Vzdělávací materiál

Vzdělávací materiál

vytvořený v projektu OP VK

Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0211

Název projektu: Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu

Číslo a název klíčové aktivity: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Anotace

Název tematické oblasti: Integrální počet Název učebního materiálu: Metoda per partes

Číslo učebního materiálu: VY_32_INOVACE_M0305 Vyučovací předmět: Matematika

Ročník: 4. ročník vyššího gymnázia

Autor: Jaroslav Hajtmar

Datum vytvoření: 8.1.2014

Datum ověření ve výuce: 27.1.2014 Druh učebního materiálu: pracovní list

Očekávaný výstup: Na základě předložených vztahů zvládne integrovat funkce metodou per partes.

Metodické poznámky: Materiál je určen k motivaci a procvičení učiva o integrálech. Může být použit k získání klasifikace.

Neurčitý integrál – metoda per partes (tj. po částech)

Podstata metody:

Metoda plyne z pravidla o derivování součinu dvou funkcí. Mají-li funkce𝑢(𝑥) ^a𝑣(𝑥)^{– zkráceně} 𝑢 ^a𝑣 ^{v nějakém} intervalu spojité derivace, platí pro derivaci součinu funkcí vzorec(𝑢 ⋅ 𝑣)′ = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣′. Integrací této rovnice dostaneme:

∫ (𝑢 ⋅ 𝑣)′ d𝑥 = ∫ 𝑢′ ⋅ 𝑣 d𝑥 + ∫ 𝑢 ⋅ 𝑣′ d𝑥 a odtud získáme vzorec, který předpisuje postup při integrování metou per partes:

∫ 𝑢′ ⋅ 𝑣 d𝑥 = 𝑢 ⋅ 𝑣 − ∫ 𝑢 ⋅ 𝑣′ d𝑥

Postup:

1) Integrovanou funkci rozložíme na součin tak, aby se integrál funkce dal poměrně snadno určit (nejlépe ze zá- kladních integrálů).

2) Určíme, kterou funkci považujeme za𝑢′a kterou za𝑣^.

3) Funkci označenou jako𝑢′integrujeme (musíme to umět), funkci označenou jako𝑣 zderivujeme.

4) Dosadíme do vzorce.

5) Metoda je úspěšná, je-li integrál na pravé straně jednodušší než integrál na straně levé. Někdy je třeba postup i několikrát opakovat.

6) Pokud se při výpočtu „zacyklíme“ tj. dostaneme se do integrálu stejné funkce, sestavíme rovnici z níž integrál vyjádříme.

Příklad 1: Vypočtěte neurčitý integrál∫ 𝑥 sin 𝑥 d𝑥 =

Řešení:

2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody 21

Tato volba tedy vedla k cı´li. Vy´pocˇet obvykle zapisujeme do jake´si tabulky, takzˇe za´pis vypada´ na´sledovneˇ:

Z

xsinxdx =

u = x u⁰ = 1 v⁰ = sinx v = −cosx

= x(−cosx)− Z

1·(−cosx)dx =

= −xcosx + Z

cosxdx = −xcosx +sinx +c.

Prˇi rucˇnı´m za´pisu pı´sˇeme tabulku bud’ pod integra´l nebo vedle neˇho, zde budeme s ohledem na mı´sto da´vat prˇednost za´pisu vedle integra´lu a od zbytku vy´pocˇtu ji oddeˇlı´me svisly´mi cˇarami.

Je dobre´ zvyknout si psa´t tuto pomocnou tabulku porˇa´d stejneˇ co do umı´steˇnı´ u, u⁰, v av⁰. Tento na´vyk va´m umozˇnı´ vyhnout se zbytecˇny´m chyba´m. Tedy v leve´m sloupci jsou funkceuav⁰ze zadane´ho integra´lu, na „hlavnı´ diagona´le“ tabulky ma´meuava v prave´m sloupci ma´me funkce u⁰ avnove´ho integra´lu. Prˇı´slusˇne´ dvojice jsou ve vzorci (2.6) spolu vzˇdy vyna´sobeny.

Zkusı´me nynı´ jesˇteˇ druhou volbu. Dostaneme Z

xsinxdx =

u = sinx u⁰ = cosx v⁰ = x v = ^x2

2

= x²

2 sinx − Z

(cosx) x²

2 dx =

= x²

2 sinx − 1 2

Z

x²cosxdx.

