yxf, v okolí bodu

MA2 - Domácí úkol 7 - diferenciální počet funkcí více proměnných 1

1. Pokuste se rozhodnout, zda následující funkce jsou spojité v R²: a) ^{( , ) ( )2.cos(} ₂¹ ₂ ⁾

y x y

x y x

f    pro ^{(x,y)  (0,0)}, ^f(0,0)0 ; b) ^{( , )} ₂² ₂²

y x

y y x

x

f 

  pro ^{(x,y)  (0,0)}, ^f(0,0)0 .

2. „Mechanické“ derivování.

Vypočítejte parciální derivace 1. a 2. řádu všude, kde existují, funkcí:

a) ^{f(x,y)exp(x2 y} _y^x) ; b) f(x,y,z) zx²  y² ; c) z y

x z y x

f( , , ) ; Zjistěte, kde jsou dané funkce diferencovatelné a určete v těchto bodech jejich totální diferenciál.

3. Je dána funkce ^f a bod (x₀,y₀) (a vyberte si ) : i)

 

1 1 4

,   

x y y

x

f , (x₀,y₀)(0,3);

ii) ^f



^x,y



^arcsin



^{x2  y}



^{, (}x0^,y0⁾^(1,1); a) Najděte definiční oborDf funkce f a načrtněte jej.

b) Vypočítejte ^{ f}



^x₀^{, y}₀



; c) Ukažte, že funkce f je diferencovatelná v bodě (x₀,y₀) a určete v tomto bodě totální diferenciál

funkce f .

d) Napište rovnici tečné roviny a normály ke grafu f v bodě



x₀,y₀, f(x₀,y₀)



.

e) Napište lineární aproximaci funkce f



x, y



v okolí bodu (x₀,y₀).

4. Zjistěte, zda funkce



,



₂² ₂²

y x

y y x

x

f 

  je v bodě



1,1



ve směru vektoru a 



2,1



rostoucí nebo

klesající. Najděte vektor, v jehož směru funkce f v bodě



1,1



roste nejrychleji.

A trošku náročnější příklad (pro zájemce):

5. Ukažte, že funkce ^{fx,y  x.y} není diferencovatelná v bodě



0,0



, i když je v bodě



0,0



spojitá a má zde obě parciální derivace .