Semiempirická konvekce

Konvekci, neboli přenos energie prouděním, je možné posoudit tak, že budeme stu-dovat pohyb jediné bubliny, která je trochu řidší (příp. hustší) než okolí. Využijeme přitomBoussinesqovy aproximace pro vztlak:

avz=−1 ρ

∂P

∂z −g=. −(ρb−ρo)Vbg mb

=−gδρ ρ =gαV

δT

T , (87)

kdeρb,Vb,mboznačují hustotu, objem a hmotnost bubliny,ρohustotu okolí,g tí-hové zrychlení aαV koeficient teplotní roztažnosti, jenž je pro ideální plyn roven 1.

Tento vztah implicitně předpokládá tlak bubliny neustále vyrovnaný s okolím, ne-boli P =_µm^k

HρT, dP =_µm^k

H(dρT +ρdT) = 0 přiµ= konst.

Druhou závažnou aproximací je, že všechny řídké bubliny se pohybují vzhůru po stejné dráze, směšovací délce:

`=αHP, (88)

která je vztažena k tlakové škále:

HP = kT gµmH

, (89)

přičemž parametrαse volí empiricky.

Semiempirická konvekce 2.7

Bublina, která vystoupila vzhůru má obecně teplotu odlišnou o δT od okolí, a tedy měrnou tepelnou energii (v J m⁻³) odlišnou o dQ:

jež se může přenést do okolí;cP označuje měrnou tepelnou kapacitu při konstantním tlaku. Přitom vzniká tok tepla (ve W m⁻²):

Φsemi = dQ¯v ,

kde průměrnou rychlost ¯vodvodíme z průměrného zrychlení (na začátku jea .

= 0):

¯a=1 2gδT

T ,

neboť práce konaná vztlakem se s určitou účinnostíβ přemění v kinetickou energii bubliny:

Poslední problém: kde vzít ∇T pro bublinu a okolí? Vždyť si ji pouze mlhavě představujeme! Nemáme zde sice žádnou informaci o rychlostním poli v, ale snad je ¯v dost velké, abychom pro všechny bubliny mohli použít ∇T adiabatický (viz níže). S okolím nelze dělat nic, jen ho přeznačit na „semiÿ. Výsledný tok tepla:

Φsemi=cPδT ρ což je semiempirický vztah, který se musí pro danou aplikaci kalibrovat volbou α a β.¹¹ Vizuálním příkladem konvektivního proudění je obr. 15.

Adiabatický gradient teploty. Pro adiabatické děje (bez zdroje nebo výměny tepla s okolím) platí zjednodušená stavová rovnice:

P =Kρ^Γ, (93)

jejíž diferenciál:

dP =KΓρ^Γ−1dρ=ΓP

ρ dρ . (94)

11Kdybychom potřebovali vyjádřit_dR^dT

semipro účely stavění hvězd, předpokládejme, že veškerý tok Φ =₄^LR

pR² je přenášen konvektivně a invertujme (92).

Pro obecnější stavovou rovnici bychom měliP =P(µ, ρ, T):

dP =∂P

∂µdµ+∂P

∂ρdρ+∂P

∂TdT .

Za předpokladu homegenního chemického složení (dµ= 0) odtud lze vyjádřit dT, vypočítat parciální derivace pro ideální plyn (51) a dosadit za dρz (94):

dT|^ad= ∂T

Bruntova–V¨ais¨al¨aova frekvence. Vztlakové zrychlení (87) můžeme ekvivalentně vyjádřit pomocí gradientů a dosadit za dρz (94):

avz=−g Z vertikální pohybové rovnice:

dw

dz =−N²z ,

která je obdobou harmonického oscilátoru, je potom zřejmé, že proN²>0 dochází k oscilacím, neboli vztlakovým vlnám. Naopak proN²<0 (N imaginární) nastává vztlaková (konvektivní) nestabilita. N nazýváme Bruntova–V¨ais¨al¨aova frekvence, neboť vystupuje také v disperzní relaci pro vztlakové vlny (g-módy).

Obr. 15 — Stínová fotografie konvektivního proudění. Změny ρa T způsobují změny indexu lomu n(ρ, T), které se projevují ve vrženém stínu odkláněním paprsků a kaustikami. Převzato

zhhttp://www.math.nyu.edu/aml/wetlab/projects/3d-convection.htmli.

