BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
Matouš Fürst
Optimalizace v energetických úlohách
Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D.
Studijní program: Matematika
Studijní obor: Obecná matematika
Praha 2019
Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů.
Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle §60 odst. 1 autorského zákona.
V ... dne ... Podpis autora
Děkuji doc. RNDr. Ing. Miloši Kopovi, Ph.D., za vedení mé bakalářské práce.
Dále děkuji Mgr. Tomáši Rusému za cenné rady, připomínky a obětavou pomoc při psaní této práce.
Název práce: Optimalizace v energetických úlohách Autor: Matouš Fürst
Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky
Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D., Katedra pravdě- podobnosti a matematické statistiky
Abstrakt: V této práci představujeme optimalizační model částečně energeticky soběstačné domácnosti, jehož cílem je zefektivnit hospodaření s energií. Domác- nost je vybavena solárními panely a disponuje elektromobilem s velkokapacitní baterií. V první části práce jsou shrnuty základní vlastnosti lineárního progra- mování a dvoustupňového stochastického lineárního programování. Následně je formulována a vyřešena dvoustupňová stochastická lineární úloha za účelem op- timalizace nákupu, prodeje a ukládání energie v domácnosti v průběhu jednoho dne. Úloha je formulována ve dvou variantách — s přítomným a s odjíždějícím elektromobilem. Výsledné řešení úlohy představuje optimální rozhodnutí domác- nosti a diskutujeme ho vzhledem ke vstupním datům. V obou variantách vede řešení k nezanedbatelnému snížení nákladů oproti domácnosti nevyužívající ba- terii.
Klíčová slova: stochastická optimalizace, lineární programování, domácí elektrická síť
Title: Optimization in energy problems Author: Matouš Fürst
Department: Department of Probability and Mathematical Statistics
Supervisor: doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D., Department of Probability and Mathematical Statistics
Abstract: In this thesis we present an optimization model of a semi-autonomous household, which aims to make energy management more efficient. The household is equipped with solar panels and an electric vehicle with a high-capacity battery.
In the first part we summarize the basic properties of linear programming and two- stage stochastic linear programming. Subsequently, a two-stage stochastic linear program is formulated and solved in order to optimize the purchase, sale and storage of energy in the household during a single day. The program is formulated in two versions — with present and with departing vehicle. The final solution represents optimal decisions of the household and we discuss it with respect to the input data. In both versions the solution leads to a substantial reduction in costs compared to a household without a battery.
Keywords: stochastic optimization, linear programming, domestic microgrid
Obsah
Úvod 3
1 Lineární programování 5
1.1 Formulace úlohy LP . . . 5
1.2 Konvexní množiny a řešení úlohy LP . . . 6
2 Stochastické lineární programování 11 2.1 Dvoustupňový lineární model . . . 12
2.2 Model s diskrétním rozdělením . . . 13
3 Optimalizace řízení soběstačné domácnosti 15 3.1 Model . . . 16
3.1.1 Parametry a scénáře . . . 16
3.1.2 Proměnné . . . 17
3.1.3 Omezení . . . 18
3.2 Formulace úlohy SLP . . . 18
3.3 Vstupní data a hodnoty parametrů . . . 19
3.4 Výsledky . . . 23
3.4.1 Stanovení optimálního počátečního nabití baterie . . . 23
3.4.2 Optimální řešení . . . 24
3.4.3 Celkové náklady na energii a porovnání . . . 27
3.4.4 Modifikace s odjíždějícím automobilem . . . 28
Závěr 31
Seznam použité literatury 33
Úvod
Elektrická energie je hnací silou dnešní doby. Její role se stala nenahraditelnou a jen těžko bychom si nyní představili život bez světla z žárovky či bez mobil- ního telefonu. Spolu s technologickým vývojem a rostoucí komplexitou výroby a spotřeby energie ale přicházejí nové problémy. Zásoby fosilních paliv, tradič- ních energetických zdrojů, nejsou nekonečné a mnohdy jejich využití doprovází nežádoucí dopad na životní prostředí. Vyvstávají otázky týkající se zefektivnění a stability energetické sítě, a to především v souvislosti s využitím energie z obnovitelných zdrojů. Hledání zodpovědného řešení je úkolem, který si zaslouží zvláštní pozornost.
V této práci představíme model domácnosti, která vedle energie z distribuční sítě využívá také solárních panelů a disponuje elektromobilem s velkokapacitní baterií. Jelikož se elektromobily stávají stále častější alternativou k benzínovým a naftovým vozům, je vhodné studovat různé možnosti jejich širšího využití — v našem případě se zaměříme na zapojení do domácí energetické sítě. Budeme zkoumat, zda jsme schopni vhodným využitím baterie elektromobilu snížit ná- klady na elektrickou energii spotřebovanou v domácnosti, resp. přispět též ke stabilitě celé sítě vyvažováním výkyvů ve výrobě a spotřebě elektřiny. Za tímto účelem zformulujeme dvoustupňovou úlohu stochastického lineárního programo- vání a nalezneme její řešení představující optimální strategii, kterou dále disku- tujeme.
Podobné energetické systémy patří v současné době mezi studovaná témata.
Častým předmětem zájmu je právě využití energetických úložišť a navržení op- timálních řídících systémů. Příkladem je práce Pacaud a kol. (2018) týkající se domácího energetického systému nebo práce Rigaut a kol. (2019) věnující se op- timalizaci ventilace pařížského metra. Nově zkoumaným konceptem je zapojení většího množství elektromobilů do distribuční sítě. Dosavadní výsledky v této oblasti jsou shrnuty v práci S. Pearre a Ribberink (2019).
Práce je strukturována do tří kapitol. V první a druhé kapitole shrneme te- oretické základy metody lineárního a stochastického lineárního programování.
V případě lineárního programování se zaměříme na vlastnosti přípustných a opti- málních řešení. V kapitole o stochastickém lineárním programování se zaměříme na základní obecnou formulaci dvoustupňové lineární úlohy, speciálně pak na for- mulaci v případě modelu s diskrétním rozdělením. Tyto výsledky dále použijeme ve třetí kapitole, kde představíme model částečně soběstačné domácnosti. V tomto modelu formulujeme úlohu minimalizace nákladů na energii a na základě vstup- ních dat tuto úlohu vyřešíme pro tři různé typové dny s odlišným charakterem.
Úlohu dále vyřešíme i s mírnou modifikací simulující nepřítomnost elektromobilu v domácnosti za pracovního dne. Výsledky interpretujeme v souvislosti se vstup- ními daty a porovnáme s modely nevyužívajícími baterii elektromobilu, případně ani energii ze solárních panelů.
1. Lineární programování
Základní metodou, kterou budeme pro řešení optimalizačních úloh využívat, je lineární programování (zkráceně LP). Obecnou optimalizační úlohu můžeme definovat jako úlohu hledání minima nebo maxima funkce f proměnné x ∈ Rn na zadané množině M. Zapisujeme ji
minx∈Mf(x).
Je-li f lineární a množina M určena systémem lineárních funkcí, potom o této úloze mluvíme jako o úloze LP.
Úlohy lineárního programování se vyskytují v celé řadě oblastí. Na lineární optimalizační problémy narazíme například při plánování výroby, v dopravě, ve financích, ale také v energetice.
