České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Bc. Tomáš Adámek

Automatizace zpracování experimentálních dat z měření

reaktivity a kalibrační křivky regulační tyče na reaktoru VR-1 a jej evaluace

Katedra jaderných reaktorů

Vedoucí diplomové práce: Ing. Tomáš Bílý, Ph.D.

Studijní program: Aplikace přírodních věd Studijní obor: Jaderné inženýrství

Praha 2021

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval(a) samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Tato práce nebyla využita k získání jiného nebo stejného titulu.

Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle §60 odst. 1 autorského zákona.

V . . . dne . . . . Podpis autora

Týmto by som chcel vyjadriť nesmiernu vďaku vedúcemu diplomovej práce Ing.

Tomášovi Bílemu, Ph.D. za užitočné pripomienky, ochotu a usmernenie pri písaní diplomovej práce.

Název práce: Automatizace zpracování experimentálních dat z měření reaktivity a kalibrační křivky regulační tyče na reaktoru VR-1 a jej evaluace

Autor: Bc. Tomáš Adámek

Katedra: Katedra jaderných reaktorů

Vedoucí diplomové práce: Ing. Tomáš Bílý, Ph.D.,

Abstrakt: Medzi najčastejšie experimenty vykonávané na reaktore VR-1 patrí meranie reaktivity metódami Rod-Drop a Source-Jerk a kalibrácia absorpčnej tyče metódou inverzných početností a metódou využívajúcou reaktimeter. Hlav- nou oblasťou záujmu tejto diplomovej práce je vývoj softvéru pre automatizáciu spracovania experimentálnych dát pochádzajúcich z uvedených experimentov a ich vyhodnotenie.

Klíčová slova: reaktivita, VR-1, kalibračná krivka, reaktimeter, váha absorpčnej tyče

Title: Automation of Experimental Data Processing from Measurements of Reac- tivity and Control Rod Calibration Curve at VR-1 reactor and their evaluation Author: Bc. Tomáš Adámek

Department: Department of Nuclear Reactors Supervisor: Ing. Tomáš Bílý, Ph.D.,

Abstract: The most common experiments performed on the VR-1 reactor are reactivity measurement by the Rod-Drop and Source-Jerk methods and control rod calibration by the inverse rates method and by the dynamic determination of control rod worth method. The main area of interest of this master’s thesis is the development of software for automation of experimental data processing originating from these experiments and their evaluation.

Keywords: reactivity, VR-1, calibration curve, reactimeter, control rod worth

Obsah

Zoznam použitých skratiek a symbolov 3

Slovník 5

Úvod 7

1 Prehľad problematiky detekcie neutrónového žiarenia 9

1.1 Interakcie neutrónového žiarenia s hmotou . . . 9

1.2 Ionizačné komory . . . 10

1.3 Režim detekcie . . . 13

1.4 Diskriminácia gama žiarenia . . . 16

1.5 Mŕtva doba . . . 16

2 Štatistický charakter detekcie neutrónov 19 2.1 Popis experimentálnych dát . . . 19

2.2 Štatistické modely . . . 19

2.3 Základné vlastnosti normálneho rozdelenia . . . 20

2.4 Základné vlastnosti Poissonovho rozdelenia . . . 22

2.5 Zákon šírenia chýb . . . 23

2.6 Metóda Monte Carlo . . . 24

3 Teoretický popis experimentálnych metód 27 3.1 Základné pojmy . . . 27

3.2 Určovanie reaktivity metódou Rod-Drop a Source-Jerk . . . 28

3.3 Kalibrácia absorpčnej tyče metódou inverzných početností . . . . 28

3.4 Kalibrácia absorpčnej tyče metódou využívajúcou reaktimeter . . 29

3.5 Korekcie . . . 29

4 Základný popis softvéru 31 4.1 Grafické používateľské rozhranie . . . 31

4.2 Vstupné súbory . . . 34

4.3 Výstupné súbory . . . 37

5 Nástroje 39 5.1 Expected Value of Constant Parameter Tool . . . 39

5.2 Background Tool . . . 51

5.3 Area Under Graph Tool . . . 52

6 Postup pri analýze experimentálnych dát 67 6.1 Meranie reaktivity metódami Rod-Drop a Source-Jerk . . . 67

6.2 Kalibrácia regulačnej tyče metódou inverzných početností . . . 72

6.3 Kalibrácia regulačnej tyče metódou využívajúcou reaktimeter . . . 82

6.4 Uvažované a zanedbané zdroje neistoty . . . 89

Záver 93

Seznam použité literatury 95

Zoznam obrázkov 97

Zoznam tabuliek 101

Zoznam príloh 102

A Výpočet neistoty reaktivity určovanej metódami Rod-Drop a

Source-Jerk 105

B Výpočet neistoty zmeny reaktivity určenej metódou inverzných

početností 109

C Overenie predpokladov metódy najmenších štvorcov pre výpočet

kalibračnej krivky 113

Zoznam použitých skratiek a symbolov

ACF autokorelačná funkcia

B(x) binomické rozdelenie pravdepodobnosti C kapacita (F)

D(x) rozptyl

E(x) stredná hodnota

F(x) rozdelenie pravdepodobnosti I priemerný elektrický prúd (A)

i(t) okamžitá hodnota elektrického prúdu (A) k_t(m) korekčná funkcia na mŕtvu dobu detektora m početnosť detegovaných udalostí (imp·s⁻¹)

M stredný počet rozpadov v sledovanom časovom intervale N(x) normálne rozdelenie pravdepodobnosti

n skutočná početnosť udalostí, odozva neutrónového detektora (imp·s⁻¹) N počet jadier rádionuklidu, odozva neutrónového detektora

N₀ počet jadier rádionuklidu v čase t= 0

p pravdepodobnosť rozpadu rádionuklidov vo zvolenom časovom intervale P(x) Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti

