Nevlastní integrál vlivem meze

Vzdělávací materiál

vytvořený v projektu OP VK

Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0211

Název projektu: Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu

Číslo a název klíčové aktivity: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Anotace

Název tematické oblasti: Integrální počet

Název učebního materiálu: Nevlastní integrál vlivem meze Číslo učebního materiálu: VY_32_INOVACE_M0318 Vyučovací předmět: Matematika

Ročník: 4. ročník vyššího gymnázia

Autor: Jaroslav Hajtmar

Datum vytvoření: 18.2.2014 Datum ověření ve výuce: 19.3.2014 Druh učebního materiálu: prezentace

Očekávaný výstup: Student si dělá poznámky k probíranému tématu a průběžně řeší předkládané úlohy

Metodické poznámky: Materiál – prezentace – je určen jako osnova výkladu nového učiva resp. pro účely opakování

Nevlastní integrál vlivem meze

Jaroslav Hajtmar

18.2.2014

Nevlastní integrály

Omezující předpoklady Riemanova integrálu:

Integrační obor je konečný uzavřený interval ⟨𝑎, 𝑏⟩.

Integrovaná funkce 𝑓 (𝑥) je na tomto intervalu ohraničená.

Integrály definované za těchto předpokladů – tzv. vlastní integrály. Tato omezení lze jednoduchými úvahami odstranit!

Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu

neboli integrál nevlastní vlivem (neomezenosti) meze – nevlastní integrály 1. druhu.

Uvažujme funkci 𝑓 (𝑥), definovanou na intervalu ⟨𝑎, +∞). Předpoklá- dejme, že ∀𝑐 ∈ ⟨𝑎, +∞) existuje určitý integrál ∫^𝑐

𝑎 𝑓 (𝑥) d𝑥. Pak mů- žeme definovat funkci 𝐹 vztahem

𝐹(𝑐) = ∫^𝑐

𝑎 𝑓 (𝑥) d𝑥, 𝑐 ≥ 𝑎 

Pojďme nyní neomezeně zvětšovat horní mez 𝑐 a sledovat, jak se chová veličina 𝐹(𝑐).

Integrál jako funkce horní meze

172 Nevlastnı´ integra´l

x y

a cc → +∞

y = f (x)

F (c)

Obr. 4.1: Definice nevlastnı´ho integra´lu na neohranicˇene´m intervalu Definice 4.1. Necht’ za uvedeny´ch prˇedpokladu˚ existuje lim

c→+∞

F (c) = I , I ∈ R . Pak rˇekneme, zˇe nevlastnı´ integra´l R

+∞

a

f (x) d x konverguje a jeho hodnota je I . Tedy Z

+∞

a

f (x) d x = lim

c→+∞

F (c) = lim

c→+∞

Z

_c

a

f (x) d x. (4.1)

V opacˇne´m prˇı´padeˇ, tj. kdyzˇ lim

c→+∞

F (c) je nevlastnı´ nebo neexistuje, rˇı´ka´me, zˇe nevlastnı´

integra´l R

+∞

a

f (x) d x diverguje.

Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.1. Sˇeda´ plocha zna´zornˇuje hodnotu integra´lu R

c

a

f (x) d x . Hornı´ mez c pak neomezeneˇ zveˇtsˇujeme a zajı´ma´ na´s, zda se hodnota tohoto integra´lu v za´vislosti na c blı´zˇı´ k neˇjake´mu konecˇne´mu cˇı´slu I (tj. zda existuje konecˇna´ limita), nebo se nekonecˇneˇ zveˇtsˇuje resp. zmensˇuje (limita je ±∞ ), nebo osciluje (limita neexistuje).

V prvnı´m prˇı´padeˇ rˇı´ka´me, zˇe integra´l konverguje (tj. ma´ konecˇnou hodnotu, a to cˇı´slo I ), ve zby´vajı´cı´ch dvou prˇı´padech rˇı´ka´me, zˇe integra´l diverguje (nema´ konecˇnou hodnotu).

+ Prˇı´klad 4.2. Vysˇetrˇete na´sledujı´cı´ nevlastnı´ integra´ly:

a)

Z

^+∞

0

d x

x

²

+ 1 , b)

Z

^+∞

1

d x

x , c)

Z

^+∞

0

sin x d x.