V této kapitole formulujeme obecnou úlohu LP a shrneme její vlastnosti. Bu- deme přitom používat věty a definice, které jsou převzaty z knih Úvod do optima- lizace (Dupačová a Lachout, 2011) a Lineární programování (Dupačová, 1982).
1.1 Formulace úlohy LP
Optimalizační úlohu lineárního programování můžeme formulovat následovně minimalizovat c⊤x
za podmínek a⊤j x≥bj pro každé j ∈J≥, a⊤j x≤bj pro každé j ∈J≤, a⊤j x=bj pro každé j ∈J=, xi ≥0 pro každé i∈I≥, xi ≤0 pro každé i∈I≤, xi ∈R pro každé i∈I∈,
kde aj, c ∈Rn, bj ∈R, a I≥∪I=∪I≤ ={1, . . . , n}, J≥∪J=∪J≤ ={1, . . . , m}
jsou disjunktní rozklady indexových množin. O takto formulované úloze říkáme, že je vesmíšeném tvaru. Funkcic⊤xnazveme účelovou funkcí. Pro další výpočty je ale užitečné uvažovat úlohu LP ve standardním tvaru, neboli
minimalizovat c⊤x
za podmínek a⊤jx=bj pro každéj = 1,2, . . . ,m, (1.1) xi ≥0 pro každéi= 1,2, . . . ,n,
zapsáno maticově
min{︂c⊤x : Ax =b, x≥0}︂, (1.2) kdeb ∈Rm,c ∈Rn aA∈Rm×n.
Úlohu ve smíšeném tvaru můžeme vždy převést na úlohu ve standardním tvaru následujícím způsobem: Máme-li maximalizovat účelovou funkci c⊤x, budeme
minimalizovat −c⊤x. Nerovnost aj,1x1+· · ·+aj,nxn≤bj převedeme na rovnost pomocískluzové proměnné vj ≥0 tak, že položímeaj,1x1+· · ·+aj,nxn+vj =bj. Opačnou nerovnost odstraníme odečtením skluzové proměnné. Je-li proměnná xi ≤ 0, nahradíme ji nezápornou proměnnou x′i =−xi. Proměnnou bez omezení xi ∈R rozdělíme na dvě nezáporné proměnné, tedy položíme xi =x+i −x−i , kde x+i ≥0, x−i ≥0.
Příklad 1. Uvažujme domácnost, která spotřebovává elektrickou energii. Cenu elektřiny označmep1. Dostaneme nabídku na koupi dvou typů solárních panelů za cenup2, resp.p3, které mají za rok vyprodukovat v průměrus1, resp.s2 elektrické energie. Na střechu domácnosti se vejde nejvýše 5 panelů. Označme b kapitál domácnosti, který může využít na nákup solárních panelů. Předpokládejme, že stát nebo dodavatel elektřiny nám garantují její cenu na příštích deset let. Jaké solární panely má domácnost nainstalovat tak, aby se investice v horizontu deseti let co nejvíce vyplatila? Zanedbáme-li pro jednoduchost časovou hodnotu peněz, zapíšeme danou úlohu následujícím způsobem
minimalizovat (p2−10p1s1)x1+ (p3−10p1s2)x2 za podmínek p2x1+p3x2 ≤b,
x1+x2 ≤5, x1, x2 ∈N0.
Úloha je formulována ve smíšeném tvaru. Proměnné x1, x2 zde vyjadřují počet koupených panelů prvního, resp. druhého typu. Účelová funkce udává náklady za elektřinu pro příštích deset let včetně počáteční investice. První z podmínek říká, že na nákup panelů musíme mít dostatečný kapitál. Omezení na počet panelů je zapsáno druhou podmínkou.
1.2 Konvexní množiny a řešení úlohy LP
V této podkapitole se zaměříme na vlastnosti množiny řešení úlohy LP. Defi- nujme si pojmy potřebné pro naše studium, které jsou převzaty z knihy Úvod do optimalizace (Dupačová a Lachout, 2011).
Definice 1. Množinu X ⊆ Rn nazveme konvexní, jestliže pro každé x, y ∈ X a λ∈(0,1) platíλx+ (1−λ)y∈ X.
Definice 2. Řekneme, že množina je konvexní polyedrická, jestliže je průnikem konečně mnoha uzavřených poloprostorů (tj. množin tvaru {x∈Rn : a⊤x≥b}
pro vhodná a ∈ Rn, b ∈ R, a ̸= 0). Omezenou konvexní polyedrickou množinu nazveme konvexním polyedrem.
Definice 3. Kuželem nazveme množinu K ⊆ Rn, která obsahuje počátek a ne- záporné násobky svých prvků, tj. ∀ x ∈ K, α > 0 platí αx ∈ K. Konvexním kuželem nazveme množinu, která je zároveň kuželem i konvexní množinou. Kon- vexním polyedrickým kuželemnazveme množinu, která je zároveň konvexním ku- želem i konvexní polyedrickou množinou.
Poznamenejme, že průnik libovolného počtu konvexních množin je opět konvexní množina (viz Dupačová a Lachout, 2011, Lemma 2.16).
Označíme-li množinu přípustných řešení
M ={x∈Rn : Ax =b, x≥0}, (1.3) dostáváme následující důležité tvrzení:
Věta 1. Množina M přípustných řešení úlohy LP ve standardním tvaru (1.2) je konvexní polyedrická množina.
Důkaz. Množina M je určena podmínkami a⊤jx = bj a xi ≥ 0 pro každé j = 1,2, . . . ,m a i = 1,2, . . . ,n. Podmínky a⊤j x = bj můžeme přepsat jako a⊤jx ≥ bj ∧ a⊤j x ≤ bj. M je tedy průnikem konečně mnoha uzavřených poloprostorů a z Definice 2 konvexní polyedrickou množinou.
(Dupačová a Lachout, 2011, Věta 3.9) Abychom mohli množinu přípustných řešení zkoumat podrobněji, musíme si zavést některé pojmy týkající se konvexních množin.
Definice 4. BuďA⊆Rnneprázdná množina, potom boda∈Anazvemekrajním bodem množiny A, jestliže neexistují x, y ∈ A, x ̸= y a α ∈ (0,1) takové, že a=αx+ (1−α)y. Množinu krajních bodů množiny A značíme ext(A).
Definice 5. Buď A ⊆ Rn neprázdná množina, potom definujeme konvexní obal množiny A jako
conv(A) =
{︄
∑︂
a∈I
λ(a)a:λ(a)≥0 ∀a ∈I,∑︂
a∈I
λ(a) = 1, ∅ ̸=I ⊂A, I konečná
}︄
. Definice 6. BuďA⊂Rnneprázdná množina, potom bodv ∈Rn, v ̸=0nazveme
• směrem množiny A, jestliže existuje a ∈ A takové, že celá polopřímka {a+tv : t ≥0}leží v množině A. Množinu všech směrů množinyAozna- číme direct(A).
• krajním směrem množiny A, jestliže v ∈ direct(A) a neexistuje dvojice směrů x, y ∈ direct(A), x ̸= αv, y ̸= βv pro libovolná α, β > 0, a nee- xistují γ >0, δ >0 tak, že v =γx+δy. Množinu znormovaných krajních směrů množiny A označíme extd(A).
Důležitou vlastností množiny M všech přípustných řešení je, že ji můžeme rozložit na kužel a konvexní polyedr ve smyslu následující věty. Dostáváme tak dobrou představu o tvaru množiny, ve které budeme hledat optimální řešení.