Q elektrický náboj (C) R elektrický odpor (Ω) s_n n-tý čiastočný súčet T čas odozvy detektora (s) t čas (s)

tc doba zberu náboja detektorom (s) u_X neistota merania veličiny X U elektrické napätie (V)

v rýchlosť (m·s⁻¹)

x¯ výberový priemer

x_i i-ta nameraná hodnota veličiny

λ stredná hodnota Poissonovho rozdelenia

λˆ odhad strednej hodnoty Poissonovho rozdelenia µ stredná hodnota normálneho rozdelenia

µˆ odhad strednej hodnoty normálneho rozdelenia ρ reaktivita

ρ₁ autokorelačný koeficient prvého rádu ρ_k autokorelačný koeficient rádu k

σ smerodajná odchýlka normálneho rozdelenia σ_I výstup Campbellovského režimu detekcie

σ_X mikroskopický účinný prierez pre interakciu X (m²) σ² rozptyl normálneho rozdelenia

σˆ² odhad rozptylu normálneho rozdelenia

τ časová konštanta detektora, mŕtva doba detektora (s) τ_n nekumulatívna mŕtva doba detektora (s)

τ_p kumulatívna mŕtva doba detektora (s)+

Slovník

chyba merania (measurement error) Nameraná hodnota veličiny mínus re- ferenčná hodnota veličiny (Úřad pro technickou normalizaci, 2010). 53 inštrumentálne chyby (instrument error) Sú spôsobené konštrukciou me-

racieho prístroja a určujú jeho kvalitu. (Meloun a Militký, 2004). 19 nameraná hodnota veličiny (measured quantity value) Hodnota veličiny

reprezentujúca výsledok merania (Úřad pro technickou normalizaci, 2010).

19

neistota merania (measurement uncertainty) Nezáporný parameter, kto- rý charakterizuje rozptýlenie hodnôt veličiny priradených k meranej veličine na základe použitej informácie (Úřad pro technickou normalizaci, 2010). 19 precíznosť merania (measurement precision) Tesnosť zhody medzi name- ranými hodnotami veličiny získanými opakovanými meraniami na rovnakom objekte alebo na podobných objektoch za špecifikovaných podmienok (Úřad pro technickou normalizaci, 2010). 19

výsledok merania (measurement result) Súbor hodnôt veličiny priradený meranej veličine spoločne s akoukoľvek ďalšou doustupnou relevantnou in- formáciou (vo všeobecnosti vyjadrený ako jedna (výsledná) nameraná hod- nota veličiny a neistota merania) (Úřad pro technickou normalizaci, 2010).

19

Úvod

Medzi najvýznamnejšie experimentálne zariadenia v Českej republike slúžiace k vzdelávacím účelom parí jadrový reaktor VR-1, ktorého prevádzkovateľom je České vysoké učení technické v Praze, konkrétne Katedra jaderných reaktorů.

Jedná sa o nulový ľahkovodný reaktor bazénového typu s obohateným uránom.

Špecifikom prevádzky takéhoto reaktora je pomerne častá prestavba aktívnej zóny, ktorá je spojená s experimentmi slúžiacimi k charakterizácii neutrónovo- fyzikálnych vlastností aktívnej zóny, zahŕňajúcich mimo iné vyhodnotenie váhy regulačných tyčí a ich kalibračných kriviek. V súčasnej dobe sú tieto experimenty analyzované experimentátormi, čo do výsledkov merania vnáša určitú variabilitu.

Jedným z cieľov tejto diplomovej práce je zoznámiť sa s meraním reaktivity metódami Rod-Drop a Source-Jerk a s kalibráciou absorpčnej tyče metódou in- verzných početností a metódou využívajúcou reaktimeter. Hlavným cieľom práce je navrhnúť a vytvoriť automatizovaný systém s grafickým používateľským roz- hraním, ktorý bude úžiť na spracovanie experimentálnych dát z vyššie uvedených metód, vrátane stanovenia neistoty nerania. Cieľom práce je aj rozšíriť vytvorený systém tak, aby poskytoval možnosť zavádzať rôzne korekčné faktory a možnosť posudzovať kvalitu experimentálnych dát.

Diplomová práca je rozdelená do šiestich kapitol, obsahuje tri prílohy a jej súčasťou je vytvorený systém vo forme softvéru s názvom VRABLAB. Prvé dve kapitoly majú spolu uviesť čitateľa do problematiky detekcie neutrónov. Prvá je venovaná prehľadu problematiky detekcie neutrónov a druhá je venovaná popisu štatistického charakteru detekcie neutrónov. V tretej kapitole je zhrnutý teore- tický popis experimentálnych metód a v jej záverečnej časti je stručne vysvetlená potreba zavádzať korekcie pri snahe aplikovať tieto metódy v praxi.

Štvrtá kapitola obsahuje základný popis grafického rozhrania,vstupných a vý- stupných súborov navrhnutého softvéru. V piatej kapitole sú popísané niektoré základné nástroje implementované do navrhnutého systému a konečne v šiestej kapitole je predstavené využitie systému pri spracovaní reálnych experimentál- nych dát.

Prílohy A a B sú venované overeniu použiteľnosti zákona šírenia chýb v jed- notlivých experimentoch. Príloha C je venovaná overeniu predpokladov metódy najmenších štvorcov v prípade kalibrácie absorpčnej tyče metódou využívajúcou reaktimeter.

1. Prehľad problematiky detekcie neutrónového žiarenia

Odozva detektora neutrónov v určitom mieste aktívnej zóny reaktora VR-1 je úmerná hustote toku neutrónov v danom mieste reaktora. Pri rôznych experimen- toch sa neutrónové detektory využívajú na sledovanie odozvy reaktora na zmeny reaktivity.