Prˇedchozı´ rovnost je sice spra´vna´, ale novy´ integra´l je ocˇividneˇ slozˇiteˇjsˇı´ nezˇ vy´chozı´,

takzˇe tato volba nevede k cı´li. N

Nezˇ si uka´zˇeme dalsˇı´ prˇı´klady, uvedeme si tabulku typicky´ch funkcı´, jejichzˇ neurcˇite´

integra´ly lze spocˇı´tat metodou per partes. Za´rovenˇ bude rˇecˇeno, kterou funkci derivujeme a kterou integrujeme. Vy´cˇet pochopitelneˇ nenı´ vycˇerpa´vajı´cı´, existujı´ i dalsˇı´ integra´ly, ktere´ lze vyrˇesˇit pomocı´ metody per partes. Nicme´neˇ je du˚lezˇite´ tyto za´kladnı´ typy zna´t, abyste se bez va´ha´nı´ doka´zali spra´vneˇ rozhodnout.

Integra´ly rˇesˇitelne´ metodou per partes

V na´sledujı´cı´ch tabulka´ch jeP (x)mnohocˇlen aaje nenulova´ konstanta. V prvnı´m sloupci je uveden integrand, ve druhe´m sloupci je uvedeno, kterou funkci budeme derivovat, a ve trˇetı´m, kterou funkci budeme integrovat. Prˇehled rozdeˇlı´me do dvou cˇa´stı´.

U prvnı´ skupiny derivujeme mnohocˇlen a integrujeme druhy´ cˇinitel. Novy´ integra´l bude soucˇinem mnohocˇlenu, jehozˇ stupenˇ bude o jednicˇku mensˇı´, a druhe´ funkce, ktera´

bude obdobna´ jako ve vy´chozı´m integra´lu (exponencia´lnı´ funkce e^ax se zachova´, funkce sinus a kosinus se prohodı´).

U druhe´ skupiny integrujeme mnohocˇlen a derivujeme druhy´ cˇinitel. Opacˇna´ volba by ani nebyla mozˇna´, protozˇe logaritmickou funkci, funkci arkussinus atd. ani neumı´me (zatı´m) integrovat. Derivacı´ se naopak teˇchto „neprˇı´jemny´ch“ funkcı´ zbavı´me. Jejich

Příklad 2: Vypočtěte neurčitý integrál∫ (2𝑥 − 1) ln 𝑥 d𝑥 =

Řešení:

2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody 23

= −(x² +1)e^−x −2xe^−x +2 Z

e^−x dx =

= −(x² +1)e^−x −2xe^−x −2e^−x +c = −(x² +2x +3)e^−x +c. N

+

Prˇı´klad 2.12. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

(2x −1)lnx dx, x ∈ (0,+∞).

Rˇ esˇenı´. Jde o integra´l z tabulky 2.3, mnohocˇlen 2x −1 tudı´zˇ budeme integrovat a loga- ritmickou funkci budeme derivovat. Na´sledneˇ vyjde

Z

(2x −1)lnx dx =

u =lnx u⁰ = ¹

x

v⁰ = 2x −1 v = x² −x

=

= (lnx)(x² −x)− Z 1

x (x² −x)dx =

= (x² −x)lnx − Z

(x −1)dx = (x² −x)lnx − 1

2 x² +x +c.

N

+

Prˇı´klad 2.13. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

arccotgx dx, x ∈ R.

Rˇ esˇenı´. Tento integra´l zda´nliveˇ nema´ tvar soucˇinu. Ale za druhy´ cˇinitel si vzˇdy mu˚zˇeme prˇedstavit jednicˇku, cozˇ je vlastneˇ mnohocˇlen stupneˇ nula. Jde tedy o integra´l uvedeny´

v tabulce 2.3. Derivovat tudı´zˇ budeme funkci arkuskotangens a integrovat jednicˇku. Vyjde tedy

Z

arccotgxdx =

u = arccotgx u⁰ = − ¹

x²+1

v⁰ =1 v = x

=

= (arccotgx)x − Z

− 1 x² +1

xdx = xarccotgx +

Z x

x² +1 dx =

= xarccotgx + 1 2

Z 2x

x² +1 dx = x arccotgx + 1

2 ln(x² +1)+c.