Věta 2 (O rozkladu M). Množina M přípustných řešení úlohy (1.2) je buď prázdná nebo je ve tvaru algebraického součtu
M =P +K,
kde P = conv(ext(M)) a K = direct(M). Potom P je konvexní polyedr a K je konvexní polyedrický kužel.
(Dupačová, 1982, str. 55, Věta 2)
Z Věty 2 vyplývá, že množinaM je tvořena konvexním polyedremP, jehož krajní body jsou právě krajní body množiny M a dále body, které leží od libovolného prvkuP ve směru kuželuK. Tvrzení věty nám pomůže při řešení úlohy (1.2). Její důkaz zde uvádět nebudeme, lze ho najít v citované literatuře. Podotkněme pouze, že v důkazu je využito užitečné tvrzení, které říká, že konvexní polyedrický kužel K je roven množině nezáporných řešení homogenní soustavyAx =0, neboli
K ={x∈Rn : Ax=0, x≥0}. (1.4) Pojďme se podívat na další vlastnosti množiny přípustných řešení úlohy line- árního programování. Předpokládejme, že matice A ∈ Rm×n ze vzorce (1.2) má plnou řádkovou hodnost. NechťL je libovolná podmnožina {1, . . . , n} obsahující právě m různých prvků. Označme AL matici typu m×m sestavenou ze sloupců popořadě s indexy z L.
Definice 7.
• Je-li AL regulární, nazveme L bází úlohy (1.2).
• Pro pevnou bázi L úlohy (1.2) nazveme bod x(L) ∈ Rn bazickým řešením příslušným k bázi L, jestliže Ax(L) = b a x(L)i = 0 pro všechna i ̸∈ L. Řekneme, že x je bazické řešení úlohy (1.2), jestliže existuje báze L tak, že x=x(L).
• Bázi L úlohy (1.2) nazveme přípustnou bází, jestliže k ní příslušné bazické řešení x(L) je nezáporné. Řekneme, že x je přípustné bazické řešení úlohy (1.2), jestliže existuje přípustná báze L tak, že x=x(L).
• Bázi L úlohy (1.2) nazveme optimální bází, jestliže k ní příslušné bazické řešeníx(L)je optimálním řešením úlohy (1.2). Řekneme, žex je optimální bazické řešení úlohy (1.2), jestliže existuje přípustná optimální báze L tak, že x=x(L).
Je zřejmé, že bazické řešení příslušné k bázi Lje určeno jednoznačně. Se znalostí těchto pojmů můžeme charakterisovat množinu krajních bodů množiny přípust- ných řešení M.
Věta 3. Pokud má matice A plnou řádkovou hodnost, pak množina ext(M) je rovna množině všech přípustných bazických řešení.
(Dupačová a Lachout, 2011, Věta 3.13) Z Věty 3 vyplývá, že krajních bodů množiny M je konečně mnoho a lze je dopo- čítat ze vztahu x(L) = A−1L b a doplněním x(L)i = 0 pro i ̸∈ L. Důsledkem je, že počet krajních bodů množiny přípustných řešení M můžeme shora odhadnout číslem (︂mn)︂.
Nyní už víme jak vypadají přípustná řešení úlohy (1.2), zaměřme se tedy na ta, která jsou vzhledem k naší úloze optimální, neboli minimalizují účelovou funkci.
Věta 4 (Existence optimálního řešení). Úloha (1.2) má optimální řešení tehdy a jen tehdy, když
1. M ̸=∅,
2. c⊤y≥0 pro všechna y∈direct(M).
Má-li úloha optimální řešení, pak účelová funkce c⊤x nabývá svého minima na M v některém krajním bodě M (tj. pro některé přípustné bazické řešení).
Důkaz. ⇒ Z existence optimálního řešení plyne, že M ̸=∅. Jestliže c⊤y<0 pro nějaké y ∈ direct(M), pak pro libovolný bod x ∈ M hodnota účelové funkce neomezeně klesá na polopřímce s počátkem v x ve směru y, a pak by tedy nee- xistovalo optimální řešení.
⇐ Nechť c⊤y ≥ 0 pro všechna y ∈ direct(M). Z věty o rozkladu množiny pří- pustných řešení (Věta 2) jeM =P+K, kdeP je konvexní polyedr aK konvexní kužel. Tedy pro libovolný bodx∈M existujíp∈P ay ∈Ktakové, žex=p+y.
Jelikož z Věty 2 máme P = conv(ext(M)) a z Věty 3 víme, že krajních bodů M je konečně mnoho, označme je x1, . . . ,xk a vyjádřeme
p=
k
∑︂
i=1
λixi, kdeλi ≥0 a
k
∑︂
i=1
λi = 1.
Odtud již můžeme odhadnout hodnotu účelové funkce v boděx c⊤x=c⊤p+c⊤y≥
k
∑︂
i=1
λic⊤xi ≥min{c⊤x1, . . . ,c⊤xk}.
Účelová funkce je tedy zdola omezená nejmenší hodnotou účelové funkce krajních bodech množiny M. Těchto bodů je konečně mnoho, a tedy v některém z nich nabývá účelová funkce minima.
(Dupačová a Lachout, 2011, Věta 3.16) Druhou podmínku můžeme ekvivalentně formulovat i jiným způsobem. Z li- nearity účelové funkce plyne
∀y∈direct(M) jec⊤y≥0⇐⇒ ∀y∈extd(M) je c⊤y≥0,
neboli hodnota účelové funkce je nezáporná ve směrech množiny M právě tehdy, když je nezáporná v krajních směrech množiny M (Dupačová a Lachout, 2011, str. 24).
Výsledky kapitoly můžeme zformulovat v následující větě.
Věta 5(Základní věta LP). Nechť je dána úloha LP ve standardním tvaru (1.2).
Potom nastane právě jedna ze tří možností:
1. M =∅, tedy optimální řešení neexistuje
2. M ̸=∅ a infx∈Mc⊤x=−∞, tedy optimální řešení neexistuje 3. optimální řešení existuje
Navíc je-li M ̸= ∅, pak existuje přípustné bazické řešení, a existuje-li optimální řešení, pak existuje i optimální bazické řešení.
(Dupačová a Lachout, 2011, Věta 3.19)
V kapitole jsme si ukázali, jak vypadá množina přípustných řešení úlohy LP.
Z Věty 3 víme, že existuje-li optimální řešení, je jím některý z krajních bodů množiny přípustných řešení. Tyto krajní body umíme dopočítat jako bazická řešení. Postačující podmínku existence optimálního řešení nám pak dává Věta 4.
Tyto výsledky jsme nakonec zformulovali ve Větě 5.
2. Stochastické lineární programování
Stochastické lineární programování (zkráceně SLP) je nástroj pro řešení line- árních optimalizačních úloh, do kterých vstupují náhodné elementy. Příkladem takového náhodného jevu mohou být proměnlivé tržní ceny, poptávka, počasí a různé faktory ovlivňující např. výrobu nějakého produktu. Pokud umíme roz- poznat nebo alespoň odhadnout rozdělení těchto náhodných jevů, můžeme ho zahrnout do našeho modelu a pokusit se tím vylepšit rozhodování založené na deterministickém modelu úlohy LP, který jsme si představili v první kapitole.
