Soubor vzorových úloh

(1)

MATEMATIKA

(2)

Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání – CERMAT

Ϯ

Obsah

1. ýíselné obory ... 3

2. Algebraické výrazy ... 9

3. Rovnice a nerovnice ...13

4. Funkce ...19

5. Posloupnosti a finanþní matematika ...25

6. Planimetrie ...30

7. Stereometrie ...39

8. Analytická geometrie ...46

9. Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika ...52

(3)

ϯ

1. ýíselné obory

1 Vyznaþte na þíselné ose obrazy þísel ͳ ʹ a ͷ

͸.

2 Na þíselné ose vyznaþte interval ۃʹ െ ݊Ǣ ݊ െ ͵ۄ pro ݊ ൌ ͷ.

3 NajdČte nejmenší pĜirozené þíslo ݊, pro které existuje interval ۃʹ െ ݊Ǣ ݊ െ ͵ۄ, a tento interval vyznaþte na þíselné ose.

4 VypoþtČte, kolikrát vČtší je þíslo ͳͲ^ଵ଻ než souþet þísel ͵ǡʹ ή ͳͲ^ଵହ a ͺ ή ͳͲ^ଵସ.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5

U mapy je grafický pĜevod vzdáleností na mapČ a ve skuteþnosti.

MČĜítko mapy se vyjadĜuje ve tvaru ͳǣ ݔ, tedy ͳ cm na mapČ pĜedstavuje ݔ cm ve skuteþnosti.

(CERMAT)

5 Uvećte mČĜítko mapy.

6 VypoþtČte:

ሾͳͲ^ସെ ሺͺ ή ͳͲ^ସെ ͹͵ ή ͳͲ^ଷሻሿ^ଶൌ

0 7,5 km

1 cm

0 ʹ

͵

0 1 0 1

(4)

ϰ

7 VypoþtČte, kolik korun je 5 setin procenta ze 2 miliard korun.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8

Auto vyjíždČlo na cestu s polovinou nádrže. Po 100 kilometrech jízdy zbývala ještČ tĜetina nádrže a pĜi pĜíjezdu do cíle jen pČtina nádrže. Množství spotĜebovaného paliva v nádrži je pĜímo úmČrné ujeté vzdálenosti.

(CERMAT)

8 VypoþtČte, kolik kilometrĤ auto ujelo.

Podle jízdního Ĝádu má být vlak za 10 minut ve stanici. K nádraží mu zbývá 32 km jízdy.

Vlak za každé 2 minuty ujede 3 kilometry kromČ posledního dvoukilometrového úseku, který mu trvá 5 minut.

(CERMAT)

9 Jaké pĜedpokládané zpoždČní se objeví na nádražní informaþní tabuli?

A) žádné zpoždČní B) 5 minut C) 10 minut D) 15 minut E) jiné zpoždČní

Firma si úþtuje za vybavení kanceláĜe žaluziemi celkem 2 650 Kþ. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kþ dražší než jejich instalace.

(CERMAT)

10 Kolik procent z úþtované þástky tvoĜí instalace žaluzií?

A) 42 % B) 37,5 % C) 36 % D) 32 % E) 26,5 %

(5)

ϱ

Eva má hotovost 450 000 Kþ a penČžní ústav jí nabízí roþní termínový vklad s 3% roþní úrokovou mírou. PĜed vyzvednutím þástky se z úroku odpoþítá státem stanovená daĖ ve výši 15 %.

(CERMAT)

11 Kolik korun bude z tohoto roþního termínovaného vkladu odvedeno na daních?

A) 13 500 korun B) 2 250 korun C) 2 025 korun D) 1 000 korun E) jiná suma

Podle daĖového sazebníku platného pro rok 2010 stál výrobek vþetnČ 20% danČ 6 000 korun.

(CERMAT)

12 Kolik korun by stál, pokud by byl zatížen pouze 10% daní?

(Výsledek je zaokrouhlen na celé koruny.) A) 5 280 korun

B) 5 400 korun C) 5 500 korun D) 5 700 korun E) 5 980 korun VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13

Na trh se zavádí nový výrobek. V prvním týdnu se prodává za sníženou zavádČcí cenu.

PČt výrobkĤ poĜízených za zavádČcí cenu stojí tolik jako tĜi výrobky koupené za bČžnou cenu.

Porovnávají se ceny pĜepoþítané na jeden výrobek.

(CERMAT)

13 O kolik procent je zavádČcí cena za jeden výrobek nižší než bČžná cena za jeden výrobek?

A) více než o 30 % B) o 30 % C) o 20 %

D) ménČ než o 20 %

E) Bez uvedené ceny nelze požadovaný údaj urþit.

(6)

ϲ

Pan Novák si za veþer vydČlal o þtvrtinu víc než pan Dung. Pan Dung za veþeĜi utratil 20 % svého výdČlku, pan Novák utratil stejnou þástku.

(CERMAT)

14 Kolik procent svého veþerního výdČlku utratil pan Novák?

A) 16 % B) 18 % C) 20 % D) 25 % E) jiné Ĝešení

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 15

Celkem 960 obyvatel mČsta odpovČdČlo v referendu na otázku, má-li radnice i nadále podporovat provoz kina a divadla. Jejich odpovČdi jsou zaznamenány v následující tabulce.

podporovat divadlo nepodporovat divadlo

podporovat kino 200 540

nepodporovat kino 170 50

(CERMAT)

15 RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (15.1ʹ15.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).

A N Celkem 50 úþastníkĤ referenda odmítá jak podporu kina, tak i divadla.

15.1

Podpora provozu kina má dvakrát více pĜíznivcĤ než podpora provozu 15.2

divadla.

Necelých 18 % úþastníkĤ referenda nechce podporovat provoz kina.

15.3

Asi 74 % úþastníkĤ referenda by rádo podpoĜilo pouze jeden z obou 15.4

provozĤ.

(7)

ϳ

Ve fitcentru si vedou mČsíþní statistiky. DvČ pČtiny návštČvníkĤ chodí do fitcentra alespoĖ dvakrát týdnČ, osmina z nich dokonce dennČ. ýtvrtina návštČvníkĤ chodí jedenkrát týdnČ. Každá dvacátá osoba se po první návštČvČ fitcentra víckrát nevrátí. Zbytek návštČvníkĤ chodí nČkolikrát do mČsíce, ale nepravidelnČ.

(CERMAT)

16 PĜiĜaćte ke každé otázce (16.1–16.4) odpovídající výsledek (A–F):

Kolik procent návštČvníkĤ chodí do fitcentra alespoĖ dvakrát týdnČ? _____

16.1

Kolik procent návštČvníkĤ chodí do fitcentra dennČ? _____

16.2

Kolik procent návštČvníkĤ chodí do fitcentra pravidelnČ? _____

16.3

Kolik procent návštČvníkĤ chodí nČkolikrát do mČsíce, ale nepravidelnČ? _____

16.4

A) 5 % B) 25 % C) 30 % D) 40 % E) 65 % F) jiná hodnota

17 PĜiĜaćte ke každému zápisu s absolutní hodnotou (17.1–17.3) takové þíslo ܽ (A–E), aby po dosazení platila rovnost:

ȁܽ െ͵Ͳȁ ൌ Ͳ _____

17.1

ȁܽ െ ͵Ͳȁ ൌ ܽ _____

17.2

ܽ ൅ ͵Ͳ ൌ ȁܽȁ _____

17.3

A) ܽ ൌ െ͵Ͳ B) ܽ ൌ െͳͷ C) ܽ ൌ ͳͷ D) ܽ ൌ ͵Ͳ E) jiné þíslo ܽ

(8)

ϴ

VÝSLEDKY ÚLOH – ýíselné obory

1

2

3

4 25krát

5 1 : 50 000

6 9 000 000

7 1 000 000

8 180 km

9 D

10 D

11 C

12 C

13 A

14 A

15 ANO, ANO, NE, ANO

16 D, A, E, C

17 D, C, B

0 ͷ

͸ ʹ

͵ ͳ

ʹ

0 1

–3 2

0 1 –1

݊ ൌ ͵

(9)

ϵ

2. Algebraické výrazy

1 VytknČte a rozložte na souþin:

͵ݕ^ଶെ ͳʹ ൌ

2 Provećte:

ሺ͵ݔ^ଶെ ͳʹሻ^ଶൌ

3 Provećte:

ʹܽ െ^ଶ_ସܽ െ^଻_଼ܽ ൌ 3.1

͸ܾ ή^ଵ_ଶܾ ൌ 3.2

ሺܿ^ଷെ ܿሻ ׷ ሺܿ െ ͳሻ ൌ 3.3

pro ܿ ് ͳ

4 Pro ݔ א ܀̳ሼെͲǡͷሽ je dán výraz:

ͳ െ ݔ െ ͳ ʹݔ ൅ ͳ

VypoþtČte hodnotu výrazu pro ݔ ൌ ^ଵ

ଶ. 4.1

VypoþtČte, pro kterou hodnotu promČnné ݔ je výraz roven nule.