R ˇ esˇenı´. Budeme postupovat podle definice 4.1. Nejprve najdeme vzorec pomocne´ funk- ce F (c), ktera´ je funkcı´ hornı´ meze, a pak spocˇı´ta´me jejı´ limitu pro c → +∞ .

a) Dostaneme

F (c) =

Z

c 0

d x

x

²

+ 1 =

arctg x

c

0

= arctg c − arctg 0 = arctg c, takzˇe

c→+∞

lim F (c) = lim

c→+∞

arctg c = π

2 .

Interpretace obrázku

Velikost šedé plochy je funkční hodnota funkce 𝐹(𝑐) tj. hodnota in- tegrálu ∫^𝑐

𝑎 𝑓 (𝑥) d𝑥. Při posouvání meze 𝑐 → ∞ mohou nastat tyto možnosti:

velikost šedé plochy (tj. hodnota tohoto integrálu) se blíží k něja- kému konečnému číslu 𝐿 (tj. existuje konečná limita funkce𝐹(𝑐)) velikost plochy roste nade všecky meze (tj. limita funkce 𝐹(𝑐) je nevlastní)

hodnota obsahu plochy neexistuje (tj. hodnota osciluje a limita funkce 𝐹(𝑐) vůbec neexistuje).

Definice nevlastního integrálu 1. druhu

DEF. Je-li funkce 𝑓 (𝑥) spojitá pro všechna čísla 𝑐 ≥ 𝑎, pak integrál tvaru∫^∞

𝑎 𝑓 (𝑥) d𝑥 nazývámenevlastní integrál prvního druhu (na ne- konečném intervalu) a přiřazujeme mu hodnotu rovnu limitě

∫∞

𝑎 𝑓 (𝑥) d𝑥 = lim_𝑐→+∞∫^𝑐

𝑎 𝑓 (𝑥) d𝑥 = 𝐿

Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvažovaný nevlastní integrál je kon- vergentní, v opačném případě, tj. když limita je nevlastní (tj. L = +∞

nebo L = −∞ ) nebo neexistuje, říkáme, že nevlastní integrál je diver- gentní.

Úloha 1:

Vypočítejte nevlastní integrál ^+∞∫

0

𝑥²d𝑥+1

172 Nevlastnı´ integra´l

x y

a cc → +∞

y = f (x)

F (c)

Obr. 4.1: Definice nevlastnı´ho integra´lu na neohranicˇene´m intervalu

Definice 4.1.

Necht’ za uvedeny´ch prˇedpokladu˚ existuje lim

c→+∞F (c) = I

,

I ∈ R

. Pak rˇekneme, zˇe

nevlastnı´ integra´l R +∞

a f (x)

d

x konverguje

a jeho hodnota je

I

. Tedy

Z ^+∞

a

f (x)

d

x =

lim

c→+∞ F (c) =

lim

c→+∞

Z c a

f (x)

d

x.

(4.1) V opacˇne´m prˇı´padeˇ, tj. kdyzˇ lim

c→+∞ F (c)

je nevlastnı´ nebo neexistuje, rˇı´ka´me, zˇe

nevlastnı´

integra´l R +∞

a f (x)

d

x diverguje.

Situace je zna´zorneˇna na obr. 4.1. Sˇeda´ plocha zna´zornˇuje hodnotu integra´lu

R _c

a f (x)

d

x

. Hornı´ mez

c

pak neomezeneˇ zveˇtsˇujeme a zajı´ma´ na´s, zda se hodnota tohoto integra´lu v za´vislosti na

c

blı´zˇı´ k neˇjake´mu konecˇne´mu cˇı´slu

I

(tj. zda existuje konecˇna´ limita), nebo se nekonecˇneˇ zveˇtsˇuje resp. zmensˇuje (limita je

±∞

), nebo osciluje (limita neexistuje).

V prvnı´m prˇı´padeˇ rˇı´ka´me, zˇe integra´l konverguje (tj. ma´ konecˇnou hodnotu, a to cˇı´slo

I

), ve zby´vajı´cı´ch dvou prˇı´padech rˇı´ka´me, zˇe integra´l diverguje (nema´ konecˇnou hodnotu).

+

Prˇı´klad 4.2.

Vysˇetrˇete na´sledujı´cı´ nevlastnı´ integra´ly:

a)

Z +∞

0

d

x

x² +

1

,

b)

Z +∞

1

d

x

x ,

c)

Z +∞

0

sin

x

d

x.

