Matematická analýza 1 (velmi předběžná verze)

Matematická analýza 1 (velmi předběžná verze)

6. srpna 2021

L. Pick, S. Hencl, J. Spurný a M. Zelený

Obsah

Předmluva vii

Kapitola 1. Logika, množiny a základní

číselné obory 1

1.1. Logika 1

1.2. Základní metody důkazů 10

1.3. Množiny 15

1.4. Relace uspořádání a zobrazení 17

1.5. Množina reálných čísel 23

1.6. Konečné a spočetné množiny 32

1.7. Vlastnosti elementárních funkcí 40

1.8. Teoretické a početní příklady 48

Kapitola 2. Limita posloupnosti 61

2.1. Úvod 61

2.2. Vlastní limita posloupnosti 64

2.3. Nevlastní limita posloupnosti 79

2.4. Hlubší věty o limitách 89

2.5. Teoretické příklady k limitě posloupnosti 99

2.6. Početní příklady k limitě posloupnosti 107

Kapitola 3. Číselné řady 127

3.1. Základní pojmy 127

3.2. Řady s nezápornými členy 131

3.3. Řady s obecnými členy 138

3.4. Absolutní konvergence číselných řad 143

3.5. Přerovnání řad 148

3.6. Součin řad 156

3.7. Zobecněné řady 159

3.8. Teoretické příklady k číselným řadám 172

3.9. Početní příklady k číselným řadám 188

Kapitola 4. Limita a spojitost funkce 203

4.1. Definice a základní vlastnosti 203

4.2. Věty o limitách 209

iii

4.3. Funkce spojité na intervalu 217

4.4. Teoretické příklady k limitě funkce 221

4.5. Početní příklady k limitě funkce 231

Kapitola 5. Derivace a elementární funkce 243

5.1. Základní vlastnosti derivace 243

5.2. Věty o střední hodnotě 254

5.3. l’Hospitalovo pravidlo 259

5.4. Monotónní a konvexní funkce 266

5.5. Teoretické příklady k derivaci funkce 276

5.6. Početní příklady k derivaci funkce 292

Kapitola 6. Elementární funkce 349

6.1. Exponenciální funkce a logaritmus 349

6.2. Goniometrické funkce 354

6.3. Cyklometrické funkce 362

Kapitola 7. Taylorův polynom 367

7.1. Základní vlastnosti 367

7.2. Symbol maléo 373

7.3. Taylorovy a Maclaurinovy řady elementárních funkcí 377 7.4. Teoretické příklady k Taylorovu polynomu 384

7.5. Početní příklady k Taylorovu polynomu 389

Kapitola 8. Mocninné řady 397

8.1. Základní vlastnosti 397

8.2. Derivace mocninné řady 399

8.3. Abelova věta 404

8.4. Teoretické příklady na mocninné řady 407

8.5. Početní příklady na mocninné řady 409

Kapitola 9. Integrál 417

9.1. Primitivní funkce 417

9.2. Riemannův integrál 437

9.3. Newtonův integrál 452

9.4. Konvergence Newtonova integrálu 460

9.5. Aplikace určitého integrálu 468

9.6. Teoretické příklady na integrál 473

9.7. Početní příklady na integrál 488

Kapitola 10. Metrické prostory 519

10.1. Základní pojmy 519

10.2. Konvergence v metrických prostorech 526

10.3. Topologické pojmy v metrických prostorech 529 10.4. Spojitá zobrazení mezi metrickými prostory 539

10.5. Kompaktní prostory 546

10.6. Úplné prostory 553

10.7. Separabilní prostory 575

10.8. Souvislé prostory 580

10.9. Součin metrických prostorů 586

10.10. Teoretické příklady k metrickým prostorům 586

Kapitola 11. Funkce více proměnných 599

11.1. Parciální derivace a totální diferenciál 599

11.2. Derivace vektorových funkcí 611

11.3. Derivace vyšších řádů 619

11.4. Věty o implicitně zadaných funkcích 631

11.5. Lokální extrémy funkce více proměnných 638

11.6. Regulární zobrazení 641

11.7. Teoretické příklady 643

11.8. Početní příklady k funkcím více proměnných 647 Kapitola 12. Stejnoměrná konvergence posloupností

a řad funkcí 687

12.1. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí 687

12.2. Weierstrassova věta 694

12.3. Stejnoměrná konvergence řad funkcí 699

12.4. Teoretické příklady ke stejnoměrné konvergenci posloupností a řad

funkcí 705

12.5. Početní příklady ke stejnoměrné konvergenci posloupností a řad

funkcí 712

Kapitola 13. Diferenciální rovnice 729

13.1. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými 729 13.2. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 735 13.3. Lineární diferenciální rovnicen-tého řádu s konstantními koeficenty736

13.4. Soustavy diferenciálních rovnic 743

13.5. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 755 13.6. Řešení lineárních soustav s konstantními koeficienty 758 13.7. Početní příklady na diferenciální rovnice 762

Kapitola 14. Křivkový a plošný integrál 783

14.1. Hausdorffovy míry 783

14.2. Vektorový součin 796

14.3. Křivky, plochy a jejich orientace 799

14.4. Gaussova, Greenova a Stokesova věta 806

14.5. Hlavní věta teorie pole 820

14.6. Teoretické příklady k plošnému a křivkovému integrálu 823

14.7. Početní příklady 826

Kapitola 15. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací 833 15.1. Přehled výsledků z teorie míry a integrálu 833

15.2. Derivace monotónní funkce 833

15.3. Funkce s konečnou variací 837

15.4. Absolutně spojité funkce 839

Kapitola 16. Fourierovy řady 847

16.1. Luzinova věta a její důsledky 847

16.2. Základní pojmy Fourierových řad 849

16.3. Cesàrovská sčítatelnost Fourierových řad 853

16.4. Bodová konveregence Fourierových řad 859

16.5. Fourierovy řady v Hilbertových prostorech 863 16.6. Teoretické příklady k Fourierovým řadám 870

16.7. Početní příklady k Fourierovým řadám 874

Dodatek A. Axiomy teorie množin 883

Dodatek B. Konstrukce množiny přirozených a reálných čísel 893

B.1. Dedekindovy řezy 894

Literatura 907

Předmluva

Tento text je velmi nedokonalou verzí budoucích skript. Některé jeho části budou ještě výrazně revidovány. Přesto snad může pomoci studentům MFF UK v prvním ročníku při přípravě na zkoušku.

vii

KAPITOLA 1

Logika, množiny a základní číselné obory

1.1. Logika

1.1.1. Logikaje věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá ve správnostivyvození závěru z předpokladů. V tomto oddílu se budeme zabývat logikou výrokovou a predikátovou.

1.1.2. Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé (platí), nebo ne- ní pravdivé (neplatí). Pokud výrok platí, říkáme, že mápravdivostní hodnotu1, pokud neplatí, říkáme, že má pravdivostní hodnotu0. Pouze některé správně utvo- řené gramatické věty jsou výroky. Věty „Číslo4je sudé.“ a „Praha je hlavní město Kanady.“ jsou výroky, naproti tomu „Ahoj!“ nebo „Kéž by už byl konec.“ nikoli.

Tvrzení „Čísloje iracionální.“ je výrok, i když zatím není známo, zda pravdivý či nepravdivý. Z výroků lze vytvářet nové složitější výroky pomocí logických operací.

Se základními logickými operacemi se nyní seznámíme.

1.1.3. NegacívýrokuArozumíme výrok „Není pravda, že platíA.“ K vyjádření negace výrokuAmůžeme také použít obrat „NeplatíA.“, případně změnit přísluš- né sloveso ve výroku pomocí předpony „ne-“. Negaci výrokuAznačíme:A. Je-li výrok Apravdivý, pak je výrok:Anepravdivý. Je-li výrokAnepravdivý, pak je výrok:Apravdivý.

1.1.4. KonjunkcívýrokůAaBnazveme výrok „PlatíAa zároveň platíB.“ Dále používáme také obraty „PlatíAa platíB.“, „PlatíAiB.“ Konjunkci výrokůAaB značímeA^B, někdy takéA&B. Pokud jsou pravdivé oba výrokyAaB, pak je konjunkceA^Bpravdivá. Pokud je alespoň jeden z výrokůAaBnepravdivý, pak je konjunkceA^Bnepravdivá.

1.1.5. DisjunkcívýrokůAaB nazveme výrok „PlatíAnebo platíB.“ Disjunkci výrokůAaB značímeA_B. Pokud je alespoň jeden z výrokůAa Bpravdivý, pak je disjunkce A_B pravdivá. Pokud jsou oba výrokyAaB nepravdivé, pak je disjunkce A_ B nepravdivá. Poznamenejme, že disjunkce není vylučující, to znamená, že je pravdivá i v případě, kdy platí oba výroky AaB zároveň. Takto používáme spojku „nebo“ v matematice na rozdíl od přirozeného jazyka, kde může mít i význam vylučovací.