Cieľom tejto kapitoly je veľmi stručne uviesť problematiku interakcie neutró- nového žiarenia s hmotou (podkapitola 1.1), zhrnúť princíp fungovania plynových komôr a popísať rôzne režimy detekcie (podkapitoly 1.2 a 1.3) a uviesť proble- matiku diskriminácie gama žiarenia a mŕtvej doby detekčného systému v prípade impulzného režimu (podkapitoly 1.4 a 1.5).

1.1 Interakcie neutrónového žiarenia s hmotou

Neutróny sú elektricky neutrálne častice, takže s hmotou nemôžu interagovať elektromagneticky. Táto ich vlastnosť prakticky vylučuje interakciu neutrónov s elektrónovým obalom terčového atómu. Neutróny tak reagujú priamo s jadrami terčových atómov, ktoré sa často označujú ako terčové jadrá. Interakciou s terčo- vým jadrom môže neutrón zmeniť smer a energiu, alebo byť pohltený a nahradený inými časticami. Na rozdiel od gama žiarenia sa pri neutrónových interakciách zvyknú produkovať ťažké nabité častice (Knoll, 2000).

Neutróny môžu interagovať s terčovými jadrami viacerými spôsobmi (Lamarsh a Baratta, 2011):

Pružný rozptyl je proces, pri ktorom neutrón interaguje s terčovým jadrom, ktoré je takmer vždy v základom stave. Produktmi reakcie sú opäť neutrón a ter- čové jadro v základnom stave. Používa sa značenie (n,n).

Nepružný rozptyl je proces takmer identický ako pružný rozptyl s tým roz- dielom, že produktom reakcie je terčové jadro nie v základnom, ale v excitovanom stave. Toto jadro sa následne deexcituje za produkcie gama žiarenia. Používa sa značenie (n,n’).

Radiačný záchyt je proces, pri ktorom je neutrón zachytený v stabilnejšom terčovom jadre a prebytočná energia je vyžiarená vo forme gama žiarenia. Používa sa značenie (n,γ).

Produkcia nabitých častíc je súhrnný názov pre procesy, ktorých produktom je nabitá častica. Typickým príkladom sú reakcie produkujúce protón – značenie (n,p) alebo alfa časticu – značenie (n,α).

Reakcie produkujúce neutróny sú procesy typu (n,2n), (n,3n) . . .

Štiepenie je proces, pri ktorom interakcia neutrónu s terčovým jadrom spôsobí rozpad terčového jadra. Používa sa značenie (n,f).

Miera pravdepodobnosti interakcie X je vyjadrená veličinou mikroskopický účinný prierez pre interakciu X (m²) (σ_X).

1.2 Ionizačné komory

Na základe interakcií neutrónového žiarenia s hmotou popísaných v podkapi- tole 1.1 existuje viacero rôznych typov neutrónových detektorov, ktorých práca je založená na odlišnom princípe. V tejto podkapitole sa obmedzíme na popis plynových detektorov, konkrétne ionizačných komôr, ktoré sa používajú pri expe- rimentoch na reaktore VR-1, ktorým je venovaná táto práca.

Ionizačné komory sú jedny z najstarších a najpoužívanejších detektorov žia- renia. Princíp ich činnosti je založený na ionizácií molekúl plynu pozdĺž dráhy nabitej častice. Na rozdiel od neutrónov, nabité častice s hmotným prostredím interagujú elektromagneticky a tak strácajú energiu primárne ionizáciou. Inci- dentná častica pri prelete plynom ionizuje neutrálne molekuly a tým vzniká katión a voľný elektrón – tzv. iónový pár.

Na to, aby iónový pár mohol vzniknúť, musí mať incidentná častica minimálne energiu rovnú ionizačnej energii molekuly plynu. Vo väčšine plynov používaných v ionizačných komorách je ionizačná energia na úrovni 10 eV až 20 eV (Knoll, 2000). Keďže nabitá častica môže s plynnou náplňou interagovať aj inak než ionizáciou, priemerná deponovaná energia na jeden vzniknutý iónový pár je vždy vyššia než ionizačná energia.

Plynná náplň detektora sa nachádza v elektrickom poli. Na iónový pár tak pôsobia elektrostatické sily, ktoré zapríčiňujú presun elektrónu a katiónu k elek- tródam. Tento pohyb nábojov tvorí ionizačný prúd. Meraním ionizačného prúdu sa tak dajú detegovať incidentné nabité častice.

Detekcia neutrónov je založená na produkcii sekundárnych nabitých častíc.

Detektory sa principiálne skladajú z dvoch častí: terčového materiálu zabezpe- čujúceho konverziu neutrónu na nabité častice a samotného plynového detek- tora. Keďže pravdepodobnosť interakcie neutrónov s terčovými jadrami je závislá na energii nalietavajúceho neutrónu, pre rôzne energie neutrónov sa používajú rôzne materiály. V tejto podkapitole sa obmedzíme na popis detektorov používa- ných na detekciu tepelných¹ neutrónov, ktoré sú pre experimenty na tepelných reaktoroch najdôležitejšie.

Najčastejšie používanými detektormi sú bórové, héliové, lítiové a štiepne ko- mory. Na obrázku 1.2 sú znázornené závislosti mikroskopického účinného prierezu na energii pre reakcie ¹⁰B(n,α), ⁶Li(n,α) a ³He(n,p). Je vidieť, že v sledovanom energetickom intervale do 0,5 eV sú hodnoty mikroskopických účinných prierezov veľmi vysoké, riadiace sa 1/v závislosťou. Táto vlastnosť použitých materiálov umožňuje konštrukciu detektorov pomerne malých rozmerov.

1Za tepelné neutróny sa väčšinou považujú neutróny s energiou do 0,5 eV.

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ Energia neutrónu [eV]

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶

0,5 eV

10B(n, ) 6Li(n, ) 3He(n,p)

Obr. 1.1: Porovnanie závislostí mikroskopických účinných prierezov na energii neutrónu diskutovaných reakcií (knižnica JEFF-3.3).