4.2

5 Pro ݔ א ܀ urþete podmínky, pro nČž má smysl výraz:

ͳ ൅ݔ െ ͵

͵ െݔ ʹ

ൌ

6 Pro ܿ ് Ͳ a ܿ ് ͳ provećte a upravte na co nejjednodušší tvar:

͵

ܿ െ ͳെ ͵

ܿ^ଶെ ܿൌ

(10)

ϭϬ

7 Pro ݊ א ۼ zjednodušte:

ቀͳ െ ݊

݊ ൅ ͳቁ ൬݊ െͳ

݊൰ ൌ

8 Pro ݔ א ܀̳ሼͳሽ provećte:

ʹ ൅ݔ െ ͳ ͳ െ ݔൌ

9 Pro ܽ ൐ Ͳ provećte a zjednodušte:

ܽ^ଷ ʹ^ଶെ ൬ʹ

ܽ൰

ିଷ

ൌ

10 Pro݀ ൒ Ͳ zjednodušte:

ඥʹ݀^ଷή ξͳͺ݀ ൌ

11 VyjádĜete jako jedinou mocninu se základem 2:

ʹ^ଶ଴଴ή ʹ^ଵ଴଴൅ ͺ^ଵ଴଴ൌ

12 Pro ݉ א ܈ zjednodušte:

Ͷ^௠ሺͶ^௠ାଵെ ͵ ή Ͷ^௠ሻ ൌ

13 Jsou dány dva výrazy ^௫

௫ାଵ

Ǣ

_௫^ିଵ_మ_ା௫ s promČnnou ݔ א ܀.

RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (13.1ʹ13.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).

A N Pro ݔ ൌ െͳ má první z obou výrazĤ smysl.

13.1

Pro ݔ ൌ ͳ má druhý z obou výrazĤ smysl.

13.2

Spoleþný jmenovatel obou výrazĤ mĤže být ݔ^ଶ൅ ݔ.

13.3

Pro kladné hodnoty promČnné ݔ je souþet obou výrazĤ roven ^௫ିଵ ௫ . 13.4

(11)

ϭϭ

14 Za jakých podmínek pro ܿ א ܀ má výraz ܿ^ଶെͶ

ܿ^ଶ൅ʹܿήܿ

ܿ^ଶ൅Ͷ smysl?

A) ܿ ് േʹ B) ܿ ് ͲǢ ܿ ് േʹ C) ܿ ് ͲǢ ܿ ് ʹ;

D) ܿ ് ͲǢ ܿ ് െʹ E) za jiných podmínek

15 Jaká je hodnota výrazu ^௫

మ

௫ିଵ pro ݔ ൌ ξ͵ െ ͳ?

A) ͷ ൅ ξ͵

B) െͲǡͷ െξ͵

C) െʹ D) െʹǡʹ E) െ͵

16 Pro které reálné hodnoty promČnné ݔ není definován výraz ^ଶ ௫^మି௫ାଶ? A) pro ݔ ൌͲ

B) pro ݔ ൌ ͳ a pro ݔ ൌ െʹ C) pro ݔ ൌ െͳ a pro ݔ ൌ ʹ D) pro jiné dvČ hodnoty

E) Výraz je definován pro všechna reálná þísla.

(12)

ϭϮ

VÝSLEDKY ÚLOH – Algebraické výrazy

1 ͵ሺݕ ൅ ʹሻሺݕ െ ʹሻ

2 ͻݔ^ସെ ͹ʹݔ^ଶ൅ ͳͶͶ

3 ͵Ǥͳͷ

ͺܽǢ ͵Ǥʹ͵ܾ^ଶǢ ͵Ǥ͵ܿή ሺܿ ൅ ͳሻ ൌ ܿ^ଶ൅ ܿ

4 ͶǤͳͷ

ͶǢ ͶǤʹݔ ൌ െʹ

5 ݔ ് ͸ǢǤ ݔא ܀ ך ሼ͸ሽ

6

͵

ܿ 7

݊ െ ͳ

݊

8 ͳ

9 ܽ^ଷ

ͺ

10 ͸݀^ଶ

11 ʹ^ଷ଴ଵ

12 Ͷ^ଶ௠

13 NE, ANO, ANO, ANO

14 D

15 C

16 E

(13)

ϭϯ

3. Rovnice a nerovnice

1 V oboru ܀ Ĝešte:

ͳͶ

ͷ ׷ ܾ ൌ ͹ 1.1

ͳ

ܿെ͵ ʹܿൌ͵ 1.2 Ͷ

ěešení rovnic zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru.

2 Z každého z následujících vztahĤ vyjádĜete promČnnou ݐ. ݏ ൌ Ͳǡͷሺݐ ൅ ݑሻ

2.1

ݐ^ିଵ൅ ݖ ൌ ʹ 2.2

3 V oboru ܀ Ĝešte nerovnice a výsledek zapište intervalem.

ݔ െ ͷ

ʹ ൑ ʹݔ ൅ ͷ 3.1

ʹݔ െ ͳ ൏ െ͵

3.2

4 V oboru ܀ Ĝešte soustavu nerovnic a výsledek zapište intervalem.

ʹݔ െ ͳ ൏ െ͵

͵ݔ ൅ ͳͲ ൐ ͳ

5 Pro ݔ א ܀Ǣ ݕ א ܀ ך ሼͲሽ je dána soustava rovnic:

௫ ௬ ൌͶ

ʹݔ െ ͷݕ ൌ െ͵

VypoþtČte hodnotu neznámé ݔ.

5.1

VypoþtČte hodnotu neznámé ݕ.

5.2

ʹݔ^ଶെ ʹ ൌ ͵ݔ 6.1

ܽ^ଶെ ʹܽ ൅ ͸ ൌ ͷሺʹ െ ܽሻ 6.2

ݔሺݔ െ ʹሻ ൅ ሺݔ െ ʹሻሺݔ ൅ ʹሻ ൌ Ͳ 6.3

(14)

ϭϰ

Neznámé þíslo nejprve zmenšíme o tĜetinu své hodnoty, poté ještČ o 40. Po vynásobení výsledku dvČma získáme pĤvodní neznámé þíslo.

(CERMAT)

7 Urþete neznámé þíslo.

Pan Vlk má dvČ zamČstnání. V prvním zamČstnání vydČlává 400 Kþ za hodinu, ve druhém 300 Kþ za hodinu. V prvním zamČstnání stráví týdnČ o 10 hodin více než ve druhém a vydČlá si tam za týden dvakrát více.

(CERMAT)

8 VypoþtČte, kolik hodin týdnČ stráví pan Vlk v prvním zamČstnání.

Za nákup 2,5 kg merunČk a 1,5 kg broskví se zaplatilo celkem 85 korun. Kilo broskví je o 2 koruny levnČjší než kilo merunČk.

CERMAT)

9 Užitím rovnic vypoþtČte, kolik korun se zaplatilo za meruĖky.

Uvećte celý postup Ĝešení.

