Vˇeta 1 (Nashova vˇeta). Kaˇzd´a statick´a hra s koneˇcn´ym poˇctem hr´aˇc˚u a ko- neˇcn´ym poˇctem strategi´ı m´a alespoˇn jednu Nashovu rovnov´ahu.

Dalˇs´ı probl´em je jednoznaˇcnost rovnov´ahy. Pro tuto ot´azku neexituje jed- noduch´a odpovˇed’. Jsou pouze urˇcit´e postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky, kter´e obs´ahnou jen malou mnoˇzinu her. Ale velk´a tˇr´ıda her m´a v´ıce neˇz jednu rovnov´ahu a zde nast´av´a pr´avˇe probl´em v´ybˇeru optim´aln´ı rovnov´ahy. M˚uˇzeme pouˇz´ıt v´ıce zp˚usob˚u pro v´ybˇer rovnov´ahy. Nejjednoduˇsˇs´ı je v´ybˇer dle tradice nebo spoleˇcensk´ych konvenc´ı (Na silnici mohou jezdit vozidla obou smˇer˚u vlevo nebo vpravo. Pokud budou jezdit oba vlevo, je to rovnov´aha, ale pokud bu- dou jezdit oba vpravo, je to tak´e rovnov´aha. Potom z´aleˇz´ı napˇr´ıklad na zemi, ve kter´e se vozidla nach´az´ı, protoˇze ve Velk´e Brit´anii by byla optim´aln´ı rov- nov´aha jin´a neˇz v ˇCesk´e Republice). Dalˇs´ı moˇznost´ı je pouˇzit´ı evoluˇcn´ı dy- namiky, kde hr´aˇci pˇredstavuj´ı populace jedinc˚u (v´ıce napˇr. ve Webb [1]). Po- sledn´ım ˇreˇsen´ım je vyuˇzit´ı ˇcasov´an´ı tah˚u, ˇc´ımˇz se budeme zab´yvat ve zbytku pr´ace.

2.4 Sc´ en´ aˇ re s nejednoznaˇ cn´ ymi rovnov´ ahami

Uvaˇzujeme hru dvou hr´aˇc˚u M a F. Kaˇzd´y z hr´aˇc˚u m´a na v´ybˇer ze dvou stra- tegi´ı, pro hr´aˇce M je toRaS a pro hr´aˇce F je toras. Uˇzitky jsou n´asleduj´ıc´ı:

F

r s

M R a,w b,x

S c,y d,z

Podle hodnot uˇzitk˚u m˚uˇzeme odliˇsit r˚uzn´e sc´en´aˇre hry. Pro tuto pr´aci budou d˚uleˇzit´e sc´en´aˇre, kter´e maj´ı v´ıce Nashov´ych rovnov´ah a nast´av´a v nich konflikt. To znamen´a, ˇze kaˇz´y hr´aˇc preferuje jinou rovnov´ahu.

2.4.1 V´ alka pohlav´ı

Prvn´ım takov´ym sc´en´aˇrem je V´alka pohlav´ı. Uˇzitky splˇnuj´ı nerovnice

a > d > b ≥c pro hr´aˇce M a

z > w > x≥y

pro hr´aˇce F. Existuj´ı v nˇem dvˇe ˇcist´e Nashovy rovnov´ahy (R, r) a (S, s).

Hr´aˇci se tedy chtˇej´ı zkoordinovat, ale kaˇzd´y z nich preferuje jinou rovnov´ahu.

Hr´aˇc M preferuje (R, r), zat´ımco hr´aˇc F d´av´a pˇrednost rovnov´aze (S, s).

V tomto sc´en´aˇri pozorujeme oba probl´emy, jak koordinaˇcn´ı, tak konfliktn´ı.

Pro pˇredstavu uvedeme z´akladn´ı pˇr´ıklad hry s t´ımto sc´en´aˇrem.

Pˇr´ıklad 1. Hˇr´aˇc M je muˇz, hr´aˇc F je ˇzena. Pl´anuj´ı str´avit spoleˇcn´y veˇcer a roz- hoduj´ı se, kam p˚ujdou. Oba maj´ı na v´ybˇer stejn´e strategie:{Hokej, Opera}.

Muˇz preferuje Hokej, ˇzena Operu. Uˇzitky mohou b´yt napˇr´ıklad n´asleduj´ıc´ı:

Zenaˇ Hokej Opera Muˇz Hokej 2,1 0,0

Opera 0,0 1,2

Z uˇzitk˚u vypl´yv´a, ˇze je d˚uleˇzit´e, aby ˇsli spoleˇcnˇe (koordinaˇcn´ı probl´em). Hru vyˇreˇs´ıme pomoc´ı reakˇcn´ı funkce (podrobnˇeji ve Webb [1]). Reakˇcn´ı funkci sestroj´ıme tak, ˇze budeme pˇredpokl´adat sm´ıˇsen´e strategie σ1 = (p,1− p) hr´aˇce M a σ₂ = (q,1−q) hr´aˇce F. Tento z´apis m˚uˇzeme interpretovat tak, ˇ

ze hr´aˇc M bude hr´at strategii Hokej s pravdˇepodobnost´ıpa strategiiOpera s pravdˇepodobnost´ı (1− p), obdobnˇe to plat´ı pro soupeˇre. Nyn´ı spoˇcteme

uˇzitek prvn´ıho hr´aˇce z tˇechto sm´ıˇsen´ych strategi´ı v z´avislosti na hodnot´ach p a q.

π₁(σ₁, σ₂) = 2pq+ (1−p)(1−q)

= 2pq+pq−p−q+ 1

= 3pq−p−q+ 1

=p(3q−1)−q+ 1

(2.3)

Provedeme diskusi posledn´ıho ˇr´adku rovnice (2.3). Kdyˇz budeq < ¹₃, nejlepˇs´ı reakc´ı bude hr´at p = 0. V pˇr´ıpadˇe, ˇze q > ¹₃, nejlepˇs´ı odezvou je zahr´at p= 1. Pokud budeq= ¹₃, na hodnotˇepnez´aleˇz´ı, protoˇze v´yraz (3q−1) bude nulov´y. Tuto funkci n´am zn´azorˇnuje modr´a kˇrivka na Obr´azku 2.1. Stejn´ym postupem spoˇcteme uˇzitek hr´aˇce F ze sm´ıˇsen´ych strategi´ı (rovnice 2.4) a po proveden´ı diskuse z´ısk´ame ˇcervenou kˇrivku vyobrazenou na Obr´azku 2.1.

π₂(σ₁, σ₂) = pq+ 2(1−p)(1−q)

=pq+ 2pq−2p−2q+ 2

= 3pq−2q−2p+ 2

=q(3p−2)−2p+ 2

(2.4)

V m´ıstˇe protnut´ı obou kˇrivek se nach´az´ı Nashova rovnov´aha. V tomto pˇr´ı- kladu existuj´ı tˇri Nashovy rovnov´ahy: (0,0), (1,1) a (²₃,¹₃). Prvn´ı dvˇe rov- nov´ahy jsou ˇcist´e, protoˇze hr´aˇc vyb´ır´a pouze jednu strategii s pravdˇepodob- nost´ı 1 a v tomto pˇr´ıkladu reprezentuj´ı (Hokej, Hokej) a (Opera, Opera).

Posledn´ı rovnov´aha je sm´ıˇsen´a, kde prvn´ı hr´aˇc bude hr´at strategii Hokej s pravdˇepodobnost´ıp= ²₃ a strategiiOpera s pravdˇepodobnost´ı (1−p) = ¹₃. Pro druh´eho hr´aˇce plat´ı analogicky. D´ale se budeme zab´yvat pouze ˇcist´ymi Nashov´ymi rovnov´ahami.

T´ım m´ame vyˇreˇsen´y koordinaˇcn´ı probl´em. Nast´av´a probl´em v´ybˇeru opti- m´aln´ı rovnov´ahy (konflikt), kter´y m˚uˇzeme vyˇreˇsit pr´avˇe ˇcasov´an´ım, jak bude uvedeno v dalˇs´ıch kapitol´ach.

