text pro podporu výuky klasické mechaniky pro

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

, v , ,

BAKALARSKA PRACE

Kateřina

Šebková

Elektronický

text pro podporu výuky klasické mechaniky pro

II

Katedra didaktiky fyziky

Vedoucí

práce: doc. RNDr. Leoš

CSc.

Studijní program: Fyzika

Studijní obor: Fyzika

na

r -/

^{„c ,}

V

J "1 /lJ

2006

' -JI,~--„_. "" ^'~ "-,_ , ^~

Poděkování

Ráda bych poděkovala vedoucímu bakalářské práce doc. RNDr. Leoši Dvořákovi, CSc. za odborné konzultace a příjemnou spolupráci.

Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně

s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčením práce a jejím

zveřejňováním.

V Praze dne 30.7.2006 Kateřina Šebková /

rp{cuf.u~//;A/ rfd-/i-V?- 1

Obsah

1. Úvod ... 5

2. Soustava hmotných bodů a tuhé těleso ve vybraných učebních textech ... 6

3. Struktura a obsah vytvořeného učebního textu ... ^„ 8

4. Technické zpracování učebního textu ... ^{„ ...}... „ 1 O 4.1 Forma ... „10

4.2 Tvorba odkazů ... 11

4.3 Vlastní zkušenosti s používáním programu Adobe Acrobat 7.0 ... 13

5. Závěr ... 14

6. Literatura ... 15

Příloha 1: Klasická mechanika - soustava hmotných bodů a tuhé těleso

(vlastní učební text se samostatným číslováním stránek)

Příloha 2: CD s vlastním učebním textem

3

Název práce: Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství II

Autor: Kateřina Šebková

Katedra (ústav): Katedra didaktiky fyziky

Vedoucí bakalářské práce: doc.RNDr.Leoš Dvořák, CSc.

e-mail vedoucího bakalářské práce: Leos.Dvorak@mff.cuni.cz

Abstrakt: Předložená práce je věnována zpracování elektronického učebního textu pro výuku klasické mechaniky. Vybrána byla kapitola soustava hmotných bodů a tuhé těleso. Jedná se o

přehled nejdůležitějších vzorců a pojmú z dané kapitoly doplněný o příklady s řešením a o matematická odvoze1ú vybraných vět. Učební text je ve formátu PDF, je proto vhodný pro

vytištění i pro počítačové použití. V elektronické podobě je text rozšířen o odkazy mezi jednotlivými kapitolami.

v

Klíčová slova: Klasická mechanika Soustava hmotných bodů

Tuhé těleso Učební text

Name ofthe thesis: Electronic Text on Classical Mechanics for Pre-Service Teacher Training II

Author: Kateřina Šebková

Department (institute): Department of Physics Education Supervisor of the bachelor thesis: doc.RNDr.Leoš Dvořák, CSc.

e-mail of the supervisor: Leos.Dvorak@mff.cuni.cz

Abstract: The presented thesis concems preparation of an electronic teaching material for lessons of classical mechanics, namely the chapter on a system of particles and rigid body. It includes a survey of essential formulae and definitions of the given chapter supplemented with solved examples and mathematic deductions of selected theorems. The teaching material, being in PDF format, is suitable both for printing and for electronic use. The electronic form of the material is extended by links between individua! chapters.

The bachelor thesis also includes a description of the structure and technical processing of the text.

Key words: Classical mechanics System of particles Rigid body

Teaching text

1. Úvod

v

bodů a tuhé těleso.

Na dané téma je zpracováno hodně učebních textů. Proto bylo mým cílem vytvořit jakýsi

"strukturovaný tahák" základních pojmů a ne učebnici se souvislým textem, který je pro studenty často příliš zdlouhavý a nepřehledný. Obsah elektronického učebního textu je v podstatě sumarizací studijní látky k výše uvedené problematice.

Při tvorbě učebního textu jsem zvolila princip přehledu nejdůležitějších vzorců včetně odkazů

na příslušné textové komentáře. Pro ilustraci a možnost procvičení dané látky obsahuje

učební text praktické příklady s kompletním řešením.

Učební text je určen pro studenty, kteří si chtějí před bakalářskou zkouškou z fyziky zopakovat základní pojmy (vzorce, definice ... ) týkající se této problematiky a samozřejmě

také pro studenty prvního ročníku, nebo pro studenty kombinovaného studia. Učební text ale není textem pro samostatné studium, který by plně nahradil přednášky.

Bakalářská práce v následujících kapitolách obsahuje:

stručnou část komentující použitou studijní literaturu (včetně několika odkazů na webové stránky)

popis struktury vlastního učebního textu s ukázkami

popis technického zpracování učebru'ho textu spolu s vlastními zkušenostmi s používáním softwaru Adobe Acrobat 7.0

V závěru jsou uvedeny dosažené výsledky s naznačením, jak by bylo možné práci rozšířit.

V příloze je kompletní vlastní učební text obsažen v tištěné i v elektronické podobě na

přiloženém CD. Učební text má vlastní číslování stránek.