1

1.1.6. Implikací nazýváme výrok „Jestliže platí (výrok) A, potom platí (výrok) B.“ Takové spojení výroků Aa B značíme A ) B. PokudA neplatí nebo oba výrokyAiBplatí, pak jde o pravdivý výrok. PokudAplatí aBneplatí, pak jde o výrok nepravdivý. VýrokuAříkámepředpoklada výrokuBzávěr. Pro vyjádření implikace používáme také následující obraty.

Jestliže platí výrokA, pak platí výrokB.

VýrokAimplikuje výrokB.

Z výrokuAplyne výrokB.

Předpokládejme, že platí výrokA, potom platí výrokB.

Nechť platí výrokA. Potom platí výrokB.

VýrokAje postačující podmínkou pro platnost výrokuB.

VýrokBje nutnou podmínkou pro platnost výrokuA.

Je-li předpokladAnepravdivý, pak implikaceA)Bplatí vždy bez ohledu na platnost závěruB. Jinými slovy, z nepravdivého výroku plyne jakýkoliv jiný výrok.

Tato skutečnost může někdy působit potíže, které vyplývají z rozdílného používání obratu „Jestliže platíA, pak platíB.“ v logice a v přirozeném jazyce. V běžné ře- či používáme tento obrat zpravidla tehdy, existuje-li nějaká věcná souvislost mezi předpoklademAa závěremB, zatímco v logice používáme tento obrat i ke spojení výroků, kde taková souvislost nemusí existovat, například „Jestliže je medvěd ry- ba, pak jsou Athény v Egyptě.“ Pravdivost takového výroku v logice závisí pouze na pravdivostních hodnotách předpokladu a závěru. Ačkoliv pravdivost takových výroků může působit nezvykle, je formálně logické pojetí implikace v matematice velmi užitečné. Podrobnější vysvětlení lze nalézt například v [18, II.8].

1.1.7. EkvivalencívýrokůAaBnazýváme výrok „VýrokAplatí právě tehdy, když platí výrok B.“ Ekvivalenci výroků Aa B značíme A , B. Pokud Aa B mají stejnou pravdivostní hodnotu, pak je A , B pravdivý výrok. Pokud nemají A a Bstejnou pravdivostní hodnotu, pak je A, B nepravdivý výrok. Ekvivalenci vyjadřujeme také pomocí následujících obratů.

VýrokAplatí tehdy a jen tehdy, když platí výrokB. VýrokAje ekvivalentní výrokuB.

VýrokAje nutnou a postačující podmínkou pro platnost výrokuB. 1.1.8. Následující tabulky uvádějí pravdivostní hodnoty výše definovaných logic- kých operací v závislosti na pravdivosti výrokůAaB.

A :A

0 1

1 0

A B A^B A_B A)B A,B

0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

1.1.9. Pro zjednodušení zápisu bude mít mezi logickými operacemi negace před- nost před ostatními operacemi. Například zápis:A)Bznamená.:A/)B.

1.1.10. Věta(vlastnosti negace, konjunkce a disjunkce). NechťA,BaC jsou výro- ky. Potom jsou následující výroky vždy pravdivé bez ohledu na pravdivost výroků A,B,C.

(a) :.:A/,A (b) .A^B/,.B^A/

(c) .A^B/^C

, A^.B^C / (d) .A_B/,.B_A/

(e) .A_B/_C

, A_.B_C / (f) A_.B^C /

, .A_B/^.A_C / (g) A^.B_C /

, .A^B/_.A^C /

Důkaz. (a) Předpokládejme nejprve, že výrokAje nepravdivý. Potom je výrok:A pravdivý a výrok:.:A/je nepravdivý. VýrokyAa:.:A/mají stejnou pravdivostní hodnotu, takže je výrok:.:A/,Apravdivý.

Nyní předpokládejme, že výrokAje pravdivý. Potom je výrok:Anepravdivý a výrok:.:A/je pravdivý. VýrokyAa:.:A/mají stejnou pravdivostní hodnotu, takže je výrok:.:A/,Aopět pravdivý. Tím je důkaz proveden. Předchozí úvahu lze přehledněji zapsat pomocí následující tabulky.

A :A :.:A/ :.:A/,A

0 1 0 1

1 0 1 1

(b) Každý z výrokůAaBmůže být pravdivý nebo nepravdivý. Použijeme-li stej- ný postup jako v předchozím případě, je třeba projít celkem čtyři případy. Tyto případy spolu s pravdivostními hodnotami příslušných výroků jsou zachyceny v následující tabulce.

A B A^B B^A .A^B/,.B^A/

0 0 0 0 1

0 1 0 0 1

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1

Poslední sloupec pravdivostních hodnot obsahuje pouze pravdivostní hodnotu1, takže uvažovaná ekvivalence je vždy pravdivá.

(c) Podobně jako v předchozím případě sestavíme příslušnou tabulku. Zde je již celkem osm možností pravdivostních hodnot pro trojici výrokůA,BaC.

A B C A^B B^C .A^B/^C A^.B^C /

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

Poslední dva sloupce pravdivostních hodnot jsou shodné, takže dokazovaná ekvi- valence je vždy pravdivá.

Případy (d)–(g) lze odvodit zcela obdobně a příslušné tabulky zde již uvádět ne-

budeme.

1.1.11. Tvrzení (b) a (c) Věty 1.1.10 ukazují, že pokud chceme postupně spojit výrokyA1; : : : ; Anpomocí konjunkce, pak nezáleží na pořadí, v jakém uvažované výroky spojíme. Například výroky

A1^ .A2^A3/^A4

; .A4^A3/^A1

^A2

jsou ekvivalentní. V takových případech pak používáme jednodušší zápis A1 ^ A2^ ^An. Tvrzení (d) a (e) Věty 1.1.10 umožňují zavedení obdobného zápisu A1_A2_ _Anpro disjunkci. V případě konjunkce dokonce někdy vynechává- me symbol^a výroky pouze oddělujeme čárkami. Například výrok „Platí výroky A1; A2; A3.“ znamená „Platí výrokA1^A2^A3.“

1.1.12. Věta(negace konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence). NechťAaB jsou výroky. Potom jsou následující výroky vždy pravdivé bez ohledu na pravdivost výrokůAaB.

(a) :.A^B/,.:A_ :B/

(b) :.A_B/,.:A^ :B/

(c) :.A)B/,.A^ :B/

(d) :.A,B/,.A, :B/

Důkaz. Pomocí tabulky pravdivostních hodnot ukažme například platnost (d). Prav- divost výroků (a)–(c) lze dokázat obdobně.

A B A,B :.A,B/ A, :B

0 0 1 0 0

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 0 0

Poslední dva sloupce jsou shodné, a tedy výrok:.A, B/,.A , :B/je vždy

pravdivý.

1.1.13. Věta(vztah implikace a ekvivalence). NechťAaBjsou výroky. Potom jsou výrokyA,Ba.A)B/^.B )A/ekvivalentní, tj. výrok

A,B

, .A)B/^.B )A/

(1.1) je vždy pravdivý bez ohledu na pravdivost výrokůAaB.

Důkaz. Opět použijeme tabulku pravdivostních hodnot.

A B A)B B)A .A)B/^.B )A/ A,B

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1

Poslední dva sloupce jsou shodné, a výrok (1.1) je tedy vždy pravdivý.

1.1.14. Věta. NechťA, B a C jsou výroky. Potom jsou následující výroky vždy pravdivé bez ohledu na pravdivost výrokůA,B,C.

(a) .A)B/,.:B) :A/

(b) .A)B/,.:A_B/

(c) .A_B/)C

, .A)C /^.B )C /

Důkaz. Tvrzení plynou z následujících tabulek pravdivostních hodnot.

(a)

A B :A :B A)B :B) :A .A)B/,.:B) :A/

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1

(b)

A B :A A)B :A_B .A)B/,.:A_B/

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

1 1 0 1 1 1

(c)

A B C A_B .A_B/)C A)C B)C .A)C /^.B)C /

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

Sloupec pravdivostních hodnot odpovídající výroku .A_B/ ) C je shodný s posledním sloupcem, a proto je výrok v bodě (c) vždy pravdivý.

1.1.15. Tvrzení „Čísloxje liché.“, kdexje proměnná, je gramatickou větou, nicmé- ně není výrokem, protože jej nelze potvrdit ani vyvrátit. Z uvedeného tvrzení se stane výrok, pokud proměnnouxnahradíme konkrétním číslem, například „Číslo 7je liché.“ Právě uvedený příklad motivuje následující definici.