10 Pro ݔ ്Ͳ a ݊ א ۼ je dáno:

݊ ൌ݊ ݔെ ͵

Které z následujících tvrzení platí?

A) ݔ ൌ െʹ B) ݔ ൌ ͳ െ ͵݊

C) ݔ ൌ ͵ െ ݊

͵ D) ݔ ൌ ݊ ൅͵

݊ E) ݔ ൌ ݊

݊ ൅͵

(15)

ϭϱ

11 Neznámá ݔ א ܀ splĖuje podmínky:

ݔ ൏͸ ൑ െʹݔ ൅ Ͷ

Který zápis je ekvivalentní daným podmínkám?

A) ݔ א ሺെλǢെ͸ሻ B) ݔא ሺെλǢെͳۄ C) ݔ א ሺെʹǢ ͸ሻ D) ݔ א ۃെͳǢ͸ሻ

E) žádný z uvedených

12 Jaké je Ĝešení nerovnice െͷݔ

ݔ െͷ ൏ Ͳ v oboru ܀?

A) ׎

B) ൫ͷǢ ൅ λ൯ C) ሺെλǢ ͷሻ

D) ሺെλǢ ͷሻ ׫ ൫ͷǢ ൅ λ൯ E) ሺെλǢ Ͳሻ ׫ ሺͷǢ ൅λሻ

13 Jaké je Ĝešení nerovnice ݔ ή ሺ͵ െ ʹݔሻ ൏ Ͳ v oboru ܀?

A) ቀെλǢ^ଷ

ଶቁ B) ሺͲǢ ൅λሻ C) ሺെλǢ Ͳሻ ׫ ቀ^ଷ

ଶǢ ൅λቁ D) ቀͲǢ^ଷ_ଶቁ

E) ܀ ך ቄͲǢ^ଷ_ଶቅ

(16)

ϭϲ

14 PĜiĜaćte ke každé rovnici s neznámou ݔ א ܀ (14.1−−−−14.4) interval (A–F), do nČhož patĜí Ĝešení dané rovnice, pokud Ĝešení existuje.

ʹݔ ൅ ͵

͵ ൌ Ͳ _____

14.1

ݔ െ ͵

ݔ ൌ െ͵ _____

14.2

ݔ െ ʹ ʹݔ ൌͳ

ʹ _____

14.3

͵ െ ʹݔ

͸ ൌͳ

ʹ _____

14.4

A) ሺെλǢെͳሻ B) ۃെͳǢͲሻ C) ൫െͲǡ ͷǢ Ͳǡ ͷ൯ D) ሺͲǢͳۄ E) ሺͳǢ൅λሻ

F) rovnice nemá Ĝešení

Pravoúhelník o rozloze 2 000 m² byl rozdČlen rovnou hranicí na dva obdélníky. Oba obdélníky se liší v délce jedné strany o 10 m. Obsahy obdélníkĤ jsou v pomČru ͵ǣ ʹ.

(CERMAT)

15 V jakém pomČru jsou délky stran vČtšího z obou obdélníkĤ?

A) ͷ ׷ ͸ B) Ͷ ׷ ͷ C) ͵ ׷Ͷ D) ʹ ׷ ͵ E) ͳ ׷ ʹ

(17)

ϭϳ

Martin byl s cestovní agenturou na nČkolikadenním prázdninovém putování na kolech.

Za rok si úplnČ stejnou cestu zopakoval soukromČ s Terezkou.

Cestování si však rozvrhli jinak než s agenturou. Pro každý den si naplánovali stejnČ dlouhý úsek, a to v prĤmČru o desetinu kratší, než byla prĤmČrná denní trasa s agenturou.

Proto jejich cyklistické putování trvalo o dva dny déle než s agenturou.

(CERMAT)

16 Kolik dní trvalo cyklistické putování s cestovní agenturou?

A) 14 B) 16 C) 18 D) 20

E) jiný poþet dní

Anežka nasbírá kbelík borĤvek za dvČ hodiny. Pepa za každou hodinu naplní jednu tĜetinu kbelíku. Oba pracují rovnomČrným tempem.

CERMAT)

17 Za jak dlouho by spoleþnČ naplnili až po okraj jeden kbelík?

A) za ͳͳ

͸hodiny B) za ͳͳ

ͷ hodiny C) za ͳͳ

Ͷ hodiny D) za ͳͳ

͵ hodiny E) za delší dobu

(18)

ϭϴ

VÝSLEDKY ÚLOH – Rovnice a nerovnice

1 ͳǤͳܾ ൌʹ

ͷǢͳǤʹܿ ൌ െʹ

͵

2 ʹǤͳݐ ൌʹݏ െ ݑǢʹǤʹݐ ൌ ͳ

ʹ െ ݖ

3 ͵Ǥͳ ൌ ۃെͷǢ λሻǢ͵Ǥʹ ൌ ሺെλǢ െͳሻ

4 ൌ ሺെ͵Ǣ െͳሻ

5 ͷǤͳݔ ൌ െͶǢͷǤʹݕ ൌ െͳ

6 ͸Ǥͳ ൌ ሼെͲǡͷǢ ʹሽǢ ͸Ǥʹ ൌ ሼെͶǢ ͳሽǢ͸Ǥ͵ ൌ ሼെͳǢ ʹሽ

7 240

8 30 hodin

9

10 E

11 B

12 E

13 C

14 A, D, F, C

15 C

16 C

17 B

ʹǡͷݔ ൅ ͳǡͷݕ ൌ ͺͷ ݔ െ ʹ ൌ ݕ

ʹǡͷݔ ൅ ͳǡͷሺݔ െ ʹሻ ൌ ͺͷ ʹǡͷݔ ൅ ͳǡͷݔ െ ͵ ൌ ͺͷ Ͷݔ ൌ ͺͺ

Cena za 1 kg merunČk … ݔ Kþ Cena za 1 kg broskví … ݕ Kþ

ݔ ൌʹʹ Kþ

ʹǡͷ ή ʹʹ Kþ ൌ ͷͷ Kþ

Za meruĖky se zaplatilo 55 Kþ.

(19)

ϭϵ

4. Funkce

VÝCHOZÍ TEXT, TABULKA A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Funkce ݂ je dána pĜedpisem ݕ ൌ ʹݔ

, kde ݔ א ܀.

(CERMAT)

1

V tabulce doplĖte chybČjící hodnoty funkce.

1.1

Sestrojte graf funkce ݂ pro ݔ ൐ Ͳ.

1.2

Urþete, pro kterou hodnotu promČnné ݔ je ݕ ൌ ͳ ʹ. 1.3

2 VypoþtČte obČ souĜadnice bodu ܲ, v nČmž se protínají grafy funkcí ݂ a ݃:

݂ǣʹݔ െ ݕ ൅ Ͷ ൌ Ͳ 2.1

݃ǣʹݔ ൅ ͵ݕ െ Ͷ ൌ Ͳ

݂ǣ ݕ ൌ ʹݔ െ ͻ 2.2

݃ǣ ݕ ൌ ͵ െ ʹݔ

O 1

1 x

y

ݔ 1 2

ݕ

(20)

ϮϬ

3 Funkce ݂ a ݃ jsou urþeny pĜedpisy:

݂ǣݕ ൌͲǡͷݔ^ଶ

݃ǣ ݕ ൌ ʹ െ Ͳǡͷݔ

Na kterém z obrázkĤ A – E jsou správnČ sestrojeny grafy obou funkcí?