5

2. Soustava hmotných

a tuhé

ve vybraných

textech

Na téma Soustava hmotných bodů a tuhé těleso je napsáno hodně učebních textů. Zaměřím se na dva tituly doporučované pro přednášku a studium klasické mechaniky, ze kterých jsem při

své práci vycházela (mimo svých vlastních poznámek [1] ):

-Učebnice [2] D. Hallidaye a R. Resnicka -Učebnice [3] A. Havránka

v

řešené příklady a kontrolní otázky vhodně zařazenými do textu. Názorné barevné obrázky

dělají knihu zajímavější a díky nim jsou pojmy, definice a fyzikální zákony lépe vysvětleny.

Srozumitelnosti výkladu napomáhá i volnější vyjadřování autorů. Přehlednost textu zajišťují i barevné rámečky, které zvýrazňují důležité vzorce. Výhodné je také shrnutí látky za každou kapitolou knihy, protože jednotlivé kapitoly jsou docela dlouhé (např. kapitoly týkající se Soustavy hmotných bodů a tuhého tělesa zaujímají přibližně 11 O stránek). Tato učebnice je vhodná pro studenty úvodního kurzu z klasické mechaniky, ale i pro studenty středních škol.

Učebnice [3] Klasická mechanika od A. Havránka je podrobnější a na rozdíl od knihy Hallidaye a Resnicka se nesnaží o popularizaci látky. Fyzikální zákony a věty jsou zde

podrobně vysvětleny a obecně odvozeny za pomoci potřebného matematického aparátu. I v této knize autor používá ke zviditelňování nejdůležitějších zákonů (definic, vět „.) rámečky.

Vysvětlování je doplněno o jednobarevné obrázky a grafy. Tento učební text je hodně

podrobný a náročný, a tedy pro první čtení je obtížný na rozdíl od knihy Hallidaye a Resnicka, kteráje srozumitelnější. Probíraná látka Soustava hmotných bodů a tuhé těleso zde zaujímá přibližně stejné množství stránek (asi 100) jako v [2].

Při psaní učebního textu jsem se snažila vytvořit přehled látky, podobný jako je v knize [2] za každou kapitolou. Hlavní rozdíl je ale v tom, že shrnutí v mém v textu je prvořadé a tudíž je uvedeno na začátku textu a z něj pak vychází podrobnější popis. Stejně jako oba zmiňovaní autoři jsem nejdůležitější informace dávala do jasně viditelných barevných rámečků. Při vysvětlování pojmů jsem pro názornější představu věci vytvořila několik obrázků. Pro úplnost látky jsem do učebního textu zahrnula i matematická

s komentovanými vysvětlivkami uplatněných v textu.

odvození důležitých vět

Hodně užitečných textů týkajících se klasické mechaniky lze nalézt i na internetu. Dále uvedené odkazy samozřejmě nejsou vším, co se na internetu nachází ohledně klasické mechaniky. Můžeme je brát jen jako inspiraci, jak lze zpracovat stejné téma. V následujícím

stručném přehledu proto komentuji hlavně jejich grafickou stránku a celkový dojem;

nehodnotím je po obsahové stránce.

Zajímavé pokusy s popisky, které jsou dokresleny fotografiemi, nalezneme spolu s poznámkami pro vyučující na [6]. Text je přehledný a barevný. Nejedná se o učebnici. Text má sloužit jako zdroj inspirace pro práci s mladými lidmi Gak zde uvádí sám autor M. Jílek).

Na stránce [7] je přehledně shrnuta mechanika tuhého tělesa pro střední školy, která je

doplněna o obrázky. Text je strukturovaný a není zbytečně dlouhý.

V otevřené encyklopedii Wikipedia [8] nalezneme slovník pojmů (nejen fyzikálních) se vzorci. Pojmy jsou zde jasně a stručně vysvětleny.

Na [9] nalezneme rozsáhlý učebnicový text ve formě PDF. Autor zde využívá odkazů pro lepší pohyb v textu. Jejich označení do červených rámečku je sice jasně viditelné, ale

nepůsobí moc esteticky. Důležité informace také nejsou nijak zdůrazněny, a proto text působí

velice jednotvárně a nepřehledně.

Text obsahuje i řešené příklady a řadu dalších úloh s výsledky.

Na (10] nalezneme text s názvem Mechanika pro bakaláře. Text je uveden připomenutím

vektorové analýzy. Dále je v textu hodně barevných obrázků s příklady. Text je docela

přehledný alej eho nevýhodou je fakt, že zaujímá 44 stran.

Na [11] je učební text pro klasickou mechaniku v podobě souboru html a ve formátu PDF.

Jedná se o klasickou učebnici, která je velice rozsáhlá (v PDF 297 stran). Obsahuje pěkné

názorné obrázky. Text působí příliš jednolitě, neboť zde nejsou důležité informace nijak

zdůrazněny (tučně, barevně, nebo podtržením).

Oskenovaný text týkající se klasické mechaniky nalezneme na [12]. Poznámky působí přehledně, už pro svou stručnost a barevnost. Nevýhodou může být psaná podoba textu.

Celý kurz klasické mechaniky nalezneme na [13]. Tento nebarevný html soubor nepůsobí přehledně. Navíc v textu jsou místo klasických označení veličin pomocí písmen využita slovní

vyjádření.

