Numerické řešení rovnice f (x) = 0
Jméno Příjmení
Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.L.
ročník, specializace
Abstrakt
Seminární práce se zabývá numerickým řešením rovnicef(x) = 0.
Jsou uvedeny metody, které vyžadují separaci (lokalizaci) kořenů: me- toda půlení intervalu a metoda regula falsi (sečen) a metody, které vy- žadují ”dobrý” odhad počáteční aproximace: iterační metoda a New- tonova metoda. Použití metod, jejich výhody a nevýhody jsou demon- strovány na několik příkladech.
1 Úvod
V praxi se často setkáváme s úlohou řešit rovnici
f(x) = 0 (1)
kde f(x) je reálná funkce proměnné x. Řešit rovnici (1) znamená nalézt všechna ξ, pro která platí
f(ξ) = 0 (2)
ξ nazýváme kořenem či řešením rovnice (1).
Jen málo rovnic typuf(x) = 0 lze řešit analyticky (např. algebraické rov- nice do 3. řádu). Většinou však musíme použít numerické (přibližné) metody
Řešit rovnici (1) numericky znamená navrhnout algoritmus přibližného řešení, při kterém získáme posloupnost aproximací
x0, x1, ..., xk, ... (3)
takovou, že
k→∞lim xk =ξ (4)
2 Teorie
Numerické metody pro řešení rovnice f(x) = 0 lze rozdělit na metody, které vyžadují separaci (lokalizaci) kořenů a metody, které vyžadují ”dobrý” odhad počáteční aproximacex0. Separovat kořeny znamená nalézt interval< a, b >, kde platí:
• f(a)f(b)<0,
• funkce f(x) je v intervalu spojitá a
• v intervalu leží jen jeden kořen ξ.
2.1 Metoda půlení intervalu
Metoda vyžaduje separaci kořenů. Základní myšlenkou je . . . Algoritmus lze zapsat jako . . .
2.2 Metoda regula falsi (sečen)
Metoda vyžaduje separaci kořenů. Základní myšlenkou je . . . Algoritmus lze zapsat jako . . .
2.3 Iterační metoda
Metoda vyžaduje ”dobrý” odhad počáteční aproximace x0. Základní myšlen- kou je . . . Algoritmus lze zapsat jako . . .
2.4 Newtonova metoda
Metoda vyžaduje ”dobrý” odhad počáteční aproximace x0. Základní myšlen- kou je . . . Algoritmus lze zapsat jako . . .
3 Výsledky a diskuze
Programy pro výpočet rovnice f(x) = 0 metodou půlení intervalu, metodou regula falsi (sečen), iterační metodou a Newtonovou metodou jsou uvedeny v Příloze. Numericky jsme řešili rovnice:
8x3−6x−1 = 0 (5)
x−sinx−π
4 = 0 (6)
3.1 Metoda půlení intervalu
Výsledky, počet iterací, přesnost . . .
3.2 Metoda regula falsi (sečen)
Výsledky, počet iterací, přesnost . . .
3.3 Iterační metoda
Výsledky, počáteční aproximace x0, počet iterací, přesnost . . .
3.4 Newtonova metoda
Výsledky, počáteční aproximace x0, počet iterací, přesnost . . .
4 Závěr
Shrnutí seminární práce . . .
Reference
[1] R. Černá, M. Machalický, J. Vogel, Č. Zlatník, Základy numerické ma- tematiky a programování (Bratislava, SNTL/ALFA, 1987).
