Vypočtěte obecné řešení rovnice: a) y′′ =5x3−3x2 +2e2x

Matematika II 4. PROGRAM

- 1 -

MATEMATIKA II

Program – Diferenciální rovnice 1. Vypočtěte obecné řešení rovnice:

a) y′′ =5x³−3x² +2e^2x; b) y′′ = xsin ; x c) y′′ = x 1. 2. Určete partikulární řešení příslušné daným podmínkám:

a) y′′ =3x² při podm: y( )0 =2, y′( )0 =1; b)y′′′ =

x 6

3 při podm.: y( )1 =2,y′( )1 =1,y′′( )1 =1. 3. Určete obecné řešení rovnice:

a) x² + + ′1 y cosy =0; b) y′tgx− =y 1;

c) (1+x y dx) + −(1 y x dy) =0; d) 1−y² −2xy y′ =0; e) (1−x²)y′ +xy =2x; f) x 1+y² + y 1+x² y′ =0; g) y′cos²x = +(1 cos²x) 1−y² ; h) 1−y dx² +y 1−x dy² =0; i) e^{x y−} +e^{y x−} y′ =0; j) y² − ′ + =y 1 0.

4. Vypočtěte partikulární řešení rovnic:

a) y′cotgx= yln při podmínce y y π e 4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ; b) 2 1( +e )^x y y′ =e^x při podmínce y( )0 =0; c) y′sin sinx y =cos cos při podmínce x y y π

4 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ; d) y−x y′ =2 1( +x y² ′) při podmínce y( )1 =1. 5. Řešte homogenní rovnice:

a) y′ = +y x

y

tgx ; b) y′ = y − x

2 2 2 ; c) x y y

x y y

x x

′cos = cos − ; d) x y y y

′ = lnx; e) x y′ = −y x e^{y x}; f) y y′ =2y−x; g) ′ =

y −xy

x y

2

2 2 ; h) ′ = +

y x− y x y; i)y³ = x y³ ′; j) ′ =

y xy−

x y

2

3 ^{2 2} .

6. Najděte řešení diferenciální rovnice, které splňuje podmínku:

a) (xy−x²)y′ = y² , y( )1 =1; b) (x² +y²)y′ = x y, y( )1 =1 e;

Matematika II 4. PROGRAM

- 2 -

7. Vypočtěte obecné řešení rovnic:

a) (1+x²)y′ −2xy= +(1 x^{2 2}) ; b) x y′ −3y= x²; c) y′ − =y e^x; d) y′ +2x y =x e^−x2; e)y′ + ycosx=cos ; f) x y′cosx+ysinx=2 ; g) (1+x²)y′ + =y arctgx; h) x y′ +2y=e^−x2; i) xy′ −2y= x³cosx j) (2x+1)y′ + =y x. 8. Určete partikulární řešení rovnice:

a) (x² +x y) ′ − =y x x( +1) při podm. y( )1 =2; b) y′ −y x=

tg x

cos

1 při podm. y( )0 =0; c) (1−x y)( ′ +y)=e^−x při podm. y( )2 =0. 9. Určete obecné řešení rovnice:

a) y′′ − ′ −y 6y=0 ; b) y′′ −9y =0 ; c) y′′ +5y′ =0 ; d) ′′ −y 2y′ + =y 0 ; e) y′′ +6y′ +13y=0 ; f) ′′ +y 16y=0 . 10. Řešte rovnice:

a) y′′ + ′ −y 2y=6x²; b) y′′ +3y′ = 9 ; x c) y′′ −4y′ +4y =e^−x; d) y′′ − =y e^−x;

e) y′′ −7y′ +6y=sin ; x f) y′′ −2y′ +10y=37cos3x; g) y′′ + =y 3cosx−sin ; x h) y′′ −3y′ +2y=sin2x+cos2x; i) y′′ + =y 2x³− +x 2; j) y′′ +4y′ −5y=1 .

11. Řešte rovnici y′′−3y′+2y= f x( ) pro různé pravé strany:

a) f x( ) =10e^−x; b) f x( )=3e^2x; c) f x( ) =5e^x; d) f x( )=2x³−30; e) f x( ) sin= 2x+cos2 ; f)x f x( ) 2 e= x ^x. 12. Určete partikulární řešení rovnic při podmínkách:

a) y′′−4y′+3y=4e^x, y(0) 4, (0) 8= y′ = ; b) y′′+4y′+29y=5e^−2x, y(0) 0, (0) 0= y′ = ; c) y′′ − =y e^x, y( )0 =0,y′( )0 =1; d) 9y′′ + y=15sin 2x, y( )0 = −7,y′( )0 =0; e) y′′−4y′+3y=xe^x, y(0) 1, (0) 1= y′ = ; f) y′′ − =y e^−x, y(0) 1, = y′(0) 0= ; g) y′′+ =y′ 2e^x, y(0) 1, (0) 0= y′ = ; h) 4y′′+ =y′ x, y(0) 1, = y′(0) 0= .