A) B)

C) D)

E) x

y 1

1 O

x 1

1 y

O

x Ǉ

1 O 1

ǆ Ǉ

1 1 O

x y

1 O 1

(21)

Ϯϭ

4 PĜiĜaćte ke každému grafu funkce (4.1–4.3) odpovídající pĜedpis funkce (A–E).

4.1

4.2

4.3

A) ݕ ൌ ^௫_ଶ ሺͶ െ ݔሻ B) ݕ ൌ ^ଵ_ଶ ሺݔ ൅ ͳሻሺݔ െ ͵ሻ

C) ݕ ൌ ^௫_ଶ^మ െݔ ൅ ^ଷ_ଶ 4.1 _____

D) ݕ ൌ ^௫_ଶ^మെ ʹݔ 4.2 _____

E) ݕ ൌ ^ଵ_ଶ ሺݔ^ଶെ Ͷሻ 4.3 _____

O y

1 1

x

1

O x

y

O 1 1

x y

(22)

ϮϮ

5 Grafem kvadratické funkce ݂ǣ ݕ ൌ ݔ^ଶെ ͸ݔ je parabola s vrcholem ܸሾ݉Ǣ ݊ሿ.

Jakou hodnotu má druhá souĜadnice ݊ vrcholu ܸ?

A) ݊ ൌ െͻ B) ݊ ൌ െ͸

C) ݊ ൌ െ͵

D) ݊ ൌ Ͳ E) ݊ ൌ ͸

ቀ^ଵ_ଶቁ^௫ൌͶ ή Ͷ^௫ 6.1

ͷ^ଷή ͷ^ଽ ൌ ሺͷ^௫ሻ^ଷ 6.2

ͷ^ଷ୷ൌ ͷ ή ͷ^୷ 6.3

7 Pro ܽ ൐ Ͳ vypoþtČte:

Ͷ

ܽെ ͶͲͲ ൅ ܽ ൌ

8 V oboru Ĝešte:

ʹ െ ݔ ൌ ͳ 8.1

_ଷݔ ൅ _ଷʹ͹ ൌ ͳ 8.2

Ͳǡͳ ൅ ሺʹݔሻ ൌ ͳ 8.3

_ଶʹݔ െ _ଶͺ ൌ ͳ 8.4

ͳͲͲͲ ൅ ݔ ൌ Ͷ 8.5

(23)

Ϯϯ

1

O 1 x

y

O 1

1 x y 1

1

O x

y

O 1

1 x

y

1

O 1 x

y

O 1

1 x y

9 PĜiĜaćte ke každému pĜedpisu funkce (9.1–9.4) odpovídající graf funkce (A–F).

ݕ ൌͶ^௫ ______

9.1

ݕ ൌ Ͷݔ ______

9.2

ݕ ൌ ݔ

Ͷ ______

9.3

ݕ ൌ _ସݔ ______

9.4

A) B)

C) D)

E) F)

(24)

Ϯϰ

VÝSLEDKY ÚLOH – Funkce

1

1.1

1.2

1.3 ݔ ൌ Ͷ

ݔ 1 2

ݕ 2 1

2 ʹǤͳܲሾെͳǢ ʹሿǢʹǤʹ ܲሾ͵Ǣ െ͵ሿ

3 E

4 E, A, B

5 A

6 ͸Ǥͳݔ ൌ െʹ

͵Ǣ͸Ǥʹ ݔ ൌͶǢ͸Ǥ͵ݔ ൌͲǡͷ

7 െʹ

8 ͺǤͳݔ ൌͲǡʹǢͺǤʹݔ ൌͳ

ͻǢͺǤ͵ݔ ൌͷͲǢͺǤͶݔ ൌͺǢͺǤͷݔ ൌͳͲ

9 D, A, B, F

O 1

1 x

y

(25)

Ϯϱ

5. Posloupnosti a finanþní matematika

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1–2 Vzorec pro ݊-tý þlen posloupnosti je:

ܽ_௡ൌͷ݊ െ ͵, kde ݊ א ۼ

(CERMAT)

1 VypoþtČte rozdíl:

ܽ_௡ାଵെ ܽ_௡ൌ

2 Urþete, kolikátý þlen posloupnosti je jedenáctkrát vČtší než druhý þlen, tj.

ܽ_௡ൌͳͳܽ_ଶ.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 3–5

Aritmetická posloupnost obsahuje ͷͲ þlenĤ, z nichž první tĜi jsou െͳͶͲǢെͳ͵ʹǢെͳʹͶ a poslední tĜi ʹ͵͸ǢʹͶͶǢʹͷʹ.

(CERMAT)

3 VypoþtČte dvacátý þlen posloupnosti.

4 VypoþtČte souþet všech 50 þlenĤ posloupnosti:

െͳͶͲ ൅ ሺെͳ͵ʹሻ ൅ ሺെͳʹͶሻ ൅ ڮ ൅ ʹ͵͸ ൅ ʹͶͶ ൅ ʹͷʹ ൌ

5 Urþete, kolikátým þlenem posloupnosti je þíslo ͳͲͲ.

(26)

Ϯϲ

s

ͳǤ

͵͘

ʹ͘

Ͷ͘

VÝCHOZÍ OBRÁZEK A TEXT K ÚLOHÁM 6–7

V zámecké dlažbČ byla vytvoĜena spirála, jejíž þást je znázornČna na obrázku.

Spirála je složena z 15 navazujících pĤlkružnic.

Délka první pĤlkružnice je ܽ_ଵൌ 22 dm a každá následující pĤlkružnice je o 22 dm delší.

(CERMAT)

6 VypoþtČte délku ܽ_ଷ tĜetí pĤlkružnice.

7 Uvećte v metrech délku ݏ celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze þást spirály.)

8 RozhodnČte o každé následující þtveĜici þísel (8.1–8.4), tvoĜí-li geometrickou posloupnost (ANO), þi nikoli (NE):

A N ሺͶǢ ʹǢ െʹǢ െͶሻ

8.1

ሺͳǢ ͶǢͳ͸Ǣ͸Ͷሻ

8.2

ሺͺǢെͶǢ ʹǢെͳሻ 8.3

ሺͲǢ ͶǢ ͺǢ ͳʹሻ 8.4

Posloupnost tvoĜí sedmnáct po sobČ jdoucích pĜirozených lichých þísel seĜazených vzestupnČ od nejmenšího k nejvČtšímu. ProstĜední þlen ܽ_ଽ je þíslo 23.

(CERMAT)

9 RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (9.1–9.4), je-li pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).

A N Rozdíl dvou sousedních þlenĤ je 1.

9.1

ܽ_ଵଶൌ 29 9.2

Všechny þleny jsou vČtší než 5.

9.3

Souþet þtyĜ nejmenších þlenĤ je 40.

9.4

(27)

Ϯϳ

10 TĜicátý þlen aritmetické posloupnosti je ܽ_ଷ଴ൌ100 a diference ݀ ൌ3.

Kolikátým þlenem posloupnosti je þíslo 280?

A) 60. þlenem B) 90. þlenem C) 120. þlenem D) 180. þlenem

E) þlenem s jiným poĜadím

Poþítaþ byl poĜízen za 10 000 Kþ. Každým následujícím rokem se z ceny poþítaþe odepisuje vždy stejné procento ceny z pĜedchozího roku. Po þtyĜech letech se hodnota poþítaþe sníží pĜibližnČ na 1 300 Kþ.

(CERMAT)

11 Kolik procent (s pĜesností na 1 %) se každým rokem odepisuje z ceny poþítaþe?

A) ménČ než 22 % B) 22 %

C) 34 % D) 40 %

E) více než 40 %

ZdenČk si potĜebuje pĤjþit þástku 15 000 Kþ. Dohodne se s vČĜitelem, že mu dluh splatí bČhem roku v pČti pravidelných splátkách po 3 000 Kþ. Ke každé splátce má navíc pĜiplatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy pĜi první splátce je to 5 % z 15 000 Kþ, pĜi poslední už jen 5 % ze 3 000 Kþ.)

(CERMAT)

12 Kolik korun celkem pĜiplatí ZdenČk k dlužné þástce?

A) 2070 Kþ B) 2250 Kþ C) 2750 Kþ D) 3750 Kþ E) jinou þástku

(28)

Ϯϴ

V KocourkovČ se pĜíjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti pĜíjmĤm z pĜedchozího roku. BČhem každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty.

(CERMAT)

13 Jak se zmČní hodnota pĜíjmĤ po uplynutí 10 let?

(Výsledek zaokrouhlete na procenta.) A) Zvýší se více než o 200 %.