1 3

2

3 1 p

1 3 2 3

1 q

Obr´azek 2.1: Reakˇcn´ı funkce pro V´alku pohlav´ı

2.4.2 Jestˇ r´ abi a holubice

Druh´y vyhovuj´ıc´ı sc´en´aˇr jsou Jestˇr´abi a holubice. Uˇzitky pro tento sc´en´aˇr mus´ı splˇnovat nerovnice

b > c > d ≥a pro hr´aˇce M a

y > x > z≥w

pro hr´aˇce F. V t´eto hˇre opˇet existuj´ı dvˇe ˇcist´e Nashovy rovnov´ahy (R, s) a (S, r). Z rovnov´ah je zˇrejm´e, ˇze hr´aˇci chtˇej´ı m´ıt rozd´ıln´e strategie a opˇet kaˇzd´y preferuje jinou rovnov´ahu. Pro hr´aˇce M je uˇzitkovˇe v´yhodnˇejˇs´ı rovno- v´aha (R, s), zat´ımco pro hr´aˇce F je to rovnov´aha (S, r). Tento sc´en´aˇr obsahuje antikoordinaˇcn´ı probl´em i konflikt.

Pˇr´ıklad 2. Oba hr´aˇci pˇredstavuj´ı ˇridiˇce, kteˇr´ı jedou proti sobˇe na silnici. Maj´ı na v´ybˇer strategie {N evyhnout, V yhnout}. Hr´aˇc, kter´y se vyhne je oznaˇcen jako ”chicken”(anglick´y n´azev hry je Game of Chicken), tedy zbabˇelec. Nej- lepˇs´ı uˇzitek dostane hr´aˇc v situaci, kdy se nevyhne, ale jeho soupeˇr ano.

Nejhorˇs´ı uˇzitek maj´ı oba hr´aˇci, pokud se ani jeden nevyhne (auta do sebe nabouraj´ı). Hra m˚uˇze vypadat napˇr´ıklad takto:

Ridiˇˇ c 2

Nevyhnout Vyhnout Ridiˇˇ c 1 Nevyhnout -10,-10 10,1

Vyhnout 1,10 0,0

Pro nalezen´ı vˇsech rovnov´ah hry pouˇzijeme stejn´y postup jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. Budeme uvaˇzovat sm´ıˇsen´e strategieσ₁ = (p,1−p) aσ₂ = (q,1−q).

Nalezneme uˇzitky hr´aˇce M pro tyto sm´ıˇsen´e strategie a sestroj´ıme reakˇcn´ı funkci, kter´a je zn´azornˇen´a modrou kˇrivkou na Obr´azku 2.2.

π₁(σ₁, σ₂) = −10pq+ 10p(1−q) + (1−p)q

=−10pq+ 10p−10pq+q−pq

=−21pq+ 10p+q

=p(−21q+ 10) +q

D´ale vypoˇcteme uˇzitky hr´aˇce F pro sm´ıˇsen´e strategie σ1 a σ2. ˇCervenou kˇrivkou je vyznaˇcena reakˇcn´ı funkce hr´aˇce F.

π₂(σ₁, σ₂) = −10pq+p(1−q) + 10(1−p)q

=−10pq+p−pq+ 10q−10pq

=−21pq+p+ 10q

=q(−21p+ 10) +p

Nashovy rovnov´ahy jsou opˇet pr˚useˇc´ıky obou kˇrivek. Dvˇe ˇcist´e Nashovy rov- nov´ahy (1,0) a (0,1) znamenaj´ı (N evyhnout, V yhnout),

(V yhnout, N evyhnout). Sm´ıˇsen´a Nashova rovnov´aha je v bodˇe (¹⁰₂₁,¹⁰₂₁). Opˇet zde nast´av´a konflikt, kter´y m˚uˇzeme vyˇreˇsit ˇcasov´an´ım.

2.4.3 Grafick´ e zn´ azornˇ en´ı uˇ zitk˚ u

Pro pˇredstavu m˚uˇzeme hodnoty uˇzitk˚u obou hr´aˇc˚u ve v´yˇse zm´ınˇen´ych sc´en´a- ˇr´ıch vyj´adˇrit graficky. Hr´aˇc m´a ˇctyˇri uˇzitky, kaˇzd´y jako v´ysledek kombinace dvou strategi´ı. Dvˇema uˇzitk˚um pˇriˇrad´ıme fixn´ı hodnotu a budeme zkoumat

10

21 1 p

10 21

1 q

Obr´azek 2.2: Reakˇcn´ı funkce pro Jestˇr´aby a holubice

-4 -2 2 4 a

-4 -2 2 4 d

VP

JH

Obr´azek 2.3: Grafick´e zn´azornˇen´ı uˇzitk˚u a a d hr´aˇce M pro oba sc´en´aˇre pˇri volbˇe b = 1 ac= 0

-4 -2 2 4 y

-4 -2 2 4 x

JH

VP

Obr´azek 2.4: Grafick´e zn´azornˇen´ı uˇzitk˚u x a y hr´aˇce F pro oba sc´en´aˇre pˇri volbˇe z = 1 a w= 0

pˇr´ıpustn´e oblasti pro zbyl´e hodnoty uˇzitk˚u. Grafy jsme rozdˇelili podle hr´aˇc˚u na graf uˇzitk˚u hr´aˇce M a graf uˇzitk˚u hr´aˇce F.

Na Obr´azku 2.3 jsou vyznaˇcen´e dvˇe oblasti. Oblast VP vymezuje moˇznou volbu uˇzitk˚u a a d pro sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı, za pˇredpokladu, ˇze zb´yvaj´ıc´ı uˇzitky maj´ı zafixovan´e hodnoty, a to b = 1 a c= 0. Oblast JH zn´azornˇnuje tak´e moˇznou volbu uˇzitk˚uaadpˇri stejnˇe zafixovan´ych uˇzitc´ıchb ac, ale pro sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice.

Na dalˇs´ım Obr´azku 2.4 jsou vyznaˇcen´e moˇzn´e volby uˇzitk˚ux a y, pokud w= 0 az = 1. Oblast VP opˇet znaˇc´ı moˇznosti pro sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı a JH pro sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice.

V t´eto kapitole pˇredstav´ıme tˇr´ıdu dynamick´ych her. V tomto typu her nena- st´avaj´ı tahy hr´aˇc˚u souˇcasnˇe, ale postupnˇe. Hry jsou tedy minim´alnˇe dvouta- hov´e (v prvn´ı tahu hraje jeden hr´aˇc, ve druh´em tahu hraje druh´y hr´aˇc). Po- kud by byla dynamick´a hra jednotahov´a, jednalo by se pouze o optimalizaci.

Hlavn´ı odliˇsnost od statick´ych her je fakt, ˇze hr´aˇc zn´a v´ysledek pˇredchoz´ıho tahu a m´a moˇznost na nˇej reagovat.

3.1 Zobrazen´ı dynamick´ e hry

Dynamick´e hry se zobrazuj´ı v explicitn´ım tvaru pomoc´ı strom˚u. Na Ob- r´azku 3.1 je zn´azornˇena hra V´alka pohlav´ı jako dynamick´a hra. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe m´a moˇznost prvn´ıho tahu hr´aˇc M a vyb´ır´a opˇet ze dvou strategi´ı {R, S}. Aˇz po ukonˇcen´ı tahu prvn´ıho hr´aˇce zaˇc´ın´a tah druh´eho hr´aˇce, kter´y uˇz zn´a v´ysledek pˇredchoz´ıho tahu. Hr´aˇc F m´a na v´ybˇer strategie {r,s}, ale nem˚uˇze uˇz nijak ovlivnit tah prvn´ıho hr´aˇce. V druh´em pˇr´ıpadˇe prob´ıh´a hra stejn´ym zp˚usobem, pouze je vymˇenˇen´e poˇrad´ı hr´aˇc˚u.

