 , kde oblast

Matematika A2 - trojný integrál:

Vypočítejte integrály:

1. ^{x y z dxdydz}

D

)



( ^{ } , kde D

 

x,y,z



; 0 x1,0 y2,0 z3



; 2. ^xdxdydz



D , kde oblast D je ohraničená rovinami x 0 , ^{y 0} , z0 a ^{x yz1} ; 3. ^ydxdydz



D , kde ^D

 

^x,y,z



^{;0x, 0y, x2 y2 z2}



^;

4. ^{z dxdydz}



D ² , kde oblast D je ohraničená

a) rovinou z0 a plochou z9x²  y² ; b) plochou zx² y² a rovinou z4^. ( válcové souřadnice)

5. ^{x y z dxdydz}

D

)

( ^{2 2 2}



^{ } , kde ^D

 

^x,y,z



^{; 4x2  y2 z2 9}



( sférické souřadnice) .

Aplikace trojného integrálu:

Trojným integrálem vypočítejte objem tělesa, ohraničeného

1. rovinami x 0,^{y 0}, ^{x4, y4}, ^z0 a plochou ^{zx2 y21}; 2. rovinami ^{z0, z5}, ^y4 a plochou ^y^x2;

3. rovinami ^{z0, x yz2} a plochou yx²;

4. rovinami ^{z0, y0, x yz2} a plochou yx²;

5. rovinami ^{x0, y1, x y3, z 0} a plochou zxy _; 6. rovinou z 0 a plochami z4y² a

2 x2

y ; 7. plochou zx² y² a rovinou z4

8. plochami ^z^x2 ^y2 a x² y² z² ⁶.

„Fyzikální“ aplikace:

1. Vypočítejte hmotnost tělesa, ohraničeného rovinou z0 a plochami x² y²1, zx² y² 1 , je-li hustota h tělesa v bodě ^{( , , )x y z} přímo úměrná vzdálenosti tohoto bodu od osy z .

2. Vypočítejte hmotnost tělesa, ohraničeného rovinou z 4 a plochou z x²y², je-li hustota h tělesa v bodě ^(x,y,z) rovna a) ^{h(x,y,z) x2} ^y2 , b) ^h(x,y,z)

z

^.

3*. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenního válce vzhledem k jeho ose .

4*. Vypočítejte moment setrvačnosti homogenního tělesa, ohraničeného rovinou z 3 a plochou z x²y² vzhledem k ose

z

^.