1.1.16. Definice. Výroková formaV .x1; : : : ; xn/je výraz, z něhož vznikne výrok, když za proměnnéx1; : : : ; xndosadíme po řadě prvky z daných množinM1; M2; : : : ; Mn. Takovou výrokovou formu snproměnnými a příslušnými množinamiM1; M2; : : : ; Mn

značíme

V .x1; : : : ; xn/; x12M1; x22M2; : : : ; xn2Mn:

1.1.17. Pojem množiny v předchozí definici používáme v intuitivním smyslu. Pro naše úvahy nám zatím postačí toto (ne zcela přesné) vymezení:Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku.Je-li aprvkem množinyA, pak píšemea2 A. Pokudanení prvkemA, píšemea …A. Jestliže každý prvek množiny Aje i prvkem množiny B, potom říkáme, žeAje podmnožinouBa píšemeAB. Prázdnou množinou nazveme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Zpřesňující výklad je uveden v Oddílu 1.3 a Dodatku A.

1.1.18. Nechť výroková formaV má tvar „xje hlavní město České republiky“, kde zaxdosazujeme prvky z množiny všech českých měst. PakV .Praha/je pravdivý výrok, ale výrokV .Plzeň/neplatí.

1.1.19. Predikátem v logice rozumíme vlastnost, kterou nějakému předmětu při- suzujeme, nebo mu ji upíráme. V 1.1.18 je predikátem „být hlavním městem České republiky“. Predikátová logika se věnuje studiu predikátů a vyšetřování vlastností kvantifikace. Pojmem kvantifikace se nyní budeme zabývat.

1.1.20. Definice. NechťV .x/,x2M, je výroková forma aP M. (a) Výrok „Pro každéx2P platíV .x/.“ symbolicky zapisujeme ve tvaru

8x2PWV .x/:

Symbol8nazývámeobecným kvantifikátorem.

(b) Výrok „Existujex2P takové, že platíV .x/.“ zapisujeme ve tvaru 9x2PWV .x/:

Symbol9nazývámeexistenčním kvantifikátorem.

(c) Výrok „Existuje právě jednox2P takové, že platíV .x/.“ zapisujeme ve tvaru 9Šx2PWV .x/:

1.1.21. Poznámka. Z typografického hlediska vznikly symboly8 a 9 otočením písmen A a E. Písmeno A vychází z německého slovaallgemein, a písmeno E patrně z francouzského slovaexister.

1.1.22(kvantifikace přes prázdnou množinu). NechťV .x/,x 2 M, je výroková forma. JestližeP je prázdná množina, potom výrok

8x2PWV .x/

považujeme za pravdivý. Na druhé straně výrok 9x2PWV .x/

je zřejmě nepravdivý.

1.1.23. Pokud má výroková forma více proměnných, můžeme z ní pomocí kvantifi- kátorů vytvořit nové výrokové formy s menším počtem proměnných nebo dokonce výroky. Mějme výrokovou formuV .x; y/,x 2M1; y 2M2. Nyní můžeme vytvořit nové výrokové formy s jednou proměnnou například takto:

8x2M1WV .x; y/; 9x2M1WV .x; y/;

8y2M2WV .x; y/; 9y 2M2WV .x; y/:

V prvním řádku jde o výrokové formy s proměnnouya ve druhém s proměnnou x. Z těchto forem lze utvořit výroky použitím dalšího kvantifikátoru, například

8x2M1W 8y2M2WV .x; y/

; 9y2M2W 9x2M1WV .x; y/

:

Výroky uvedeného typu zapisujeme zpravidla jednodušeji následujícím způsobem:

8x2M18y 2M2WV .x; y/; 9y2M29x 2M1WV .x; y/:

Obdobně můžeme pomocí kvantifikátorů vytvářet výrokové formy a výroky z vý- rokové formy s více než dvěma proměnnými.

1.1.24(intuitivní pojetí matematické logiky). V našem textu se přidržíme intuitiv- ního významu kvantifikátorů, tj. využijeme toho, jak v běžné řeči rozumíme obra- tům „pro každéx“ a „existujex“. Nebudeme tedy usilovat o čistě formální pojetí matematické logiky, neboť takový přístup by pro svou náročnost nebyl přiměřený našemu textu. Proto některé vlastnosti kvantifikátorů z tohoto oddílu nebudeme dokazovat, nicméně by tyto vlastnosti měly být intuitivně zřejmé. V knize [16] je možné se seznámit s precizní výstavbou matematické logiky a jejími hlubokými výsledky. Kniha však předpokládá obeznámenost s vyšší matematikou.

1.1.25(zúžení výrokové formy). Uveďme nejprve dvě následující vlastnosti. Nechť V .x/; x2M1, je výroková forma aM2M1. Potom platí:

(a) 8x2M1WV .x/

) 8x2M2WV .x/

, (b) 9x2M2WV .x/

) 9x2M1WV .x/

.

Výrok (a) říká, že pokud výrokV .x/platí pro každý prvekxmnožinyM1, pak platí i pro každý prvekxz množinyM2. Výrok (b) tvrdí, že pokud v podmnožiněM2

existuje prvekxtakový, žeV .x/platí, pak takový prvek nalezneme i v množiněM1. 1.1.26(pořadí kvantifikátorů). Uveďme dále tři základní vlastnosti týkající se po- řadí kvantifikátorů, které budeme často používat. NechťV .x; y/; x 2M1; y 2M2

je výroková forma. Potom platí:

8x2M18y 2M2WV .x; y/

, 8y2M28x2M1WV .x; y/

, 9x2M19y 2M2WV .x; y/

, 9y 2M29x2M1WV .x; y/

, 9x2M18y2M2WV .x; y/

) 8y2M29x2M1WV .x; y/

.

První dvě vlastnosti říkají, že pořadí kvantifikátorůstejného typulze zaměňovat, aniž by se změnila pravdivostní hodnota výroku. V poslední ze tří výše uvedených for- mulí je však pouze implikace, nikoli ekvivalence. Pořadí obecného kvantifikátoru a existenčního kvantifikátoru totiž obecně zaměnit nelze, jak ukazuje následující příklad.

NechťA.m; d /; m2M; d 2D, značí výrokovou formu

„Mužmje otcem dítěted.“, m2M; d 2D;

kdeM je množina všech mužů aDje množina všech dětí. Výroky 8d 2D9m2MWA.m; d /; 9m2M 8d 2DWA.m; d /

se liší pouze pořadím kvantifikátorů. První výrok říká, že každé dítě má svého otce.

Druhý výrok tvrdí, že existuje muž, který je otcem všech dětí. Pravdivostní hodnoty těchto výroků se tedy liší.

1.1.27. Označení. NechťV .x; y/je výroková forma, kde za proměnnéxaybere- me prvky množiny A. V takovém případě vzhledem k záměnnosti kvantifikátorů stejného typu používáme často místo zápisu

8x2A8y2AWV .x; y/

zápis

8x; y2AWV .x; y/:

Podobně místo

9x2A9y 2AWV .x; y/

píšeme zkráceně

9x; y2AWV .x; y/:

Tuto konvenci budeme zřejmým způsobem používat i ve formulích, které obsahují více než dva kvantifikátory.

1.1.28. Označení. NechťV aP jsou výrokové formy s proměnnoux2M. Zápis

8x2M; P .x/WV .x/; (1.2)

označuje výrok

8x2MW P .x/)V .x/

:

Výrok (1.2) čteme: „Pro každéxzM splňujícíP platíV .x/.“ Zápis

9x2M; P .x/WV .x/ (1.3)

označuje výrok

9x 2MW P .x/^V .x/

:

Výrok (1.3) čteme: „Existuje x zM splňujícíP, pro které platíV .x/.“ Obdobný zápis používáme i v případě, žeV je výroková forma o více než jedné proměnné.

Výše uvedená úmluva zjednodušuje a zpřehledňuje zápis formulí.

1.1.29(negace výroků s kvantifikátory). NechťV aP jsou výrokové formy pro- měnnéx2M. Negaci výroku

8x2MWV .x/

lze zapsat ve tvaru

9x2MW :V .x/;

přičemž :V značí výrokovou formu, která po dosazení za proměnnou x určuje výrok: V .x/

. Podobně negaci výroku 9x2MWV .x/

lze zapsat ve tvaru

8x2MW :V .x/:

Negovat výrok

8x2M; P .x/WV .x/;

znamená negovat výrok

8x2MW P .x/)V .x/

: Po provedení negace dostaneme

9x2MW : P .x/)V .x/

; takže podle Věty 1.1.12(c)

9x2MW P .x/^ :V .x/

: Poslední formuli lze přepsat ve tvaru

9x2M; P .x/W :V .x/:

Podobně lze odvodit, že negace výroku

9x2M; P .x/WV .x/

má tvar

8x2M; P .x/W :V .x/:

Pokud negujeme výrok, který obsahuje více kvantifikátorů, postupujeme tak, že ve formuli zaměníme obecné kvantifikátory za existenční, existenční za obecné a negujeme výrokovou formu. Správnost postupu vyplývá z předchozího výkladu.