V této práci se budeme zabývat tzv. dvoustupňovou (two-stage) úlohou, ve které, na rozdíl od obyčejné úlohy LP, vystupují dva typy rozhodnutí. Rozlišujeme je podle doby konání následovně:
(a) Rozhodnutí, která musíme učinit ještě před uskutečněním náhodných udá- lostí (před realizací náhodných jevů). Hovoříme o takzvaných rozhodnutích prvního stupně (first-stage).
(b) Rozhodnutí, která činíme až po tom, co je nám známý výsledek náhodných událostí. Tato rozhodnutí nazýváme rozhodnutímidruhého stupně (second- stage).
Příklad 2. Uvažujme domácnost odebírající energii jak ze sítě, tak také z vlast- ních solárních panelů. Jelikož se za slunečných dnů stává, že solární panely do- dávají více energie, než domácnost spotřebuje a nebo například uloží do baterie elektromobilu, může se domácnost rozhodnout prodávat tuto energii zpět do sítě odběrateli. V takovém případě je ale nutné stanovit množství prodané energie do- předu. Stanovení tohoto závazku můžeme vnímat jako rozhodnutí prvního stupně – dopředu nevíme kolik nám solární panely dodají energie a ani nevíme jaká bude spotřeba domácnosti. Další úkony, které s vidinou úspory domácnost může uči- nit, spočívají v chytrém využívání velkokapacitní baterie elektromobilu. Může být totiž výhodné uložit energii do baterie a použít až za nějaký čas. Tato rozhodnutí domácnost činí se znalostí realizace náhodných jevů, tedy ve chvíli, kdy vidíme aktuální výkon solárních panelů a pozorujeme cenu elektřiny na trhu – jedná se o rozhodnutí druhého stupně. Chceme-li optimalizovat rozhodnutí domácnosti, můžeme zformulovat a řešit úlohu SLP, což bude předmětem kapitoly 3.
V této kapitole formulujeme obecný dvoustupňový model stochastického line- árního programování a ukážeme si, jak úlohu přeformulovat na obyčejnou úlohu LP v případě diskrétního rozdělení uvažované náhody. Uvedené pojmy budeme čerpat z knihy Introduction to Stochastic Programming (Birge a Louveaux, 1997), ve které může čtenář najít velké množství pěkně zpracovaných příkladů k této problematice.
2.1 Dvoustupňový lineární model
Dvoustupňový model stochastického lineárního programování obecně formu- lujeme jako úlohu, ve které chceme
minimalizovat c⊤x+EξQ(x, ξ(ω))
za podmínek Ax=b, (2.1)
x≥0, kde
Q(x, ξ(ω)) = min{︂q(ω)⊤y(ω) : W(ω)y(ω) =h(ω)−T(ω)x,y(ω)≥0}︂. (2.2) Rozhodnutí prvního stupně značímex. Reálné vektoryc,b a maticeA, o rozmě- rech popořaděn1×1,m1×1 am1×n1, jsou deterministicky určeny a korespondují s úlohou LP ve standardním tvaru (1.2). Závislost na náhodě nám vyjadřuje reálný náhodný vektorξ(ω) – do zápisu přidáváme element ω ∈Ω, abychom znázornili, že se jedná o náhodnou veličinu, která je definována na pravděpodobnostním prostoru (Ω, F, P). Vektor ξ(ω) je složen z vektorů q(ω), h(ω), o rozměrech popořadě n2 ×1 a m2×1, a sloupců matic T(ω) a W(ω) o rozměrech m2×n2, tedy
ξ(ω) =(︂q(ω)⊤,h(ω)⊤,vec(T(ω))⊤,vec(W(ω))⊤)︂⊤. (2.3) MaticiW(ω) nazývámerekurzní maticí. Není-li závislá naω, tak hovoříme o úloze s fixní rekurzí.
Na ω je dále závislý vektor rozhodnutí druhého stupně y(ω) rozměrun2×1 (v angličtině také nazýván recourse decision). Závislost je zde ale jistým způso- bem odlišná. Vektor y(ω) minimalizuje úlohu druhého stupně, která je závislá jak na rozhodnutí prvního stupně x, tak také na realizaci náhodného vektoru ξ(ω). Funkci Q(x, ξ(ω)) nazýváme účelovou funkcí druhého stupně. Optimální hodnotouQ(x, ξ(ω)) pro konkrétní ω∈Ω nalezneme jako řešení úlohy LP
minimalizovat q(ω)⊤y(ω)
za podmínek W(ω)y(ω) = h(ω)−T(ω)x, (2.4) y(ω)≥0.
Nemá-li tato úloha žádné přípustné řešení, definujeme hodnotu účelové funkce druhého stupněQ(x,ξ(ω)) = +∞, naopak je-li tato úloha neomezená položíme Q(x, ξ(ω)) =−∞.
Střední hodnotaEξQ(x,ξ(ω)) vzhledem kξ(ω) nám pak dává odhad účelové funkce druhého stupně v závislosti na rozhodnutí x. Jelikož dopředu neznáme skutečnou realizaci ω, využijeme tento odhad v úloze prvního stupně. Označíme- liQ(x) =EξQ(x, ξ(ω)), můžeme zapsat úlohu (2.1) kompaktněji jako
minimalizovat c⊤x+Q(x)
za podmínek Ax=b, (2.5)
x≥0.
Uvažujeme-li úlohu s fixní rekurzí a náhodný vektor ξ s konečnými druhými momenty, pak dle Birge a Louveaux (1997) je množina x ∈ Rn1, pro která má úloha druhého stupně přípustné řešení, konvexní. Navíc v tomto případě platí, že funkce Q(x) je na této množině konvexní, lipschitzovská a konečná.
2.2 Model s diskrétním rozdělením
Za předpokladu, že náhodný vektor ξ(ω) má diskrétní rozdělení s konečně mnoha stavy neboli možnými realizacemi, můžeme dvoustupňovou úlohu SLP formulovat jako deterministickou úlohu LP.
Nechť tedy rozdělení náhodného vektoru ξ(ω) je diskrétní a množina jeho stavů je konečná velkosti J ∈ N. Stavy můžeme jednoznačně očíslovat indexem j = 1, . . . , J. Označme
ξj =
(︃
(qj)⊤,(hj)⊤,vec(︂Tj)︂⊤,vec(︂Wj)︂⊤
)︃⊤
(2.6) hodnotu náhodné veličinyξ(ω) při realizaci j-tého stavu a nazveme jiscénářem. Dále označme pj pravděpodobnost j-tého scénáře, tedy
Pξ(ξ(ω) = ξj) = pj. (2.7)
Za této situace můžeme explicitně vyjádřit střední hodnotu účelové funkce dru- hého stupněQ(x, ξ(ω)) jako
EξQ(x, ξ(ω)) =
J
∑︂
j=1
pjQ(x, ξj). (2.8) Vidíme, že každý scénář je ohodnocen svojí pravděpodobností, a to nám napo- vídá, že méně pravděpodobné scénáře budou do úlohy vstupovat s menší vahou, naopak ty pravděpodobnější s vahou větší. Vektor yj ∈ Rn2 minimalizující hod- notu účelové funkce druhého stupně Q(x,ξj) při realizaci scénáře ξj najdeme jako řešení úlohy
minimalizovat (qj)⊤yj
za podmínek Wjyj =hj−Tjx, (2.9) yj ≥0.