B) Zvýší se o 80 %.

C) NezmČní se.

D) Sníží se o 69 %.

E) Sníží se o 94 %.

ýtveĜice ܽ_ଵǡ ܽ_ଶǡ ܽ_ଷǡ ܽ_ସ, kde ܽ_ଶൌ െʹͲǡ ܽ_ଷൌ ͳͲ, pĜedstavuje þtyĜi po sobČ jdoucí þleny aritmetické posloupnosti, þtveĜice ݃_ଵǡ ݃_ଶǡ ݃_ଷǡ ݃_ସ, kde ݃_ଶൌ െͳͲǡ ݃_ଷൌ ʹͲ, þtyĜi po sobČ jdoucí þleny geometrické posloupnosti.

(CERMAT)

14 PĜiĜaćte ke každému þlenu (14.1–14.4) odpovídající hodnotu (A–F).

ܽ_ଵ _____

14.1

ܽ_ସ _____

14.2

݃_ଵ _____

14.3

݃_ସ _____

14.4

A) െͷͲ B) െͶͲ C) െͳͲ D) ͷ E) ͶͲ F) ͷͲ

(29)

Ϯϵ

VÝSLEDKY ÚLOH – Posloupnosti a finanþní matematika

1 ͷ

2 ͳ͸

3 ܽ_ଶ଴ൌ ͳʹ

4 ݏ_ହ଴ൌ ʹͺͲͲ

5 ݊ ൌ ͵ͳ

6 ܽ_ଷൌ ͸͸

7 ܵ ൌʹ͸Ͷ

8 NE, ANO, ANO, NE

9 NE, ANO, ANO, ANO

10 B

11 D

12 B

13 B

14 A, E, D, B

(30)

ϯϬ

6. Planimetrie

Úsek, který se ve skuteþnosti ujde deseti kroky, je na plánu znázornČn úseþkou délky 1 cm. Kruh na plánu má polomČr 2,5 cm.

(CERMAT)

1 VypoþtČte, kolika kroky se obejde po obvodu skuteþný kruh.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁCH 2–3 Ve þtvercové síti je umístČn rovnobČžník ܣܤܥܦ.

(CERMAT)

2 VypoþtČte obsah rovnobČžníku ܣܤܥܦ a výsledek uvećte v cm².

3 V rovnobČžníku ܣܤܥܦ urþete pomČr velikostí obou výšek.

(Výsledek uvećte v základním tvaru.)

Vzor na dlaždici tvoĜí þtyĜi shodné obdélníky a þtverec uprostĜed. Obvod každého z obdélníkĤ je ͵Ͳ cm.

(CERMAT)

4

VypoþtČte obvod celé dlaždice (݋ሻ.

4.1

VypoþtČte obsah dlaždice (ܵ). 4.2

C

B A

D

1 cm

(31)

ϯϭ

Do kružnice se stĜedem S a polomČrem ݎ ൌ 3cm je vepsán šedý obrazec ܣܵܤܥܦ.

(CERMAT)

5 VypoþtČte v cm² obsah šedého obrazce ܣܵܤܥܦ.

6 Délky základen lichobČžníku jsou ܽ ൌ Ͷǡʹ ή ͳͲ^଼ metrĤ, ܿ ൌ ͺ ή ͳͲ^଻ metrĤ, výška ݒ má velikost Ͷǡͺ ή ͳͲ^ହ metrĤ.

VypoþtČte obsah plochy lichobČžníku.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 7–8

Pozemek tvaru obdélníku je doþasnČ pĜerušen stavebním záborem (šedá plocha).

RovnobČžné hranice záboru na obvodu pozemku jsou dlouhé 15 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokraþuje v oplocování 190 m dlouhé strany pozemku.

RozmČry v obrázku jsou uvedeny v metrech.

(CERMAT)

7 VypoþtČte obsah plochy stavebního záboru.

8 S pĜesností na celé metry vypoþtČte šíĜku pozemku (݀).

A

B S

C D

190 236

25

15

d

(32)

ϯϮ

Okrasná þást zahrady má tvar obdélníku, jehož rozmČry se liší o jediný metr.

Po úhlopĜíþce dlouhé 29 metrĤ vede pČšinka.

(CERMAT)

9 Urþete délku a šíĜku okrasné zahrady. (ŠíĜka pČšinky se pĜi výpoþtu zanedbává.)

ýtvercový travnatý pozemek se obchází po dvou stranách jeho obvodu celkem tĜemi sty kroky. NeukáznČný chodec dostal pokutu za to, že pozemek pĜešel po úhlopĜíþce.

(CERMAT)

10 VypoþtČte, kolik krokĤ neukáznČný chodec ušetĜil a výsledek zaokrouhlete na desítky.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 V trojúhelníku ܬܭܮ platí:

߮ ൌξͷ

͵

(CERMAT)

11 Urþete hodnotu ߮.

V pravoúhlém trojúhelníku ܣܤܥ je pravý úhel pĜi vrcholu ܥ, úhel ܥܣܤ má velikost ߙ ൌ͸Ͳι a strana ܣܥ má délku ܾ ൌ ͸ξ͵.

(CERMAT)

12 VypoþtČte délku strany ܤܥ.

13 VypoþtČte velikost výšky ݒ na pĜeponu ܣܤ.

߮ J

K L

2 ξͷ

C A

B

α ǀ

ď Ă

(33)

ϯϯ

Na plánu jsou vyznaþeny údaje poĜízené pĜi zamČĜování vrtné vČže ܸ ze dvou stanovišĢ ܣa ܤǤ

(CERMAT)

14

Urþete nejmenší úhel, pod kterým je možné od vČže ܸ sledovat souþasnČ obČ 14.1

stanovištČ ܣ a ܤ.

Urþete s pĜesností na celé metry pĜímou vzdálenost stanovištČ ܤ od vrtné vČže ܸ.

14.2

Pozemek tvaru pĤlkruhu je tĜeba oplotit. Na rovnou þást plotu se použije 28 metrĤ pletiva.

(CERMAT)

15 Kolik celých metrĤ pletiva bude nejménČ potĜeba na zbytek plotu po oblouku?

A) 44 metrĤ B) 48 metrĤ C) 52 metrĤ D) 56 metrĤ E) jiný poþet

28 m A

B V

1,5 km

100ι 45ι

(34)

ϯϰ

16 Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 13 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 15 cm vČtší.

Jaká je délka nejdelší strany podobného trojúhelníku?

A) 20 cm B) 19,5 cm C) 19 cm D) 18 cm E) jiná délka

VnitĜní úhel trojúhelníku ܣܤܥ má velikost ߙ ൌ 40°.

Pro délky stran platí vztah ܽ^ଶ൅ ܾ^ଶൌ ܿ^ଶ.

(CERMAT)

17 RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (17.1–17.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE).

A N Nejdelší strana je ܿ.

17.1

NejvČtší úhel má velikost 100°.

17.2

Trojúhelník je rovnoramenný.

17.3

Osa strany ܾ je rovnobČžná se stranou ܽ.

17.4

SvČtelné paprsky svírají s vodorovnou podložkou úhel 50°. Tyþ postavená kolmo k podložce je vysoká 180 cm.

(CERMAT)

18 Jak dlouhý stín (v cm) vrhá tyþ na položku?

A) ^ଵ଼଴

ୱ୧୬ ହ଴ι B) ͳͺͲ ή ͷͲι C) ^ଵ଼଴

ୡ୭ୱ ହ଴ι D) ͳͺͲ ή ͷͲι E) ^ଵ଼଴

୲୥ ହ଴ι

(35)

ϯϱ

V rovnoramenném trojúhelníku ܣܤܥ se základnou ܣܤ platí:

ȁܣܥȁ ൌ ȁܤܥȁ ൌ 10; ߙ ൌ ȁףܥܣܤȁ ൌ 75°

(CERMAT)

19 Jakou délku má základna ܿ ൌ ȁܣܤȁ?

(Výsledky jsou zaokrouhleny na desetiny.) A) 4,9

B) 5,2 C) 5,5 D) 5,8

E) jinou délku

20 Trojúhelník ܣܤܥ má délky stran ܽ ൌ 3 cm, ܾ ൌ 5 cm a ܿ ൌ 7 cm.

Jaký je souþet velikostí dvou nejmenších vnitĜních úhlĤ trojúhelníku ܣܤܥ?