K vy´pocˇtu poslednı´ho integra´lu jsme pouzˇili vzorec 14. N V na´sledujı´cı´ch prˇı´kladech si uka´zˇeme dalsˇı´ obrat, ktery´ se v souvislosti s metodou per partes cˇasto pouzˇı´va´. Tento obrat spocˇı´va´ v tom, zˇe po integraci per partes (prˇı´padneˇ opakovane´) a u´prava´ch se na´m znovu objevı´ vy´chozı´ integra´l, ktery´ ma´me urcˇit. Tı´m dostaneme pro tento integra´l rovnici

Z

f (x)dx =h(x)+α Z

f (x)dx, α ∈ R, α 6= 0

(jejı´ leva´ strana je vy´chozı´ integra´l a prava´ strana je za´veˇrecˇny´ vy´raz), z nı´zˇ ho mu˚zˇeme vypocˇı´tat (pokud se nezrusˇı´, tj. pokudα 6= 1).

Příklad 3: Vypočtěte neurčitý integrál∫ (𝑥²+ 1)𝑒^−𝑥d𝑥 =

Řešení:

22 Neurcˇity´ integra´l

Integrand u v⁰

P (x)e^ax P (x) e^ax P (x)sinax P (x) sinax P (x)cosax P (x) cosax Tab. 2.2: Metoda per partes — prvnı´ cˇa´st

Integrand u v⁰

P (x)lnx lnx P (x)

P (x)arcsinax arcsinax P (x) P (x)arccosax arccosax P (x) P (x)arctgax arctgax P (x) P (x)arccotgax arccotgax P (x)

Tab. 2.3: Metoda per partes — druha´ cˇa´st

derivace jsou totizˇ pro integraci „jednodusˇsˇı´“ ((lnx)⁰ = 1/x, (arcsinx)⁰ = 1/

√

1−x², (arctgx)⁰ =1/(x² +1)atd.).

+

Prˇı´klad 2.11. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

(x² +1)e^−xdx, x ∈ R.

Rˇ esˇenı´. Jde o funkci typu „mnohocˇlen kra´t exponencia´lnı´ funkce“, kterou najdeme v ta- bulce 2.2. Mnohocˇlenx²+1 tedy budeme derivovat a exponencia´lnı´ funkci e^−x integrovat.

Za´rovenˇ si v tomto prˇı´kladu uka´zˇeme typicky´ rys metody per partes, a to opakovane´ po- uzˇitı´. Jak uvidı´me, dostaneme integra´l obdobne´ho typu „mnohocˇlen kra´t exponencia´lnı´

funkce“, ale mnohocˇlen bude mı´t nizˇsˇı´ stupenˇ. Pouzˇijeme tedy metodu per partes jesˇteˇ jednou. Obecneˇ u te´to prvnı´ skupiny funkcı´ uvedene´ v tabulce 2.2 pokracˇujeme tak dlouho, azˇ se derivova´nı´m mnohocˇlen prˇevede na konstantu (je-li jeho stupenˇ n, bude to po n-te´

derivaci). V nasˇem prˇı´padeˇ postupneˇ dostaneme Z

(x² +1)e^−xdx =

u = x²+1 u⁰ =2x v⁰ =e^−x v = −e^−x

=

= (x² +1)(−e^−x)− Z

2x(−e^−x)dx =

= −(x²+1)e^−x +2 Z

xe^−x dx =

u= x u⁰ =1 v⁰ = e^−x v = −e^−x

=

= −(x²+1)e^−x +2

x(−e^−x)− Z

1·(−e^−x)dx

2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody = 23

= −(x²+1)e^−x −2xe^−x +2 Z

e^−x dx =

= −(x²+1)e^−x −2xe^−x −2e^−x +c = −(x² +2x +3)e^−x +c. N

+

Prˇı´klad 2.12. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

(2x −1)lnxdx, x ∈ (0,+∞).

Rˇ esˇenı´. Jde o integra´l z tabulky 2.3, mnohocˇlen 2x −1 tudı´zˇ budeme integrovat a loga- ritmickou funkci budeme derivovat. Na´sledneˇ vyjde

Z

(2x−1)lnxdx =

u =lnx u⁰ = ¹

x

v⁰ = 2x −1 v = x² −x

=

= (lnx)(x²−x)− Z 1

x (x²−x)dx =

= (x² −x)lnx − Z

(x −1)dx = (x² −x)lnx − 1

2x² +x +c.

N

+

Prˇı´klad 2.13. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

arccotgxdx, x ∈R.