Nyní můžeme zapsat úlohu prvního a druhého stupně složeně. Dostáváme násle- dující formulaci dvoustupňové lineární úlohy (2.1) v diskrétním případě:
min
(x,y1,...,yJ) c⊤x+
J
∑︂
j=1
pj
(︂(qj)⊤yj)︂
za podmínek Ax =b, (2.10)
Wjyj +Tjx=hj pro každéj = 1, . . . , J, x, yj ≥0 pro každéj = 1, . . . , J.
V takto formulované úloze minimalizujeme přes argument složený z vektoru x a vektorůy1, . . . ,yJ, které odpovídají jednotlivým scénářům náhodného vektoru ξ(ω). Řešíme tedy standardní úlohu LP, ve které minimalizujeme pouze jednou.
V praxi se často setkáváme se spojitým rozdělením, které ale můžeme aproxi- movat diskrétním rozdělením s konečným počtem vybraných scénářů. Tato apro- ximace nám úlohu zjednoduší, neboť můžeme využít výše popsaný model. Tento postup aplikujeme v následující kapitole.
3. Optimalizace řízení soběstačné domácnosti
V této kapitole představíme zjednodušený model částečně energeticky sobě- stačné domácnosti a aplikujeme metody lineárního a stochastického lineárního programování za účelem optimalizace řídících procesů spojených s nákupem, pro- dejem a ukládáním elektrické energie v domácnosti.
Energetické řídící systémy (EMS) využívající baterii elektromobilu jsou v sou- časnosti často studovaným tématem. Například studie Wu a kol. (2016) ukazuje metodou stochastického dynamického programování, že při použití jimi navrže- ného EMS může domácnost na elektřině v průměru vydělávat. Několik stochas- tických metod využívaných pro modelování EMS soběstačné domácnosti včetně umělé neuronové sítě je uvedeno a porovnáno v Yousefi a kol. (2019).
Model domácnosti se solárními panely, baterií, ohřevem vody a regulací tep- loty řeší například Pacaud a kol. (2018). Oproti modelu, který budeme diskutovat ve zbytku kapitoly, tento model vede k vícestupňové stochastické úloze a neuva- žuje prodej elektřiny do sítě. Zmíníme také článek od Rigaut a kol. (2019), který se věnuje optimalizaci systému řídícího ventilaci pařížského metra a ve kterém je popsán model využívající výhody baterie ukládající energii uvolněnou při brzdění soupravy metra.
Aktuálním a v současnosti studovaným tématem je možnost napojení vel- kého množství elektromobilů do centralizované sítě (S. Pearre a Ribberink, 2019).
Tento systém nese název Vehicle-to-Grid systém (zkráceně V2G) a mohl by umož- nit lepší využití energie z obnovitelných zdrojů, neboť by autobaterie poskytovaly kapacitu pro ukládání přebytečné energie a systém by tak byl schopný flexibilně vyrovnávat nabídku a poptávku.
3.1 Model
Formulujme model pro částečně energeticky soběstačný, avšak typově běžný rodinný dům. Energie využívaná v domě je čerpána ze dvou zdrojů. Jedním zdro- jem je elektrická síť, druhým zdrojem jsou solární panely připevněné na střeše domu. Domácnost může postupně prodávat dopředu specifikované množství ener- gie zpět do sítě. Dále domácnost disponuje elektromobilem poskytujícím velkoka- pacitní baterii. Kromě pohonu elektromobilu může být tato baterie využita pro ukládání energie a následnou spotřebu v domácnosti nebo dokonce pro zpětný prodej do sítě. Rozlišíme dvě varianty modelu - v první je elektromobil neustále v domácnosti, ve druhé elektromobil domácnost opouští a sám energii spotřebo- vává.
Obrázek 3.1: Schéma toků energie v modelu.
V dalších podkapitolách blíže specifikujeme parametry jednotlivých částí mo- delu a představíme uvažované scénáře. Dále zavedeme proměnné a jejich omezení a na tomto základě formulujeme problém jako úlohu LP. V podkapitolách 3.3 a 3.4 pak rozebereme vstupní data a představíme výsledky.
3.1.1 Parametry a scénáře
V našem modelu uvažujeme časový úsek jednoho dne, v jehož průběhu řídíme obsluhu baterie a prodej energie. Faktory ovlivňující naše rozhodnutí jsou cena energie odebírané ze sítě, energie dodaná solárními panely, spotřeba domácnosti, prodejní cena energie dodané do sítě a vlastnosti baterie elektromobilu a na- bíjecí stanice. První tři parametry považujeme za náhodné a reprezentujeme je náhodným vektorem ξ(ω) = (pb(ω),s(ω),c(ω)). Předpokládáme, že je diskrétně rozdělený a jeho realizace
ξ =(︂pj,sj,cj)︂, j = 1, . . . , J, (3.1)
nazýváme scénáře. Komponenty vektoru ξj mají 24 složek – jednu hodnotu pro každou hodinu dne. Pro j = 1, . . . , J, ai= 1, . . . , 24,je:
(a) pjb,i cena 1 kWh odebrané ze sítě v průběhu i-té hodiny dne za platnosti j-tého scénáře;
(b) sji energie dodaná solárními panely v průběhu i-té hodiny dne za platnosti j-tého scénáře; hlavním faktorem ovlivňujícím tento parametr je přirozeně počasí;
(c) cji celková spotřeba energie v domácnosti v průběhu i-té hodiny dne za platnosti j-tého scénáře.
Symbolemps = (ps,1, . . . , ps,24)⊤ značíme cenu, za kterou od nás správce sítě energii odkupuje. Složkyps,i, i= 1, . . . , 24, vyjadřují cenu za 1 kWh energie do- dané do sítě v průběhui-té hodiny. Tento parametr je dopředu oznámen správcem sítě a nezávisí na ω. Dále budeme o ps mluvit také jako o prodejní ceně.
Parametry baterie elektromobilu jsou její kapacita ̄B, tedy energie, kterou dokážu získat z plně nabité baterie, dále energie v baterii na začátku dne A0, energie na konci dne A1. Účinnost jednoho cyklu nabití a vybití baterie domácí nabíjecí stanicí označímeη ∈(0,1).
V poslední řadě označmeP výkon nabíjecí stanice elektromobilu, která umož- ňuje obousměrný přenos energie. Hodnota P udává, kolik energie jsme schopni dodat nebo odebrat z baterie za jednu hodinu.
3.1.2 Proměnné
V modelu vystupují čtyři proměnné a interpretujeme je jako rozhodnutí, jež vykonává domácnost. Jsou jimi
x,y(ω), z+(ω), z−(ω).
Vektor x = (x1, . . . , x24)⊤ značí energii, kterou domácnost prodá do sítě, kde xi, i = 1, . . . , 24, vyjadřuje energii prodanou za i-tou hodinu. Jelikož musíme odběrateli dopředu oznámit množství prodané energie, jedná se o rozhodnutí, které činíme před začátkem daného dne a tedy bez znalosti realizace náhodného vektoru ξ(ω) – jedná se o rozhodnutí prvního stupně.