7

3. Struktura a obsah

textu

Text je tvořen tak, aby byla stručným přehledem látky shrnující kapitolu Soustava hmotných

bodů a tuhé těleso. Proto jsem na začátku textu uvedla souhrn nejdůležitějších vzorců z dané látky. Zároveň text umožňuje v kapitolách následujících po přehledu vzorců jít do některých detailů, kde jsou vysvětleny všechny použité veličiny spolu s důležitými pojmy, definicemi a

větami. V textu je probírána zvlášť kapitola Soustava hmotných bodů a kapitola o Tuhém

tělese. Pro názornost je na konci těchto dvou kapitol uvedeno i několik příkladů s obecným

řešením. Učební text zahrnuje i podrobnější část s matematickým odvozením několika

fyzikálních vět z dané probírané látky. Tato odvození tvoří samostatnou třetí kapitolu.

Učební text je tvořen těmito základními částmi:

1) obsah

2) úvod (seznámení s textem a práce v něm)

3) přehled vzorců

4) jednotlivé kapitoly s detailnějším přehledem vzorců, pojmů, definic 5) podrobnější matematická odvození

Vlastní učební text je uveden obsahem, který zahrnuje následující problematiku:

O tomto textu

Jak se v textu pohybovat

I .Soustava hmotných bodů 1. 1 Hmotný střed

1.2 Hybnost, moment hybnosti a energie soustavy 1.3 První věta impulsová, zákon zachování hybnosti 1.4 Druhá věta impulsová

1.5 Příklady:

2.Tuhé těleso

1.5.1 Hmotný střed soustavy 1.5.2 Pružný a nepružný ráz 2.1 Hmotný střed

2.2 Rovnováha tuhého tělesa

2.3 Kinematika tuhého tělesa

2.4 Steinerova věta

2.5 Konigova věta

2.6 Příklady:

2.6.1 Fyzické kyvadlo 2.6.2 Matematické kyvadlo 2.6.3 Valení po nakloněné rovině

· ·· ··· ··· ··· ·· ·· ·· ···

3. Matematická odvození

3.1 První věta impulsová 3 .2 Druhá věta impulsová 3.3 Steinerova věta

3 .4 Konigova věta

Snadnější navigaci v textu zajišťují odkazy. Text je sestaven tak, že z obsahu se za pomoci

odkazů I.Soustava hmotných bodů a 2.Tuhé těleso dostaneme na přehled vzorců se stručným

popiskem, čeho se daný vzorec týká. Dílčí odkazy těchto dvou kapitol (1.1 - 1.5, 2.1 - 2.6) vedou přímo na jednotlivé části kapitol. Odkaz 3. Matematická odvození vede na text, který je

rozšířením předchozích dvou kapitol, dílčí odkazy vedou rovnou ke konkrétním odvozením.

V části s přehledem vzorců tvoří zmiňované popisky další odkazy do jednotlivých částí

kapitol I. a 2., kde je vzorec podrobněji vysvětlen.

V textu nalezneme i řadu dalších odkazů mezi jednotlivými kapitolami. Pro rychlejší návrat do obsahu je u každé kapitoly i podkapitoly uveden odkaz na obsah. Pro lepší názornost propojení kapitol jsem zde uvedla tento příklad:

Klikneme-li v prvním rámečku na odkaz 1.3 první věta impulsová, pak se dostaneme na stranu obsahující text ve druhém rámečku. A jestliže zde klikneme na odvození, tak nás odkaz

převede do kapitoly třetí s matematickými odvozeními.

1.3 prvnl věta impulsová ^{dP =}

F"'

dt

přehled vzorců

~-- 1.3 P1viú věta impulsová

= ^věln o hybnosti soustnvy hmobtých bodft

di> = F'"

dt

obsah

l'osav• daMicc cclkovó hybnosti sousúvy je rCM18 výslcdnicivnEj!ích sil působících,.,. sotEtlw.

neboli:

tasová změna celkové hybnosti sottslsvy se rovná celkové vnější síle.

- _{3.1 Pivní věta} impulsová:

R _oviuc1 .. P-₌ ~ _L,,Pi ^- z envnJeme po e casu ^{d . . dl •} ==> -

ct?

1-1 dt ^1-1 dt

upravíme pravou stranu :

±

^{= f i,}

^{f i;"' + ff i;j}

1-1 1-1 1-1 1^-1

' - - - - v - - - - ' }•I

pout;/; )Sm'1 1 Nmrtom'n· :dkon

(1)

konkrétní kapitola

matematické odvození (2)

Kompletní učební text je uveden v příloze 1 v tištěné a v příloze 2 v elektronické podobě.

9

__ ... L ____ ^{. _ „ „} ... ... _ _

4. Technické zpracování

textu

4.1 Forma

Je několik způsobů, jak je možné zpracovávat učební texty pro elektronickou podobu. Text by se dal zpracovat pomocí html souborů, formou Powerpointových prezentací, popřípadě

formou obrázků naskenovaného textu (psaného či tištěného) a samozřejmě také formou PDF

souborů.

Výhodou html souborů je jejich přenosnost na různé operační systémy, také mají široké možnosti odkazů. Ale někdy různé prohlížeče zobrazují obsah textu poněkud jinak.

Podstatnou nevýhodou těchto souborů, při psaní fyzikálního (obzvláště matematického) textu, je nedokonalé zobrazování vzorců. Navíc by tvorba html souborů s mnoha vzorci byla značně náročná.

Powerpointové prezentace naskýtají v našem případě spíše nevýhody. Můžeme je použít jen v operační systému MS Windows a navíc máme stránku omezenou obrazovkou.