Rˇ esˇenı´. Tento integra´l zda´nliveˇ nema´ tvar soucˇinu. Ale za druhy´ cˇinitel si vzˇdy mu˚zˇeme prˇedstavit jednicˇku, cozˇ je vlastneˇ mnohocˇlen stupneˇ nula. Jde tedy o integra´l uvedeny´

v tabulce 2.3. Derivovat tudı´zˇ budeme funkci arkuskotangens a integrovat jednicˇku. Vyjde tedy

Z

arccotgxdx =

u = arccotgx u⁰ = − ¹

x²+1

v⁰ =1 v =x

=

= (arccotgx)x− Z

− 1 x²+1

xdx =xarccotgx+

Z x

x² +1 dx =

= xarccotgx + 1 2

Z 2x

x² +1 dx =xarccotgx+ 1

2 ln(x² +1)+c.

K vy´pocˇtu poslednı´ho integra´lu jsme pouzˇili vzorec 14. N V na´sledujı´cı´ch prˇı´kladech si uka´zˇeme dalsˇı´ obrat, ktery´ se v souvislosti s metodou per partes cˇasto pouzˇı´va´. Tento obrat spocˇı´va´ v tom, zˇe po integraci per partes (prˇı´padneˇ opakovane´) a u´prava´ch se na´m znovu objevı´ vy´chozı´ integra´l, ktery´ ma´me urcˇit. Tı´m dostaneme pro tento integra´l rovnici

Z

f (x)dx = h(x)+α Z

f (x)dx, α ∈R, α 6= 0

(jejı´ leva´ strana je vy´chozı´ integra´l a prava´ strana je za´veˇrecˇny´ vy´raz), z nı´zˇ ho mu˚zˇeme vypocˇı´tat (pokud se nezrusˇı´, tj. pokudα 6= 1).

Příklad 4: Vypočtěte neurčitý integrál∫ arccotg 𝑥 d𝑥 =

2.2 Za´kladnı´ integracˇnı´ metody 23

= −(x² +1)e^−x −2xe^−x +2 Z

e^−x dx =

= −(x² +1)e^−x −2xe^−x −2e^−x +c = −(x²+2x +3)e^−x +c. N

+

Prˇı´klad 2.12. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

(2x −1)lnxdx, x ∈ (0,+∞).

Rˇ esˇenı´. Jde o integra´l z tabulky 2.3, mnohocˇlen 2x − 1 tudı´zˇ budeme integrovat a loga- ritmickou funkci budeme derivovat. Na´sledneˇ vyjde

Z

(2x −1)lnx dx =

u = lnx u⁰ = ¹

x

v⁰ = 2x −1 v = x² −x

=

= (lnx)(x² −x) − Z 1

x (x² −x)dx =

= (x²−x)lnx − Z

(x −1)dx = (x² −x)lnx − 1

2 x² +x +c.

N

+

Prˇı´klad 2.13. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

arccotgx dx, x ∈ R.

Rˇ esˇenı´. Tento integra´l zda´nliveˇ nema´ tvar soucˇinu. Ale za druhy´ cˇinitel si vzˇdy mu˚zˇeme prˇedstavit jednicˇku, cozˇ je vlastneˇ mnohocˇlen stupneˇ nula. Jde tedy o integra´l uvedeny´

v tabulce 2.3. Derivovat tudı´zˇ budeme funkci arkuskotangens a integrovat jednicˇku. Vyjde tedy

Z

arccotgx dx =

u = arccotgx u⁰ = − ¹

x²+1

v⁰ = 1 v = x

=

= (arccotgx)x − Z

− 1 x² +1

x dx = xarccotgx +

Z x

x² +1 dx =

= xarccotgx + 1 2

Z 2x

x² +1 dx = x arccotgx + 1

2 ln(x² +1)+c.

K vy´pocˇtu poslednı´ho integra´lu jsme pouzˇili vzorec 14. N

V na´sledujı´cı´ch prˇı´kladech si uka´zˇeme dalsˇı´ obrat, ktery´ se v souvislosti s metodou per partes cˇasto pouzˇı´va´. Tento obrat spocˇı´va´ v tom, zˇe po integraci per partes (prˇı´padneˇ opakovane´) a u´prava´ch se na´m znovu objevı´ vy´chozı´ integra´l, ktery´ ma´me urcˇit. Tı´m dostaneme pro tento integra´l rovnici

Z

f (x)dx = h(x)+α Z

f (x)dx, α ∈ R, α 6= 0

(jejı´ leva´ strana je vy´chozı´ integra´l a prava´ strana je za´veˇrecˇny´ vy´raz), z nı´zˇ ho mu˚zˇeme vypocˇı´tat (pokud se nezrusˇı´, tj. pokudα 6= 1).