A) 22°

B) 38°

C) 60°

D) 105°

E) jiný

A B

C

75°

10

c

(36)

ϯϲ

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 21

(CERMAT)

21 Jaká je délka úhlopĜíþky ܣܥ vypoþtená s pĜesností na desetiny centimetru?

A) menší než 6,1 cm B) 6,1 cm

C) 6,7 cm D) 7,0 cm E) vČtší než 7,0 cm

Pozemek zakreslený v plánku má být rozdČlen rovnou hranicí ܵܶna dvČ þásti.

(CERMAT)

22 Jaká je délka hranice ܵܶ vypoþtená s pĜesností na desítky metrĤ?

A) ȁܵܶȁ ൌ 2 230 m B) ȁܵܶȁ ൌ 2 450 m C) ȁܵܶȁ ൌ 2 630 m D) ȁܵܶȁ ൌ 2 800 m E) ȁܵܶȁ ൌ 3 010 m

A B

C D

30° 70°

7 cm

T

R

S 2 km

60°

75°

(37)

ϯϳ

(CERMAT)

23 PĜiĜaćte ke každé úseþce (23.1–23.3) její délku (A–E):

strana ܽ _____

23.1

strana ܿ _____

23.2

úhlopĜíþka ݂ _____

23.3

A) ͳͲ ή ͶͲι B) ^ଵ଴

ୱ୧୬ ସ଴ι C) ^ଵ଴

ୡ୭ୱ ସ଴ι D) ͳͲ ή ͶͲι E) ^ଵ଴

୲୥ ସ଴ι

e f

40°

c

a

40°

10

(38)

ϯϴ

VÝSLEDKY ÚLOH – Planimetrie

1 157 kroky

2 8 cm²

3 5 : 2, resp. 2 : 5

4 ͶǤͳ݋ ൌ͸ͲǢͶǤʹܵ ൌʹʹͷ^ଶ

5 ܵ ൌͳ͵ǡͷ^ଶ

6 ܵ ൌͳǡʹ ή ͳͲ^ଵସ^ଶ

7 ܵ ൌ ͵ͺͲͲ^ଶ

8 ݀ ؐͳ͸ͷ

9 ʹͲ ൈʹͳ

10 ͵ͲͲ െ ͳͷͲξʹ ൌሶ ͻͲ

11 ߮ ൌʹ

͵

12 ȁܤܥȁ ൌ ܽ ൌ ͳͺ

13 ݒ ൌ ͻ

14 ͳͶǤͳ͵ͷιǢͳͶǤʹ ͳͺͶͻ

15 A

16 B

17 ANO, NE, NE, ANO

18 E

19 B

20 C

21 C

22 B

23 E, D, C

(39)

ϯϵ

7. Stereometrie

DrátČný model pravidelného šestibokého hranolu s podstavnou hranou délky ܽ ൌ 8 cm má výšku ݒ ൌ 12 cm.

TČleso se pĜelepí papírem, podstavy tmavým a plášĢ bílým.

(CERMAT)

1 VypoþtČte v cm nejvČtší možnou pĜímou vzdálenost dvou vrcholĤ drátČného hranolu. (TloušĢku drátu zanedbáváme.)

2 VypoþtČte v cm² obsah bílého papírového pláštČ hranolu.

3 VypoþtČte, kolik centimetrĤ mČĜí polomČr koule, jejíž objem je ૚ litr.

(Údaj zaokrouhlete na desetiny centimetru.)

(CERMAT)

4 VypoþtČte v litrech objem vzduchu ve stanu.

v

a

v

a

2,4 m

2,0 m

1,6 m

2,0 m

2,4 m

(40)

ϰϬ

Nádobu tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm² naplní tĜi þtvrtlitrové hrnky vody až po okraj.

(CERMAT)

5 Jaká je výška nádoby?

A) 37,5 cm B) 17 cm C) 15 cm D) 11,5 cm E) jiný výsledek 6 Koule má polomČr 0,3 m.

Kolikrát vČtší je objem koule s dvojnásobným polomČrem?

A) devČtkrát B) osmkrát C) šestkrát D) tĜikrát

E) ménČ než tĜikrát VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7

V uzavĜeném sklenČném kvádru s hranami délek 30 cm, 60cm a 80 cm je obarvená kapalina. Postavíme-li kvádr na stČnu s rozmČry 30 cm ൈ 60 cm, dosáhne kapalina do výšky 40 cm.

(CERMAT)

7 V jaké výšce bude hladina kapaliny, postavíme-li kvádr na stČnu s rozmČry

૜૙ cm ൈ ૡ૙ cm?

(TloušĢku stČn kvádru zanedbáváme.) A) 20 cm

B) 25 cm C) 30 cm D) 35 cm E) v jiné výšce

(41)

ϰϭ

Z rotaþního válce se vyrábí herní figura. Polovina válce je opracována na rotaþní kužel, který tvoĜí klobouk figury.

(CERMAT)

8 Jakou þást objemu neopracovaného válce tvoĜí vyrobená figura?

A) ^଻

଼ B) ^ହ

଺ C) ^ଷ ସ D) ^ଶ ଷ E) ^ହ

଼

9 Obvod podstavy válce je 30 cm a strana klobouku má délku 12 cm.

Jaký je povrch klobouku?

A) 1,2 dm² B) 1,4 dm² C) 1,5 dm² D) 1,8 dm² E) jiný povrch

(42)

ϰϮ

Váleþek se kutálí po podložce. Po jedné celé otoþce se posune o 25 cm.

(CERMAT)

10 Jaký je polomČr podstavy váleþku?

(Výsledek je zaokrouhlen na desetiny centimetru.) A) 4,0 cm

B) 4,1 cm C) 4,2 cm D) 4,3 cm E) jiný polomČr

11 PĜiĜaćte ke každé úloze (11.1–11.4) její Ĝešení (A–F).

Kolik stČn má krychle? _____

11.1

Kolik hran má osmiboký jehlan? _____

11.2

Kolik vrcholĤ má dvanáctiboký hranol? _____

11.3

Kolik stČn vþetnČ podstav má hranol, který má 24 hran? _____

11.4

A) 6 B) 10 C) 12 D) 20 E) 24

F) jiný výsledek

(43)

ϰϯ

12 PĜiĜaćte ke každé zakreslené síti tČlesa (12.1–12.4) odpovídající název tČlesa (A–F).

12.1 12.2

12.3 12.4

A) pravidelný trojboký jehlan B) pravidelný þtyĜboký jehlan C) pravidelný šestiboký jehlan D) pravidelný trojboký hranol E) pravidelný šestiboký hranol

F) Nelze, útvar není sítí žádného tČlesa.

12.1 _____

12.2 _____

12.3 _____

12.4 _____

(44)

ϰϰ

Ve þtvercové síti je zobrazena síĢ kvádru. Jednotkou délky je 1 díl, jednotkou obsahu je 1 þtverec a jednotkou objemu je 1 krychliþka.

(CERMAT)

13 RozhodnČte o každém z následujících tvrzení (13.1–13.4), zda je pravdivé (ANO), þi nikoli (NE):

A N Nejmenší stČna kvádru má obsah 10 þtvercĤ.

13.1

NejvČtší stČna kvádru má obsah 15 þtvercĤ.

13.2

Objem kvádru je 30 krychliþek.

13.3

Ve složeném kvádru jsou þtyĜi hrany s délkou 3 díly.