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

Energia neutrónu [eV]

10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

0,5 eV

233U(n,f) 235U(n,f) 239Pu(n,f)

Obr. 1.2: Porovnanie závislostí mikroskopických účinných prierezov pre štiepenie na energii neutrónu (knižnica JEFF-3.3).

Bórová komora

Pre konverziu neutrónu na nabitú časticu sa v bórových komorách využíva

10B(n,α) reakcia, ktorá môže byť napísaná v tvare:

10

5B +¹0n =

⎧

⎨

⎩

7

3Li +⁴2α 2,792 MeV (základný stav),

7

3Li^∗+⁴2α 2,310 MeV (excitovaný stav). (1.1) Asi v 94 % prípadov tepelný neutrón spôsobí reakciu produkujúcu lítium v exci- tovanom stave. Energia nalietavajúceho neutrónu je v porovnaní s uvoľnenou energiou v oboch prípadoch zanedbateľná. Nie je teda možné takýmto spôsobom získať informáciu o pôvodnej energii neutrónu. Podiel ¹⁰B v prírodnom bóre je asi 19,8 %, čo umožňuje využiť v detektoroch prírodný bór bez nutnosti obohaco- vania. Bór sa v detektoroch nanáša buď na vnútornú stranu steny komory, alebo sa používa priamo plynná náplň vo forme BF3 (Knoll, 2000).

Bórové komory SNM-12 sa používajú pri meraniach na reaktore VR-1 v ka- náloch nezávislej výkonovej ochrany (Rataj a kol., 2016).

Lítiová komora

Pre konverziu neutrónu na nabitú časticu sa v lítiových komorách využíva

6Li(n,α) reakcia, ktorá môže byť napísaná v tvare:

6

3Li +¹0n = ³1H +⁴2α 4,78 MeV. (1.2) Podiel ⁶Li v prírodnom lítiu je asi 7,4% (Knoll, 2000).

Héliová komora

Pre konverziu neutrónu na nabitú časticu sa v héliových komorách využíva

3He(n,p) reakcia, ktorá môže byť napísaná v tvare:

3

2He +¹0n = ³1H +¹1p 0,764 MeV. (1.3) Hélium ³He je dostupný materiál ale jeho relatívne vysoká cena limituje jeho použitie (Knoll, 2000).

Štiepne komory

V štiepnych komorách sa na detekciu tepelných neutrónov využíva štiepe- nie ²³³U, ²³⁵U a ²³⁹Pu vďaka ich vysokému mikroskopickému účinnému prierezu v tejto oblasti. V porovnaní s ionizáciou v ionizačných komorách je energia uvoľ- nená pri štiepení v štiepnych komorách mnohonásobne vyššia, približne 200 MeV.

Vysoká energia reakcie spôsobí výstupný pulz, ktorý je rádovo vyšší ako pulz od parazitických reakcií gama žiarenia. Týmto spôsobom sa dá získať veľmi čistý diskriminovaný signál (Knoll, 2000).

Štiepne komory RJ-1300 sa používajú pri experimentoch na reaktore VR-1 v kanáloch prevádzkového merania výkonu (Rataj a kol., 2016).

1.3 Režim detekcie

Výsledkom interakcie neutrónu s terčovým materiálom detektora je vznik elek- trického náboja Q vo vnútri aktívnej časti detektora. Základom zjednodušenej predstavy fungovania detektora, popisovanej napríklad v literatúre (Knoll, 2000), je predstava okamžitého vzniku tohto náboja v čase t = 0. Aktívna časť objemu detektora sa nachádza v elektrickom poli, ktoré umožňuje zber náboja. Doba zberu náboja t_c závisí na type a geometrii detektora a mobilite nosičov náboja.

V takomto zjednodušenom prípade je odozva detektora na neutrón, odčítaná ako prúd i(t), zobrazená na obrázku 1.3, kde:

∫︂ tc

0

i(t) dt=Q. (1.4)

i(t)

t_c t

Obr. 1.3: Schéma odozvy detektora na neutrón.

V praktických aplikáciach v detektore interaguje veľké množstvo častíc. Prú- dové pulzy od jednotlivých detegovaných častíc sa líšia v amplitúde aj v čase, ktorý trvajú. V tejto podkapitole bude diskutovaný zjednodušený prípad, kedy je čas medzi jednotlivými pulzmi dostatočne dlhý na jednoznačné rozlíšenie pul- zov. Prípadom, v ktorých tento zjednodušený predpoklad neplatí je venovaná podkapitola 1.5.

Pre modelovanie operácie detektora je vhodné rozlišovať tri základné režimy detekcie:

• prúdový režim,

• impulzný režim,

• Campbellovský režim.

Prúdový režim detekcie

Najjednoduchšou možnosťou operácie detektora je prúdový režim. V tomto režime sú zaznamenané všetky pulzy a odozvou detektora je stredná hodnota za čas odozvy detektora. Prúdový režim nachádza uplatnenie v experimentoch, pri ktorých je postačujúca znalosť intenzity pôvodného žiarenia. Výstupný prúd je v detektore meraný najčastejšie pikoampérmetrom pripojeným na výstupné svorky detektora, viď obrázok 1.4. (Knoll, 2000)

Nech T je čas odozvy detektora, potom odozva detektora na sériu udalostí, viď obrázok 1.5, bude elektrický prúd:

I(t) = 1 T

∫︂ t

t−T i(t^′) dt^′. (1.5)

Detektor A

Obr. 1.4: Schéma zapojenia v prúdovom režime.

i(t)

t I(t)

Obr. 1.5: Princíp prúdového režimu.