Obr´azek 3.1: Dynamick´a hra - V´alka pohlav´ı

3.2 Reˇ ˇ sen´ı dynamick´ e hry

Pro nalezen´ı rovnov´ahy dynamick´e hry pouˇz´ıv´ame zpˇetnou indukci. Proch´a- z´ıme hru od konce a vyuˇz´ıv´ame znalost´ı o pˇredchoz´ıch taz´ıch. Pokud tuto metodu pouˇzijeme na hru z Obr´azku 3.1 (moˇznost, kde hr´aˇc M hraje jako prvn´ı), budeme postupovat n´asledovnˇe: Hr´aˇc F m´a v kaˇzd´e vˇetvi dvˇe moˇz- nosti, a to r nebo s. Pokud by hr´aˇc M zahr´al R, hr´aˇc F vybere tak´e r, protoˇze z t´eto strategie m´a lepˇs´ı uˇzitek, ve druh´e vˇetvi dopadne v´ybˇer analo- gicky. Nyn´ı se pˇresuneme na tah hr´aˇce M. Hr´aˇc M uˇz v´ı, ˇze pokud zahraje R, F zahraje taky r a pokud zahraje S, hr´aˇc F zahraje taky s. Staˇc´ı pouze vy- brat strategii, ze kter´e m´a lepˇc´ı uˇzitek, tedy R. T´ımto postupem dostaneme rovnov´ahu (R, r).

Pro dynamick´e hry m˚uˇzeme tak´e definovat Nashovu rovnov´ahu, kter´a vych´az´ı z konstrukce zpˇetn´e indukce. Nejprve ale potˇrebujeme zav´est pojem dynamick´a podhra.

Definice 4. Dynamick´a podhra je podstrom, kter´y mus´ı splˇnovat n´asleduj´ıc´ı podm´ınky:

1. Zaˇc´atek se nach´az´ı v libovoln´em uzlu stromu (vyjma koneˇcn´ych uzl˚u s uˇzitky).

2. Hr´aˇc zn´a vˇsechna rozhodnut´ı proveden´a do tohoto ˇcasu (ve kter´em se nach´az´ı poˇc´ateˇcn´ı uzel).

3. Podhra obsahuje vˇsechny uzly, kter´e n´asleduj´ı poˇc´ateˇcn´ı uzel.

Definice 5. Nashova rovnov´aha vzhledem k podhr´am je rovnov´aha dyna- mick´e hry, kter´a je Nashovou rovnov´ahou v kaˇzd´e podhˇre t´eto dynamick´e hry.

Probl´em existence takov´e rovnov´ahy je vyˇreˇsen n´asleduj´ıc´ı vˇetou, jej´ıˇz d˚ukaz je uveden ve Webb [1].

Vˇeta 2. Kaˇzd´a koneˇcn´a dynamick´a hra m´a alespoˇn jednu Nashovu rovnov´ahu vzhledem k podhr´am.

Ot´azka jednoznaˇcnosti rovnov´ahy je u dynmaick´ych her snaˇzˇs´ı neˇz u sta- tick´ych her.

Vˇeta 3. Pokud je hra generick´a, tj. nenast´av´a rovnost uˇzitk˚u, pak existuje pr´avˇe jedna Nashova rovnov´aha vzhledem k podhr´am.

D˚ukaz. Vypl´yv´a z konstrukce zpˇetn´e indukce.

3.3 V´ yhoda poˇ rad´ı

Z Vˇety 3 vypl´yv´a, ˇze dynamick´a verze hry V´alka pohlav´ı m´a pr´avˇe jednu Nashovu rovnov´ahu vzhledem k podhr´am, stejnˇe jako dynamick´a verze hry Jestˇr´abi a holubice. Pro nalezen´ı jednoznaˇcn´e rovnov´ahy tˇechto statick´ych her je staˇc´ı pouze pˇrev´est na dynamickou hru. Je zˇrejm´e (kv˚uli jednoznaˇcnosti rovnov´ahy), ˇze v´ysledn´a rovnov´aha je v´yhodnˇejˇs´ı pouze pro jednoho hr´aˇce.

Zavedeme pojem v´yhra hr´aˇce.

Definice 6. Budeme ˇr´ıkat, ˇze hr´aˇc, jehoˇz preferovan´a rovnov´aha je Nashova rovn´aha vzhledem k podhr´am, vyhr´al.

N´asleduj´ıc´ı vˇety uv´adˇej´ı podm´ınky v´yhry hr´aˇc˚u.

Lemma 1. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı. Hru vyhraje hr´aˇc, kter´y m´a moˇznost prvn´ıho tahu.

D˚ukaz. D˚ukaz provedeme tak, ˇze vyˇreˇs´ıme hru zpˇetnou indukc´ı pro obˇe dvˇe varianty zaˇc´ınaj´ıc´ıho hr´aˇce. T´ım bude vˇeta dok´azan´a pro oba dva hr´aˇce, pro- toˇze uk´aˇzeme, ˇze hr´aˇc M vyhraje, kdyˇz bude zaˇc´ınat a z´aroveˇn nevyhraje, kdyˇz bude zaˇc´ınat hr´aˇc F. Varianta hry, kde zaˇc´ın´a hr´aˇc M je uˇz vyˇreˇsen´a v kapitole 3.2. Nashova rovnov´aha je v tomto pˇr´ıpadˇe (R, r), coˇz je v´ysledek preferovan´y hr´aˇcem M. Pokud zaˇc´ın´a hru hr´aˇc F, zpˇetn´a indukce bude vy- padat takto: Hr´aˇc M vyb´ır´a lepˇs´ı strategii v obou vˇetv´ıch. Ve vˇetvi stromu, kde v´ı, ˇze F zahr´al strategii r vybere strategii R, ve druh´e vˇetvi vybere S.

Hr´aˇc F v´ı, jak´e strategie bude hr´at M v z´avislosti na jeho volbˇe, vybere tedy v´yhodnˇejˇs´ı strategii, kterou je S. Nashova rovnov´aha he tedy (s, S), v´ysledek preferovan´y hr´aˇcem F. (V rovnov´aze u dynamick´ych her p´ıˇseme nejprve stra- tegii zaˇc´ınaj´ıc´ıho hr´aˇce, z toho d˚uvodu jsou strategie v opaˇcn´em poˇrad´ı.) Lemma 2. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice. Hru vyhraje hr´aˇc, kter´y m´a moˇznost prvn´ıho tahu.

D˚ukaz. D˚ukaz provedeme stejnˇe jako u pˇredchoz´ı vˇety. Zpˇetn´a indukce pro pˇr´ıpad, kdy zaˇc´ın´a hr´aˇc M: Hr´aˇc F vyb´ır´a lepˇs´ı strategii v obou vˇetv´ıch stromu. Ve vˇetvi, kde v´ı, ˇze hr´aˇc M zahr´al strategiiR, zahraje strategii s, ve druh´e vˇetvi vybere strategiir. Hr´aˇc M zn´a strategie, kter´e bude hr´at hr´aˇc F v z´avislosti na jeho volbˇe v prvn´ım kole. Vybere tedy v´yhodnˇejˇs´ı strategii R a vznikne Nashova rovnov´aha (R, s). Zpˇetn´a indukce pro hru, kdyˇz zaˇc´ın´a hr´aˇc F: Hr´aˇc M opˇet vybere nejv´yhodnˇejˇs´ı strategii v obou vˇetv´ıch. Ve vˇetvi, kde hr´aˇc F vybral r, vybere S, ve druh´e vˇetvi zvol´ıR. Hr´aˇc F zn´a reakce hr´aˇce M, vybere tedy v´yhodnˇejˇs´ı strategii r a vznikne Nashova rovnov´aha (r, S). Kaˇzd´a rovnov´aha je opˇet preferovan´y v´ysledek zaˇc´ınaj´ıc´ıho hr´aˇce.