Energii zakoupenou z elektrické sítě značíme y(ω). Symbol (ω) zde vyjadřuje závislost na realizaci náhodného vektoru ξ(ω) a jelikož toto rozhodnutí činíme až se znalostí této realizace, jedná se o rozhodnutí druhého stupně. Rozhodnutí y(ω) za platnosti scénáře ξj značíme yj = (y1j, . . . , yj24)⊤,j = 1, . . . , J. V tomto případěyij, i = 1, . . . , 24, reprezentuje elektrickou energii zakoupenou i-tou ho- dinu. Jakákoliv spotřeba energie v domácnosti, která není pokryta z jiných zdrojů, je automaticky odebírána ze sítě. Nevylučujeme ani nákup energie ze sítě a její opětovný prodej zpět dodavateli.
Proměnné z+(ω) az−(ω) vyjadřuje elektrickou energii, kterou dodáme, resp.
odebereme z baterie elektromobilu, přičemž z−(ω) zahrnuje ztráty způsobené efektivitou baterie a nabíjecí stanice. Obě proměnné jsou nezáporné a závislé na ξ(ω). Za platnosti j-tého scénáře značíme realizaci z+,j = (z1+,j, . . . , z24+,j)⊤, kde zi+,j, i= 1, . . . , 24, vyjadřuje elektrickou energii, kterou dodáme zai-tou hodinu.
Obdobně pro z−,j = (z1−,j, . . . , z24−,j)⊤.
3.1.3 Omezení
Objekty modelu jsou spolu jistým způsobem svázané a mají různá omezení.
Například do baterie automobilu nemůžeme uložit více energie, než je její kapa- cita. Dále třeba spotřebu domácnosti nemusíme pokrýt pouze energií zakoupenou ze sítě, ale také energií uloženou v baterii nebo vyprodukovanou solárními panely.
Tyto vztahy nyní popíšeme rovnicemi a nerovnicemi.
Nejdříve odvoďme rovnice energetické bilance. Předpokládejme, že baterie elektromobilu nepatří přímo do sítě domácnosti, ale funguje jako externí zdroj.
Potom platí, že veškerou energii, kterou do domácnosti dodáme (ze sítě, z pa- nelů nebo z baterie), musíme zase spotřebovat (domácí spotřeba, prodej do sítě, uložení do baterie), a to v každé hodině dne. Musí tedy platit
0 = yij +sji +zi−,j−zi+,j−cji −xi ∀j = 1, . . . , J, ∀i= 1, . . . , 24. (3.2) Předpokládáme, že baterie elektromobilu má na začátku dneA0 energie a po- žadujeme, aby měla na konci dneA1 energie (zde hovoříme o energii, kterou jsme schopni z baterie dostat po odečtení ztrát plynoucích z efektivity baterie a nabí- jecí stanice). Z toho vyplývá, že rozdíl dodané a odebrané energie za jeden den je roven A1−A0. Navíc na konci každé hodiny nesmí být v baterii více než ̄B energie. Pro j = 1, . . . , J dostáváme omezení
0≤A0+
I
∑︂
i=1
(︂ηzi+,j −z−,ji )︂≤B̄ ∀I = 1, . . . ,23, (3.3)
A0+
24
∑︂
i=1
(︂ηzi+,j −z−,ji )︂=A1. (3.4) A jelikož má nabíjecí stanice pouze omezený výkon, po z+(ω) a z−(ω) dále po- žadujeme
z+,ji +zi−,j ≤P, ∀j = 1, . . . , J, ∀i= 1, . . . , 24. (3.5)
3.2 Formulace úlohy SLP
Abychom minimalizovali náklady na provoz domácnosti, budeme řešit úlohu SLP. Účelová funkce našeho programu vyjadřuje rozdíl ceny koupené a prodané energie, přičemž koupenou energii zde vyjádříme implicitně ve funkci druhého stupněQ(x, ξ(ω)). Úloha má tvar
minx −p⊤sx+EξQ(x,ξ(ω)) (3.6) s. t. x≥0,
kdeQ(x,ξ(ω)) minimalizuje součinp⊤b(ω)y(ω) na množině popsané omezeními z kap. 3.1.3.
Jelikož je náhodný vektorξ(ω) diskrétně rozdělený, můžeme podle (2.10) úlohu přepsat jako úlohu LP. Označme pj pravděpodobnost realizace j-tého scénáře.
Dostáváme úlohu min
x,y1,z+,1,z−,1,...,yJ,z+,J,z−,J
−p⊤sx+
J
∑︂
j=1
pj(︂(pjb)⊤yj)︂ (3.7) s. t. yij+sji +zi−,j −z+,ji −cji −xi = 0, ∀i= 1, . . . ,24, ∀j = 1, . . . , J,
0≤A0+
I
∑︂
i=1
(︂ηzi+,j−z−,ji )︂≤B,̄ ∀I = 1, . . . ,23, ∀j = 1, . . . , J,
A0+
24
∑︂
i=1
(︂ηzi+,j−z+,ji )︂=A1, ∀j = 1, . . . , J,
zi+,j+z−,ji ≤P, ∀i= 1, . . . ,24, ∀j = 1, . . . , J, x, yj,z+,j, z−,j ≥0, ∀j = 1, . . . , J.
Koeficienty vektorů yj, z+,j a z−,j nezávisejí na náhodném elementu ω, tedy maticeW je fixní a model vede k úloze s fixní rekurzí.
3.3 Vstupní data a hodnoty parametrů
Při řešení úlohy vycházíme z reálných dat. Data jsou vybrána tak, aby model co nejlépe simuloval reálnou situaci.
Elektromobily se vyrábí s kapacitou baterie okolo 60 kWh, viz např. model Nissan LEAF (Nissan Motor Co., Ltd.). Pro domácí nabíjecí stanici stanovíme výkon P = 9 kW, který odpovídá výkonu stanice Honda Power Exporter 9000 (Honda Motor Co., Ltd.).
Při výměně energie mezi baterií a domácností dochází ke ztrátám. Souhrnnou účinnost jednoho cyklu nabití a vybití baterie uvažujeme η = 75 %, stanove- nou dle článku Apostolaki-Iosifidou a kol. (2018), která zahrnuje ztráty baterie i nabíjecí stanice. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že účinnost nezávisí na aktuálním stavu nabití. Hodnotu ̄B, která udává kolik energie jsme schopni získat z plně nabité baterie, stanovíme tak, že z kapacity baterie odečteme ztrá- tovou energii vybíjení, tedy přibližně 13 %. Předpokládáme-li, že kapacita baterie elektromobilu je 60 kWh, dostáváme ̄B = 52 kWh.
Jelikož se produkce solárních panelů, ceny energie a spotřeba domácnosti mění v průběhu roku i v rámci jednoho týdne, řešíme úlohu pro tři různé typy dnů:
pracovní den v lednu, pracovní den v červenci a neděle v září. Ke každé z variant uvažujeme pět scénářů ξj = (︂pjb,sj,cj)︂, j = 1, . . . ,5, a jednu dopředu známou prodejní cenu energie dodané do sítě ps. Hodnoty spotřeby jsou získány z UCI Machine Learning Repository (Dua a Graff, 2017) a vztahují se k domácnosti umístěné poblíž Paříže v období mezi lety 2006 a 2010. Ceny odebírané ener- gie, prodávané energie a produkce solárních panelů jsou získány z Wattsight AS, společnosti zabývající se shromažďováním a analýzou energetických dat na evrop- ských trzích. Pro každý scénář je náhodně zvolen den odpovídajícího typu. Jelikož se datové soubory zmíněných zdrojů časově nepřekrývají, je jednotlivým scéná- řům přiřazena spotřeba domácnosti podle odpovídajícího typu dne a podobného počasí.