Keďže čas odozvy detektora T je zvyčajne dlhý v porovnaní s priemerným časom medzi jednotlivými prúdovými pulzmi, odozvou detektora pracujúceho v prúdovom režime je priemerný prúd, ktorý závisí na súčine frekvencie interakcií a náboja na jednu interakciu.

Podrobnejší popis operácie detektora v prúdovom režime je uvedený v litera- túre (Knoll, 2000).

Impulzný režim detekcie

Impulzný režim detekcie neutrónov je navrhnutý tak, aby detektor zazname- nával jednotlivé interakcie. Zaznamenávaný je zvyčajne časový integrál každého pulzu (1.4), pretože celkový elektrický náboj, ktorý vznikne v aktívnej časti de- tektora po interakcii neutrónu s terčovým materiálom je úmerný deponovanej energii. Tento režim sa zvyčajne využíva v radiačnej spektroskopii. Rovnako de- tektory počas experimentov na VR-1, ktorým je táto práca venovaná, pracujú v impulznom režime.

Tvar signálu odozvy detektora závisí na obvode v ktorom je detektor pripo- jený. Ekvivalentný obvod je znázornený na obrázku 1.6. Vo väčšine prípadov je signál vo forme časovo závislého napätiaU(t) na ekvivalentnom odporeR. Časová konštanta detektoraτ závisí na ekvivalentnej kapaciteC a ekvivalentnom odpore R podľa vzťahu (Knoll, 2000):

τ =RC. (1.6)

Podľa veľkosti časovej konštanty rozlišujeme dva extrémne prípady.

Detektor V

Obr. 1.6: Schéma zapojenia v impulznom režime.

V prvom prípade je časová konštanta detektora (obvodu) τ malá v porovnaní s dobou zberu náboja t_c. Prúd prechádzajúci odporom R je v tomto prípade rovný prúdu prechádzajúcemu aktívnou časťou detektora. Tvar napäťového pulzu

je takmer identický ako tvar prúdového pulzu v aktívnej časti detektora, viď obrázok 1.7. (Knoll, 2000)

V druhom prípade je časová konštanta detektora (obvodu)τ veľká v porovnaní s dobou zberu nábojat_c. OdporR v obvode je natoľko veľký, že do určitej miery bráni okamžitému prechodu prúdu obvodom a to spôsobí nabíjanie kondenzátora.

Následne sa kondenzátor vybíja, viď obrázok 1.7. (Knoll, 2000)

Čas dosiahnutia maxima napäťového pulzu v tomto prípade závisí na čase zberu náboja v aktívnej časti detektora. Čas prechodu napätia z maximálnej na nulovú hodnotu závisí na časovej konštante obvodu, viď vzťah (1.6). Amplitúda pulzu je daná ako (Knoll, 2000):

U_max = Q

C. (1.7)

Keďže kapacita je vlastnosťou elektroniky, výška pulzu závisí na zozbieranom náboji.

i(t)

t U(t)

t U(t)

t U_max

t_c (a)

(b)

(c)

Obr. 1.7: Odozva (a) aktívnej časti detektora, (b) detektora s malou časovou konštantou a (c) detektora s veľkou časovou konštantou pracujúceho v impulznom režime.

V praktických aplikáciách sa častejšie používa druhý prípad. Hlavnou výho- dou impulzného režimu oproti prúdovému režimu je jeho citlivosť na jednotlivé udalosti. Každý neutrón je v impulznom režime reprezentovaný jedným pulzom.

Campbellovský režim detekcie

Detektor pracujúci v Campbellovskom režime detekcie pracuje podobne ako detektor v režime prúdovom. Rozdielom je blokovanie konštantnej časti prúdového signálu a prepúšťaní iba fluktuujúcej zložky. (Knoll, 2000)

Tento režim nachádza uplatnenie v aplikáciách, kedy detektor zaznamenáva zmiešanú radiáciu, v ktorej náboj generovaný jedným typom žiarenia je dosta- točne rozdielny od náboja generovaného druhým typom žiarenia. V prípade prú- dového režimu by boli tieto žiarenia zmiešané vo výstupnom prúdovom signále.

Výstupom Campbellovského režimu je veličinaσ_Iúmerná druhej mocnine náboja každej udalosti, preto je v tomto režime odozva detektoru vážená v prospech žiarenia, ktoré generuje vyšší náboj na jednu udalosť. (Knoll, 2000)

1.4 Diskriminácia gama žiarenia

Okrem neutrónového žiarenia vzniká v jadrových reaktoroch aj žiarenie gama, ktoré na elektródach ionizačných komôr tvorí parazitický signál. Dôležitou súčas- ťou elektroniky ionizačných komôr je preto schopnosť diskriminácie týchto dvoch žiarení. Ako bolo diskutované v podkapitole 1.2, štiepne komory diskrimináciu za- bezpečujú inherentne, preto má táto diskriminácia pre aplikácie na VR-1 význam najmä pri práci s bórovými komorami.

Fotóny gama žiarenia interagujú predovšetkým v stenách komory za vzniku sekundárnych elektrónov, ktoré v plyne strácajú energiu ionizáciou. Keďže elek- tróny strácajú v plyne iba malé množstvo energie, gama žiarenie sa dá diskrimino- vať na základe amplitúdy pulzu. V prípade, že je tok fotónov gama príliš vysoký, vysoká početnosť zaznamenaných gama pulzov môže spôsobiť ich zloženie a de- tektor tak zaznamená pulz vyššej amplitúdy. V takomto prípade je môže pomôcť zvoliť menšiu časovú konštantu detektora, ktorá však môže nepriaznivo ovplyvniť detekciu neutrónov, pretože kratší časový interval môže mať za následok neúplný zber náboja pochádzajúceho z interakcie neutrónu. Pri veľmi vysokých tokoch gama fotónov môže plynná náplň BF3 podliehať chemickým zmenám vplyvom disociácie molekúl, ktoré môžu viesť k deformácii amplitúdy pulzu. V prípade závažnej degradácie plynnej náplne môže detektor stratiť schopnosť rozlíšiť ne- utróny a gama fotóny. V extrémnych prípadoch môže degradácia viesť k perma- nentnému poškodeniu detektora. (Knoll, 2000)

1.5 Mŕtva doba

Na rozlíšenie dvoch pulzov pochádzajúcich od dvoch rôznych udalostí je spra- vidla nutné aby boli tieto udalosti oddelené určitým minimálnym časovým inter- valom, tzv. mŕtvou dobou detektora. Veľkosť tohto intervalu môže vychádzať buď z konštrukcie detektora samotného alebo z pridruženej elektroniky.