1.1.30. Negaci výroku

8x2M19y 2M28´2M3WV .x; y; ´/

lze zapsat ve tvaru

9x2M18y2M29´2M3W :V .x; y; ´/:

S výrokovými formami a kvantifikátory se budeme v tomto textu setkávat ne- ustále. Úlohy k procvičení jsou uvedeny v Oddílu 1.8.

1.2. Základní metody důkazů

1.2.1. Množinu všechpřirozenýchčísel, tj. množinu všech čísel 1, 2,3; : : :, bu- deme značitN, množinu všechcelýchčíselZ, množinu všechracionálníchčísel, tj. množinu čísel tvaru ^p_q, kdep 2Zaq 2N, budeme značitQa množinu všech reálnýchčíselR.Iracionálnímčíslem rozumíme každé reálné číslo, které není raci- onální. Čísla z uvedených množin můžeme porovnávat mezi sebou podle velikosti, sčítat, odečítat, násobit a dělit. Pro rovnost reálných čísel budeme používat stan- dardní symbolDa pro nerovnosti symboly,,<,>. Pro uvedené operace pak symbolyC(plus), (minus),(krát) a (zlomková čára). Budeme předpokládat znalost základních vlastností těchto množin na úrovni středoškolské matematiky, tj. zejména znalost vlastností početních operací. Také použijeme tvrzení, že mno- žina přirozených čísel je rovna množině všech celých čísel, která jsou větší než0, a číslo1je nejmenší přirozené číslo, tj. pro každén 2 Nplatín 1. O množinách N;Z;QaRzde hovoříme zejména proto, abychom je mohli používat v ilustračních příkladech tohoto oddílu. Více o nich řekneme v Oddílu 1.5 a jejich přesnému za- vedení se budeme věnovat v Dodatku B.

1.2.2. V matematice vycházíme z několika základních tvrzení, která nedokazuje- me. Taková tvrzení nazývámeaxiomy. Všechna další tvrzení jsou potom vdůka- zech odvozována z axiomů a tvrzení již dokázaných. Matematické tvrzení, kte- ré považujeme za důležité nebo zajímavé samo o sobě, většinou nazývámevětou.

K označení tvrzení, které má pomocný charakter, tj. potřebujeme jej pouze k dů- kazu jiných tvrzení, používáme zpravidla slovolemma.¹ Definicevymezují nové pojmy, věty a lemmata hovoří o vlastnostech těchto pojmů a vztazích mezi nimi.

Matematická teorie je tak tvořena axiomy, definicemi, větami, lemmaty a důkazy.

Podrobnější výklad o axiomech i samotném jazyce matematiky je uveden v Dodat- ku A.

Nejčastěji bývá matematická věta formulována ve tvaru implikace, tj. pokud platí předpoklad A, pak platí závěrB. Důkazem je pak posloupnost správných úvah vedoucích od předpokladů věty k jejímu závěru. Mezi základní typy důkazů patří:

přímý důkaz,

1Slovo lemma je středního rodu.

nepřímý důkaz, důkaz sporem,

důkaz rozborem případů, důkaz matematickou indukcí.

Tyto postupy nyní stručně vysvětlíme a výklad doplníme příklady. Uveďme ještě, že u složitějších důkazů je často nutné použít i několika z výše uvedených postupů a vzájemně je kombinovat.

1.2.3(přímý důkaz). Mějme matematickou větu ve tvaru implikaceA ) B pro jisté výrokyAaB. Při přímém důkazu postupujeme takto: Předpokládáme, že vý- rok Aplatí. Odtud odvodíme platnost jistého výroku C1, pomocíC1 dokážeme pravdivost jistého výrokuC2, z něho pak dokážemeC3a tak dále, až z předpokla- du platnosti výrokuCndokážeme výrokB. Odvodili jsme tedy následující řetěz implikací

A)C1; C1)C2; C2)C3; : : : ; Cn 1)Cn; Cn)B;

ze kterého již plyne platnost implikaceA) B. Chceme-li dokázat nějakou větu přímým důkazem, je na nás, abychom nalezli vhodné střední členyC1; : : : ; Cn, které nám umožní z předpokladu odvodit závěr. Jak je hledat v konkrétním případě, na to bohužel žádný návod či dokonce algoritmus neexistuje. Matematika je tvůrčí činnost a bez určité míry důvtipu žádnou novou větu dokázat nelze.

1.2.4(nepřímý důkaz). Tento typ důkazu je založen na ekvivalenci výrokůA)B a:B) :A(vizte Větu 1.1.14(a)). Platí-li druhý výrok, pak platí i první. Stačí tedy nalézt jakýkoli důkaz druhého výroku.

1.2.5(důkaz sporem). Tato metoda je založena na ekvivalenci výroků A ) B a:.A^:B/(vizte Větu 1.1.12(c)). Při tomto způsobu dokazování předpokládáme platnost výrokuA^ :B. Pokud se nám z něho podaří odvodit výrokC, který je neplatný, pak nemůže platit ani výrokA^ :B(z platného výroku nelze odvodit výrok neplatný). Platí tedy:.A^ :B/, neboliA)B.

1.2.6(důkaz rozborem případů). Má-li dokazované tvrzení tvar.A_B/)C, pak podle Věty 1.1.14(c) stačí dokázat tvrzeníA)C aB)C. V tomto důkazu tedy nejprve dokazujeme závěr C za předpokladu, že platí A. Pak dokazujeme C za předpokladu, že platíB. Při aplikaci této metody je tedy třeba zapsat předpoklad věty ve tvaruA_Btak, abychom pak mohli snáze odvoditA)C aB)C. Ani zde není k dispozici žádný algoritmus, jak takováAaBnalézt, a je třeba použít vlastního důvtipu.

1.2.7(důkaz matematickou indukcí). Metodu důkazu matematickou indukcí lze použít k důkazu výroku tvaru

8n2NWV .n/; (1.4)

kdeV .n/,n2 N, je výroková forma. V prvním kroku matematické indukce doká- žeme platnost výrokuV .1/. Ve druhém kroku pak dokážeme výrok

8n2NW V .n/)V .nC1/

;

neboli předpokládáme platnostV .n/(tzv.indukční předpoklad) a odvodíme plat- nostV .nC1/. Z těchto dvou kroků pak vyplývá platnost výroku (1.4).

V případě, že chceme dokázat výrok tvaru 8n2Z; nn0WV .n/;

kden02ZaV .n/,n2Z; nn0, je výroková forma, pak v prvním kroku matema- tické indukce dokážeme platnost výrokuV .n0/. Ve druhém kroku pak dokážeme výrok

8n2Z; nn0W V .n/)V .nC1/

:

Korektnost této důkazové metody podstatně souvisí s konstrukcemi množiny přirozených čísel a množiny celých čísel, kterým se budeme věnovat v Dodatku B.

1.2.8(důkaz úplnou matematickou indukcí). NechťV .n/; n2N, je výroková for- ma. Výrok

8n2NWV .n/ (1.5)

je někdy možné dokázat pomocí úplné matematické indukce, která sestává z ově- ření následujících tvrzení:

(a) platíV .1/,

(b) pro každén2Nplatí

8j 2N; j nWV .j /

)V .nC1/:

Krok (b) úplné matematické indukce se liší od druhého kroku matematické in- dukce popsané v paragrafu 1.2.7 v tom, že místo abychom předpokládali platnost pouzeV .n/, předpokládáme, že platí výrokyV .1/; V .2/; : : : ; V .n/.

Předpokládejme, že platí (a) a (b). Ukážeme, že pak platí (1.5). Definujme výrokovou formu W .n/; n2 N, následujícím způsobem: VýrokW .n/říká, že pro každéj 2N; j n, platíV .j /. Matematickou indukcí dokážeme tvrzení

8n2NWW .n/: (1.6)

VýrokW .1/platí podle (a). Nyní předpokládejme, že pro nějakén2NplatíW .n/. Potom podle (b) platíV .nC1/. Platí-liW .n/aV .nC1/, pak platíW .nC1/. Podle principu matematické indukce platí (1.6). Z výroku (1.6) pak okamžitě plyne (1.5).

Další varianty důkazu matematickou indukcí jsou uvedeny v příkladové části této kapitoly (Oddíl 1.8).

Použití výše uvedených důkazových metod přiblížíme v následujících příkla- dech.