Rˇ esˇenı´.

Budeme postupovat podle definice 4.1. Nejprve najdeme vzorec pomocne´ funk- ce

F (c), ktera´ je funkcı´ hornı´ meze, a pak spocˇı´ta´me jejı´ limitu pro c → +∞

.

a) Dostaneme

F (c) =

Z c 0

dx

x² +

1

=

arctg

xc

0 =

arctg

c −

arctg 0

=

arctg

c,

takzˇe

c→+∞

lim

F (c) =

lim

c→+∞

arctg

c = π

2

.

Závěr: Zadaný integrál konverguje a platí

+∞∫

0

𝑥²d𝑥+ 1 = 𝜋 2

Zakreslete graf funkce 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒙, vyšetřete omezenost a porov- nejte s výsledkem.

+∞

∫

𝟎

𝒙^𝟐𝐝𝒙+𝟏

=

^𝝅_𝟐

174 Nevlastnı´ integra´l

x y

0 c c → +∞

1

y = ¹

x

²

+ 1

arctg c

x y

0 c c → +∞

arctg c π /2

arctg c → π /2

y = arctg x

a)

x y

1 c c → +∞

1

y = ¹

x

ln c

x y

0 c c → +∞

ln c

ln c → +∞ y = ln x

b)

x y

0 π 2 π

c → +∞

c

1 1 − cos c y = sin x

+

−

x y

0 π c c → +∞ 2 π

1 − cos c 2

1 − cos c

y = 1 − cos x

c)

Obr. 4.2

a vysˇetrˇujeme limitu lim

c →−∞ G(c). Terminologie je stejna´ jako v definici 4.1. Tento integra´l znacˇı´me

Z _b

−∞

f (x) d x.

+∞

∫

𝟎

𝒙^𝟐𝐝𝒙+𝟏

=

^𝝅_𝟐

174 Nevlastnı´ integra´l

x y

0 c c → +∞

1

y =

¹

x²+1

arctg c

x y

0 c c → +∞

arctg c π /2

arctg c → π /2

y = arctg x

a)

x y

1 c c → +∞

1

y =

¹

x

ln c

x y

0 c c → +∞

ln c

ln c → +∞ y = ln x

b)

x y

0 π 2 π

c → +∞

c

1 1 − cos c y = sin x

+

−

x y

0 π c c → +∞ 2 π

1 − cos c 2

1 − cos c

y = 1 − cos x

c)

Obr. 4.2

a vysˇetrˇujeme limitu lim

c →−∞ G(c). Terminologie je stejna´ jako v definici 4.1. Tento integra´l znacˇı´me

Z _b

−∞

f (x) d x.

Úloha 2:

Vypočítejte nevlastní integrál ^+∞∫

1 d𝑥𝑥

4.1 Nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu 173

Integra´l tedy konverguje a platı´:

Z

+∞

0

d x

x ² + 1 = π 2 . b) Tentokra´t je

F (c) =

Z

_c

1

d x

x =

ln x

c

1 = ln c − ln 1 = ln c, takzˇe

c→+∞

lim F (c) = lim

c→+∞

ln c = +∞ . Integra´l tedy diverguje.

c) V tomto prˇı´padeˇ je

F (c) =

Z

_c

0

sin x d x =

− cos x

c

0 = − cos c + cos 0 = 1 − cos c, takzˇe

c→+∞

lim F (c) = lim

c→+∞

(1 − cos c) neexistuje.

Integra´l tudı´zˇ rovneˇzˇ diverguje.

Pru˚beˇh funkcı´ f i F je zna´zorneˇn na obr. 4.2. V kazˇde´ dvojici vzˇdy hornı´ obra´zek zna´zornˇuje integrand f , dolnı´ pak funkci F , ktera´ uda´va´ hodnotu urcˇite´ho integra´lu z funkce f v za´vislosti na hornı´ mezi.

Obsah sˇede´ plochy uda´va´ hodnotu integra´lu R

_c

a

f (x) d x . Vsˇimneˇte si, zˇe zatı´mco v prvnı´ch dvou prˇı´kladech, kdy je integrand f kladna´ funkce, hodnota F (c) s rostoucı´m c evidentneˇ musı´ naru˚stat, ve trˇetı´m prˇı´kladeˇ tomu tak nenı´.

