KVADRATICKÁ FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE

Kvadratická funkce f je dána funkčním předpisem (rovnicí) :

ax² + bx + c - kvadratický trojčlen; ax² - kvadratický člen; bx - lineární člen; c absolutní člen

Speciální případy : y = ax² základní kvadratická funkce

Grafem kvadratické funkce je parabola s osou o y; V - vrchol paraboly 



 



 −

a c b a b

; 4 -2 V

2

; a > 0 - parabola otevřená nahoru; a < 0 - parabola otevřená dolů

Další vlastnosti:

Monotónnost funkce:

a) pro a > 0 je kvadratická funkce rostoucí v intervalu 



∞ 2 ; - a

b ,

klesající v intervalu 



−∞ a b -2

; .

b) pro a < 0 je kvadratická funkce rostoucí v intervalu



−∞ a b -2

;

klesající v intervalu 



−∞ a b -2

; .

Definiční obor, obor funkčních hodnot:

a) pro a > 0:

b) pro a < 0:

P ř íklady užití kvadratických funkcí:

obsah kruhu S = πr² objem válce V = πr²v dráha volného pádu s =

2 1g.t²

vrh svislý vzhůru y = v₀t - 2 1g.t²

závislost výkonu na proudu P = R.I²

f: y = ax

+ bx + c, kde a, b, c ∈ R; a ≠ 0

D(f) = R; H(f) = 〈〈〈〈y_V; ∞∞∞∞) D(f) = R; H(f) = (-∞∞∞∞; y_V〉〉〉〉

P ř íklady (grafy kvadratických funkcí):

1. y₁ = x² y2 = 2x² y3 =

3 1x²

y4 = -3x² y5 = -

4 1x²

• graf každé kvadratické funkce y = ax² je souměrný podle osy y kartézské soustavy souřadnic Oxy

• graf každé kvadratické funkce y = ax² prochází bodem [0; 0]

• je-li a > 0 kvadratická funkce y = ax² nabývá pro x = 0 nejmenší hodnoty; je-li a < 0 kvadratická funkce y = ax² nabývá pro x = 0 největší hodnoty

2. a) y1 = x² V[0; 0] b) y1 = x² V[0; 0]

y2 = x² - 3 V[0; -3] y2 = x² + 2x + 1 … upravíme na tvar y3 = x² + 1 V[0; 1] y2 = (x + 1)² … V[0; -1]

y₃ = x² - 4x + 4 … upravíme na tvar y3 = (x - 2 )² … V[0; 2]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

y1 = x²

y₁ = x² y₃ = x² + 1

y2 = x² - 3

y₃ = (x - 2)² y₂ = (x + 1)²

-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y4 = -3x² y5 = -

4 1x² y3 =

3 1x² y₁ = x² y2 = 2x²

3. Sestrojte graf funkce y = x² - 2x + 3. Určete intervaly, na kterých je funkce rostoucí a klesající.

• vypočítáme souřadnice vrcholu; lze dvěmi způsoby a) pomocí vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu 



 



 −

a c b a b

; 4 -2 V

2

x_V = - 1 2

2 =

− ; y_V = 3 -

( )

4 2 ² =

− … V[1; 2]

b) pomocí složení do vzorce (A ± B)²

y = x² - 2x + 3 = x² - 2x + 1 + 2 = (x - 1)² + 2 … V[1; 2]

• vypíšeme několik dalších dvojic, které patří funkci

x -2 -1,5 0 2,8

y 11 8,25 3 5,24

• v kartézské soustavě souřadnic sestrojíme obrazy těchto uspořádaných dvojic; využijeme vlastnosti osové souměrnosti osy paraboly s osou y

• spojíme tyto body v graf paraboly

• a = 1 ⇒ a > 0; rostoucí je na intervale 〈1; ∞), klesající na intervale (-∞; 1〉

Vyzkoušejte se:

Příklad: Sestrojte grafy funkcí a určete intervaly monotónnosti.

a) y = -0,5x² + 3x b) y = 2x² - 6x + 5,5 c) y = -x² - 4x - 3 Řešení:

a) V[3; 4,5] b) V[1,5; 1] c) V[-2; 1]

rostoucí (-∞; 3〉 rostoucí 〈1,5; ∞) rostoucí (-∞; -2〉

klesající 〈3; ∞) klesající (-∞; 1,5〉 klesající 〈-2; ∞)

-1 1 3 5 7 9 11 13

-4 -2 0 2 4 6

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y = -x² - 4x - 3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-4 -2 0 2 4 6 8 10

y = -0,5x² + 3x

-3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y = 2x² - 6x + 5,5