Kolmogorovovo spektrum turbulence 2.8

2.8 Kolmogorovovo spektrum turbulence

Ovšemže víry (bubliny) nemají totožné rozměry. Rozměr víru Lsouvisí s jeho vl-novým číslem k = 2p/L i úhlovou frekvencí ω jeho otáčení, skrz disperzní relaci typuω'kcv, kdecvje typická rychlost otáčení. Může přitom docházet ke splývání vírů nebo k jejich rozpadání, přičemž z Navierovy–Stokesovy rovnice lze odvodit výběrové pravidlok3=k1+k2; nikolivL3=L1+L2! V limitním případě, kdy jsou víry stejně velké stejného směru, platí k3'2k1, nebo naopak, je-li druhý mnohem větší než první,k3'k1+δ(Salmon 1998). Maximální škála, tj. minimálníkinj, se nazývá vstřikovací a je určena vnějšími okolnostmi (např. rozměrem planety). Na-opak nejmenší škála, maximálníkν, je svou podstatou viskózní, daná molekulární viskozitou ν, způsobující definitivní disipaci vírů.

Splývání a rozpadání vírů lze relativně snadno popsat pro nedivergentní proudění. Nemusí se nutně jednat o nestlačitelnou kapalinu, jenom to prostě teď nediverguje. Mějme tedy:

∇ ·v= 0,

∂v

∂t+v· ∇v=−1

ρ∇P+ν∇ · ∇v. (96)

Aplikujme proto divergenci na posledně jmenovanou rovnici (s tím, že operátory působí výhradně doprava):

Nyní si představme, že za rychlost i tlak dosadíme z jejichzpětné Fourierovy transformace:

v(r, t) =

kde jsme zaměnili integrační proměnnou za dvě různé, abychom mohli integrovaten bloc; a člen vpravo:

Po dosazení proveďme ještě násobení e^−ik·r, integraci přes objemR

dra využijme také dopřednou Fourierovu transformaciq(k, t) = ₍₂¹

p)³

Rp(r, t) e^−ik·rdr:

−

Z Z Z

ujuiminjei(m·r+n·r−k·r)dmdndr= 1 ρk²

Z

pe^−ik·rdr=1

ρk²(2p)³q . (100) Jeden z integrálů vlevo lze ovšem spočítat:

Z

e^{i(m+n−k)·r}dr= (2p)³δ(m+n−k) (101)

pro jakoukoliv harmonickou funkci to je 0, jen pro eⁱ⁰ = 1 to diverguje, což je právě vlastnost Diracovy distribuceδ. Musíme ovšem integrovat od−∞do +∞, abychom náhodou neintegrovali přes „půlvíryÿ.

Uvědomme si, co jsme tak získali:

−

Z Z

ujuiminjδ(m+n+k)dmdn= 1 ρk²q

tj. vztah pro fourierovský tlak q, vyjádřený pomocí fourierovských rychlostíu, v němž však vy-stupujeδ. Kdybychom ho dosadili do Fourierovy transformace (96), získali bychom rovnici, v níž existuje vazba mezi víry různých vlnových vektorů, pouze když:

m+n−k= 0, (102)

což je ono výběrové pravidlo.

Veličina vhodná pro posouzení vírů je energie E^k na jednotku hmoty a vlnové číslo, respektive její závislost nak. Bylo-li toto spektrum vírů vytvořeno pouze a jen splýváním, rozpadáním a disipací, pak by nemělo záviset na ničem jiném než nak a právě rychlosti ψ disipace energie na jednotku hmoty, která by zase měla být pouze a jen funkcí viskozityν. Když tam žádné jiné procesy neprobíhají, tak to na nich logicky ani nezávisí. Předpokládejme proto nejjednodušší možnou mocninnou závislost (stejně jako Kolmogorov 1941):

E^k(k, ψ) =Ck^αψ^β. (103)

Jednotky výše zmiňovaných veličin jsou přitom [k] = m⁻¹, [E^k] = [mv²m⁻¹k⁻¹] = m³s⁻², [ψ] = [mv²m⁻¹t⁻¹] = m²s⁻³ a [ν] = [a∇⁻²v⁻¹] = m²s⁻¹. Proto nezbývá, než aby exponenty splňovaly podmínku:

m³s⁻²= m^−αm^2βs^−3β,

tzn. 3 =−α+ 2β,−2 =−3β,β= ²₃,α=−⁵3. Výsledné spektrum je nevyhnutelně:

E^k(k, ψ) =Ck⁻⁵³ψ²³ . (104)

Kolmogorovovo spektrum turbulence 2.8

Vidíme, že pro velká k, malá L, je turbulence vskutku tlumena viskozitou. Není divu, žeE^k je klesající.