Hr´aˇc, kter´y m´a v´yhodu prvn´ıho tahu se naz´yv´a Stackelberg˚uv leader.

Probl´em nejednoznaˇcnosti rovnov´ahy ve statick´e hˇre je moˇzn´e vyˇreˇsit pˇreve- den´ım na dynamickou hru. Preferovanou rovnov´ahu potom z´ısk´a hr´aˇc, kter´y m´a moˇznost prvn´ıho tahu, tedy Stackelberg˚uv leader.

ˇ casov´ an´ım tah˚ u

Tato kapitola popisuje tak´e dynamick´e hry, ale se speci´aln´ım ˇcasov´an´ım tah˚u.

Budeme uvaˇzovat ˇcasov´an´ı n´ahodn´e, zadan´e nˇejak´ym pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım. Tato myˇslenka m´a sv´e koˇreny pˇredevˇs´ım v ˇcl´anc´ıch Libich a Steh- l´ık [3], Cho a Matsui [4], Lagunoff a Matsui [5] a Kamada a Kandori [6]. Ve ˇ

cl´anku Libich a Stehl´ık [3] autoˇri uvaˇzovali n´ahodn´e ˇcasov´an´ı tah˚u pouze pro jednoho hr´aˇce. Druh´y hr´aˇc mˇel moˇznost pouze simult´ann´ıho tahu. V t´eto kapitole se budeme zab´yvat situac´ı, kde se n´ahodn´e ˇcasov´an´ı tah˚u t´yk´a obou hr´aˇc˚u, ale pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı tohoto ˇcasov´an´ı tah˚u jednotliv´ych hr´aˇc˚u se navz´ajem nepˇrekr´yv´a.

4.1 Popis hry

Hra prob´ıh´a v ˇcasov´em intervalu od 0 do 1. V ˇcase 0 zahraj´ı oba hr´aˇci simul- t´ann´ı tah, tedy ani jeden nev´ı, jakou strategii zahr´al soupeˇr. D´ale pˇredpokl´a- d´ame, ˇze hr´aˇc M m´a moˇznost opakov´an´ı tah˚u v ˇcasov´em intervalu [0, K], kde 0 < K < 1. Hr´aˇc F m´a moˇznost opakov´an´ı tah˚u v ˇcasov´em intervalu [L,1], kde K ≤L <1.

Definice 7. Tahy, kter´e n´asleduj´ı po simult´ann´ım tahu, budeme naz´yvat revize. Prvn´ı provedenou revizi kaˇzd´eho hr´aˇce oznaˇc´ıme jakoRevize(s velk´ym p´ısmenem).

Pro oba hr´aˇce je d˚uleˇzit´a pouze prvn´ı Revize. T´ımto tahem mohou po- prv´e reagovat na simult´ann´ı tah (v pˇr´ıpadˇe prvn´ıho hr´aˇce) nebo reagovat na Revizi prvn´ıho hr´aˇce (v pˇr´ıpadˇe druh´eho hr´aˇce). Vˇsechny ostatn´ı revize jsou zanedbateln´e, protoˇze jsou prov´adˇeny za stejn´ych podm´ınek jako Revize a nemaj´ı uˇz ˇz´adn´y vliv na pr˚ubˇeh hry.

4.2 Casov´ ˇ an´ı reviz´ı

Hr´aˇci maj´ı moˇznost reviz´ı omezenou na urˇcit´y podinterval ([0, K] pro hr´aˇce M a [L,1] pro hr´aˇce F) celkov´eho hern´ıho ˇcasu [0,1] a z´aroveˇn je ˇcasov´an´ı reviz´ı

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t 1

CDF

à

0 0.3

MHtLdt à

0.6 1

FHtLdt à

0 0.3

H1-MHtLLdt à

0.6 1

H1-FHtLLdt

MHtL FHtL

Obr´azek 4.1: Revizn´ı funkce

urˇceno pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım na tomto podintervalu.

Definice 8. Pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı reviz´ı je po- ps´ano pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı nebo funkc´ı hustoty dan´eho pravdˇepodob- nostn´ıho rozdˇelen´ı. Pro hr´aˇce M oznaˇc´ıme funkci m(t), pro hr´aˇce F ji ozna- ˇ

c´ıme f(t).

Pro ´uˇcely naˇs´ı pr´ace bude d˚uleˇzitˇejˇs´ı distribuˇcn´ı funkce tohoto pravdˇepo- dobnostn´ıho rozdˇelen´ı.

Definice 9. Distribuˇcn´ı funkce pravdˇepodobnostn´ıho rozdˇelen´ı M(t) : [0,1]→[0,1], M(0) = 0, M(K) = 1,

F(t) : [0,1]→[0,1], F(L) = 0, F(1) = 1, nazveme Revizn´ı funkce.

Pˇr´ıklady Revizn´ıch funkc´ı m´ame na Obr´azku 4.1. Rozdˇelen´ı n´ahodn´ych tah˚u je pro jednoduchost rovnomˇern´e a hodnoty parametr˚u jsou K = 0,3 aL= 0,6. Plochy pod funkcemiM(t) aF(t) jsou urˇceny integr´alyRK

0 M(t)dt

a R1

LF(t)dt. Tyto plochy ud´avaj´ı rychlost reakc´ı hr´aˇc˚u, zat´ımco integr´aly RK

0 (1−M(t))dt a R1

L(1−F(t))dt, tedy plochy nad funkcemi M(t) a F(t), ud´avaj´ı rigiditu hr´aˇc˚u (vˇernost p˚uvodn´ımu rozhodnut´ı). Z Obr´azku 4.1 je zˇrejm´e, ˇze pro hr´aˇce M bude platit

K = Z K

0

(1−M(t))dt+ Z K

0

M(t)dt a pro hr´aˇce F bude platit

1−L= Z 1

L

(1−F(t))dt+ Z 1

L

F(t)dt.

4.3 V´ ybˇ er optim´ aln´ı rovnov´ ahy

Zkoum´ame takov´yto typ hry pro dva uveden´e sc´en´aˇre: V´alka pohlav´ı a Jes- tˇr´abi a holubice. V tˇechto hr´ach ve statick´e formˇe existuj´ı dvˇe ˇcist´e Nashovy rovnov´ahy, ale doch´az´ı ke stˇretu z´ajm˚u hr´aˇc˚u. Kaˇzd´y hr´aˇc preferuje jinou rovnov´ahu. Stejnˇe jako klasickou dynamickou hrou, m˚uˇzeme i t´ımto zp˚uso- bem vyˇreˇsit probl´em v´ybˇeru optim´aln´ı rovnov´ahy. Nejprve definujeme pojem v´yhra.

Definice 10. Pokud hr´aˇcova preferovan´a rovnov´aha bude Nashovou rovno- v´ahou v cel´em pr˚ubˇehu hry, potom ˇrekneme, ˇzehr´aˇc vyhr´av´a hru.

N´asleduj´ıc´ı vˇety ud´avaj´ı podm´ınky v´yhry hr´aˇce M pro oba zm´ınˇen´e sc´e- n´aˇre. Postup nalezen´ı tˇechto podm´ınek bude demonstrov´an v d˚ukazu.