Ceny elektřiny pjb, j = 1, . . . ,5 a ps budeme v diskuzi uvažovat v jednotkách e/MWh. Lednové hodnoty kupních cen se v našem výběru většinou pohybují mezi 50 a 100e/MWh, ale jako v případě scénáře vyznačeného v obrázku 3.2 se mohou vyšplhat i výrazně výš. Není ovšem pravidlem, že by ceny elektřiny v zimě byly v průměru vyšší než v létě. Naopak společným znakem jak prodejních, tak kupních cen pro všechna uvažovaná období jsou zvýšené hodnoty ráno mezi 8 a 10 hodinou a zejména večer, přibližně okolo 20 hodiny. Důvodem pro tento nárůst je, že většina spotřebitelů odebírá energii právě v těchto hodinách. To vede ke zvýšení poptávky a zapojení dalších zdrojů na straně elektráren a výrobců, což se odráží na ceně.
Obrázek 3.2: Graf cen pjb, j = 1, . . . ,5 (odstíny modré) a ceny ps (červeně) pro pracovní den v lednu.
Kupní ceny elektřiny pro vybrané scénáře pracovních dnů v červenci jsou poměrně vyrovnané. Porovnáme-li cenu za prodej v červenci a v lednu, vidíme, že v lednu je o něco vyšší.
Obrázek 3.3: Graf cen pjb, j = 1, . . . ,5 (odstíny žluté) a ceny ps (červeně) pro pracovní den v červenci.
Oproti výkyvu ceny směrem nahoru, který jsme pozorovali u jednoho ledno-
porných cen. V případě scénáře vyznačeného v grafu 3.4 ceny klesly na přibližně -7 e/MWh. Dle Amelang a Appunn (2018) se záporné ceny elektřiny vyskytují čím dál častěji a jsou způsobeny především nadměrnou produkcí energie z obno- vitelných zdrojů v časech s nízkým odběrem. Jelikož v dnešní době ještě neumíme ukládat energii ve větším měřítku, je pro stabilní fungování elektrické sítě nutné udržovat vyrovnané množství energie do ní dodané a odebrané. Druhým důvo- dem je, že z finančního a nebo technického hlediska někdy není pro elektrárny využívající ostatní zdroje výhodné krátkodobě vypínat svůj provoz. Záporné ceny potom vybízejí spotřebitele k odběru a zároveň producenty k větší flexibilitě.
Obrázek 3.4: Graf cen pjb, j = 1, . . . ,5 (odstíny zelené) a ceny ps (červeně) pro neděli v září.
Spotřeba domácnosti je ovlivněna chováním spotřebitele a vnějšími vlivy, např. ročním obdobím. Přestože rozdíly spotřeby v konkrétních hodinách v jed- notlivých scénářích jsou veliké, hodnoty průměrných spotřeb z grafu 3.5 nazna- čují, že k nárůstu dochází ve večerních hodinách, ve všední dny pak také okolo 8 hodiny ráno a v neděli po poledni. Vyšší průměrná spotřeba v lednu a naopak
Obrázek 3.5: Graf průměrné spotřeby domácnosti c pro jednotlivé typy dnů.
nízká spotřeba červenci je velkou měrou ovlivněna venkovní teplotou a vytápěním v domácnosti.
Vzhledem k ročnímu období se produkce solárních panelů chová opačně, než spotřeba domácnosti. Kvůli delší době slunečního svitu a kolmějšímu dopadu pa- prsků je v červnu a v září průměrná produkce uvažovaných scénářů výrazně vyšší, nežli v lednu. Z obrázku 3.6 je vidět, že produkce se mezi jednotlivými scénáři vět- šinou moc neliší. Výjimkou však je jeden scénář pro neděli v září, ve kterém byla produkce vyšší, nežli v červencových scénářích. Tento scénář odpovídá záporné ceně, kterou jsme viděli na obrázku 3.4.
Obrázek 3.6: Graf produkce solárních panelůsj pro jednotlivé typy dnů.
3.4 Výsledky
V rámci našeho modelu se snažíme určit, jaká rozhodnutí má domácnost uči- nit, aby minimalizovala náklady na elektřinu. Tento problém jsme matematicky formulovali jako úlohu stochastického lineárního programování (3.7), kterou na základě vstupních dat vyřešíme pomocí výpočetní techniky. Jelikož parametr po- čátečního nabití baterie ovlivňuje hledané minimum účelové funkce, vyřešíme nejdříve úlohu pro různé hodnoty tohoto parametru a určíme, jaký stav počáteč- ního nabití baterie je pro domácnost nejvýhodnější. Pro tuto hodnotu parametru potom popíšeme příslušná optimální rozhodnutí domácnosti, neboli optimální ře- šení úlohy a rozebereme jeho vztah k vstupním datům.
Pro každý ze tří uvažovaných typů dne řešíme úlohu (3.7) pomocí softwaru GAMS solverem CPLEX. Každá úloha obsahuje pět scénářů (J = 5) a to vede k soustavě 596 omezujících rovnic o 505 proměnných. Počet nenulových prvků v maticovém zápisu je 9745.
3.4.1 Stanovení optimálního počátečního nabití baterie
Po baterii budeme požadovat, aby měla stejné množství energie na začátku i na konci dne. Tento požadavek je přirozený, protože optimalizujeme řízení domác- nosti pouze po dobu jednoho dne a chceme, aby výslednou strategii bylo možné použít opakovaně za sebou. Volíme tedyA1 =A0. Abychom určili optimální hod- notu A0, tedy nabití baterie na začátku dne, řešíme úlohu pro různé hodnoty tohoto parametru a porovnáme výsledná minima účelových funkcí. Omezíme-li se na celá čísla, dostáváme pro A0 = 0, . . . ,52 hodnoty znázorněné na obr. 3.7.
Obrázek 3.7: Graf závislosti denních nákladů na energii na počátečním stavu nabití baterie A0.
Výsledkem je, že čelová funkce vyjadřující celkové náklady na elektřinu nabývá minima při volbě A0 = 9 kWh pro pracovní den v lednu, A0 = 0, . . . ,38 kWh pro pracovní den v červenci a A0 = 8 kWh pro neděli v září. Jelikož je ve většině případů energie levnější v noci než přes den, je výhodné uložit si do baterie energii v nočních hodinách a využít ji v průběhu dne. Je tedy patrně lepší začínat a končit s baterií spíše vybitou, abychom měli prostor na ukládání a na konci dne nemuseli energii zbytečně dodávat.
Nadále budeme uvažovat parametry A0, A1 rovné zmíněným hodnotám, při kterých účelová funkce nabývá svého minima. Jelikož pro červencový den tato hodnota není jednoznačná, zvolíme A0 = 26 kWh (50 % kapacity), aby byla v baterii nějaká energie pro případ neočekávané jízdy elektromobilem.
3.4.2 Optimální řešení
Podívejme se podrobněji na řešení úlohy. Optimální hodnota vektoru rozhod- nutí prvního stupně x nám říká, jak máme dopředu stanovit závazek na prodej elektřiny. Ten se odvíjí od budoucí spotřeby, produkce solárních panelů a ceny energie, které ovšem dopředu neznáme. Využijeme tady odhad založený na scéná- řích popsaných v podkapitole 3.3. Pomocí výpočetní techniky získáme optimální řešení pro každý uvažovaný typ dne. Tato řešení jsou znázorněná v obrázku 3.8.