Na obr. 4.2 a) je videˇt, zˇe s rostoucı´m c se hodnota F (c) = arctg c zveˇtsˇuje a blı´zˇı´ se k cˇı´slu π /2, cozˇ je hodnota tohoto nevlastnı´ho integra´lu.

Situace na obr. 4.2 b) je obdobna´, avsˇak tentokra´t hodnota F (c) = ln c neomezeneˇ roste nad vsˇechny meze (i kdyzˇ velmi pomalu).

Na obr. 4.2 c) integrand f (x) = sin x meˇnı´ zname´nko. V tomto prˇı´padeˇ je tedy velicˇina F (c) rovna rozdı´lu obsahu sˇede´ plochy lezˇı´cı´ nad osou x a obsahu sˇede´ plochy lezˇı´cı´ pod osou x . Pro c = 0 je hodnota F (0) = 0 = R ₀

0 sin x d x . Pak tato hodnota naru˚sta´

azˇ do F ( π ) = 2 = R

_π

0 sin x d x . Potom se zacˇne zmensˇovat, protozˇe se bude odecˇı´tat obsah plochy lezˇı´cı´ pod osou x . Klesa´ azˇ na hodnotu F (2 π ) = 0 = R ₂

_π

0 sin x d x . Pak se cely´ pru˚beˇh opakuje. Tedy hodnota 1 − cos c „osciluje“ pro c jdoucı´ do +∞ . N Naprosto analogicky se zava´dı´ nevlastnı´ integra´l na intervalu ( −∞ , b i , kde b ∈ R . Funkce f (x) musı´ by´t takova´, aby pro kazˇde´ c < b existoval urcˇity´ integra´l R

_b

c

f (x) d x . Pak oznacˇı´me

G(c) =

Z

_b

c

f (x) d x, c 5 b,

Závěr: Zadaný integrál diverguje.

+∞∫

1

d𝑥𝑥 = +∞

Zakreslete graf funkce𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙, vyšetřete omezenost a porovnejte s výsledkem.

+∞

∫

𝟏

𝐝𝒙𝒙

= +∞

174 Nevlastnı´ integra´l

x y

0 c c → +∞

1

y = ¹

x

²

+ 1

arctg c

x y

0 c c → +∞

arctg c π /2

arctg c → π /2

y = arctg x

a)

x y

1 c c → +∞

1

y = ¹

x

ln c

x y

0 c c → +∞

ln c

ln c → +∞

y = ln x

b)

x y

0 π 2 π

c → +∞

c

1 1 − cos c y = sin x

+

−

x y

0 π c c → +∞ 2 π

1 − cos c 2

1 − cos c

y = 1 − cos x

c)

Obr. 4.2

a vysˇetrˇujeme limitu lim

c →−∞ G(c). Terminologie je stejna´ jako v definici 4.1. Tento integra´l znacˇı´me

Z _b

−∞

f (x) d x.

+∞

∫

𝟏

𝐝𝒙𝒙

= +∞

174 Nevlastnı´ integra´l

x y

0 c c → +∞

1

y = ¹

x

²

+ 1

arctg c

x y

0 c c → +∞

arctg c π /2

arctg c → π /2

y = arctg x

a)

x y

1 c c → +∞

1

y = ¹

x

ln c

x y

0 c c → +∞

ln c

ln c → +∞

y = ln x

b)

x y

0 π 2 π

c → +∞

c

1 1 − cos c y = sin x

+

−

x y

0 π c c → +∞ 2 π

1 − cos c 2

1 − cos c

y = 1 − cos x

c)

Obr. 4.2

a vysˇetrˇujeme limitu lim

c →−∞ G(c). Terminologie je stejna´ jako v definici 4.1. Tento integra´l znacˇı´me

Z _b

−∞

f (x) d x.

Úloha 3:

Vypočítejte nevlastní integrál ^+∞∫

0 sin 𝑥 d𝑥

4.1 Nevlastnı´ integra´l na neohranicˇene´m intervalu 173

Integra´l tedy konverguje a platı´:

Z +∞

0

dx

x² + 1 = π 2 . b) Tentokra´t je

F (c) = Z c

1

dx

x =

ln xc

1 = lnc − ln 1 = ln c, takzˇe

c→+∞lim F (c) = lim

c→+∞lnc = +∞. Integra´l tedy diverguje.

c) V tomto prˇı´padeˇ je

F (c) = Z c

0

sin x dx =

−cosxc

0 = −cos c + cos 0 = 1 − cos c, takzˇe

c→+∞lim F (c) = lim

c→+∞(1 − cos c) neexistuje.

