2.9.10 Exponenciální rovnice (shrnutí)

1

2.9.10 Exponenciální rovnice (shrnutí)

27 4

 x

  =

  .

3 2

2 3

3 2

  x  

=

    

    

 

3 2

2 2

3 3

x −

   

  = 

    3x= −2 2

x= −3 2

K  3

= − 

 

Př. 2: Vyřeš rovnici 4 2⋅ ⋅^x 2 = ⋅4^x 2^.

( )

1

2 2 2

2 ⋅ ⋅2^x 2 = 2 ^x⋅2 2^{x+ +2 12} =2^2x+1 (můžeme přejít od mocnin k normální rovnici)

2 1 2 1

x+ + =2 x+ 3

x=2 3

K  2

= 

  Př. 3: Vyřeš rovnici: 3^x+1+ ⋅ =2 3^x 5^x+1− ⋅2 5^x.

1 1

3^x+ + ⋅ =2 3^x 5^x+ − ⋅2 5^x / : 5^x

1 1

3 3 5 5

2 2

5 5 5 5

x x x x

x x x x

+ +

+ ⋅ = − ⋅ 3 3

3 2 5 2

5 5

x x

    + ⋅ = −

   

    Substituce: 3

5

x

a  

= 

  3a+2a=3 5a=3 3 a=5

3 3

5 5

x

a  

= = 

  x=1 ^{K =}

{ }

Př. 4: Vyřeš rovnici 3^x−3^x−1− ⋅2 3^x−2− ⋅3 3^x−3 =9. Substituce: a=3^x−3

2 3 1 3

3^x− =3^{x− +} =3^x− ⋅ =3 3a, 3^x−1 =3^{x− +3 2} =3^x−3⋅ =3² 9a, 3^x =3^{x− +3 3}=3^x−3⋅ =3³ 27a

1 2 3

3^x−3^x− − ⋅2 3^x− − ⋅3 3^x− =9 27a−9a− ⋅ −2 3a 3a=9 9a=9 a=1 3^x 3 1

a= ⁻ = 3^x−3 =3⁰ x− =3 0 x=3 ^{K =}

{ }

Př. 5: Vyřeš rovnici

2 2 8

8 11 2

5 2 2

5 10

x x

x

−

− − +

⋅ = .

2 2 8

8

8 11 2

5 2 2

5 10 / 5

x x

x

− −

− − +

⋅ = ⋅ ² 5 2⁸ ₁₁ ⁸₂ 10₁₁⁸ ₂

10 10 10

x

x x

− −

− + − +

= ⋅ =

( )

2 8 11 2 11 10

10^x =10^{− − − x+} =10 ^x− x² =11x−10 ^{x2−11x+ = −10}

(

)(

)

1 10

x = , x₂ =1 ^{K =}

{ }

Př. 6: Vyřeš rovnici 2 4⋅ + ⋅ = ⋅^x 3 9^x 5 6^x.

2 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅^x 2^x 3 3 3^{x x} 5 2 3^{x x} 2 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅^x 2^x 3 3 3^{x x} 5 2 3^{x x} : /3 3^x⋅ ^x

2 2 3 3 2 3

2 3 5

3 3 3 3 3 3

x x x x x x

x x x x x x

⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

2 2 2

2 3 5

3 3 3

x x x

     

⋅    + = ⋅ 

     

Substituce: 2 3

x

  a

  =

  2a a⋅ + =3 5a 2a²−5a+ =3 0

( ) ( )

2 1,2

5 5 4 2 3

4 5 1 5 1

2 2 2 4 4

b b ac

a a

− − ± − − ⋅ ⋅

− ± − ± ±

= = = =

⋅

1

5 1 6 3

4 4 2

a = + = = ₂ 5 1

4 1 a = − =

2

1

1

2 3

3 2

x

a  

=  =

 

1 1

2 2

3 3

x −

   

  = 

    x₁= −1 ₂ 2 ² 3 1

x

a  

=  =

 

2 0

2 2

3 3

 x  

  = 

    x₂ =0

{

}

K = −

Př. 7: Vyřeš rovnici ^x2³⋅ =8 ^x2 4⋅ .

( )

1

1 1 2

3 3 2

2 ^x 2 2^x 2 

⋅ = ⋅ 

 

3 1

3 2

2^x⋅ =2 2 ^x⋅2 2^3x+3 =2^{21x+1 3 3 1 1} 2 x+ = x+

3 3 1 2

2 / 2

x x

x x x

+ = + ⋅ ^{2 3 3}

(

)

5

x= −4 5

K  4

= − 

  Př. 8: Vyřeš rovnici 2^2x⋅5^x+1=4^x+1+4^x.

( )

2 1

2 ^x⋅5^x+ = ⋅ +4^x 4 4^x =4^x 4 1+ ^22x⋅^5x+1= ⋅^{5 4x} 2^2x⋅5^x+1= ⋅5 2^2x / : 2^2x

5^x+1=5 x+ =1 1 x=0 ^{K =}

{ }

Př. 9: Vyřeš rovnici 3^x+ ⋅2 3^1−x =5.

3^x+ ⋅2 31^−x =5 3^x+ ⋅ ⋅2 3 3^−x =5 1

3 6 5

3

x

+ ⋅ x = 6

3 5

3

x

+ x = Substituce: y=3^x 6

5 /

y y

+ =y ⋅ y² + =6 5y y²−5y+ =6 0

(

)(

)

1 3

y = y₂ =2

1

1 3^x 3

y = =

1 1

3^x =3

1 1

x =

2

2 3^x 2

y = = 3^x2 =2

Neumíme napsat 2 jako mocninu trojky (tři na něco). To neznamená, že rovnice 3^x2 =2 nemá řešení, nakreslíme graf funkce y=3^x a funkce y=2.

2 4

2

4 -2

6

-2

-4 x2

Číslo, které by bylo řešením, existuje, platí pro něj 0<x₂ <1. Je to číslo, na které musíme umocnit trojku, aby vyšla dvojka, ale nevíme, co to je za číslo, jak ho spočítat.

Podobná situace jako u posledního slovního příkladu.

Je vidět, že to budeme muset jednou vyřešit.

{ }

K = x