Kvôli náhodnej povahe jadrových procesov vždy existuje pravdepodobnosť straty informácie kvôli výskytu udalosti v detektore po príliš krátkej dobe po pred- chádzajúcej udalosti, kedy detektor tieto dve udalosti nedokáže rozlíšiť. Straty zapríčinené mŕtvou dobou majú značný význam v prípadoch s vysokou počet- nosťou udalostí. Merania v takýchto podmienkach preto spravidla musia prejsť korekciou na mŕtvu dobu detektora.

Pre zohľadnenie strát zapríčinených mŕtvou dobou detektora sa používajú dva idealizované modely detekčného systému: kumulatívny a nekumulatívny.

Ilustrácia odozvy detekčného systému v prípade kumulatívneho a nekumula- tívneho modelu je znázornená na obrázku 1.8. Vo vrchnej časti obrázka (a) je

t

t

t τ

(a)

(b)

(c)

Obr. 1.8: Ilustrácia odozvy kumulatívneho (b) a nekumulatívneho (c) modelu detekčného systému na udalosti (a) v detektore.

znázornených časový sled šiestich udalostí. V spodnej časti obrázka (c) je znázor- nená odozva nekumulatívneho modelu detekčného systému na jednotlivé udalosti.

Po každej udalosti nasleduje konštantný časový interval τ reprezentujúci mŕtvu dobu detektora. Udalosti zobrazené v časti (a), ktoré sa vyskytnú počas tohto in- tervalu nemajú žiadny efekt na detektor a informácia o nich je stratená. V strednej časti obrázka (b) je znázornená odozva kumulatívneho modelu detekčného sys- tému na jednotlivé udalosti za predpokladu rovnakej konštantnej mŕtvej doby τ ako v prípade (c). Informácia o udalostiach vyskytujúcich sa počas mŕtvej doby je stratená rovnako ako v prípade nekumulatívneho modelu. Rozdiel medzi dis- kutovanými dvomi modelmi je v tom, že kumulatívny model predlžuje dobu, po ktorú nemožno detegovať nový impulz. Tento rozdiel je vidieť v odozve detek- tora na triplet udalostí v pravej časti obrázku (a). Zatiaľ čo kumulatívny model detektoru je schopný zachytiť kvôli dvojnásobnému predĺženiu mŕtvej doby iba jednu udalosť, nekumulatívny model zachytí udalosti dve. Z obrázka 1.8 je vidieť, že diskutované dva modely sa líšia iba v prípade vysokých početností udalostí.

Skutočný detekčný systém je spravidla na rozmedzí týchto dvoch modelov.

Za predpokladu, že čas merania je dostatočne dlhý na to, aby bolo možné vyšetrovať priemerné početnosti skutočných n a detegovaných m interakcií platí podľa literatúry (Knoll, 2000) pre kumulatívnu mŕtvu dobu:

n= m

1−mτ (1.8)

a pre nekumulatívnu mŕtvu dobu:

m=ne^−nτ. (1.9)

Náčrt závislosti početnosti detegovaných udalostí na skutočnej početnosti udalostí pre kumulatívny a nekumulatívny model detektora, podľa vzťahov (1.8)

m

n 1/τ e

1/τ

m₁

n₁ 1/τ n₂

m=n

Nekumulatívny m.

Kumulatívny m.

Obr. 1.9: Náčrt závislosti početnosti detegovaných udalostí na skutočnej počet- nosti udalostí pre kumulatívny a nekumulatívny model detektora.

a (1.9), je znázornený na obrázku 1.9. Pre nízke početnosti udalostímdávajú oba modely zhodné výsledky blížiace sa ideálnemu detektoru. Pre vysoké početnosti udalostí sa nekumulatívny model asymptoticky blíži k priamke:

m= 1 τ,

ktorá reprezentuje prípad, v ktorom sa doba medzi jednotlivými udalosťami blíži mŕtvej dobe. V kumulatívnom modeli nastáva maximum odozvy m a pre veľmi vysoké početnostin sa mŕtva doba predlžuje. Nízka odozvam₁ detektora pracu- júceho blízko v kumulatívnemu modelu môže znamenať nízku početnosť udalostí n₁, ale môže znamenať aj príliš vysokú početnosť udalostín₂. Predísť nesprávnej interpretácii sa v takomto prípade dá porovnaním odozvy po zmene početnosti n. (Knoll, 2000)

Pre nízke početnosti udalostí n sa podľa (Knoll, 2000) dá použiť zhodná ap- roximácia pre oba vzťahy (1.8) a (1.9):

m=n(1−nτ). (1.10)

Ako už bolo spomenuté, detekčný systém väčšinou nie je presne popísaný jedným modelom mŕtvej doby, ale skôr kombináciou oboch diskutovaných mode- lov. Kumulatívna mŕtva doba je často spojená so samotnou detekciou udalostí a nekumulatívna doba zase s elektronikou (Bílý a Keltnerová, 2019). Pre sériu kumulatívnych mŕtvych dôb predradenú nekumulatívnej mŕtvej dobe je v práci (Palacios, 2014) odvodený vzťah:

m = n

(︂1−^τ_τ^p

n

)︂nτ_ne^nτp, (1.11)

kde τ_n je nekumulatívna mŕtva doba a τ_p je kumulatívna mŕtva doba.