Vˇeta 4. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı. Hr´aˇc M vyhraje hru (tj. rovnov´aha (R, r) bude Nashova rovnov´aha v cel´em pr˚ubˇehu hry), pokud budou splnˇen´e podm´ınky

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) R1

LF(t)dt < a−d

d−b, (4.1) RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) RK

0 (1−M(t))dt > z−y

w−x. (4.2)

Pozn´amka 3. Levou stranu nerovnice (4.1) oznaˇc´ımeU_M¹ , pravou stranuV_{V P}¹ . Lev´a strana nerovnice (4.2) bude m´ıt oznaˇcen´ıU_M² a prav´a strana V_{V P}² . D˚ukaz. Pˇri d˚ukazu Vˇety 4 budeme postupovat od konce hry, tzv. zpˇetnou indukc´ı. Pro v´yhru hr´aˇce M, je nutn´e, aby oba hr´aˇci ve vˇsech sv´ych taz´ıch volili strategie R (v pˇr´ıpadˇe hr´aˇce M) a r (v pˇr´ıpadˇe hr´aˇce F). Zaˇcneme tedy Reviz´ı hr´aˇce F. Tento tah je hr´aˇc˚uv posledn´ı, coˇz znamen´a, ˇze mus´ı volit strategii, ze kter´e mu plyne nejvˇetˇs´ı uˇzitek. Tento uˇzitek pak pro nˇej pˇretrv´av´a pouze do konce hry, tedy ˇcas dan´y v´yrazem R1

LF(t)dt. Mohou nastat dvˇe situace v z´avislosti na strategii, kterou zvol´ı hr´aˇc M ve sv´e Revizi:

(I) Hr´aˇc M zvol´ı v Revizi strategii R.

(II) Hr´aˇc M zvol´ı v Revizi strategii S.

V prvn´ım pˇr´ıpadˇe (I) je pro hr´aˇce F nejlepˇs´ı reakce strategie r a v druh´em pˇr´ıpadˇe (II) strategies. Z obou tˇechto voleb m´a nejvˇetˇs´ı moˇzn´y uˇzitek. V´ıme tedy, ˇze hr´aˇc F se svoj´ı Reviz´ı pˇrizp˚usob´ı Revizi hr´aˇce M.

Nyn´ı nalezneme podm´ınku pro Revizi hr´aˇce M. Potˇrebujeme, aby hr´aˇc M volil ve sv´e Revizi strategii R. Opˇet m˚uˇzeme rozdˇelit na dva pˇr´ıpady v z´avislosti na simult´ann´ım tahu hr´aˇce F:

(I) Hr´aˇc F zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii r.

(II) Hr´aˇc F zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii s.

Pokud nastane situace (I), nejlepˇs´ı reakce hr´aˇce M je zahr´at strategiiR a to z toho d˚uvodu, ˇze F v Revizi zahraje tak´er. T´ım je zajiˇstˇeno, ˇze hr´aˇc M bude m´ıt aˇz do konce hry uˇziteka, kter´y je podle nerovnice (2.4.1) z kapitoly 2.4.1 vˇzdy vˇetˇs´ı neˇz jak´ykoliv jin´y. V pˇr´ıpadˇe ˇze nastane situace (II), mus´ı b´yt splnˇena n´asleduj´ıc´ı nerovnice, aby se hr´aˇci M vyplatilo zahr´at strategii R, tj. celkov´y souˇcet uˇzitk˚u, kter´e hr´aˇc m´a ze strategie R, n´asoben´ych ˇcasem, ve kter´em pˇretrv´avaj´ı, mus´ı b´yt vˇetˇs´ı, neˇz celkov´y souˇcet uˇzitk˚u n´asoben´ych ˇ

casem, ve kter´em pˇretrv´avaj´ı, jeˇz hr´aˇci plynou ze strategie S.

b Z K

0

M(t)dt+b(L−K) +b Z 1

L

(1−F(t))dt+a Z 1

L

F(t)dt >

d Z K

0

M(t)dt+d(L−K) +d Z 1

L

(1−F(t))dt+d Z 1

L

F(t)dt

(4.3)

Jednotliv´e ˇcleny nerovnice (4.3) znamenaj´ı vˇzdy nˇejak´y ˇcasov´y ´usek hry. In- tegr´alRK

0 M(t)dt ud´av´a ˇcas po Revizi hr´aˇce M,L−K je doba od ˇcasuK do ˇ

casuL,R1

L(1−F(t))dtje doba od ˇcasuLdo ˇcasu, kdy hr´aˇc F provede Revizi.

Nakonec intergr´al R1

LF(t)dt ud´av´a ˇcas po Revizi hr´aˇce F. V tˇechto ˇcasech potom pˇretrv´avaj´ı uˇzitky ze zvolen´ych strategi´ı obou hr´aˇc˚u. Napˇr´ıklad v ˇcase RK

0 M(t)dt pˇretrv´av´a pro hr´aˇce M uˇzitek b, kter´y odpov´ıd´a tomu, ˇze hr´aˇc F zvolil v simult´ann´ım tahu strategii s a hr´aˇc M zahr´al v Revizi strategii R.

Nerovnici (4.3) m˚uˇzeme d´ale upravit.

(b−d) Z K

0

M(t)dt+ (L−K) + Z 1

L

(1−F(t))dt

>(d−a) Z 1

L

F(t)dt (4.4) Vydˇel´ıme nerovnici (4.4) ˇclenyR1

LF(t)dta (b−d). Protoˇze (b−d) je z´aporn´y, mus´ıme z´aroveˇn zamˇenit znam´enko nerovnosti.

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) R1

LF(t)dt < d−a

b−d (4.5)

Pokud uˇz jen rozˇs´ıˇr´ıme zlomek na prav´e stranˇe nerovice (4.5) hodnotou −1, dost´av´ame tvar (4.1) uveden´y v dokazovan´e vˇetˇe, kter´y je n´azornˇejˇs´ı, protoˇze na jedn´e stranˇe obsahuje pouze hodnoty z´avisl´e na parametrech K aL a na stranˇe druh´e zase jen hodnoty uˇzitk˚ua,b ad.

Nakonec mus´ıme zajistit, aby oba hr´aˇci volili v simult´ann´ım tahu strategiiR, popˇr´ıpadˇe r. Nejprve vyˇsetˇr´ıme simult´ann´ı tah hr´aˇce F. Znovu se n´am tato situace rozpadne na dvˇe ˇc´asti:

(I) Hr´aˇc M zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii R.

(II) Hr´aˇc M zvol´ı v simult´ann´ım tahu strategii S.

V prvn´ım pˇr´ıpadˇe (I) je pro hr´aˇce F vˇzdy nejlepˇs´ı zvolit strategii r, nebot’

z´ısk´a po celou dobu do sv´e Revize uˇzitekw, kter´y je dle nerovnic (2.4.1) vˇetˇs´ı neˇzx. Pokud nastane situace (II), mus´ı b´yt splnˇena n´asleduj´ıc´ı nerovnice, aby hr´aˇc F zahr´al strategiir.

y Z K

0

(1−M(t))dt+w Z K

0

M(t)dt+w(L−K) +w Z 1

L

(1−F(t))dt >

z Z K

0

(1−M(t))dt+x Z K

0

M(t)dt+x(L−K) +x Z 1

L

(1−F(t))dt (4.6) Cas po Revizi hr´ˇ aˇce F dan´y integr´alem R1

LF(t)dt uˇz neuvaˇzujeme, protoˇze ˇ

clen obsahuj´ıc´ı tento integr´al by byl na obou stran´ach nerovnice (4.6) stejn´y.

Tuto nerovnici (4.6) m˚uˇzeme stejn´ymi algebraick´ymi ´upravami dostat do po- ˇ

zadovan´eho tvaru (4.2), kter´y je uveden´y v dokazovan´e vˇetˇe.

Stejn´ym zp˚usobem zjist´ıme podm´ınku pro to, aby hr´aˇc M volil v simult´ann´ım tahu strategii R. Tentokr´at n´as bude ale zaj´ımat jen ˇcas do Revize hr´aˇce M, kter´y je dan´y integr´alemRK

0 (1−M((t))dt. Pokud budeme pˇredpokl´adat, ˇze hr´aˇc F v simult´ann´ım tahu zahraje strategiir, staˇc´ı pouze porovnat jak´y bude m´ıt ve zm´ınˇen´em ˇcase hr´aˇc M uˇzitek ze zvolen´ı strategie R, coˇz je uˇzitek a, a ze zvolen´ı strategie S, coˇz je uˇzitek c. Dle nerovnic (2.4.1) je zˇrejm´e, ˇze a > c, hr´aˇc M tedy bude volit strategii R v simult´ann´ım tahu pokud bude splnˇen´a podm´ınka pro simult´ann´ı tah hr´aˇce F oznaˇcen´a (4.2).

