KVADRATICKÁ NEROVNICE
• Anulovaný tvar kvadratické nerovnice
Grafické řešení
P ř íklady
1. Řešte kvadratickou nerovnici x2 + 2x -15 < 0.
o sestrojíme kvadratickou funkci y = x2 - 5x + 6 ; V[-1; -16] o určíme proměnné x, pro které jsou funkční hodnoty záporné o zapíšeme pravdivostní hodnotu P = (-5; 3)
2. Řešte kvadratickou nerovnici -2x2 + 6x - 4,5 ≥ 0.
o y = -2x2 + 6x - 4,5 ; V[1,5; 0]
o určíme proměnné x, pro které jsou funkční hodnoty nezáporné
o zapíšeme pravdivostní hodnotu P {±7}
3. Řešte kvadratickou nerovnici 0,5x2 - x + 1,5 > 0.
o y = 0,5x2 - x + 1,5; V[1; 1]
o určíme proměnné x, pro které jsou funkční hodnoty kladné o zapíšeme pravdivostní hodnotu P = R
ax
2+ bx + c > 0 ax
2+ bx + c < 0 ax
2+ bx + c ≥ 0 ax
2+ bx + c ≤ 0 kde a, b, c ∈ R; a ≠ 0
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1 -0, 5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2 -1 0 1 2 3 4
Numerické řešení
P ř íklady
1. Řešte kvadratickou rovnici x2 - 5x - 24 > 0.
o rozložíme kvadratický trojčlen na součin lineárních činitelů (x - x1)(x - x2) > 0;
(D = b2 - 4ac;
a D x b
2 2
, 1
±
= − ) D = 121; x1 = -3, x2 = 8; (x + 3)(x - 8) > 0;
o řešíme nerovnici v součinovém tvaru a) x + 3 > 0 ∧ x - 8 > 0 ⇒ x > -3 ∧ x > 8 P1 = (8; ∞)
b) x + 3 < 0 ∧ x - 8 < 0 ⇒ x < -3 ∧ x < 8 P2 = (-∞; -3)
o určíme pravdivostní hodnotu sjednocením jednotlivých pravdivostních množin P = P2 ∪ P1 = (-∞; -3) ∪ (8; ∞)
2. Řešte kvadratickou rovnici -3x2 + 7x - 4 ≥0.
o upravíme na tvar -3(x2 - 3 7x +
3
4) ≥ 0 /.(
3
−1); x2 - 3 7x +
3 4≤ 0
o rozložíme kvadratický trojčlen na součin lineárních činitelů (x - x1)(x - x2) ≤ 0;
(D = b2 - 4ac;
a D x b
2 2
, 1
±
= − ) D =
9 1; x1 =
3
4, x2 = 1; (x - 3
4)(x - 1) ≤ 0 o řešíme nerovnici v součinovém tvaru
a) x - 3
4 ≥ 0 ∧ x -1 ≤ 0 ⇒ x ≥ 3
4 ∧ x ≤ 1 P1 = ∅
a) x - 3
4 ≤ 0 ∧ x -1 ≥ 0 ⇒ x ≤ 3
4 ∧ x ≥ 1
P2 = 〈1;
3 4〉
o určíme pravdivostní hodnotu sjednocením jednotlivých pravdivostních množin P = P1∪ P2 = ∅∪ 〈1;
3
4〉 = 〈1;
3 4〉
Vyzkoušejte se:
Příklad:
1. Určete všechna x ∈ R, pro která nabývají funkce nezáporných hodnot.
a) y = 5x2 - 12x + 3, x ∈ R b) y = -2x2 + 9,8x + 1, x ∈ R 2. Řešte v R nerovnice.
a) x2 - 2x + 1 < 0 b) 2x2 - 6x + 9 > 0 c) -3x2 + 5x - 2 ≤ 0 Řešení:
1. a) P = (-∞; 0,28〉 ∪ 〈2,12; ∞) b) P = 〈-0,1; 5〉
2. a) P = ∅ b) P = R c) P = (-∞;
3
2〉 ∪ 〈1; ∞)
-3 0 8
-3 0 8
0 1
3 4
0 1
3 4