Porovnáme-li hodnotyxs cenami energie prodané do sítě v grafech 3.2, 3.3 a 3.4, můžeme usoudit, že řešení je v souladu s tím, že je výhodné prodávat v časech, kdy je prodejní cena vysoko. Prodej pouze ve večerních hodinách pro neděli v září je způsoben tím, že večerní špička prodejní ceny je výrazně vyšší, nežli ta ranní.
Celkové množství energie, kterou máme prodat, je přibližně 23,5 kWh v lednový den, 25,1 kWh v červenci a 33,1 kWh v září.
Obrázek 3.8: Graf optimální hodnoty vektoru x pro jednotlivé typy dne.
Zajímavé je, že pro všední den v červenci je nejvýhodnější prodávat energii po malých částech i v průběhu dopoledne a odpoledne. Je to způsobeno tím, že produkce solárních panelů je v létě velmi vysoká a ve většině scénářů výrazně převyšuje spotřebu domácnosti, která je v tuto dobu ve všední den v létě obvykle poměrně nízká. Energii se v této situaci nevyplatí ukládat do baterie, protože při přenosu energie by se ztratilo 25 %. Navíc jelikož produkce solárních panelů a cena energie ze sítě je mezi červencovými scénáři poměrně vyrovnaná, nemusíme pro splnění závazku prodeje energie v některém scénáři dokupovat větší množ- ství energie. To ovšem neplatí pro pracovní den v lednu a neděli v září, kde jsou mezi scénáři daleko větší rozdíly. Pro tyto dny není výhodné prodávat přebyteč- nou energii ze solárních panelů jednak proto, že produkce panelů v lednu není tak vysoká, ale také především proto, že v některém scénáři bychom pravděpo- dobně díky nárůstu spotřeby nebo poklesu produkce museli pro splnění závazku
lepší zavázat se k prodeji většího množství energie v jednu konkrétní hodinu, pro kterou je prodejní cena vysoká, a energii si do té doby ve vhodný čas ukládat do baterie.
Připomeňme, že rozhodnutí prvního stupně x je určeno tak, aby minimali- zovalo součet účelové funkce prvního stupně a střední hodnoty funkce druhého stupněEξQ(x,ξ(ω)). Ke každému přípustnému řešeníxtedy existují optimální rozhodnutí druhého stupně, která nalezneme jako řešení úlohy druhého stupně Q(x, ξ(ω)). Tato rozhodnutí jsou kolik energie zakoupíme ze sítě a kolik do- dáme či odebereme z baterie elektromobilu v jednotlivých hodinách v průběhu dne. Nyní pro optimální hodnotux(Obrázek 3.8) tato rozhodnutí blíže popíšeme.
Jelikož hlavní komponentou celého modelu je baterie automobilu, podívejme se nejdříve jak vypadají výsledné vektoryz+,j az−,j. Součástí optimálního řešení je ve všech uvažovaných scénářích využití baterie, tedy dodání a odebrání energie někdy v průběhu dne. Přestože souhrnná účinnost nabíjecí stanice a baterie je 75 %, přenos energie byl zejména pro září a leden veliký. Například z grafu 3.9 je patrné, že v prvních šesti hodinách prvních dvou scénářů je do baterie posíláno maximální množství energie, dané limitem nabíjecí stanicí.
Obrázek 3.9: Graf přenosu energie mezi domácností a baterií pro scénáře pracov- ního dne v lednu.
Pro všední den v lednu je tedy optimální dobíjet baterii hlavně na začátku dne, kdy je cena energie ve všech scénářích nízká. Tuto uloženou energii následně prodat v 9., 10., 11. a 19. hodině dne, případně z ní pokrýt část spotřeby do- mácnosti v hodinách, kdy je energie drahá - to můžeme pozorovat především u prvního a druhého scénáře na obrázku 3.9.
V červenci je situace odlišná. Z důvodů, které jsme popsali v souvislosti s op- timální hodnotou xpro pracovní den v červenci, se nevyplatí ukládat do baterie větší množství energie, ale výhodnější je nadbytečnou vyprodukovanou energii přímo prodávat. Z důvodu vyrovnanosti scénářů se ve většině scénářů nestává, že bychom museli velkou část prodané energie nejdříve nevýhodně odkoupit –
Obrázek 3.10: Graf přenosu energie mezi domácností a baterií pro scénáře pra- covního dne v červenci.
k těmto odkupům sice dochází, ale v průměru jsou velmi nízké, jak můžeme vidět níže na obrázku 3.12. Výjimkou ovšem je třetí scénář na obrázku 3.10, při kte- rém se baterie téměř nevyužívá, neboť za daných cen je odkup a následný prodej výhodnější.
Jiné optimální rozhodnutí můžeme pozorovat u neděle v září. Jelikož je prů- měrná cena energie nejnižší odpoledne, dobíjíme baterii právě v tento čas.
Obrázek 3.11: Graf přenosu energie mezi domácností a baterií pro scénáře soboty v září.
Za povšimnutí stojí první graf v obrázku 3.11, který odpovídá scénáři s nej- vyšší cenou energie (obrázek 3.4, viz výše). Při tomto scénáři energii do baterie téměř vůbec neukládáme, neboť by se její následný prodej ani v hodině s nejvyšší prodejní cenou nevyplatil.
Průměrné hodnoty odkoupené energie pro jednotlivé typy dne můžeme porov- nat na obrázku 3.12. Lednové hodnoty jsou oproti ostatním vyšší, což je způso- beno vlivem chladného počasí a nižší produkcí solárních panelů. Podíváme-li se zpětně na obrázky s grafy cen energie, vidíme, že v průměru odebíráme nejvíce právě v hodinách, kdy je energie levná. To odpovídá přesně tomu, co od modelu očekáváme.
Obrázek 3.12: Průměrné hodnoty energie odkoupené ze sítě pro jednotlivé typy dne.
3.4.3 Celkové náklady na energii a porovnání
Účelová funkce dosáhla minima 2,03epro pracovní den v lednu,−0,33epro pracovní den v červenci a 0,15e pro neděli v září. Tyto hodnoty interpretujeme jako průměrné celkové náklady (v případě záporného čísla zisky) na energii spo- třebovanou v domácnosti, jestliže by nastal jeden z pěti uvažovaných scénářů, a to se stejnou pravděpodobností. Jedním ukazatelem, se kterým můžeme vypočítané hodnoty porovnat, jsou ceny, které by domácnost zaplatila, kdyby neměla ani solární panely, ani baterii. Druhým pak je cena, kterou by zaplatila domácnost využívající energii ze solárních panelů, ale pouze na okamžitou spotřebu a bez možnosti prodeje do sítě. Hodnoty jsou shrnuty v následující tabulce.
Se solárními S panely Pouze ze sítě
panely a baterií*
Pracovní den v lednu 2,89e 2,65e 2,03e
Pracovní den v červenci 0,87e 0,49e −0,33e
Neděle v září 1,29e 0,87e 0,15e
*s využitím výše popsané optimální strategie
Tabulka 3.1: Průměrné ceny energie pro různé modely domácí energetické sou- stavy.