Integra´l tudı´zˇ rovneˇzˇ diverguje.

Pru˚beˇh funkcı´ f i F je zna´zorneˇn na obr. 4.2. V kazˇde´ dvojici vzˇdy hornı´ obra´zek zna´zornˇuje integrand f, dolnı´ pak funkci F, ktera´ uda´va´ hodnotu urcˇite´ho integra´lu z funkce f v za´vislosti na hornı´ mezi.

Obsah sˇede´ plochy uda´va´ hodnotu integra´lu R c

a f (x)dx. Vsˇimneˇte si, zˇe zatı´mco v prvnı´ch dvou prˇı´kladech, kdy je integrand f kladna´ funkce, hodnota F (c) s rostoucı´m c evidentneˇ musı´ naru˚stat, ve trˇetı´m prˇı´kladeˇ tomu tak nenı´.

Na obr. 4.2 a) je videˇt, zˇe s rostoucı´m c se hodnota F (c) = arctgc zveˇtsˇuje a blı´zˇı´ se k cˇı´slu π/2, cozˇ je hodnota tohoto nevlastnı´ho integra´lu.

Situace na obr. 4.2 b) je obdobna´, avsˇak tentokra´t hodnota F (c) = lnc neomezeneˇ roste nad vsˇechny meze (i kdyzˇ velmi pomalu).

Na obr. 4.2 c) integrand f (x) = sinx meˇnı´ zname´nko. V tomto prˇı´padeˇ je tedy velicˇina F (c) rovna rozdı´lu obsahu sˇede´ plochy lezˇı´cı´ nad osou x a obsahu sˇede´ plochy lezˇı´cı´ pod osou x. Pro c = 0 je hodnota F (0) = 0 = R ₀

0 sinx dx. Pak tato hodnota naru˚sta´

azˇ do F (π) = 2 = R _π

0 sinx dx. Potom se zacˇne zmensˇovat, protozˇe se bude odecˇı´tat obsah plochy lezˇı´cı´ pod osou x. Klesa´ azˇ na hodnotu F (2π) = 0 = R _2π

0 sin x dx. Pak se cely´ pru˚beˇh opakuje. Tedy hodnota 1 − cosc „osciluje“ pro c jdoucı´ do +∞. N Naprosto analogicky se zava´dı´ nevlastnı´ integra´l na intervalu (−∞, bi, kde b ∈ R. Funkce f (x) musı´ by´t takova´, aby pro kazˇde´ c < b existoval urcˇity´ integra´l R b

c f (x)dx. Pak oznacˇı´me

G(c) =

Z b c

f (x) dx, c 5 b, Závěr: Zadaný integrál diverguje.

+∞∫

0 sin 𝑥 d𝑥 𝑛𝑒𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑢𝑗𝑒

Zakreslete graf funkce 𝒚 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙, vyšetřete omezenost a po- rovnejte s výsledkem.

+∞

∫

𝟎

𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐝𝒙 ^neexistuje

174 Nevlastnı´ integra´l

x y

0 cc → +∞

1

y = ¹

x²+1

arctgc

x y

0 cc → +∞

arctgc π/2

arctgc → π/2

y = arctgx

a)

x y

1 cc → +∞

1

y = ¹

x

lnc

x y

0 cc → +∞

lnc

lnc → +∞

y = lnx

b)

x y

0 π 2π

c → +∞

c

1 1−cosc y = sinx

+

−

x y

0 π cc → +∞ 2π

1−cosc 2

1−cosc

y = 1− cosx

c)

Obr. 4.2

a vysˇetrˇujeme limitu lim

c→−∞G(c). Terminologie je stejna´ jako v definici 4.1. Tento integra´l znacˇı´me

Z b

−∞

f (x)dx.

Použité materiály a zdroje

Petáková, RNDr. Jindra. Matematika: Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Dotisk 1.vydání. Praha: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 8071960993.

Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 2013 [cit. 2013-04-15]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: <http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd /pdf/print/ip.pdf>.

Tomica, R. Cvičení z matematiky – I. Brno: VAAZ, 1974.

Kreml P., Vlček J., Volný P., Krček J., Poláček J., Matematika II [online]. 2013 [cit.

2013-04-15]. Dostupné z WWW:<http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/>

Archiv autora