1.2.9. Příklad. Dokažte, že pro každéa; b2Rplatí ¹₂.a²Cb²/ab.

Řešení. Provedeme přímý důkaz tvrzení. Vezměme libovolná číslaa; b2R. Potom platí.a b/²0. Upravíme-li tuto nerovnost, dostanemea² 2abCb²0. Odtud již snadno plyne dokazovaná nerovnost ¹₂.a²Cb²/ab. ^| 1.2.10. Příklad. Nechťn 2N. Dokažte, že potom existujek 2 Ntakové, žen D 2k, nebon D 2k 1, přičemž oba případy nemohou nastat zároveň. V prvním případě říkáme, ženjesudé, a ve druhém, že jeliché.

Řešení. K důkazu první části tvrzení použijeme matematickou indukci. PronD 1 položmekD 1. Potom máme1 D21 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro n2N, a chceme tvrzení dokázat i pro číslonC1. Podle indukčního předpokladu existujek2Ntakové, ženD2k, nebonD2k 1. V prvním případě platínC1D 2kC1D2.kC1/ 1, ve druhémnC1D2k. V prvním případě je tedy hledaným číslemkC1a ve druhémk.

Pokud by číslon 2 N bylo zároveň liché i sudé, pak by existovalak; l 2 N taková, ženD2kD2l 1. Potom2.l k/D1, a tedyl kD ¹2. Číslol kje celé, na rozdíl od čísla ¹₂, což je spor. Metodou důkazu sporem jsme odvodili i druhou

část tvrzení. Tím je tvrzení příkladu dokázáno. |

1.2.11. Příklad. Nechťn2Nap 2Nje liché. Dokažte, že potompⁿje liché číslo.

Řešení. Nechťp2Nje liché. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. PronD1 je číslo p¹ D p liché podle předpokladu. Předpokládejme platnost tvrzení pro přirozené číslon, tj. předpokládejme, že číslopⁿje liché. Pak existujek2Ntakové, žepⁿD2k 1. Existuje takél2Ntakové, žepD2l 1. Potom platí

p^nC1DpⁿpD.2k 1/.2l 1/D2.2kl k lC1/ 1:

Dále platí2kl k lC1Dk.l 1/Cl.k 1/C11, a tedy2kl k lC12N.

Odtud plyne, že číslop^nC1je liché. ^|

1.2.12. Připomeňme, že číslo d 2 Z nazývámedělitelem číslan 2 Z, značíme d j n, pokud existuje k 2 Zsplňujícín D kd. Pro každén 2 N je zřejmě1 in dělitelem n. Řekneme, že n 2 N je prvočíslo, pokudn > 1a jeho jediní kladní dělitelé jsou1an. Například čísla2; 3; 5; 7; 11jsou prvočísla.

1.2.13. Příklad. Nechťn 2 N. Dokažte, že potom existuje právě jedna dvojice k; l 2Ntaková, ženD2^{k 1}.2l 1/.

Řešení. Pomocí úplné matematické indukce nejprve dokážeme existenci přísluš- nýchk; l 2Npron2N. Pak ukážeme i jednoznačnostkal.

PronD1položímekD1alD1a mámenD1D2^{1 1}.21 1/. Předpokládej- me, že každéj 2N; j n, lze vyjádřit ve tvaru2^{k 1}.2l 1/pro vhodnák; l2N. Chceme ukázat, že i pro číslonC1lze nalézt příslušnák; l 2 N. Pokud jenC1 číslo liché, pak existujel 2Ntakové, ženC1D2l 1. Položímek D1a tvrzení je dokázáno. Pokud je číslonC1sudé, pak existujem2Ntakové, ženC1D2m. Poněvadžm n, existují podle indukčního předpokladu číslak⁰; l⁰ 2 N taková, žemD2^{k0 1}.2l⁰ 1/. Potom stačí položitkDk⁰C1alDl⁰.

Zbývá dokázat, že číslak; ljsou pro danén2Nurčena jednoznačně. Předpo- kládejme, ženD2^{k 1}.2l 1/D2^{k0 1}.2l⁰ 1/prok; l; k⁰; l⁰2N. Předpokládejme, žek⁰ > k, pak platí2l 1D 2^{k0 k}.2l⁰ 1/. Číslo na levé straně rovnosti je liché, zatímco číslo na pravé straně je sudé, což je spor. Podobně vede ke sporu předpo- kladk < k⁰. Musí tedy platitkDk⁰. Potom dostáváme2l 1D2l⁰ 1. Odtud již snadno plynelDl⁰. Tím je důkaz jednoznačnosti proveden. ^|

1.2.14. Příklad. Nechťn2N. Dokažte, že je-lin²sudé, potom je insudé.

Řešení. Podle Příkladu 1.2.11 platí, že pokud jen liché, pak je in² liché. Odtud

plyne tvrzení metodou nepřímého důkazu. |

1.2.15. Příklad(Hippasus²). Dokažte, že číslop

2, které je definováno jako kladné řešení rovnicey²D2v oboru reálných čísel, není racionální. Existenci a jednoznač- nost takového řešení dokážeme později (vizte 4.3.14).

Řešení. Provedeme důkaz sporem. Předpokládejme, žep

2je racionální číslo. Po- tom existují p 2 N aq 2 N taková, žep

2 D ^pq. Navíc můžeme předpokládat, že nejvýše jedno z číselp aqje sudé. Podle Příkladu 1.2.13 lze totiž nalézt čísla k1; l1; k2; l2 z množinyN taková, žep D 2^{k1 1}.2l1 1/aq D 2^{k2 1}.2l2 1/. Pak stačí místo dvojicepaquvažovat dvojici2l1 1a2^{k2 k1}.2l2 1/, pokudk2k1, nebo2^{k1 k2}.2l1 1/a2l2 1, pokudk2< k1.

Z rovnostip

2 D ^pq plyne, žep² D2q², a tedy číslop² je sudé. Podle Příkla- du 1.2.14 dostáváme, že ipje sudé, a tedyp²D4k, kdek2N. Z výchozí rovnosti p² D2q²dostáváme, žeq²je sudé. Podle Příkladu 1.2.14 je čísloqsudé. Odtud plyne, žep aqmají společného dělitele 2. To je ovšem spor s předpokladem, že nejvýše jedno z číselpaqje sudé. Číslop

2tedy není racionální. |

1.2.16. Příklad. Nechťn2N. Dokažte, že potom je číslon.nC1/sudé.

Řešení. Provedeme důkaz rozborem případů. Mějmen2N. Pak platí, ženje sudé, nebonje liché. Pokud jensudé, pak je i číslon.nC1/sudé. Pokud je číslonliché, pak je číslonC1sudé, a proto je i číslon.nC1/sudé. Tím je důkaz proveden. ^| 1.2.17. Při důkazu výroku

8x2MWV .x/

často postupujeme následujícím způsobem. Zvolíme x 2 M pevné, ale libovol- né, tj. ox předpokládáme pouze to, že je prvkemM, a nic dalšího. Postupnými dedukcemi ukážeme platnost výrokuV .x/pro totox. Tím je pak důkaz proveden.

1.2.18(konstruktivní a nekonstruktivní důkaz). Při důkazu výroku 9x2MWV .x/

máme dvě možnosti. Buď přímo nalezneme nějakéx 2 M, pro které platíV .x/, nebo takovéx2M nenalezneme, ale dokážeme, že alespoň jedno musí existovat.

Tyto postupy nazýváme po řadě konstruktivním důkazema nekonstruktivním důkazem. Nekonstruktivní důkaz také někdy nazývámeexistenčním důkazem.

1.2.19. Příklad. Ukažte, že existují iracionální číslaa; btaková, žea^bje číslo raci- onální.

2Hippasus (5. stol. př. n. l.)

Řešení (konstruktivní důkaz). Položmea D p

2ab D log₂9, kde log₂označuje loga- ritmus o základu2. Přesnou definici výrazua^ba logaritmů uvedeme v Kapitole 6.

Potom platí

a^bDp

2^log29D2^12log2.32/ D2^log23D3:

Číslop

2je iracionální podle Příkladu 1.2.15. Stačí tedy odvodit, že číslo log₂9je iracionální. Použijeme metodu důkazu sporem. Předpokládejme, že log₂9 D ^pq, kdep2Zaq2N. Poněvadž je číslo log₂9kladné, musí býtppřirozené. Potom 9 D2^log29 D 2^pq, a tedy9^q D 2^p. Číslo2^pje sudé a podle Příkladu 1.2.11 je číslo

9^qliché, což je spor. ^|

Řešení (nekonstruktivní důkaz). Využijeme opět iracionalitu čísla p

2. Pokud by číslo p2

p2

bylo racionální, pak bychom byli s důkazem hotovi. Pokud by tomu tak nebylo, pak by číslap

2

p2

ap

2byla iracionální, přitom ale číslo p

2

p2^p2

Dp 2²D2

je racionální. Tím je tvrzení dokázáno, neboť alespoň jedna dvojice čísel aDp

2; bDp

2 nebo aDp

2

p2

; bDp 2

splňuje zadání úlohy. Výše uvedený postup však neříká, zda je řešením první nebo druhá dvojice čísel.

