Diskriminant této kvadratické rovnice D = t+ s v0 2 −2t2 = t+ s v0 −t√ 2 t+ s v0 +t√ 2

Řešení úloh krajského kola 60. ročníku fyzikální olympiády Kategorie B

Autor úloh J. Thomas 1.a) Celková dráha automobilu závisí na času t₁.

s = v₀t₁

2 +a(t−t₁)²

2 = v₀t₁ 2 + v₀

t₁

(t−t₁)² 2 = v₀

2

"

t₁ + (t−t₁)² t₁

# . Rovnici upravíme na tvar

2st1

v₀ = t²₁ + (t−t₁)² nebo t²₁ −

t+ s v₀

t₁ + t²

2 = 0. (1) Závislost dráhy s na času má tvar paraboly. Minimu funkce odpovídá dvoj- násobný kořen kvadratické rovnice.

Diskriminant této kvadratické rovnice D =

t+ s

v₀ 2

−2t² =

t+ s

v₀ −t√

2 t+ s

v₀ +t√ 2

.

Dráha bude minimální, když t+ s

v₀ −t√

2 = 0 ⇒ s = √

2−1 v₀t.

4 body b) Řešením rovnice (1)

t1 =

t+ s v₀ ±

s

t+ s v₀

2

−2t²

2 = t√

2±√

2t² −2t²

2 = t

√2 2 .

2 body c) Velikost zrychlení automobilu a = v₀

t1

= 2v₀ t√

2 = v₀√ 2

t . 2 body

d) Konečná rychlost automobilu

v₁ = a(t−t₁) =v₀2−√

√ 2

2 = v₀2√ 2−2

2 = v₀√ 2−1

.

Číselně: s = 41 m, t1 = 7 s, a = 1,4 m · s⁻², v1 = 4 m · s⁻¹. 2 body 2.a) Je-li trubice ve svislé poloze a bublinka se pohybuje rovnoměrně, je v rovnováze vztlaková síla F_vz = V ρg, která působí směrem vzhůru s odporovou silou F_o =

= 6πηrv₀ , která má opačný směr. Tíhu samotné bublinky můžeme zanedbat.

Platí tedy

V ρg = 4

3πr³ρg = 6πηrv0 ⇒ r = s

9ηv₀

2ρg = 2,3 mm.

2 body b) Ze vztahu V ρg = 6πηrv₀ vidíme, že rychlost pohybu bublinky je úměrná

tíhovému zrychlení v₀ = kg.

Pohybuje-li se trubice vodorovně, je rychlost pohybu bublinky vzhledem k tru- bici úměrná zrychlení trubice: v = ka.

Bublinka se přitom pohybuje ve stejném směru jako trubice.

Protožev = x

t (bublinka se pohybuje rovnoměrně) av₁ = at(trubka se pohybuje rovnoměrně zrychleně), platí pro vzdálenost uraženou bublinkou:

x = vt= kat = v₀

g v1 = 1,0 cm. (1) Bublinka se tedy bude nacházet 6,0 cm od zadního (levého) okraje trubice.

4 body c) Při zastavení trubice se bublinka vrátí na původní místo. 2 body d) Aby se bublinka dostala k okraji trubice, musí urazit vzdálenost l

2 = 5,0 cm.

Z rovnice (1)

l

2 = v0

g v₂ ⇒ v₂ = lg

2v₀ = 49 m·s⁻¹.

Trubice by musela získat rychlost téměř 50 m·s⁻¹. 2 body 3. Zvolme vztažnou soustavu, jejíž osa x je rovnoběžná s deskami kondenzátoru a

osa y je k ní kolmá.

a) Velikost rychlosti elektronu při jeho vstupu do elektrického pole označme v1, velikost rychlost elektronu při jeho výstupu z elektrického pole označme v2.

v1 = s

2E_k

m =

s

2·100·1,6.10⁻¹⁹

9,1·10⁻³¹ = 5,9·10⁶ m·s⁻¹.

Její složka ve směru osy x se během pohybu v elektrickém pole nemění v_1x =

= v_2x = v₁cosα. Rychlost elektronu při výstupu z elektrického pole má velikost v₂ = q

v²_2x+v²_2y. Pro její složku v_2y platí

v_2y = v_2xtgβ = v₁cosα·tgβ.

Velikost rychlosti elektronu, který opouští elektrické pole v₂ =

q

v²_2x+v²_2y = p

v²₁cos²α +v₁²cos²αtg²β =

= v₁cosαp

1 +tg²β = v₁cosα√

2 = 7,2·10⁶ m·s⁻¹. 4 body b) Na zvýšení kinetické energie elektronu muselo elektrické pole vykonat práci

e·U = E_k2−E_k1. Protože se rychlost elektronu zvýšila cosα ·√

2 =

√3 2

√2-krát, zvýšila se jeho

kinetická energie 1,5-krát. Hledané napětí U = Ek2 −Ek1

e = 0,5Ek1

e = 50 V.

3 body

c) Při pohybu částice v magnetickém poli platí:

mv₂²

r = Bev₂ ⇒ B = mv2

er = mv2

ed sinβ = 0,29 mT.

3 body 4. Zapojení si můžeme překreslit takto:

Obr. R1

a) Pro celkový odpor platí: 1

R_C = 3

R + 2

3R ⇒ R_C = 3

11R = 27,3 Ω.

2 body Označme I_EH = I_FG = I_BC = I₁; I_AD = I₂ ; I_DH = I_DC = I₃.

I1 = U

R = IEH = IFG = IBC = 0,24 A,

Protože I₁ I₂ =

3 2R

R = 3

2 ⇒ I₂ = ²₃I₁ = I_AD = 0,16 A, I₃ = 1

2I₂ = I_DH =

= I_DC = 0,08 A. 3 body

b) Schéma zapojení je nyní

Obr. R2 Pro celkový odpor platí: 1

RC

= 2

R + 3

5R ⇒ R_C = 5

13R = 38,5 Ω.

Celkové napětí se nezměnilo, celkový odpor se zvětšil, celkový příkon je nyní

menší než před přerušením vodiče GH. 2 body

c) Protože se celkové napětí ani odpor každého rezistoru po přerušení vodiče GH nezmění, stačí porovnat proudy nebo napětí na jednotlivých rezistorech.

Porovnáním proudů:

Proudy I_FG = I_BC se nezměnily. Nezměnil se tedy ani příkon na rezistorech mezi body FG a BH.

Proud mezi body D a C: I_DC = 3U

5R > U

3R ⇒ příkon na rezistoru mezi body D a C se zvětší.

Dále platí:

I_AD = 2I_AEHD a I_AD+ I_AEHD = I_DC ⇒ I_AEHD = I_DC

3 = U

5R < U

3R < U R, z čehož plyne, že příkon na rezistorech EH a HD bude menší;

I_AD = 2

3I_DC = 2U

5R < 2U

3R ⇒ příkon na rezistoru AD bude menší.

3 body Porovnáním napětí:

Před přerušením vodiče GH platilo:

U_EH = U_FG = U_BC = U, U_AD = 2

3U, U_DH = U_DC = 1

3U.

Po přerušení vodiče HD platí:

UFG = UBC = U ⇒ příkon se nezměnil, U_EH = U_HD = 1

5U < 1

3U < U ⇒ příkon se zmenší, UAD = 2

5U < 2

3U ⇒ příkon se zmenší, U_DC = 3

5U > 1

3U ⇒ příkon se zvětší.