Forma obrázků, v podobě naskenovaných textů, představuje jednodušší zpracování textů. Ale v tomto případě text také nemůže být rozšířen o odkazy. Navíc by tyto soubory měly velkou velikost a jejich kvalita by byla omezena rozlišením.

Po dohodě s vedoucím bakalářské práce byla použita forma PDF souborů. Adobe Portable Document Format (PDF) je celosvětový standard pro distribuci elektronických dokumentů. Je to univerzální formát souborů, který zachovává použité typy písma, barev atd. bez ohledu na aplikaci při jejich tvorbě. Soubory PDF jsou výhodné, neboť je můžeme otevřít kdykoliv a kdekoliv s použitím Acrobat Reader (což je běžně užívaný bezplatný software, který nalezneme ^např. na [5]).

Celý učební text jsem tedy zpracovala v programu MS Word spolu s vytvořením odkazů (tvoření odkazů je zpracováno v kapitole 4.2) a následně jsem ho převedla do formátu PDF.

Vazby (odkazy) umožňují snadnou a rychlou navigaci v souborech.

4.2 Tvorba odkazů

V učebním textu jsou vytvořeny odkazy. Procházení tohoto elektronického textu se díky tomu stává přehlednější, zajímavější a rychlejší.

V této kapitole je popsán přesný postup, jak vytvořit vazby (odkazy) v programu Adobe Acrobat a hypertextové odkazy v MS Word. (Odkazy vytvořené v MS Word se zachovávají

při převodu do PDF-viz dále část 4.3.)

Jestliže máme převeden dokument do formátu PDF, můžeme postupovat následovně.

(Uvádím zde postup, který jsem používala při práci s verzí Adobe Acrobat 7.0 Standard.) 1. klikneme na ikonu Select (Vybrat) na horní liště

li...

2. označíme výraz, na kterém chceme vytvořit vazbu (tzn. výraz, který nás po kliknutí přesune na námi požadované místo v dokumentu)

3. zmáčkneme pravé tlačítko myši a klikneme na Create Link (Vytvořit vazbu)

4. zde zadáme, jaký chceme vzhled vazby (např. viditelný rámeček kolem textu, nebo podtržení textu ... ) a klikneme na Next (Další)

Link Appear ance

Link Type: [vis!bl~_Rect~I~-- ^.;, j Line Style: l~olid ^{_ -}

_v]

Highlight Style: II~~~;t- ---^--~1

L „ - - - · - - - - -- - · - - · - _J

Line Thickness: (rhin _ _ -_ ~

LinkAction

0 Go to a page view Q openafile

O Open a web page Help

Color: ~

Next J [ Cancel

5. nyní pomocí posuvníku vybereme cílovou stránku a klikneme na Set Link (Nastavit vazbu)

Use the scrollbars, mouse, and zoom tools to select the target view, then press Set Link to create the link destination.

I

I [

11

V MS Word se odkazy tvoří následovně:

(Uvádím zde postup, který jsem používala při práci s Microsoft Office Word 2000.)

1. nejprve musíme do textu vložit záložku, na místo, kam chceme, aby nás odkaz

převedl:

- na horní liště klikneme na Vložit - Záložka

- objeví se nám tento rámeček, a do horního řádku zadáme zvolený název záložky a klikneme na Přidat

Náiev záložky:

I

Seřadit podle: r. ~ázvů < b!,místění Í S!gyté záložky

PřiQ.at

Storno

2. jestliže máme v dokumentu vytvořeny všechny potřebné záložky, pak přijdou na řadu

samotné hypertextové odkazy:

-označíme výraz, který má sloužit jako odkaz, stiskneme pravé tlačítko myši a klikneme na Hypertextový odkaz

- na obrazovce se nám objeví toto okno, kde v řádku Zobrazený text je námi

označený výraz

Vložit hypertextovy odk~z [1.J~

Odkaz na: , ~ohrazený text: lrlilé těleso

Vyberte ~o v tomto dokumentu:

Horní část dokunentu Nadpisy

-' Záložky tlJlétěleso

~omentář.„

Storno

- v okně výše musíme kliknout na Místo v tomto dokumentu (v sloupečku vlevo) - z vytvořených záložek uprostřed v okně označíme příslušnou záložku a klikneme

na OK

4.3 Vlastní zkušenosti s používáním programu Adobe Acrobat 7.0

Učební text jsem vytvořila v programu MS Word. Převedení textu do formátu PDF není uživatelsky náročné, neboť při nainstalovaném programu Adobe Acrobat 7.0 se v příkazové liště MS Word zobrazí ikona pro automatické převedení textu do formátu PDF.

Náročnější je práce s vazbami Qejich tvorba je popsána v kapitole 4.2). Mým cílem bylo

vytvoření takových odkazú, při nichž se zachová uživatelem nastavená velikost zobrazení textu. Odkazy v PDF totiž mohou být takové, že velikost zobrazení mění. Při procházení textu však změny velikosti zobrazení stránek púsobí rušivě.

Pro správné vytvoření těchto vazeb v Adobe Acrobatje třeba dodržet následující postup:

na příkazové liště zvolit volbu Tools (Nástroje) - Advanced editing (Další úpravy) - Link tool (Nástroj vazba)

poté označit text ze kterého vytváříme odkaz a pravým tlačítkem myši zvolit volbu Properties (Vlastnosti) - v záložce Actions (Akce) kliknout na Edit (Upravit) a zde zaškrtnout příkaz Inherit zoom (Zdědit zvětšení)

Nevýhodou tohoto postupu je fakt, že tuto akci je třeba provést u každé vazby zvlášť.