Poznamenejme ještě, že lze ukázat, že číslop 2

p2

je iracionální. Důkaz je však

velmi obtížný ([7, 15]). |

1.2.20(důkazy nerovností). Máme-li dokázat nerovnostABmezi reálnými čísly AaB, často postupujeme tak, že nalezneme reálné čísloCsplňujícíACaC B. Odtud pak již plyne nerovnostA B. Při hledání číslaC jde o to, aby důkazy nerovnostíACaC Bbyly snazší než důkaz nerovnostiAB. ČísluC někdy říkáme horní odhad číslaAa takédolní odhad číslaB. Samotnou nerovnostA C neboC Btaké někdy nazývámeodhadem.

1.3. Množiny

1.3.1. Nebudeme se zde zabývat otázkou, co je obecně množina. Tento problém, jenž se nachází na pomezí matematiky a filosofie, je totiž velmi nesnadný a pře- kračuje rámec tohoto textu. Zopakujme zatím pouze formulaci z paragrafu 1.1.17, která říká, že množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých ob- jektů, které nazývámeprvky, do jediného celku. Doplňující informace jsou uvede- ny v Dodatku A. Pro systematický výklad teorie množin doporučujeme knihu [5].

Nyní zopakujeme pojmy z paragrafu 1.1.17 a přidáme několik dalších.

1.3.2. Množina je určena svými prvky. Skutečnost, že prvekapatřído množinyA, značímea2A, a skutečnost, žeadoAnepatří, zapíšeme jakoa…A.

Množinu definujeme výčtem prvků, například píšeme f1; 2; 3; 4; 5g, nebo po- mocí vlastnosti, kterou musejí splňovat její prvky, tj. píšemefx2MIV .x/g, kdeM je množina aV .x/,x2M je výroková forma. Příkladem je zápisfx2NI x < 6g.

Prázdnou množinounazýváme množinu, která neobsahuje žádný prvek. Ozna- čujeme ji symbolem;. Množinu, která není prázdná, nazývámeneprázdnou.

1.3.3. Řekneme, že množinaAječástímnožinyBnebo množinaAjepodmno- žinoumnožinyB, jestliže každý prvek množinyAje rovněž prvkem množinyB.

Tuto skutečnost značímeAB(někdy také píšemeBA) a tomuto vztahu mezi množinami říkámeinkluze. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.

MnožinyAaB jsou sirovny (ADB), jestliže mají stejné prvky, neboli platí současněABaB A. Není těžké odvodit, že pro libovolné množinyA; B; C platí

ADA,

jestližeADB, potomBDA,

jestližeADBaBDC, potomADC.

Pokud si množiny AaB nejsou rovny, píšemeA ¤ B. Řekneme, že množinaA je vlastní částímnožiny B nebo Aje vlastní podmnožinoumnožiny B, jestliže ABaA¤B.

NechťXje množina. Množinu všech podmnožinXznačímeP.X /a nazýváme jipotenční množinoumnožinyX. Z jazykových důvodů budeme často používat slovní spojení „systém (pod)množin“ místo „množina (pod)množin“.

1.3.4. Označení. (a) Nechťn 2N aA1; : : : ; Anjsou množiny. Potom zápisA1 Anznamená, že platí inkluzeA1 A2,A2 A3; : : : ; An 1 An. Obdobné značení používáme i pro symbol.

(b) NechťXje množina an2N. Místo zápisux12X; x22X; : : : ; xn2Xbudeme často používat stručnější zápisx1; x2; : : : ; xn2X.

Nyní zavedeme operace, které ze dvou (nebo více) množin utvoří další mno- žinu.

1.3.5. Sjednocením množin Aa B nazveme množinu vytvořenou všemi prvky, které patří alespoň do jedné z množinAčiB. Sjednocení množinAaBznačíme symbolemA[B.

Je-li Asystém množin, pak jeho sjednocení S

A definujeme jako množinu všech prvkůa, pro které existujeA2Atakové, žea2A.

1.3.6. PrůnikemmnožinAaBnazveme množinu všech prvků, které náležejí sou- časně doAi doB. Průnik množinAaBznačíme symbolemA\B. Mají-li množiny AaBprázdný průnik, řekneme o nich, že jsoudisjunktní.

Je-liAneprázdný systém množin, pak jehoprůnikT

Adefinujeme jako mno- žinu všech prvkůa, které pro každéA2Asplňujía2A. Řekneme, že systémAje disjunktní, jestliže pro každéA; B 2AsplňujícíA¤BplatíA\BD ;.

1.3.7. NechťAD˚

f1; 2; 3g;f3; 4; 7g;f1; 2; 3; 4; 5g . PotomS

AD f1; 2; 3; 4; 5; 7ga TAD f3g.

1.3.8. RozdílemmnožinAaBnazveme množinu prvků, které patří do množinyA a nepatří do množinyB. Rozdíl množinAaBznačímeAnB.

1.3.9. Nechťm2NaA1; : : : ; Amjsou množiny.Kartézským součinemA1A2 Amnazveme množinu všech uspořádanýchm-ticŒa1; a2; : : : ; am, kdeai 2Ai

pro každéi2 f1; : : : ; mg. Někdy místo symboluŒa1; a2; : : : ; ampoužíváme symbol .a1; a2; : : : ; am/. Přesnou definici pojmu uspořádanán-tice lze nalézt v Dodatku A.

Je-liAmnožina an2N, pak místoA„ ƒ‚ … A

n-krát

píšemeAⁿ.

1.3.10. Poznámka. V operaci kartézského součinu není obecně možné zaměňovat pořadí množin. Pokud napříkladAD f0g,BD f1g, pakABD fŒ0; 1g,BAD fŒ1; 0g, takžeAB¤BA.

1.3.11. Věta(de Morganova³ pravidla). NechťX je množina a Aje neprázdný systém množin. Pak platí

Xn[

AD\

fX nAI A2Ag a dále

Xn\

AD[

fXnAI A2Ag:

Důkaz. Provedeme důkaz prvního z uvedených tvrzení. Máme dokázat dvě inklu- ze, a sice

Xn[

A\

fXnAI A2Ag a zároveň

Xn[

A\

fXnAI A2Ag: Je-lix2XnS

A, znamená to, žexpatří doX, ale nepatří do sjednoceníS A. Tedyx …Apro každou množinuA2A. To ale znamená, že pro každéA2 Aje x 2XnA, a tudížx 2T

fXnAI A2Ag. Tím je první inkluze dokázána.

Nechťx 2 X nApro každou množinuA 2 A. Tedyx 2 X, alex … Apro každouaA2A. Takžex…S

A. Tudížx2XnS

A, čímž je završen důkaz druhé inkluze.

Druhé de Morganovo pravidlo lze dokázat obdobně.

1.4. Relace uspořádání a zobrazení

Relace uspořádání.

3Augustus de Morgan (1806–1871)

1.4.1. Definice. NechťAaBjsou množiny.Binární relacíRmezi prvky množin Aa B rozumíme libovolnou podmnožinuR kartézského součinuAB. Pokud Œa; b 2 R, pak říkáme, že prvekaje v relaciRs prvkemb. Píšemea R b. Pokud ADB, říkáme, žeRjebinární relace naA. Pokud nehrozí nedorozumění, budeme místo slovního spojení „binární relace“ používat slovo „relace“.

Existuje mnoho příkladů matematických objektů, které jsou relacemi. V tuto chvíli pro nás budou důležité dva speciální typy relací, totiž uspořádání a zobraze- ní. Následující definice nám pomůže zavést první z nich.

1.4.2. Definice. NechťAje množina aRje relace naA. Řekneme, žeRje reflexivní, jestliže platí

8x2AWŒx; x2R;

symetrická, jestliže platí

8x; y2AWŒx; y2R)Œy; x2R;

tranzitivní, jestliže platí

8x; y; ´2AW Œx; y2R^Œy; ´2R

)Œx; ´2R;

antisymetrická, jestliže platí

8x; y2AWŒx; y2R)Œy; x…R;

slabě antisymetrická, jestliže platí

8x; y2AW Œx; y2R^Œy; x2R

)xDy:

1.4.3. Definice. NechťAje množina aRje relace naA. Řekneme, žeRje

uspořádání (někdy takéčástečné uspořádání či neostré uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní,

ostré uspořádání, jestliže je antisymetrická a tranzitivní,

lineární uspořádání, jestliže jde o uspořádání takové, že pro každé prvky x; y2AplatíŒx; y2RneboŒy; x2R.