13.4

ϭĚşů

ϭĚşů ϭŬƌǇĐŚůŝēŬĂ ϭĚşů ϭēƚǀĞƌĞĐ

(45)

ϰϱ

VÝSLEDKY ÚLOH – Stereometrie

1 ʹͲ

2 ܵ ൌͷ͹͸^ଶ

3 ݎ ؐ͸ǡʹ

4 4 608 litrĤ

5 C

6 B

7 C

8 D

9 D

10 A

11 A, F, E, B

12 B, C, A, D

13 NE, ANO, ANO, ANO

(46)

ϰϲ

8. Analytická geometrie

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V rovinČ je umístČn vektor ܣܤሬሬሬሬሬԦ ൌ ሺͶǢെ͵ሻ.

(CERMAT)

1

Urþete velikost vektoru ܣܤሬሬሬሬሬԦ. 1.1

DoplĖte souĜadnice libovolného vektoru ݊ሬԦ ൌ ሺ݊_ଵǡ ݊_ଶሻ, který je k vektoru ܣܤሬሬሬሬሬԦ kolmý a 1.2

má dvojnásobnou velikost.

V rovinČ je umístČn bod ܣ. Dále platí ܣܤሬሬሬሬሬԦ ൌ ݒԦ ൌ ሺെ͵ǡͶሻ.

(CERMAT)

2

Zakreslete vektor ݒԦ.

2.1

Popište souĜadnicemi koncový bod ܤሾݔǢ ݕሿ orientované úseþky ܣܤሬሬሬሬሬԦ 2.2

y

A x O

1 1

B A

O 1 1

ǆ Ǉ

(47)

ϰϳ

3 Body ܣሾെͷǢ ʹሿ a ܤሾͲǢെͷሿ jsou sousedními vrcholy þtverce ܣܤܥܦ.

VypoþtČte obsah þtverce ܣܤܥܦ.

(CERMAT)

4 PĜímka ݌ je urþena bodem ܣ a smČrovým vektorem ݑሬԦ.

V kartézské soustavČ souĜadnic ܱݔݕ sestrojte pĜímku ݌.

4.1

Napište souĜadnice prĤseþíku ܲሾݔǢ ݕሿ pĜímky ݌ se souĜadnicovou osou ݕ.

4.2

(CERMAT)

5 Urþete rovnici pĜímky ݌ (smČrnicový nebo obecný tvar) umístČné v kartézské soustavČ souĜadnic ܱݔݕ.

O ǆ Ǉ

A 1 1

ݑሬԦ

O

ǆ 1

1 y Ɖ

(48)

ϰϴ

PĜímka ݌ je urþena bodem ܣൣെʹǢ െ ͳ൧ a normálovým vektorem ݊ሬԦ ൌ ൫ͳǢ ʹ൯.

(CERMAT)

6

Zapište obecnou rovnici pĜímky ݌.

6.1

V kartézské soustavČ souĜadnic ܱݔݕ narýsujte pĜímku ݌.

6.2

7 Orientovaná úseþka s poþáteþním bodem ܲሾͶǢെͳሿ je umístČním vektoru ݒԦ ൌ ሺʹǢെ͹ሻ.

Který z uvedených bodĤ je koncovým bodem této orientované úseþky?

A) ܣሾെʹǢെ͸ሿ B) ܤሾെʹǢ െͺሿ C) ܥሾʹǢ ͸ሿ D) ܦሾ͸Ǣെͺሿ E) ܧሾ͸Ǣെ͸ሿ

8 PĜímka ݌ procházející bodem ܣሾͲǢ ʹሿ má smČrový vektor ݑሬԦ ൌ ሺͳǢെͳሻ.

Která rovnice urþuje pĜímku ݌?

A) ݔ െ ݕ െ ʹ ൌ Ͳ B) ݕ െ ʹ ൌ Ͳ C) ʹݔ െ ݕ ൌ Ͳ D) ݔ ൅ ݕ െ ʹ ൌ Ͳ E) ݔ െ ݕ ൅ ʹ ൌ Ͳ O x

y

1 1

(49)

ϰϵ

V kartézské soustavČ souĜadnic ܱݔݕ je umístČna pĜímka ݌.

(CERMAT)

9 Která rovnice urþuje pĜímku ݌?

A) ʹݔ െ ݕ ൅ ʹ ൌ Ͳ B) ݔ െ ʹݕ ൅ Ͷ ൌ Ͳ C) ݔ െ Ͷݕ െ ʹ ൌ Ͳ D) ݔ ൅ ʹݕ െ Ͷ ൌ Ͳ E) ʹݔ ൅ ݕ െ ʹ ൌ Ͳ

V kartézské soustavČ souĜadnic ܱݔݕ je sestrojena pĜímka ݌.

(CERMAT)

10 Která z uvedených pĜímek ܽǡ ܾǡ ܿǡ ݀ǡ ݁ je kolmá k pĜímce ݌?

A) ܽǣʹݔ െ ͵ݕ ൅ ͹ ൌ Ͳ B) ܾǣ ʹݔ ൅ ͵ݕ െ ͹ ൌ Ͳ C) ܿǣ ʹݔ െ ͵ݕ െ ͹ ൌ Ͳ D) ݀ǣ ͵ݔ െ ʹݕ െ ͹ ൌ Ͳ E) ݁ǣ ͵ݔ ൅ ʹݕ ൅ ͹ ൌ Ͳ

O x

p

1 1

y

x y

p

O1 1

(50)

ϱϬ

11 Trojúhelník ܣܤܥ má vrcholy ܣሾͲǡ ͳሿǡ ܤሾ͵ǡ െʹሿǡ ܥሾʹǡ ͶሿǤ Na které pĜímce leží výška ݒ_௖ trojúhelníku ܣܤܥ?

A) ݌ǣݔ െ ݕ ൅ʹ ൌ Ͳ B) ݌ǣ͵ݔ െ ݕ െʹ ൌ Ͳ C) ݌ǣ͵ݔ ൅ ݕ െͳͲ ൌ Ͳ D) ݌ǣݔ ൅ ݕ െ͸ ൌ Ͳ E) ݌ǣʹݔ െ ݕ ൌ Ͳ

(51)

ϱϭ

VÝSLEDKY ÚLOH – Analytická geometrie

1 ݊ሬԦ ൌ ሺ͸Ǣͺሻ݊ሬԦ ൌ ሺെ͸Ǣ െͺሻ

2

2.1

2.2 ܲሾെʹǢ ͵ሿ

3 ܵ_஺஻஼஽ ൌ ͹Ͷ

4

4.1

4.2 ܲሾͲǢ ͵ሿ

5 ݌ǣ ʹݔ ൅ ͵ݕ െ ͸ ൌ Ͳ

6

6.1 ݌ǣ ݔ ൅ʹݕ ൅ Ͷ ൌ Ͳ 6.2

7 D

8 D

9 D

10 E

11 A

O y

A ǆ

1 1

ݑሬԦ Ǉ

O 1

1 ǆ

Ɖ

p O x

y

1 1

(52)

ϱϮ

9. Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika

V kódu je na prvním místČ jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné þíslo od 11 do 45. (Existují napĜ. kódy B22, A45 apod.)

(CERMAT)

1 Urþete poþet všech takto vytvoĜených kódĤ.

2 Urþete neznámé þíslo ݇, jestliže platí:

ͳͲͲǨ ൌ ݇ ή ͻͺǨ

3 Urþete neznámé þíslo ݉, jestliže platí:

݉Ǩ ή ʹ^଼ൌ ʹ ή Ͷ ή ͸ ή ͺ ή ͳͲ ή ͳʹ ή ͳͶ ή ͳ͸

Cesta prochází nČkolika kĜižovatkami. Na každé kĜižovatce je možné zahnout doleva (L), doprava (P), nebo pokraþovat v pĜímém smČru (S). PrĤjezd dvČma kĜižovatkami je možné zapsat dvojicí znakĤ, napĜ. PP.

(CERMAT)

4 Kolika možnými zpĤsoby lze projet dvČma kĜižovatkami?

A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4

(53)

ϱϯ

Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznaþena hlavní a vedlejší diagonála.