Obdobně lze argumentovat a odvodit úměrnost viskózní škály:

kν =Dν^γψ^δ, (105)

m⁻¹= m^2γs^−γm^2δs^−3δ, a proto:

kν =Dν⁻³⁴ψ¹⁴. (106)

Energie na jednotku hmoty a jednotku délky Lby byla zřejmě:

E^L(L, ψ) =E^kdk

dL =C⁰L⁵³ψ²³

−2p L²

=C⁰⁰L⁻¹³ψ²³ . (107) Richardson (1922) podle této rovnice dokonce složil báseň: „Velké víry mají malé víry, dbající jejich rychlosti, malé víry mají menší víry, a tak dál až do vazkosti.ÿ :) Reálné spektrum vírů může být pochopitelně ovlivněno i jinými procesy a od-chylovat se od kolmogorovského. Konkrétně je možné, že turbulence ještě není plně rozvinutá. Začneme-li s jedním vírem, chvíli trvá, než vznikne celé spektrum. V te-kutině mohou vznikat vlny postupné, odnášející určitou energii pryč, anebo vlny stojaté, buzené v dutinách. Často bývá spektrum omezeno nikoli viskozitou, nýbrž omezeným rozlišením. V každém případě je (107) v přímém rozporu s (88). . .

Obr. 16 — Energetické spektrum E_k odvozené z pozorování vývoje oblačnosti. Trojice grafů odpovídá třem složkám rychlostiu,v aw. V případě vertikály je velikost vírů omezena na asi 500 m, nad kterou již turbulence nemůže být kolmogorovská. Naopak malé velikosti jsou zde

omezeny rozlišením pozorování, nikoli viskozitou. Převzato z Duynkerke (1998).

[20] Carrol, B. W., Ostlie, D. A.An Introduction to Modern Astrophysics.San Francisco:

Pearson, Addison Wesley, 2007. ISBN 0321442849.

[21] Ekman, V. W.On the influence of the Earth’s rotation on ocean-currents. Arkiv f¨or ma-tematik, astronomi o. fysik,2, 11, 1905.

[22] Kolmogorov A. N.Dissipation of energy in locally isotropic turbulence. Dokl. Akad. Nauk SSSR,32, 1, 1941.

[23] Pechala, F., Bednář, J.Příručka dynamické meteorologiePraha: Academia, 1991. ISBN 8020001980.

[24] Richardson, L. F.Weather prediction by numerical process.Cambridge: Cambridge Univ.

Press, 1922.

[25] Rossby, C. G. Planetary flow patterns in the atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc.,66, 68, 1939.

[26] Salmon, R. Lectures on geophysical fluid dynamics. Oxford: Oxford Univ. Press, 1998.

ISBN 0195108086.

[27] Shore, S. N.Astrophysical hydrodynamics.Weinheim: Wiley-Vch, 2007. ISBN 978352740-6692.

[28] Watkins, T.Kolmogorov’s theory of turbulence and the energy spectrum.[online] [cit. 2017-05-10].hhttp://www.sjsu.edu/faculty/watkins/kolmo.htmi.

3 Přenos záření

Přenosu záření zřejmě není vyhnutí, neboť každý hydrodynamický model konec kon-ců budeme muset porovnat s pozorováním. Vzhledem k tomu, jaké úžasné přístroje jsou dnes k dispozici (ALMA a spol.), jistě budeme potřebovat co nejpodrobnější, to znamená monochromatický popis.

Než začneme, ujasněme si, jakou veličinu pro popis potřebujeme. Představme si, že ji měříme dalekohlídkem, s filtříkem a detektorkem, který má jen jeden pixel.