Mŕtva doba nemusí byť jediný zdroj nelineárneho správania sa detekčného systému. Navyše, ak uvážime kombináciu oboch modelov, je v praxi častejšie stanovenie tzv. korekčnej funkcie na mŕtvu dobu detektora, k_t(m), definovanej vzťahom:

n=kt(m)·m. (1.12)

2. Štatistický charakter detekcie neutrónov

Rádioaktívny rozpad je náhodný proces. Každé meranie založené na pozo- rovaní rozpadov atómových jadier je preto ovplyvnené štatistickou fluktuáciou, ktorá je v meraní zdrojom neistoty.

Cieľom tejto kapitoly je popísať formalizmus použitý pri štatistickom spra- covaní experimentálnych dát, zhrnúť základné štatistické vlastnosti neutrónov a naznačiť prístup používaný pri odhade precíznosti meraní.

2.1 Popis experimentálnych dát

Cieľom merania je stanoviť hodnotu meranej veličiny. Väčšina experimentál- nych dát, ktorých spracovanie je cieľom tejto práce, je výsledkom merania detek- torom neutrónov. Nameranou hodnotou veličiny x_i bude preto vo väčšine prípa- dov odozva detektora neutrónov. Vzhľadom na to, že pri meraniach, ktorým sa práca venuje sú inštrumentálne chyby typicky zanedbateľné, vstupom z ktorého bude štatistickým spracovaním vyhodnotený výsledok merania bude spravidla množina:

{x_i}={x₁, x₂, x₃. . . x_N},

kde x_i je i-ta nameraná hodnota veličiny. Častým parametrom vyhodnocovaným zo súboru {x_i} je výberový priemer, pre ktorý bude v ďalšom texte používané značenie:

x¯ = ^∑︁Ni=1x_i N .

2.2 Štatistické modely

Vzhľadom na štatistické fluktuácie sú jednotlivé hodnoty x_i náhodné, ria- diace sa určitým rozdelením pravdepodobnosti F(x). Podľa toho, akým rozdele- ním pravdepodobnosti sa x_i riadia, hovoríme o rôznych štatistických modeloch.

Pri experimentoch sa predpokladá väčšinou jedno z troch základných rozdelení:

binomické, Poissonovo alebo normálne. Predpokladaný štatistický model musí byť zohľadnený pri spracovaní nameraných dát.

Binomické rozdelenie je najvšeobecnejší prípad z troch spomínaných štatistic- kých modelov. NechN₀ je počet jadier rádionuklidu v časet= 0, apje pravdepo- dobnosť rozpadu rádionuklidu vo zvolenom časovom intervale. Pravdepodobnosť B(x), že vo zvolenom časovom intervale sa rozpadne práveN jadier rádionuklidu, je daná binomickým rozdelením:

B(N) = N₀!

(N₀−N)!N!p^N(1−p)^N0−N. (2.1) Nevýhodou binomického rozdelenia je jeho výpočtová náročnosť pri veľkých množstvách jadier rádionuklidov v jadrových aplikáciách a tak je používané iba výnimočne (Knoll, 2000).

Vo väčšine jadrových aplikácií je pravdepodobnosť nastania sledovaného javu malá p→0 a počet jadier veľkýN₀ → ∞. V takom prípade je možné binomické rozdelenie aproximovať rozdelením Poissonovym:

P(N) = (pN₀)^N ·e^pN0

N! = M^N ·e^M

N! , (2.2)

kde M =pN₀ je stredný počet rozpadov v sledovanom časovom intervale.

Okrem spomínaných dvoch predpokladov p → 0 a N₀ → ∞ často platí, že stredná hodnota rozdelenia je veľká¹ a tak je možné ďalšie matematické zjedno- dušenie, ktoré dáva normálne rozdelenie:

N(N) = 1 σ√

2πexp

[︄

−(N −µ)² 2σ²

]︄

, (2.3)

kde

µ=M, (2.4)

σ =√

µ. (2.5)

Porovnanie normálneho a Poissonovho rozdelenia je vykreslené na obrázku 2.1.

2.3 Základné vlastnosti normálneho rozdelenia

Vo väčšine jadrových aplikácií sa vstupný súbor dát riadi normálnym roz- delením. Pokiaľ množina {xi} reprezentuje opakované meranie jednej veličiny, napríklad ak hodnoty x_i sú hodnoty odozvy neutrónového detektora na ustálený stav reaktora v aktívnej zóne, sú hodnoty x_i náhodné čísla riadiace sa jedným normálnym rozdelením N(x) s parametrami µ a σ. Pokiaľ množina {xi} repre- zentuje napríklad vývoj odozvy detektora neutrónov pri meniacom sa výkone reaktora, sú hodnoty x_i náhodné čísla riadiace sa normálnym rozdelením N(x), pričom každej z hodnôt xi prislúchajú rôzne parametre µi a σi. Na obrázku 2.2 sú vykreslené tri normálne rozdelenia s ôznymi smerodajnými odchýlkami.

Nech množina {x_i}reprezentuje nezávislé prvky pochádzajúce z jedného nor- málneho rozdelenia N(x), kde pre strednú hodnotu a rozptyl platí:

E(x) =µ, D(x) =σ².

Dá sa ukázať², že najlepší odhad strednej hodnotyµˆ rozdeleniaN(x) je výberový priemer:

µˆ =x¯. (2.6)

Pre rozptyl odhadu strednej hodnoty N(x) platí³: D(µˆ) = σ²

N. (2.7)

1Podľa (Knoll, 2000) je táto podmienka približne splnená, pokiaľµ >20 alebo 30.

2Viď (Meloun a Militký, 2004), odkiaľ sú prevzaté vzťahy (2.6) až (2.10).