(CERMAT)

5 Kolika zpĤsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tĜi stejné figury tak, aby byly všechny tĜi buć jen na hlavní, nebo jen na vedlejší diagonále?

A) 16 B) 20 C) 30 D) 32 E) 33

Frontu na lístky tvoĜí þtyĜi dívky a šest chlapcĤ.

(CERMAT)

6 Kolika rĤznými zpĤsoby se mohou osoby ve frontČ seĜadit?

A) ͳͲǨ B) ͶǨ ൅ ͸Ǩ C) Ͷ ή ͸ D) ͶǨ ή ͸Ǩ E) ሺͶ ή ͸ሻǨ

PĜi zkoušce se zadávají tĜi otázky. První otázka se vybírá ze skupiny 10 otázek. Další dvČ otázky se vybírají z jiné skupiny 20 otázek.

(CERMAT)

7 Kolik rĤzných trojic otázek lze pĜi zkoušce zadat?

A) 4 600 B) 4 000 C) 3 800 D) 1 900 E) jiný poþet

(54)

ϱϰ

DČtské soutČže se pravidelnČ úþastní malí i velcí chlapci a malá i velká dČvþata.

PravdČpodobnost, že zvítČzí dívka, je 0,6. PravdČpodobnost, že zvítČzí malá dívka, je 0,4. Malý chlapec zvítČzí s pravdČpodobností 0,3. Jen obþas zvítČzí velký chlapec.

(CERMAT)

8 PĜiĜaćte ke každé otázce (8.1–8.4) správnou odpovČć (A–F).

Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí chlapec (malý nebo velký)? _____

8.1

Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí velká dívka? _____

8.2

Jaká je pravdČpodobnost, že zvítČzí malé dítČ (chlapec nebo dívka)? _____

8.3

Jaká je pravdČpodobnost, že nezvítČzí malá dívka? _____

8.4

A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 F) 0,7

V osudí jsou 2 bílé a 3 þerné koule. Koule se vytahují po jedné a do osudí se nevracejí.

(CERMAT)

9 PĜiĜaćte ke každému jevu (9.1–9.3) pravdČpodobnost (A–E), s níž mĤže nastat.

První tažená koule bude bílá. _____

9.1

První dvČ tažené koule budou þerné. _____

9.2

V první tažené dvojici koulí budou zastoupeny obČ barvy. _____

9.3

A) ^ଶ ଷ B) ^ଶ ହ C) ^ଽ

ଶହ D) ^ଷ

ହ E) ^ଷ

ଵ଴

(55)

ϱϱ

Souþet dvaceti položek je 6 000 korun. Po odebrání dvou položek v celkové hodnotČ 960 korun se prĤmČrná hodnota položky zmČní.

(CERMAT)

10 VypoþtČte, o kolik korun se zmČní prĤmČrná hodnota.

V obchodním centru zákaznice testovaly tĜi druhy parfémĤ A, B, C. SvĤj hlas mohly dát pouze jednomu z parfémĤ. NČkteré zákaznice se nedokázaly rozhodnout. Preference zákaznic jsou zaznamenány v tabulce.

A B C nerozhodnuté Celkem

ýetnost 40 20 200

Relativní þetnost 20 %

(CERMAT)

11 VypoþtČte, kolik zákaznic preferovalo vítČzný parfém.

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 12–13

Celkem 20 studentĤ psalo dva závČreþné testy A a B.

V tabulce jsou uvedeny výsledky testĤ, chybí pouze poþet jedniþek a dvojek v testu B.

Známky

Poþet žákĤ

PrĤmČr Medián Modus 1 2 3 4

ýetnost známek

Test A 3 8 9 0 20

Test B 9 2 20

(CERMAT)

12 Urþete medián a modus známek z testu A.

13 V obou testech bylo dosaženo stejné prĤmČrné známky.

VypoþtČte prĤmČrnou známku z testu A a poþet jedniþek v testu B.

(56)

ϱϲ

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004

mil.divákĤ

poþet divákĤ

Divadlo nabízí pro každé pĜedstavení celkem 220 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. BČhem deseti pĜedstavení bylo šestkrát zcela vyprodáno a þtyĜikrát se neprodala právČ polovina dražších lístkĤ.

(CERMAT)

14 Jaká je prĤmČrná tržba na jedno z deseti pĜedstavení?

A) 98 000 Kþ B) 97 000 Kþ C) 96 000 Kþ D) 95 000 Kþ E) jiná tržba

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 15

V grafu jsou uvedeny prĤmČrné poþty filmových divákĤ v milionech (sledujte na ose vpravo) a prĤmČrná výše vstupného do kina v dobČ od r. 1988 do r. 2004 (sledujte na ose vlevo). NávštČvnost klesala, ale vstupné se prĤbČžnČ zvyšovalo.

(CERMAT)

15 PrĤmČrná roþní tržba za vstupné do kina se od roku 1990 do roku 2000:

A) v podstatČ nezmČnila.

B) zvýšila jen velmi mírnČ, nejvýše o 20 %.

C) zhruba zdvojnásobila.

D) zvýšila témČĜ pČtkrát.

E) zvedla více než o 500 %.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Kþ

prĤmČrné vstupné

(57)

ϱϳ

VÝCHOZÍ TEXT A DIAGRAM K ÚLOZE 16

Na druhý stupeĖ základní školy v PostrkovČ chodí místní pČšky, ale všech 56 žákĤ, kteĜí jsou z okolních obcí, dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení poþtu žákĤ podle místa bydlištČ.

(CERMAT)

16 Kolik žákĤ dojíždí z Nemanína?

A) 14 žákĤ B) 18 žákĤ C) 20 žákĤ D) 24 žákĤ E) jiný poþet žákĤ

WŽƐƚƌŬŽǀ ϯϬ й

EĞŵĂŶşŶ Ϯϱ й

<ĚŽƵůĞ ϮϬ й sĞƐƚĞĐ ϭϱ й ŚǀĂůĚƵďǇ

ϭϬ й

WŽēƚǇǎĄŬƽǌũĞĚŶŽƚůŝǀǉĐŚŽďĐşǀƉƌŽĐĞŶƚĞĐŚ

(58)

ϱϴ

Každý z 20 hráþĤ provádČl tĜi trestné hody na koš a tĜikrát stĜílel po otoþce.

V tabulce jsou hráþi rozdČleni podle úspČšnosti v obou stĜeleckých disciplínách. (NapĜíklad þtyĜem hráþĤm se podaĜilo promČnit jeden trestný hod a dva hody po otoþce.)

WŽēĞƚ ƷēĂƐƚŶşŬƽ

WƌŽŵĢŶĢŶĠƚƌĞƐƚŶĠ ŚŽĚǇ

ϯ Ϯ ϭ Ϭ

WƌŽŵĢŶĢŶĠŚŽĚǇ ƉŽŽƚŽēĐĞ

ϯ Ϯ ϯ

Ϯ ϭ ϰ ϭ

ϭ Ϯ ϭ ϱ

Ϭ ϭ

(CERMAT)

17 PĜiĜaćte ke každé otázce (17.1–17.4) odpovídající výsledek (A–F):

Kolik hráþĤ dalo stejný poþet košĤ v obou disciplínách? _____

17.1

Kolik hráþĤ dalo celkem 4 koše? _____

17.2

Kolik hráþĤ udČlalo alespoĖ 4 chyby? _____

17.3

Kolik hráþĤ bylo lepších pĜi trestných hodech než ve stĜelbČ po otoþce? _____

17.4

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 F) 9

(59)

ϱϵ

VÝSLEDKY ÚLOH – Kombinatorika, pravdČpodobnost a statistika

1 Ͷή ͵ͷ ൌ ͳͶͲ

2 ݇ ൌ ͻͻͲͲ

3 ݉ ൌͺ

4 A

5 B

6 A

7 D

8 C, A, F, E

9 B, E, D

10 klesne o 20 korun

11 100

12 medián 2; modus 3

13 prĤmČrná známka 2,3; poþet jedniþek 7

14 A

15 C

16 C

17 E, C, D, A