Z tohoto dúvodu je výhodnější vytvořit všechny vazby nejprve v programu MS Word Gako hypertextové odkazy viz. kapitola 4.2) a teprve poté převést text do formátu PDF (hypertextový odkaz při přechodu zachovává zděděné zvětšen{). Vzhled vazby se zachová v takové podobě, jak jsme ho vytvořili v MS Word. Já jsem pro označení všech odkazú zvolila modrou barvu písma, aby byl odkaz na první pohled odlišný od ostatního textu a

zároveň, aby nijak nenarušoval celistvost dokumentu.

Tvorba vazeb v programu Adobe Acrobat by měla ještě jednu zásadní nevýhodu. Po každé

změně textu a novém převodu do PDF bychom museli vytvářet všechny vazby znovu. Je tedy jasné, že vytváření či úprava vazeb až v PDF přichází v úvahu jen ve výjimečných případech.

Závěrem je třeba upozornit ještě na jednu skutečnost. Nevýhodou vazeb v dokumentu PDF je to, že odkazy vedou vždy jen na zvolenou stránku, nikoliv na přesné místo v textu. Toto je ale vlastnost formátu PDF (alespoň jeho dosavadních verzí), proto se s tímto chováním odkazů

v učebním textu musíme smířit. V úvodu učebního textu na to čtenáře upozorňuji.

13

5.

Cílem bakalářské práce bylo vytvořit shrnutí části látky probírané v úvodním kurzu z klasické mechaniky, které by bylo využitelné v elektronické i v tištěné podobě. Učební text, který jsem

vytvořila ve formátu PDF, je základním přehledem shrnující problematiku kapitoly Soustava hmotných bodů a tuhé těleso. Nejde o text pro zcela samostatné studium, který by měl

nahrazovat přednášku, ale o přehled vhodný pro opakování. Budou jej moci využít jak studenti 1. ročníku (včetně studentů kombinovaného studia), tak studenti 3. ročníku při přípravě na bakalářskou zkoušku z fyziky.

Kompletní vlastní učební text je k dispozici jak v tištěné formě (v příloze 1), tak v elektronické podobě na přiloženém CD. Chtěla bych, aby byla všem zmiňovaným studentům dobrou učební pomůckou.

Má práce ověřila možnost, jak koncipovat a vytvořit učební text. Je samozřejmé, že text by šlo různými způsoby rozšiřovat a doplňovat. Do budoucna by bylo vhodné zlepšit zpracování

obrázků, eventuálně doplnit další obrázky a případně fotografie. Náročnějším rozšířením by bylo přidání některých animací. Dodat by se mohly další příklady, ovšem pro ty by možná bylo lepší vytvořit samostatnou sbírku.

Na práci lze přirozeně navázat též zpracováním dalších kapitol z klasické mechaniky.

Kapitoly týkající se kinematiky a dynamiky hmotného bodu již ve své bakalářské práci zpracovala kolegyně Kateřina Kárová. (Využila přitom rovněž formát PDF, ale zvolila jinou koncepci stránek. Její práce vznikala současně s mou prací.)

6. Literatura

[1] vlastní poznámky z přednášek doc. RNDr. L.Dvořáka, CSc

[2] Halliday D„ Resnick R„ Walker J. (2000): Fyzika. Část 1. Mechanika.VUTIUM, Prometheus, Brno, Praha.

[3] Havránek A. (2002).: Klasická mechanika I. Karolinum, Praha.

[4] Mechlová E„ Košťál K. (2001): Výkladový slovník fyziky pro základní vysokoškolský kurz. Prometheus, Praha.

[5] http://www.amsoft.cz (Cit. 28. 6. 2006)

[6] http://fyzweb.mff.cuni.cz/dilna/krouzek/index.htm (Cit.27.6.2006) [7] http://sweb.cz/radek.jandora/f04.htm (Cit.27 .6.2006)

[8] http://cs.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Fyzika (Cit.27 .6.2006)

[9] http://oldwww.upol.cz/resources/ktf/lucky/mechanika.pdf (Cit 14. 7 .2006) [10] http://apfyz.upol.cz/ucebnice/down/mechbak.pdf (Cit 14.7.2006)

[11] http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/301.html (Cit 11.7.2006) [12] http://www.yorku.ca/marko/PHYS2010/index.html (Cit 11.7.2006) [13] http://theory.uwinnipeg.ca/mod_tech/index.html (Cit 11.7.2006)

15

Příloha

1

Klasická mechanika - soustava hmotných

a tuhé

(vlastní

text)

(Poznámka: Učební text v této příloze má samostatné číslování stránek.)