Vˇeta 5. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice. Hr´aˇc M vyhraje hru (tj. rov- nov´aha (R, s) bude Nashova rovnov´aha v cel´em pr˚ubˇehu hry), pokud budou splnˇen´e podm´ınky

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) R1

LF(t)dt < b−c

c−a, (4.7) RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) RK

0 (1−M(t))dt > y−z

x−w. (4.8) Pozn´amka 4. Levou stranu nerovnice (4.7) oznaˇc´ımeU_M¹ , pravou stranuV_{J H}¹ . Lev´a strana nerovnice (4.8) bude m´ıt oznaˇcen´ıU_M² a prav´a strana V_{J H}² . D˚ukaz. D˚ukaz bude proveden´y stejn´ym zp˚usobem jako pro Vˇetu 4.

4.3.1 Jin´ y zp˚ usob vyj´ adˇ ren´ı podm´ınky v´ yhry

V nˇekter´ych pˇr´ıpadech mohou b´yt Revizn´ı funkce sloˇzit´e, tˇeˇzko integrovateln´e nebo je nezn´ame pˇresnˇe. Z toho d˚uvodu jsme naˇsli jin´y ekvivalentn´ı tvar podm´ınky v´yhry hr´aˇce M, kter´y vyuˇz´ıv´a pouze znalosti parametr˚u K a L a stˇredn´ıch hodnot pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı tah˚u.

N´asleduj´ıc´ı lemma je bˇeˇznˇe zn´am´y statistick´y v´ysledek, vysvˇetlen´y napˇr´ıklad v Kallenberg [7], z toho d˚uvodu je zde uv´adˇena bez d˚ukazu.

Lemma 3. Uvaˇzujeme funkci M(t) z Definice 9. Potom plat´ı Z K

0

(1−M(t))dt=µ_M. (4.9)

Stejnˇe tak uvaˇzujeme funkci F(t) z Definice 9. Potom plat´ı Z 1

L

(1−F(t))dt=µ_F −L. (4.10) Vˇeta 6. Pˇredpokl´adejme, ˇze µ_M aµ_F jsou stˇredn´ı hodnoty pravdˇepodobnost- n´ıch rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı tah˚u hr´aˇc˚u M a F. Potom budou podm´ınky v´yhry hr´aˇce M ve tvaru

µF −µM

1−µ_F < V_i¹ i={V P, J H}, (4.11) µ_F −µ_M

µ_M > V_i² i={V P, J H}. (4.12) D˚ukaz. Abychom mohli aplikovat pˇredchoz´ı Lemma 3 na v´yrazU_M¹ a U_M² , je nutn´e upravit integr´alyRK

0 M(t)dtaR1

LF(t)dtpouˇzit´ım vzorc˚u pro linearitu a aditivitu urˇcit´ych integr´al˚u.

Z K 0

M(t)dt= Z K

0

(M(t) + 1−1)dt = Z K

0

1dt− Z K

0

(1−M(t))dt,

Z 1 L

F(t)dt = Z 1

L

(F(t) + 1−1)dt= Z 1

L

1dt− Z 1

L

(1−F(t))dt.

Uˇzit´ım Lemmatu 3 dost´av´ame Z K

0

M(t)dt=K−µ_M,

Z 1 L

F(t)dt = 1−µ_F.

Po dosazen´ı za integr´aly do podm´ınek v´yhry hr´aˇce M m´ame

K−µM +µF −L+L−K

1−µ_F = µF −µM

1−µ_F < V_i¹ i={V P, J H},

K−µM +µF −L+l−K

µ_M = µF −µM

µ_M > V_i² i={V P, J H}, coˇz jsou pˇresnˇe dokazovan´e nerovnice (4.11) a (4.12).

4.3.2 V´ ymˇ ena poˇ rad´ı hr´ aˇ c˚ u

Doposud jsme pˇredpokl´adali, ˇze hr´aˇc M m´a moˇznost opakovat tah dˇr´ıve neˇz hr´aˇc F. Nyn´ı budeme pˇredpokl´adat opaˇcn´e poˇrad´ı hr´aˇc˚u.

Pozn´amka 5. M˚uˇzeme tak´e uvaˇzovat, ˇze hr´aˇc F bude m´ıt moˇznost prov´est Revizi jako prvn´ı. Revizn´ı funkce jsou v tomto pˇr´ıpadˇe

F(t) : [0,1]→[0,1], F(0) = 0, F(K) = 1, M(t) : [0,1]→[0,1], M(L) = 0, M(1) = 1.

Podm´ınky v´yhry hr´aˇce F jsou ve stejn´em tvaru, pouze jsou pouˇzity pˇr´ısluˇsn´e Revizn´ı funkce a uˇzitky. Hr´aˇc F vyhraje, tj. jeho preferovan´a rovnov´aha bude Nashovou rovnov´ahou v cel´em pr˚ubˇehu hry, pokud bude splnˇeno, ˇze

RK

0 F(t)dt+ (L−K) +R1

L(1−M(t))dt R1

LM(t)dt < W_i¹ i={V P, J H}, (4.13)

RK

0 F(t)dt+ (L−K) +R1

L(1−M(t))dt RK

0 (1−F(t))dt > W_i² i={V P, J H}. (4.14) Levou stranu nerovnice (4.13) oznaˇc´ıme jakoU_F¹ a levou stranu nerovnice (4.14) jako U_F². Podm´ınku v´yhry m˚uˇzeme vyj´adˇrit i ve tvaru s vyuˇzit´ım stˇredn´ıch hodnot pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı n´ahodn´eho ˇcasov´an´ı tah˚u.

µ_M −µ_F

1−µ_M < W_i¹ i={V P, J H}, µ_M −µ_F

µ_F > W_i² i={V P, J H}.

Pro sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı je

W_{V P}¹ = z−w

w−x, W_{V P}² = a−c d−b. Pro sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice je

W_{J H}¹ = y−x

x−w, W_{J H}² = b−d c−a.

a uˇ zitc´ıch

V t´eto kapitole uvedeme pˇr´ıklady pro ilustraci v´yˇse uveden´ych Vˇet 4 a 6, kter´e ud´avaj´ı podm´ınku v´yhry hr´aˇce M ve sc´en´aˇr´ıch V´alka pohlav´ı a Jestˇr´abi a holubice. D´ale prozkoum´ame, jak jsou tyto podm´ınky v´yher z´avisl´e na zmˇen´ach parametr˚u (K, L) a uˇzitk˚u (a, b, c, d, w, x, y, z).

5.1 Ilustraˇ cn´ı pˇ r´ıklady

Uvedeme zde dva pˇr´ıklady. V prvn´ım pˇr´ıkladu vyuˇzijeme pro v´ypoˇcet Vˇetu 4, ve druh´em pouˇzijeme zjednoduˇsˇsen´e tvary tˇechto podm´ınek z Vˇety 6.

Pˇr´ıklad 3. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı a uˇzitky zvol´ıme n´asledovnˇe:

F

a b

M A 2,1 0,0 B 0,0 1,2

Parametry K a L zvol´ıme tak, ˇze K =L = 0,5. Revizn´ı funkce jsou distri- buˇcn´ı funkce rovnomˇern´eho rozdˇelen´ı zn´azornˇen´e na Obr´azku 5.1:

M(t) =







0 kdyˇz t≤0 2t kdyˇz t∈(0; 0,5) 1 kdyˇz t≥0,5

,

F(t) =







0 kdyˇz t≤0,5 2t−1 kdyˇz t∈(0,5; 1) 1 kdyˇz t≥1

.