1.4.4. Právě definovaný pojem uspořádání je velmi abstraktní a používá se pro porovnávání velmi rozmanitých objektů mezi sebou. Uspořádání reálných čísel je jenom jedním z mnoha příkladů uspořádání. Toto uspořádání je navíc lineární.

Podobně ostrá nerovnost mezi reálnými čísly je ostrým uspořádáním ve smyslu naší definice.

1.4.5. NechťX je množina. Pak relace RD˚

ŒA; B2P.X /P.X /I AB

je uspořádání naP.X /. Pokud máXalespoň dva prvky, pak toto uspořádání není lineární. Jestliže totiž existují x; y 2 X, x ¤ y, pak neplatí ani fxg fyg ani fyg fxg.

1.4.6. Příklad. Na množiněN²definujeme lexikografické uspořádánílexnásle- dujícím způsobem

Œn1; n2lexŒm1; m2, n1< m1_.n1Dm1^n2m2/ : Ověřte, že relacelexje opravdu uspořádání.

Řešení. Reflexivita.Pro libovolnéŒn1; n22N²platíŒn1; n2lexŒn1; n2, neboťn1 D n1an2n2.

Slabá antisymetrie. PokudŒn1; n2 lex Œm1; m2a zároveňŒm1; m2 lex Œn1; n2, pak nemůže platitn1 < m1 anim1 < n1. Musí tedy platitn1 D m1. Pak ovšem platí n2m2am2n2, a proton2Dm2. Dokázali jsme tedy, žeŒn1; n2DŒm1; m2.

Tranzitivita. Nechť Œn1; n2, Œm1; m2, Œk1; k2 2 N² splňují Œn1; n2 lex Œm1; m2 a Œm1; m2 lex Œk1; k2. Z prvního vztahu plyne n1 m1 a z druhého m1 k1. Dostáváme tedyn1 k1. Pokud platí dokoncen1 < k1, pakŒn1; n2lex Œk1; k2.

Pokud n1 D k1, pak platí takén1 D m1. Musí tedy platit n2 m2 a m2 k2. Odtud plyne nerovnostn2k2. Tím je dokázán vztahŒn1; n2lexŒk1; k2. |

Nyní uvedeme několik základních pojmů, které souvisí s relací uspořádání.

1.4.7. Definice. Nechťje relace uspořádání na množiněX aAX. Řekneme, že prvekx2X je

horní závoroumnožinyA, jestliže pro každéa2Aplatíax, dolní závoroumnožinyA, jestliže pro každéa2Aplatíxa.

MnožinaAje

shora omezená, jestliže existuje prvekx2X, který je horní závorou mno- žinyA,

zdola omezená, jestliže existuje prvekx2X, který je dolní závorou mno- žinyA,

omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

1.4.8. Definice. Nechťje relace uspořádání na množiněX aM X. Řekneme, že prvekG2Xjesupremem množinyM, jestliže platí:

(a) Gje horní závorou množinyM,

(b) je-li prvekG⁰2X horní závorou množinyM, potomGG⁰. Řekneme, že prvekg2X jeinfimem množinyM, jestliže platí

(a) gje dolní závorou množinyM,

(b) je-li prvekg⁰2Xdolní závorou množinyM, potomg⁰g.

1.4.9. Poznámka. V předchozích dvou definicích jsme použili symbol, který se používá zejména pro označení uspořádání na reálných číslech. Zde jej pro názor- nost používáme k označení libovolné relace uspořádání.

1.4.10. Nechťje relace uspořádání na množiněX aA X. Podle předchozí definice je supremumAjejí nejmenší horní závorou a infimum je její největší dolní

závorou. Supremum a infimum množinyAnemusejí existovat, pokud však existují, jsou určena jednoznačně.

Odvoďme toto pozorování například pro infimum, v případě suprema je mož- né postupovat obdobně. Nechťg1a g2 jsou infima množinyA X vzhledem k uspořádánína množiněX. Potomg1 ig2 jsou dolní závory množinyA. Podle vlastnosti (b) z definice infima platíg1 g2a takég2g1. Ze slabé antisymetrie relace uspořádání pak plyneg1Dg2.

Pokud supremum množinyA(vzhledem k uspořádání) existuje, značíme jej supA. Pokud existuje infimum množinyA, značíme jej infA.

Supremum a infimum budeme používat zejména při studiu podmnožin reál- ných čísel, pro ilustraci však uveďme následující příklad, který využívá lexikogra- fického uspořádání dvojic přirozených čísel.

1.4.11. Příklad. Nechť lex je lexikografické uspořádání na množině N² (vizte Příklad 1.4.6). Dokažte, že supremum množinyAD fŒ1; n2N²I n2Ngje rovno prvkuŒ2; 1.

Řešení. Pro každén2Npodle definice platíŒ1; nlexŒ2; 1, čímž je ověřena pod- mínka (a) z definice suprema. Uvažujme prvekŒa; b2N², který je horní závorou množinyA. Potom pro každén2 Nplatí buď1 < a, nebo1 Daanb. Druhá možnost však nemůže platit pro každé n, neboť přirozené číslo bC1nesplňuje nerovnostbC1 b. Platí tedy1 < a, neboli2 a. Pak ovšem opět podle defi- nice uspořádánílexdostávámeŒ2; 1lex Œa; b. Tím je ověřena i podmínka (b) z

definice suprema. ^|

1.4.12. Věta. Nechťje relace uspořádání na množiněX,M X je neprázdná množina a nechť existuje infimum a supremum množinyM. Potom platí infM supM.

Důkaz. MnožinaM je neprázdná, takže můžeme nalézt prveka2 M. Potom pla- tí infM a, neboť infM je dolní závorou M. Dále platí a supM, neboť supM je horní závorouM. Odtud díky tranzitivitě uspořádání dostáváme nerov-

nost infM supM.

K právě zavedeným pojmům suprema a infima se vrátíme v Oddílu 1.5, kde budou uvedeny další ilustrační příklady.

Relace zobrazení.

1.4.13. Definice. Binární relaciF ABnazývámezobrazenímz množinyA do množinyB, jestliže platí

8x2A8y1; y22BW

Œx; y12F ^Œx; y22F

)y1Dy2

:

1.4.14. Je-liFzobrazení z množinyAdo množinyB, pak podle definice pro každé x 2 Aexistuje nejvýše jednoy 2 Btakové, žeŒx; y 2 F. Pokud pro danéx 2 A takovéyexistuje, pak je tedy určeno jednoznačně a značíme jeF .x/.

1.4.15. Definice. NechťF je zobrazení z množinyAdo množinyB.

Definičním oboremzobrazeníF nazýváme množinu D.F /D fx2AI 9y2BWF .x/Dyg: Oborem hodnotzobrazeníF nazýváme množinu H.F /D fy 2BI 9x2AWF .x/Dyg: GrafemzobrazeníF nazýváme množinu

graf.F /D˚

Œx; y2ABI x2D.F /^y DF .x/ :

1.4.16. (a) Zobrazení jsme definovali pomocí pojmu relace. Při tomto přístupu tedy ztotožňujeme pojem zobrazení a pojem grafu zobrazení. V matematické ana- lýze však často chápeme zobrazení F z množinyAdo množinyB jakopřiřazení, tj. prvkům xz jisté podmnožinyAje přiřazen jednoznačně určený prvekF .x/z množinyB. V takovém případě pak zobrazení a jeho graf chápeme jako dva různé objekty, které si však vzájemně jednoznačně odpovídají.

(b) Je-liF zobrazení z množinyAdo množinyB, pak jeF také zobrazení z mno- žinyC do množinyD, pokudF CD, neboliD.F /C aH.F /D.

Například zobrazeníF, které každému kladnému číslux 2Rpřiřazuje reálné číslo _x¹, je zobrazením z množiny kladných reálných čísel do množiny kladných reálných čísel, ale také zobrazením zRdoR.

1.4.17. Označení. NechťAaBjsou množiny. Pak symbolFW A!B znamená, žeF je zobrazení z množinyAdo množinyB aD.F / D A. Takové zobrazeníF nazýváme takézobrazením množinyAdo množinyB. Na rozdíl od zobrazení z množinyAdo množinyB, kde definiční obor je pouze podmnožinou množinyA, je zobrazení množinyAdo množinyBdefinováno právě ve všech bodech množiny A.