Příklad 5: Vypočtěte neurčitý integrál∫ 𝑒^𝑥sin 𝑥 d𝑥 =

Řešení: Použijeme dvakrát metodu per partes a závěrem vyjádříme integrál z rovnice:

24 Neurcˇity´ integra´l

+

Prˇı´klad 2.14. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z

e^xsinxdx, x ∈R.

Rˇ esˇenı´. Nejde o zˇa´dny´ z typu˚ uvedeny´ch v tabulka´ch 2.2 a 2.3. Pouzˇijeme postupneˇ dvakra´t metodu per partes, prˇicˇemzˇ vzˇdy budeme exponencia´lnı´ funkce derivovat a druhy´

cˇinitel integrovat (jinak bychom se vra´tili zpa´tky k samotne´mu zadane´mu integra´lu).

Dostaneme Z

e^xsinxdx =

u= e^x u⁰ =e^x v⁰ =sinx v = −cosx

=

= e^x(−cosx)− Z

e^x(−cosx)dx = −e^xcosx+ Z

e^xcosxdx =

=

u= e^x u⁰ =e^x v⁰ =cosx v =sinx

= −e^xcosx+e^xsinx− Z

e^xsinxdx.

Dostali jsme tedy rovnici Z

e^xsinxdx = −e^xcosx+e^xsinx− Z

e^xsinxdx, z nı´zˇ jizˇ snadno vypocˇı´ta´me, zˇe

2 Z

e^xsinxdx = −e^xcosx+e^xsinx+c, Z

e^xsinxdx = 1

2e^x(sinx−cosx)+c.

Neˇkdo mozˇna´ cˇekal ve vy´sledku hodnotu ₂^c, ale je-li c libovolna´ konstanta, je ₂^c take´

libovolna´ konstanta (vlastneˇ jsme provedli prˇeznacˇenı´ zlomku ₂^c a pro novou hodnotu jsme pouzˇili tote´zˇ pı´smeno). V dalsˇı´m textu uzˇ tento obrat nebudeme komentovat. N

+

Prˇı´klad 2.15. Vypocˇteˇte neurcˇity´ integra´l Z p

1−x²dx, x ∈(−1,1).

Rˇ esˇenı´. Opeˇt nalezneme rovnici pro hledany´ integra´l. Za jeden cˇinitel volı´me jednicˇku.

Vyjde tudı´zˇ Z p

1−x²dx =

u=

√

1−x² u⁰ = −√^x

1−x²

v⁰ =1 v =x

=

=xp

1−x² −

Z −x²

√

1−x² dx = xp

1−x²−

Z 1−x² −1

√

1−x² dx =

=xp

1−x² − Z

1−x²

√

1−x²

− 1

√

1−x²

dx =

=xp

1−x² − Z p

1−x²dx+

Z dx

√

1−x²

=

=xp

1−x² − Z p

1−x²dx+arcsinx.

Podle předchozích návodů vypočítejte metodou per partes neurčité integrály:

Úloha 1. ∫ cos² d𝑥 = (řešete i substituční metodou)

Úloha 2. ∫ 𝑥 cos 𝑥 d𝑥 =

Úloha 3. ∫ 𝑥 arctg 𝑥 d𝑥 =

Úloha 4. ∫ 𝑥²cos 𝑥 d𝑥 =

Úloha 5. ∫ 𝑥 ln 𝑥 d𝑥 =

Úloha 6. ∫ ^{ln 𝑥}_𝑥 d𝑥 =

Výsledky úloh

1. ¹₂sin 𝑥 cos 𝑥 +₂^𝑥 + 𝑐 2. 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐 3. ^𝑥2₂⁺¹arctg 𝑥 − ^𝑥₂+ 𝑐

4. 𝑥²sin 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 5. ¹₂𝑥²ln 𝑥 − ^𝑥₄² + 𝑐

6. ¹₂ln²𝑥 + 𝑐

Použité materiály a zdroje

Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 8071960993.

Tomica, R. Cvičení z matematiky – I. Brno: VAAZ, 1974.

Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 2013

[cit. 2013-04-15]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW:<http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/print/ip .pdf>.

Archiv autora