Jistě musí jít o energii (s jednotkou J), nesmí záviset na expoziční době (s⁻¹), na ploše čočky dalekohledu (nikoli detektoru!) (m⁻²), jeho natočení (podělíme fakto-rem cosϑ, kdeϑoznačuje úhel od osy detektoru), obecně však veličina může záviset na směru, ale nikoli na prostorovém úhlu vytnutém plochou detektoru (nikoli čoč-ky!) neboli zorným polem (sr⁻¹), ani na šířce propustnosti filtru (nm⁻¹). Právě takovou veličinou je monochromatická intenzita:

Iλ= dE dtdScosϑdωdλ s jednotkou J s⁻¹m⁻²sr⁻¹nm⁻¹.

Kdybychom měřili anténkou s heterodynkem, asi bychom místo vlnové délkyλ užívali raději frekvenci ν ajinou monochromatickou intenzitu:

Iν= dE dtdScosϑdωdν

s jinou jednotkou J s⁻¹m⁻²sr⁻¹Hz⁻¹. Intenzitě připisujeme směr opačný, než ja-kým míří dalekohlídek, čili kam by mířilo záření, kdybychom mu do cesty nic ne-strkali; prostorový úhel je ovšem tentýž.

Takto definovaná intenzita má velmi pozoruhodné vlastnosti, například pro ni neplatí zákon čtverců! Představme si, že měříme přímo na Slunci (ve fotosféře;

obr. 17), zjistíme asiIλ .

= 4·10⁴W m⁻²sr⁻¹nm⁻¹, a to téměř nezávisle na směru;

intenzita je zde skoro izotropní. Když měříme u Země, můžeme bez újmy na obec-nosti použít obří dalekohled s plochou dS⁰= dωr², zabírající malilinký prostorový úhel dω⁰= dS/r². Evidentně pak zachytáváme tutéž energii dE⁰ = dEa i intenzita vychází stejná I_λ⁰ =Iλ! Podstatný rozdíl je ovšem v jiných směrech než ke Slunci (resp. od Slunce), tam je I_λ⁰ = 0, čili je velmi anizotropní; Slunce je malá světlá skvrna na jinak tmavé obloze.

Proč se tedy o hvězdách říká, že jsou slabé? Celý problém spočívá v rozdílu mezi rozlišeným a nerozlišeným zdrojem (obr. 18)! Nedokážeme-li¹² dostatečně zmenšit dω⁰, mícháme světlo a tmu, tudíž vychází malé Iλ. Pro nerozlišené zdroje potom platí zákon čtverců.

12mj. kvůli difrakci, aberacím, seeingu

Slunce

dS dω

ˇ coˇcka

detektor

dS^′= dω r² dω^′= dS/r²

⊕Zemˇe r

ˇ coˇcka

malilink´y detektor

Obr. 17— Měření monochromatické intenzityIλtěsně u Slunce (ve fotosféře) a u Země. V prvním případě máme plochu dS, což je plocha čočky dalekohledu, prostorový úhel dω, který je vymezen plochou detektoru, a úhel ϑ = 0. Intenzita je zde téměř izotropní, i kdybychom dalekohlídek natočili jiným směrem, naměříme téměř totéž. Ve druhém případě (ve vzdálenostir) volíme bez újmy na obecnosti plochu dS⁰ = dω r², prostorový úhelω⁰= dS/r², abychom zachytili všechno záření z plochy dS jdoucí do prostorového úhlu dω. Pak je evidentní, žeI_λ⁰ =Iλ, nedochází-li mezitím k žádné absorpci, emisi nebo rozptylu. I kdybychom ale měli dalekohled jinačí, dělili

bychom energii dE⁰jiným dS⁰, dω⁰a obdrželi totožnéI_λ⁰.

hvˇezda

dS dω

dS^′= dS dω^′= dω

Obr. 18— Měření intenzityIλpro rozlišený a nerozlišený zdroj. V prvním případě jsme natolik blízko hvězdy, že ji jsme schopni s naším dalekohlídkem vytínajícím prostorový úhel dωrozlišit, tzn.

vidět pouze část jejího povrchu a změřit intenzituIλ. Při vzdálení za určitou hranici (čárkovanou) se ale do téhož prostorového úhlu dω⁰= dωdostává nejen světlo, ale i tma, proto vychází nižší

intenzita,I_λ⁰ < Iλ.

Výše uvedené úvahy se týkají pouze záření ve vakuu. Pokud není prázdno,Iλ6= konst., protože může nastávat absorpce, emise nebo rozptyl, a to mnoha různými způsoby.

In document Miroslav Brož HYDRODYNAMIKA V ASTRONOMII (Stránka 48-56)