Aby hr´aˇc M vyhr´al, mus´ı b´yt splnˇen´e obˇe dvˇe podm´ınky, (4.1) i (4.2), kter´e ud´av´a Vˇeta 4. Vypoˇcteme tedy hodnoty v´yraz˚u U_M¹ , U_M² , V_{V P}¹ a V_{V P}² a po- rovn´ame.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t 1

CDF

à

0 0.5

MHtLdt à

0.5 1

FHtLdt à

0 0.5

H1-MHtLLdt à

0.5 1

H1-FHtLLdt

MHtL FHtL

Obr´azek 5.1: Revizn´ı funkce pouˇzit´e v pˇr´ıkladu 3

U_M¹ = RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) R1

LF(t)dt = 0,25 + 0,25 + 0

0,25 = 2

V_{V P} = a−d

d−b = 2−1 1−0 = 1

V tomto pˇr´ıpadˇe je U_M¹ > V_{V P}¹ , tud´ıˇz nen´ı splnˇen´a uˇz prvn´ı podm´ınka v´y- hry (4.1) z Vˇety 4, kter´a zajiˇst’uje, aby hr´aˇc M ve sv´e Revizi zvolil strategiiR.

Hr´aˇc M nevyhr´av´a tuto hru.

Obdobn´y pˇr´ıklad m˚uˇzeme uk´azat tak´e pro druh´y zpracov´avan´y sc´en´aˇr.

Pˇr´ıklad 4. Uvaˇzujeme sc´en´aˇr Jestˇr´abi a holubice a uˇzitky zvol´ıme n´asledovnˇe:

F

a b

M A 0,0 5,1 B 1,5 0,0

Zvol´ımeK = 0,4 aL= 0,6. Revizn´ı funkce v tomto pˇr´ıpadˇe nezn´ame. Zn´ame pouze stˇredn´ı hodnoty pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı Reviz´ı, a toµM = 0,1 a µ_F = 0,7.

Vypoˇcteme zjednoduˇsˇsen´e U_M¹ a V_{J H}¹ a zjist´ıme, zda je splnˇen´a podm´ınka (4.11), kterou ud´av´a Vˇeta 6.

U_M¹ = µ_F −µ_M

1−µ_F = 0,7−0,1 1−0,7 = 2

V_{J H}¹ = b−c

c−a = 5−1 1−0 = 4

M´ame U_M¹ < V_{J H}¹ , podm´ınka pro revizi hr´aˇce M je splnˇen´a. Nyn´ı zjist´ıme, zda je splnˇen´a i druh´a podm´ınka (4.8) z Vˇety 6.

U_M² = µ_F −µ_M

µ_M = 0,7−0,1 0,1 = 6

V_{J H}² = y−z

x−w = 5−0 1−0 = 5

Druh´a podm´ınka v´yhry je v tomto pˇr´ıkladˇe tak´e splnˇen´a, m˚uˇzeme ˇr´ıct, ˇre hr´aˇc vyhr´av´a hru. Jeho preferovan´a rovnov´aha (R, s) bude Nashovou rovnov´ahou v cel´em pr˚ubˇehu hry.

V Tabulce 4 je udˇelan´y mal´y pˇrehled z´avislosti stˇredn´ı hodnoty µ_F na stˇredn´ı hodnotˇe µ_M pˇri nˇekter´ych hodnot´ach prav´ych stran podm´ınek v´yhry V_{J H}¹ a V_{J H}² . Vyznaˇcen´a oblast obsahuje hodnoty µ_M a µ_F, pˇri kter´ych bu- dou podm´ınky v´yhry hr´aˇce, kter´e jsou zaveden´e ve Vˇetˇe 6. Obr´azek v ˇr´adce V_{J H}¹ = 4 a sloupciV_{J H}² = 5 se vztahuje pˇr´ımo k Pˇr´ıkladu 4.

V Pˇr´ıkladu 3 nen´ı splnˇen´a prvn´ı podm´ınka v´yhry (4.1) z Vˇety 4. Tento fakt m˚uˇzeme ovlivnit zmˇenou jednotliv´ych parametr˚u a uˇzitk˚u, coˇz je n´aplˇn dalˇs´ı podkapitoly.

V_{J H}² = 2 V_{J H}² = 5

V_{J H}¹ = 2 ^{0.1 0.2 0.3 0.4mi_M}

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

0.1 0.2 0.3 0.4mi_M

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

V_{J H}¹ = 4 ^{0.1 0.2 0.3 0.4mi_M}

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

0.1 0.2 0.3 0.4mi_M

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

V_{J H}¹ = 7 ^{0.1 0.2 0.3 0.4mi_M}

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

0.1 0.2 0.3 0.4

mi_M 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

V_{J H}¹ = 10 ^{0.1 0.2 0.3 0.4mi_M}

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

0.1 0.2 0.3 0.4mi_M

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 mi_F

Tabulka 5.1: Oblast v´ybˇeru µ_M a µ_F, aby z˚ustaly splnˇen´e obˇe podm´ınky

5.2 Z´ avislost podm´ınek v´ yhry

V podm´ınk´ach v´yhry hr´aˇce figuruje v´ıce uˇzitk˚u (a, b, c, d, w, x, y, z) a pa- rametr˚u (K, L), jejichˇz zvˇetˇsov´an´ım nebo zmenˇsov´an´ım m˚uˇzeme ovlivˇnovat v´ysledek hry. V t´eto ˇc´asti pr´ace pop´ıˇseme jak m˚uˇzeme ˇsanci hr´aˇce na v´yhru zv´yˇsit zmˇenou hodnoty vˇzdy pouze jednoho uˇzitku nebo parametru.

Nejprve vyˇreˇs´ıme prvn´ı podm´ınku, tj. podm´ınka pro Revizi prvn´ıho hr´aˇce (4.1), (4.8) a (4.13). Lev´e strany tˇechto nerovnic oznaˇcen´eU_M¹ aU_F¹ jsou vˇzdy pro oba sc´en´aˇre stejn´e. Rozd´ıl pro hr´aˇce je pouze ve v´ymˇenˇe pˇr´ısluˇsn´ych Revizn´ıch funkc´ı.

Lemma 4. V´yraz U_M¹ , popˇr´ıpadˇe U_F¹, se zmenˇsuje s klesaj´ıc´ım L.

D˚ukaz. Provedeme d˚ukaz pouze pro v´yraz U_M¹ . D˚ukaz pro U_F¹ by byl pro- v´adˇen´y stejn´ym zp˚usobem, pouze se zamˇenˇen´ymi Revizn´ımi funkcemi. V´y- raz U_M¹ mus´ıme zderivovat podle parametru L.

d dL

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) R1

LF(t)dt

!

= 1−L+F(L) R1

LF(t)dt

A protoˇze z Definice 9 v´ıme, ˇzeF(L) = 0, m˚uˇzeme derivaci v´yrazu U_M d´ale upravit na

d dL

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) R1

LF(t)dt

!

= 1−L R1

LF(t)dt.

Derivace U_M¹ podle L je vˇzdy kladn´a, protoˇze m´ame zavedeno, ˇze L < 1.

V´yraz U_M¹ se tedy zmenˇsuje s klesaj´ıc´ım L.

Pozn´amka 6. O tom, jak se v´yrazy U_M¹ a U_F¹ chovaj´ı v z´avislosti na K ne- m˚uˇzeme obecnˇe rozhodnout. Derivace obou v´yraz˚u podle K se rovn´a 0.

Prav´e strany nerovnic (4.1), (4.7), (4.13), jsou postupnˇe oznaˇceny V_{V P}¹ , V_{J H}¹ , W_{V P}¹ a W_{J H}¹ . Pˇri snaze o zv´yˇsen´ı ˇsance na v´yhru je nutn´e tyto zlomky zvˇetˇsit. N´asleduj´ıc´ı lemma demonstruje, jak´y vliv maj´ı uˇzitky vystupuj´ıc´ı v jednotliv´ych zlomc´ıch na prvn´ı podm´ınku v´yhry.

Lemma 5. (a) V_{V P}¹ je rostouc´ı v a, b, klesaj´ıc´ı v d.

(b) V_{J H}¹ je rostouc´ı v b, a, klesaj´ıc´ı v c.

(c) W_{V P}¹ je rostouc´ı v z, x, klesaj´ıc´ı v w.