Klasická mechanika - soustava hmotných bodů a tuhé těleso

Úvod

O tomto textu

Jak se v textu pohybovat

1.Soustava hmotných

1.2 Hybnost, moment hybnosti a energie soustavy 1.3 První věta impulsová, zákon zachování hybnosti 1.4 Druhá věta impulsová

1.5 Příklady:

1.5.1 Hmotný střed soustavy 1.5.2 Pružný a nepružný ráz

2.Tuhé

2.1 Hmotný střed

2.2 Rovnováha tuhého tělesa

2.3 Kinematika tuhého tělesa

2.4 Steinerova věta

2.5 Konigova věta

2.6 Příklady:

2.6.1 Fyzické kyvadlo 2.6.2 Matematické kyvadlo 2.6.3 Valení po nakloněné rovině

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• „ •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

3. Matematická odvození

3 .1 První věta impulsová 3.2 Druhá věta impulsová 3 .3 Steinerova věta

3 .4 Konigova věta

© Kateřina Šebková, 2006

1

Úvod

O tomto textu

Tento učební text vznikl v rámci bakalářské práce na katedře didaktiky fyziky Matematicko- fyzikální Fakulty Univerzity Karlovy v Praze v roce 2006 pod vedením doc. RNDr. Leoše

Dvořáka, CSc.

Autorka: Kateřina Šebková, posluchačka 3. ročníku učitelství fyziky-matematiky pro SŠ Tento text je shrnutím látky Soustava hmotných bodů a tuhé těleso z přednášky Klasická mechanika pro posluchače 1. semestru. Nejde o učebnici, ale o komentovaný přehled nejdůležitějších vzorců, pojmů a definic. Text mohou využít studenti 1. ročníku (včetně studentů kombinovaného studia) i studenti 3. ročníku při přípravě na bakalářskou zkoušku z fyziky.

Jak se v textu pohybovat

V obsahu si můžeme vybrat kapitolu, o kterou se zajímáme, a pomocí odkazu přejít na stránku, kde se dané téma nachází (odkazy v PDF vedou vždy na začátek stránky, a proto je

někdy nutné "zarolovat"). Ti, kteří si potřebují jen zopakovat základní vzorce týkající se soustavy hmotných bodů a tuhého tělesa, naleznou (na stránce po úvodu) potřebný přehled

s dalšími odkazy na podrobnější vysvětlení daného vzorce.

Pokud se v textu budete chtít vracet o krok zpět, pak využijte těchto šipek na horní nebo dolní

liště.

00

Důležité je také barevné členění textu:

1. všechny odkazy jsou vyznačeny modrou barvou

2. definice, věty a vzorce jsou v textu vyznačeny hnědým rámečkem

3. poznámky a připomínky jsou v zeleném rámečku

Při vysvětlování termínů jsem nahradila sloveso být matematickým symbolem = .

1. Soustava hmotných

1.1 poloha hmotného středu

1.2 celková hybnost

celkový moment hybnosti

kinetická energie

potenciální energie

N

Lmli r

=

m

N

P = '°'mv.

i=]

N

i= L(r;xft;)

i=l

N 1 ²

T=

L - m,v,

i=l 2

···· ···· ··· ··· ·· ···· ·· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ·· ··· ··· .... . .

1.3 první věta impulsová

věta o pohybu hmotného středu

zákon zachování hybnosti

dP

= jext

dt

ma = ftext

s

P

- =

···· ·· ···· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ·

1.4 celkový moment vnějších sil

druhá věta impulsová

zákon zachování momentu hybnosti

Mext = f ^(r;

^ft;ext)

i=l

d.L

=Mext

dt

L

=

3

(pro izolovanou soustavu)

2. Tuhé

2.1 poloha hmotného středu

2.3 úhlová rychlost

obvodová rychlost

moment setrvačnosti

frpdV

r _s =~"--­

m

d<p

OJ=-

dt

V= OJX r

N

J= 2:m;R;2

i=I

··· ··· ··· ··· ··· ··· ·· ·· ··· ··· ··· ··· ··· ···

momenty setrvačnosti některých homogenních těles

obruč J=mR² (vzhledem ke své geometrické ose)

disk 1 2

J=- mR (vzhledem ke své geometrické ose) 2

válec 1 2

J=- mR (vzhledem ke své geometrické ose) 2

koule J = ?:_mR² (vzhledem k ose procházející středem)

5

tyč J=-1 mL 2 (vzhledem k ose kolmé na tyč, která

12

prochází jejím středem)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • „ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • ••••• • • •••••• • • • • • •• • • ••• • • • ••••••••••••••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

2.4 Steinerova věta

2.5 Konigova věta 1 1

T =-2 mvs ² +-J 2 s ^OJ2

1. Soustava hmotných

== více hmotných bodů

- je určena, známe-li hmotnosti mi a polohy F; jednotlivých bodů, i= 1,2, .. . N (N

=

1.1 Hmotný

==určitý bod soustavy, který se chová tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmota soustavy

- také se mu říká těžiště, protože je působištěm síly, která na soustavu působí v homogenním tíhovém poli

-poloha hmotného středu soustavy N hmotných bodů:

- je určena rozložením hmotných bodů soustavy

N

m

= L

i=I

1.2 Hybnost, moment hybnosti a energie soustayy

- soustava N částic (každá částice je charakterizovaná mi, F;, vi)

-částice mohou vzájemně interagovat a okolní objekty na ně mohou

působit vnějšími silami - soustava má celkovou hybnost P

N N

P= LP,= Im;V;

i=I i=l

-celkový moment hybnosti soustavy

i

5

obsah

-kinetickou energii soustavy T

N 1 ²

T="-mv_{Li2 I I} .

i=l

-potenciální energii soustavy V

} N N

+

- IIvij

2 ^{i=I j=l}

N

V=

Iv;

i=l

energie vzájemného působení částic

(vysvětlení Y:z : částice 1 působí na částici 2, ale i 2 působí na l a tato energie by se

započítala 2 krát) energie dána

vnějšími silami

1.3 První

impulsová

=

dP

=Fex'

dt

obsah

odvození

Časová derivace cetkové hybnosti soustavy je rovna výslednici vnějších sil působících na soustavu.

neboli:

Časová změna celkové hybnosti soustavy se rovná celkové vnější síle.

f!ext ... výslednice vnějších sil působících na soustavu (okolní objekty působí na jednotlivé body)

N

J!exl

= L if'; ext

í=l

if'; ex' ...