1.4.18. ZobrazeníFWA ! B často definujeme tak, že pro každéx 2 Aurčíme prvekF .x/2 B. V takovém případě někdy používáme zápisx 7!F .x/,x2A. Je třeba si uvědomit, že dva různé předpisy mohou definovat stejné zobrazení. Tak je tomu například u následujících dvou předpisů:

x7!.xC1/²; x2R;

x7!x²C2xC1; x2R:

1.4.19. Definice. Nechťf WA!Bje zobrazení a nechťM aP jsou množiny.

Obrazem množinyM při zobrazeníf rozumíme množinu fy2BI 9x2MWx2D.f /^f .x/Dyg; kterou značímef .M /.

Vzorem množinyP při zobrazeníf rozumíme množinu fx2AI f .x/2Pg;

kterou značímef ¹.P /.

1.4.20. Definice. Řekneme, že zobrazenífW A!Bje

prosté(injektivní), jestliže platí

8x; y2AW .f .x/Df .y/ ) xDy/;

„na“ (surjektivní), jestliže platí

8y2B9x2AW f .x/Dy;

bijekce(vzájemně jednoznačné zobrazení), jestliže je prosté a „na“.

1.4.21. Abychom mohli říci, že nějaké zobrazení je „na“, musí být zadána koncová množinaB. Odtud vyplývá, že pojmy surjektivity a bijektivity zobrazení zavedené v Definici 1.4.20 představují vlastnosti zobrazeníf a zároveň množinyB.

1.4.22. NechťfWA!Bje prosté zobrazení. Potom přímo z definic dostáváme, žef je bijekce množinyAna množinuf .A/.

1.4.23. Definice. NechťfW A!B je zobrazení aC A. Pak zobrazenígWC ! B definované předpisem x 7! f .x/; x 2 C, nazýváme restrikcínebo zúžením zobrazeníf na množinuC. Zobrazenígznačímefj^C.

1.4.24. Definice. Nechťf agjsou zobrazení. Pak zobrazenígıf je definováno předpisem.gıf /.x/D g f .x/

pro všechnax 2 D.f /taková, žef .x/ 2 D.g/.

Zobrazení gı f nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení) f a g, přičemžgnazývámevnějšímzobrazením af nazývámevnitřnímzobrazením.

1.4.25. Definice. Nechťf WA!Bje prosté zobrazení. Pak zobrazeníf ¹Wf .A/! Adefinované proy 2f .A/předpisemf ¹.y/D x, kdex 2Aje jednoznačně ur- čeno vztahemy Df .x/, nazývámeinverzním zobrazenímk zobrazeníf. 1.4.26. K zobrazení, které není prosté, nelze definovat inverzní zobrazení. Příkla- dem je funkcefW R!Rdefinovaná předpisemf .x/Dx²prox2R.

1.4.27(sjednocení a průnik indexovaného systému). NechťX aI jsou množiny a pro každé˛ 2 I je definována množinaA˛ X. Máme tedy dáno zobrazení

˛7!A˛množinyIdo potenční množinyP.X /. Takové zobrazení nazývámeinde- xovaným systémem množin. Uvažujme systémAD fA2P.X /I 9˛2IWADA˛g. Pak množinuS

Aoznačujeme také symbolemS

˛2IA˛. Pokud je navícIneprázd- ná množina, pak množinuT

AoznačujemeT

˛2IA˛.

Na závěr tohoto oddílu uvedeme definice dvou typů zobrazení, se kterými bu- deme často pracovat.

1.4.28. Definice. NechťAje neprázdná množina.

(a)Konečnou posloupnostíprvkůArozumíme každé zobrazení množinyf1; : : : ; ng, kden2N, do množinyA. Pokudk7!a_k,k2 f1; : : : ; ng, je takové zobrazení, pak tuto posloupnost značímefa_kgⁿkD1. Prveka_knazývámek-tým členemtéto posloup- nosti.

(b)Nekonečnou posloupnostíprvkůArozumíme každé zobrazenín7!an,n2N, množiny přirozených číselNdo množinyA. Takovou posloupnost obvykle značí- mefang¹nD1, případně jenfang. Prvekannazývámen-tým členemtéto posloupnosti.

1.4.29. Posloupnost může být definována takérekurentně. Mějme neprázdnou množinuA. Při rekurentním zadání posloupnosti je obvykle explicitně předepsán člena1 2 Anebo několik prvních členůa1; a2; : : : ; an 2 Apro nějakén 2 N a je stanoven předpis, podle kterého je možné pro každéj 2N,j > n, určit hodnotu ajC12Ana základě znalosti hodnotyaj, případně některých dalších již známých hodnotak, kde k j. Existence a jednoznačnost takto zadané posloupnosti je ověřena ve Větě??.

Nejčastější způsob zadání rekurentní posloupnostifxng¹nD1 vypadá následov- ně. Je dána neprázdná množinaAa zobrazenígWA !A. Prvekx1 2 Aje dán a xnDg.xn 1/pron2N; n > 1.

Příkladem takové posloupnosti je posloupnost definována předpisemx1D1, xnC1D2xn, neboť stačí položitADRag.x/D2x; x2R.

1.5. Množina reálných čísel

Vlastnost existence suprema.

1.5.1. Číselné obory přirozených, celých, racionálních a reálných čísel mají pro další výklad zásadní význam. Jejichpřesnákonstrukce však není snadná, a proto ji provedeme až v Dodatku B. V dalším výkladu vystačíme se středoškolskými po- jmy, které doplníme o vlastnost existence suprema. V Definicích 1.4.7 a 1.4.8 jsme zavedli pojem horní závory, dolní zavory, omezenosti množiny a pojmy suprema a infima pro obecné uspořádání. Nyní tyto pojmy použijeme pro množinu reálných čísel s uvedeným uspořádáním. Vlastnost existence suprema reálných čísel lze pak formulovat následovně.

Každá neprázdná shora omezená podmnožinaRmá supremum.

Množina reálných čísel spolu s jejím uspořádáním a s operacemi sčítání a násobení je zkonstruována tak, že právě uvedenou vlastnost má. Vlastnost suprema je důle- žitá, neboť některé hlubší věty o reálných číslech bychom bez ní nemohli dokázat.

Vlastnosti početních operací a uspořádání. V tomto textu předpokládáme znalost základních pravidel pro práci s uspořádáním reálných čísel a s operacemi sčítání a násobení. V dalším si však některé výsledky připomeneme a také zavedeme značení, které budeme používat.

1.5.2. Označení. (a) Nechťm; n2Z,mn, a pro každéi2 fm; : : : ; ngjeai 2R. Potom symbolemPn

iDmaiznačíme součet všech reálných číselam; : : : ; an, tedy Xn

iDm

aiDamCamC1C Can 1Can: Je-lim > n, pak klademe

Xn

iDm

aiD0:

(b) Nechťm; n2Z,mn, a pro každéi2 fm; : : : ; ngjeai2R. Potom symbolem Qn

iDmaiznačíme součin všech reálných číselam; : : : ; an, tedy Yn

iDm

ai DamamC1 an 1an: Je-lim > n, pak klademe

Yn

iDm

aiD1:

Připomeňme ještě, že pokuda2Ran2N, pak symbolaⁿznačí součin aa aa

„ ƒ‚ …

nkrát

:

Pokuda2R; a¤0, an2N, pak symbola ⁿznačí součin a ¹a ¹ a ¹a ¹

„ ƒ‚ …

nkrát

:

Proa2Rdefinujeme symbola⁰jako1. Zde nedefinujeme novou početní operaci, ale pouze užitečnou zkratku, která zjednodušuje zápis některých výrazů. Toto je třeba mít na paměti zejména v případě, kdyaD0.

(c) Pro každén2N[ f0gdefinujme symbolnŠ, čtemenfaktoriál, takto:0ŠD1a nŠDn.n 1/Špron2N. Pokudn2N, pak je číslonŠsoučinem čísel1; : : : ; n. (d) Pro n; k 2 N[ f0g; k n, definujemekombinační číslo _kⁿ

, čtemennadk,

předpisem

n k

D nŠ .n k/Š kŠ:

1.5.3. Přesně vzato jsou definice součtu a součinu konečně mnoha reálných čísel induktivní. Máme-li definován součet (součin)nreálných čísel, můžeme definovat součet (součin)nC1reálných čísel. Z těchto definic by měly také vycházet důka- zy běžných pravidel pro počítání s konečnými součty a součiny, jako je například vzorec

n3

X

nDn1

anD

n2

X

nDn1

anC

n3

X

nDn2C1

an;

kde n1 n2 n3 jsou přirozená čísla a an1; : : : ; an3 jsou reálná čísla. Zde však volíme výše uvedený neformální výklad, neboť jeho přesnost je pro náš text dosta- čující.

Uveďme následující pozorování, které je užitečné při práci se součty reálných čísel.

1.5.4. Nechťm; n; p2Z,mn, a pro každéi2 fm; : : : ; ngjeai 2R. Potom platí Xn

iDm

aiD

nXCp

iDmCp

ai p;