(d) W_{J H}¹ je rostouc´ı v y, w, klesaj´ıc´ı v x.

D˚ukaz. D˚ukaz provedeme pouze pro ˇc´ast (a), pro ostatn´ı ˇc´asti staˇc´ı v d˚u- kazu pouze zamˇenit odpov´ıdaj´ıc´ı si uˇzitky. Abychom dok´azali monot´onnost v´yrazuV_{V P}¹ je nutn´e tento v´yraz zderivovat postupnˇe podle vˇsech obsaˇzen´ych uˇzitk˚u.

d da

a−d d−b

= 1

d−b

Derivace V_{V P}¹ podle promˇenn´e a je vˇzdy kladn´a (d > b), tud´ıˇz v´yraz V_{V P}¹ je rostouc´ı v a.

d db

a−d d−b

= a−d (d−b)²

Derivace v´yrazu podleb je tak´e vˇzdy kladn´a (a > d > b),V_{V P}¹ je rostouc´ı vb.

d dd

a−d d−b

=− a−b (d−b)²

Derivace v´yrazu V_{V P}¹ podle promˇenn´e d je vˇzdy z´aporn´a (a > d > b), proto je V_{V P}¹ klesaj´ıc´ı v d.

Nyn´ı se dost´av´ame ke druh´e podm´ınce v´yhry, tj. podm´ınka pro simult´ann´ı tah hr´aˇce F. Rozbor provedeme stejn´ym zp˚usobem jako pro prvn´ı podm´ınku.

Jedin´y rozd´ıl je v tom, ˇze nyn´ı chceme, aby lev´e strany nerovnic (4.2), (4.8) a (4.14) oznaˇcen´e U_M² a U_F² byly co nejvˇetˇs´ı a naopak prav´e strany tˇechto nerovnic V_{V P}² , V_{J H}² ,W_{V P}² aW_{J H}² zase co nejmenˇs´ı.

Lemma 6. V´yraz U_M² , popˇr´ıpadˇe U_F², se zvˇetˇsuje s rostouc´ım K i L.

D˚ukaz. D˚ukaz opˇet provedem jen pro U_M² , pro d˚ukaz druh´eho v´yrazu staˇc´ı zamˇenit Revizn´ı funkce.

d dK

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) RK

0 (1−M(t))dt

!

= (M(K)−1)RK

0 (1−M(t))dt (RK

0 (1−M(t))dt)² + +−(RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K))(K−M(K)) (RK

0 (1−M(t))dt)²

Pokud dosad´ıme za M(K) = 1 (Definice 9), m˚uˇzeme derivaci jeˇstˇe zjedno- duˇsˇsit.

d dK

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) RK

0 (1−M(t))dt

!

=

−(RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K))(K−1) (RK

0 (1−M(t))dt)²

M´ame zaveden´e, ˇze K < 1 a L ≥ K, takˇze derivace v´yrazu U_M² podle K je vˇzdy kladn´a.U_M² je rostouc´ı vK.

d dL

RK

0 M(t)dt+R1

L(1−F(t))dt+ (L−K) RK

0 (1−M(t))dt

!

= 1−L+F(L) RK

0 (1−M(t))dt Za F(L) dosad´ıme 0 dle Definice 9 a v´ıme, ˇzeL < 1, potom je derivace U_M² podle L vˇzdy kladn´a a tento v´yraz je rostouc´ı v L.

Lemma 7. (a) V_{V P}² je rostouc´ı v z, x, klesaj´ıc´ı v y, w.

(b) V_{J H}² je rostouc´ı v y, w, klesaj´ıc´ı v z, x.

(c) W_{V P}² je rostouc´ı v a, b, klesaj´ıc´ı v c, d.

(d) W_{J H}² je rostouc´ı v b, a, klesaj´ıc´ı v d, c.

D˚ukaz. Provedeme d˚ukaz pouze pro ˇc´ast (a), pro ostatn´ı ˇc´asti by byl analo- gick´y. Abychom zjistili, jak se bude mˇenit v´yrazV_{V P}² v z´avislosti na zmˇen´ach uˇzitk˚u, mus´ıme ho postupnˇe zderivovat podle vˇsech uˇzitk˚u, kter´e se v nˇem nach´azej´ı.

d dz

z−y w−x

= 1

w−x d

dx

z−y w−x

= z−y (w−x)² d

dy

z−y w−x

= −1 w−x d

dw

z−y w−x

=− z−y (w−x)²

Z nerovnic pro uˇzitky (2.4.1) vypl´yv´a, ˇze derivace podle z i podle x je vˇzdy kladn´a. V´yrazV_{V P}² je rostouc´ı vz ax. Zat´ımco derivace podley awje vˇzdy z´aporn´a, proto je v_{V P}² klesaj´ıc´ı vy a w.

5.2.1 Shrnut´ı

N´aslednˇe ve dvou tabulk´ach pˇrehlednˇe shrneme v´ysledky z Lemma 4, 5, 6 a 7.

C´ˇasti tabulek pro prvn´ı podm´ınku ˇr´ıkaj´ı, co je tˇreba udˇelat, abychom zmenˇsili rozd´ılU_M¹ −V_i¹v pˇr´ıpadˇe, kdy Revizi prov´ad´ı prvn´ı hr´aˇc M. Pro opaˇcn´y pˇr´ıpad zmenˇsujeme rozd´ıl U_F¹ −W_i¹. Rozd´ıly v uveden´ych tvarech vych´az´ı z prvn´ı podm´ınky v´yhry, kter´a je ve tvaru U_M¹ < V_i¹, respektive U_F¹ < W_i¹, kde i = {V P, J H}. ˇC´asti tabulek pro druhou podm´ınku zase d´avaj´ı n´avod, jak zvˇetˇsit rozd´ılU_i²−V_i² (v pˇr´ıpadˇe, ˇze prvn´ı prov´ad´ı Revizi hr´aˇc M), respektive U_F² −W_i² (v pˇr´ıpadˇe, ˇze prvn´ı prov´ad´ı Revizi hr´aˇc F). Rozd´ıly opˇet vych´az´ı z podm´ınky v´yhry, druh´a podm´ınka je ve tvaruU_M² > V_i², pˇr´ıpadnˇeU_F² > W_i², kde opˇet i={V P, J H}.

Sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı Jestˇr´abi a holubice Podm´ınka 1. podm´ınka 2. podm´ınka 1. podm´ınka 2. podm´ınka

a ↑ × ↑ ×

b ↑ × ↑ ×

c nem´a vliv × ↓ ×

a ↓ × nem´a vliv ×

w × ↑ × ↓

x × ↓ × ↑

y × ↑ × ↓

z × ↓ × ↑

K nelze ob. urˇcit ↑ nelze ob. urˇcit ↑

L ↓ ↑ ↓ ↑

Tabulka 5.2: Z´avislost podm´ınek v´yhry hr´aˇce M na uˇzitc´ıch a parametrech

Sc´en´aˇr V´alka pohlav´ı Jestˇr´abi a holubice Podm´ınka 1. podm´ınka 2. podm´ınka 1. podm´ınka 2. podm´ınka

a × ↓ × ↓

b × ↑ × ↓

c × ↑ × ↑

d × ↑ × ↑

w ↓ × ↑ ×

x ↑ × ↓ ×

y nem´a vliv × ↑ ×

z ↑ × nem´a vliv ×

K nelze ob. urˇcit ↑ nelze ob. urˇcit ↑

L ↓ ↑ ↓ ↑

Tabulka 5.3: Z´avislost podm´ınek v´yhry hr´aˇce F na uˇzitc´ıch a parametrech

Vysvˇetlivky pro Tabulky 5.2 a 5.3:

↑ - je tˇreba zv´yˇsit hodnotu parametru nebo uˇzitku,

↓ - je tˇreba sn´ıˇzit hodnotu parametru nebo uˇzitku,

× - parametr nebo uˇzitek se v podm´ınce nevyskytuje.