- první věta impulsová jako věta o pohybu hmotného středu soustavy:

ma

⁼

Hmotný střed soustavy se pohybuje jako hmotný bod o celkové hmotnosti soustavy, na který působí výslednice vnějších sil působících na soustavu.

! vztah nic neřika o zrychleni jiných bodli soustavy

m je konstantní (nedochází k výměně hmoty soustavy mezi okolím

= soustava je UZAVŘENÁ)

as ... zrychlení těžiště soustavy d^2-

- rs

as = d t2

- jestliže na soustavu nepůsobí žádné vnější síly(= soustava je IZOLOVANÁ), nebo výslednice vnějších sil je nulová, pak platí zákon zachování hybnosti:

jext =O ^dP =O

dt P

=

Hybnost izolované soustavy částic je stálá.

! P = konst. je vektorová rovnice: zachovávají se všechny tři slozky P P P

- x' Y' z

Jsou-li některé složky vnější sily nulové. zachovávají se jen ptíslušné složky P Např. F:r =O ~ P_, = konst.

1.4 Druhá

impulsová

=věta o momentu hybnosti soustavy hmotných bodů

d.L =Mext _odvození

dt

Časová derivace celkového momentu hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna výslednému momentu vnějších sil působících na soustavu.

neboli·

Časová změna momentu hybnosti soustavy se rovná celkovému momentu vnějších sil.

! podmínka rovnosti:

L

7

d

jj e xr ...

jjext = f ^{M; =} f ^(ť;

^ff;ext)

i=l i=l

- je-li soustava hmotných bodů izolovaná, nebo je-li celkový moment vnějších sil, které na ni

působí nulový, pak platí zákon zachování momentu hybnosti:

dL =0

dt L

=

! V centrálním silovém poli se zachovává moment hybnosti vzhledem k centru, protože i když ptisobí vnější síla, tak její moment je nulový.

1. 5

1.5.1 Hmotný střed soustayy

obsah

Máme soustavu 2 hmotných bodů m₁ a m_2. Bod S naznačuje polohu hmotného středu

soustavy, který chceme najít.

Ze vztahu pro polohu hmotného středu (viz. 1.1) plyne: (*)

Uvažujme speciální případy:

a) m₂ =O ... dostaneme soustavu s jednou částicí m₁ a její těžiště by mělo

splývat s touto částicí, podle (*) skutečně ~

= Fi

b) fni

=

= r;

c) rrli = m_{2 ••••} těžiště by mělo být uprostřed mezi částicemi (z definice středu

úsečky ~

1.5.2 Pružný a nepružný ráz(= srážka) 1.5 PNklady

a) nepružný ráz - v jeho průběhu se obě částice spojí a po rázu se pohybují jako jedna částice

hybnost soustavy se zachovává

b) pružný ráz v jeho průběhu se zachovává kinetická energie hybnost soustavy se zachovává

... ... ... ... ... ... .. .... .. ... ... ... ... .... .. ... ...

a) nepružný ráz

Pro jednoduchost budeme řešit jen případ, kdy druhý hmotný bod byl před srážkou v klidu.

před srážkou

--et---~· ----

po srážce

Před srážkou bylo těleso m2 v klidu.Podle zákona zachování hybnosti (ZZH) platí:

(o)

Ze vztahu (⁰⁾ je ^vidět, že rychlost v po srážce je vždy menší než ^před srážkou.

! Při nepružném rázu se mechanická energie nezachovává. vždy se mění na jiné formy energie.

9

b) centrální pružný ráz (částice se stále pohybují v jedné přímce)

před srážkou

--t11--- ---- ·I--- -

po srážce

ZZH pro složky rychlosti V1 ,

v

v2 :

m1V1 + m2V2

=

;::::, VI

----7

I

m1

Zachovává se mechanická energie (kinetická energie):

1 2 1 2 1 -2 1 -2 - m1v1 +- m2v2 =-m1v1 +- m2v2

2 2 2 2

;::::, v2

•

Nyní musíme vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

rovnice upravíme :

dosadíme

v

v

m 1 -m2 2m2

VI= VI+ V2

m1 +m2 m1 +m2

podobně:

1.5 Příklady

>

2. Tuhé

==ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění

- je určeno hustotou p jako funkcí souřadnic x₁, x_{2 ,} x₃

pro homogenní těleso těleso není homogenní

p=-m

v

p=-dm dV

-stejně jako pro soustavu hmotných bodů, tak i pro tuhé těleso platí první a druhá věta

impulsová

2.1 Hmotný

tuhého

frpdV

r =-- v _ _ _

s m ^m=

f

v

2.2 Rovnováha tuhého

-těleso je v rovnováze, jestliže platí:

Fex t

! Tyto podmínky jsou nutné_ ale nejsou postačující pro lo, aby lclesll bylo v klidu (těleso by muselo b)1 pred použitím vně_1ších sil' klidu= statická rovnováha)

- druhy rovnováhy : 1.) stálá(= stabilní) rovnovážná poloha

~těleso se po vychýlení vrací zpět do rovnovážné polohy

~ nastane, když potenciální energie má minimum 2,) vratká(= labilní) rovnovážná poloha

obsah

obsah

obsah

~ těleso se po vychýlení samo do rovnovážné polohy nevrátí

~ nastane, když potenciální energie má maximum 3.) volná(= indiferentní) rovnovážná poloha

~ těleso po vychýlení zůstává v nové poloze

~ potenciální energie se při pohybu v okolí rovnováhy

nemění

! Pohyb tělesa může b)·t omezen vazbami

11

stabilní poloha labilnf poloha indiferentní poloha

o

2.3 Kinematika tuhého

- tuhé těleso (stejně jako soustava hmotných bodů) má 6 stupňů volnosti => zjistíme-li

časovou závislost šesti souřadnic, určíme tím pohyb tuhého tělesa

- každý pohyb tělesa si můžeme představit jako pohyb složený z pohybu posuvného (=translace) a otáčivého (= rotace)

posuvný pohyb

= pohyb, při kterém mají všechny body tělesa v daném okamžiku stejný vektor rychlosti

obsah

- trajektorie všech bodů tělesa mají shodný tvar (liší se pouze v důsledku různé počáteční

polohy ^bodů)

-může být přímočarý, křivočarý, rovnoměrný, nerovnoměrný

-např. pohyb pístu ve spalovacím motoru

otá6vý pohyh (vět.~ina dále lil edené/w ·e týká rotace kofein pevné os)!)

- Je úplně popsán časovou závislostí

rp = rp(t)

rp = rp(t) ...

(obě jsou kolmé k ose otáčení)

rp

R

s ... délka oblouku

R ... poloměr kružnice ^o

- body, které leží na ose rotace, jsou v klidu

-úhlová rychlost je vektor ÚJ, který je rovnoběžný s osou otáčení ÚJ

= wv

-průměrná úhlová rychlost tělesa v intervalu lit je definována vztahem

w

=

=

tělesa

t2 -ti lit

v okamžiku t₁ a rp₂ v okamžiku t₂

-okamžitá úhlová rychlost

tělesa

=

do směru osy otáčení)

! Uhlovou rychlost (O lze podobně zavést i v případe, kdy osa otačení není pevná, tj. kdy okamžita osa otáčeni mění polohu nebo směr

- pro rychlost

V

tělesa,

otáčí

I ^V

ř I

ř .. . vektor vedený z jednoho pevného bodu na ose otáčení do místa, kde je bod, jehož rychlost určujeme

o

13

-moment setrvačnosti J tělesa kolem osy - závisí na rozložení hmoty tělesa vzhledem k ose

otáčení

N

těleso složené z jednotlivých bodů . „

.„.

= L

i=l

hmota

tělesa

spojitě. . . ... . . ...

= J

v

R ... vzdálenost od osy ^otáčení

momenty setrvačnosti pro různá tělesa

-speciálně - pro rotaci kolem pevné osy platí:

- body tělesa opisují kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení

- velikosti rychlosti jednotlivých bodů jsou přímo úměrné jejich vzdálenosti od osy otáčení

- moment hybnosti (složka L do směru osy rotace):

N N N

L

=

=

=

= JOJ

i=l i=l i=]

- platí druhá

věta

~ ~ ^(JOJ)

dt

pro J nezávislé na čase

M ... moment sil vzhledem k ose (resp. složka tohoto momentu do směru osy)

2.4 Steinerova

[ J

~

J ... moment setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose o

Js .•. moment

setrvačnosti vůči

těžištěm tělesa (os i l o)

m ... hmotnost tělesa

Rs ... vzdálenost os o a Os

2.5 Konigova

1 ² 1 ²

T =-mv +-J OJ

2 s 2 s odvození

Kinetická energie tělesa, které koná posuvný a otáčivý pohyb.

v ^{s ...} rychlost hmotného středu S

J • ... moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm tělesa

2.6

2.6.1 Fyzické kyvadlo

= těleso, které se otáčí kolem pevné vodorovné osy o neprocházející jeho hmotným

středem S

mg

dL - pro těleso otáčející se kolem pevné osy platí . . . -

=

dt

v táv ' d.Lo M ve smeru osy o ceru o . . . - -

=

dt Lo= Jo OJ

M₀ = - mglsinrp

15

! moment tíhové síly se snaží tělesem otáčet v opačném smyslu, než je smysl úhlu <p

J dm l .

o dt =-mg smtp /\

pro malé tp platí sin tp ~ tp

dtp .

úJ =-=tp ~

dt

„ mg! . O tp +- -smtp

=

Jo 0² =mg!

Jo

Q ... úhlová frekvence kmitů

řešení: tp

=

+a)

IP max, a ... konstanty, které určíme z počátečních podmínek

doba kmitu T= časový interval, po který se pohyb kyvadla opakuje

2.6.2 Matematické kyvadlo 2. 6 Příklady

= těleso, které má celou svou hmotnost m soustředěnou v jednom bodě a otáčí se na nehmotném závěsu (provázku), kolem osy o

J=ml²

m