3Odmocnina z rozptylu sa nazýva štandardná alebo smerodajná odchýlka. Parameter√︁

D(µˆ) sa často nazýva štandardná alebo smerodajná odchýlka aritmetického priemeru.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Nezávislá premenná

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Hustota pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie Poissonovo rozdelenie

Obr. 2.1: Porovnanie normálneho a Poissonovho rozdelenia so strednou hodnotou 10.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Nezávislá premenná 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Hustota pravdepodobnosti

=0, =0,5

=0, =1,0

=0, =1,5

Obr. 2.2: Porovnanie troch normálnych rozdelení s rôznymi hodnotami smerodaj- nej odchýlky.

Tabuľka 2.1: Konštrukcia intervalov spoľahlivosti (Rataj a kol., 2016).

k interval spoľahlivosti

0,657 50 %

1 68,3 %

1,645 90 %

1,960 95 %

2 95,4 %

3 99,7 %

Rovnako sa dá ukázať, že najlepší (nevychýlený) odhad rozptylu σˆ² rozdelenia N(x) je:

σˆ² = 1 N −1

N

∑︂

i=1

(x_i−µ)². (2.8)

Pre rozptyl odhadu rozptylu N(x) platí:

D^(︂σˆ^2)︂= 2σ⁴

N . (2.9)

V praktických aplikáciách µnie je známa a nahrádza sa µˆ.

Približne 95 % prvkov zo súboru {x_i} sa bude nachádzať v intervale:

(︄

x¯−2 σ

√N

)︄

≤µ≤

(︄

x¯ + 2 σ

√N

)︄

. (2.10)

Pre presnejšiu konštrukciu intervalov spoľahlivosti sa namiesto číslom 2 vo vzťahu (2.10) násobí štandardná odchýlka aritmetického priemeru parametrom k z ta- buľky 2.1.

V prípade jadrových interakcií, kedy je normálne rozdelenie uvažované ako štatistický model vzniknuvší z Poissonovho (a binomického) rozdelenia tak, ako bolo popísané v podkapitole 2.2, je rozptyl daný ako vzťahom (2.5), tak vzťa- hom (2.7) (do ktorého sa dosadí z (2.8)). V prípade dokonale presného merania a nekonečne mnoho prvkov v súbore{x_i}, sú tieto hodnoty konzistentné.

2.4 Základné vlastnosti Poissonovho rozdelenia

Ako bolo prezentované v podkapitole 2.2, normálne rozdelenie je aproximá- ciou Poissonovho rozdelenia pre veľkú strednú hodnotu súboru. V prípadoch, v ktorých táto podmienka nie je splnená, typicky pri meraní pozadia, je korektné predpokladať namiesto normálneho Poissonovo rozdelenie. Pokiaľ množina {x_i} reprezentuje opakované meranie jednej veličiny, napríklad ak hodnoty x_i sú hod- noty odozvy neutrónového detektora na pozadie, sú hodnoty x_i náhodné čísla riadiace sa jedným Poissonovym rozdelením P(x) s parametrom λ. Pokiaľ mno- žina{x_i}reprezentuje napríklad vývoj odozvy detektora neutrónov pri meniacom sa malom⁴ výkone reaktora, sú hodnotyx_i náhodné čísla riadiace sa Poissonovym rozdelením P(x), pričom každej z hodnôtx_i prislúcha rôzneλ_i.

4Veľkosť záleží na časovom kroku merania, predpokladajme v súlade s (Knoll, 2000), že veľkosť výkonu pre uváženie Poissonovho rozdelenia bude pri danom časovom kroku taká, aby stredná hodnota odozvy detektora bola menšia ako 20 alebo 30.

Nech množina {x_i} reprezentuje nezávislé prvky pochádzajúce z jedného Po- issonovho rozdelenia P(x), kde pre strednú hodnotu a rozptyl platí:

E(x) = λ, D(x) =λ.

Hodnoty x_i sú celé čísla z množiny {k₁, k₂. . . k_K}. Na základe meraní x_i sa pre rôzne hodnoty k_j určia počty n_kj prvkov x_i s hodnotou k_j. Dá sa ukázať, že najlepší odhad strednej hodnoty λˆ rozdeleniaP(x) je vážený priemer (Meloun a Militký, 2004):

λˆ = ^∑︁Kj=1k_jn_kj

N . (2.11)

Pre rozptyl odhadu strednej hodnotyP(x) platí (Meloun a Militký, 2004),:

D^(︂λˆ^)︂= λ

N. (2.12)

2.5 Zákon šírenia chýb

Výsledkom priameho merania detektorom neutrónov je vo väčšine prípadov odhad strednej hodnoty normálneho rozdelenia (µˆ) a odhad rozptylu normálneho rozdelenia (σˆ²), ^{︂µˆ,σˆ^2}︂. Vo väčšine prípadov je výsledok experimentu ^{︂Y¯,u²_Y^}︂

funkciou niekoľkých priamych meraní s výsledkami ^{︂X¯_i,u²_X

i

}︂:

Y =f(X1, X2, X3, . . . , XN), (2.13) kde Y a X_i sú experimentálne zisťovaná veličina a nezávislé veličiny. Celková neistotau_Y strednej hodnotyY¯ sa určí zákonom⁵ šírenia chýb. Neistotaumá vý- znam smerodajnej odchýlky normálneho rozdelenia. Zákon šírenia chýb vychádza z metódy Taylorovho rozvoja popísanej v (Meloun a Militký, 2004), kde sú popí- sané aj alternatívne metódy. V tejto práci sa okrem metódy Taylorovho rozvoja nachádza aj podkapitola venovaná metóde Monte Carlo.

Zákon šírenia chýb sa často používa v obmedzených zjednodušených formách, ktoré platia za určitých predpokladov. Tieto bývajú často nesprávne považované za platné bez akéhokoľvek overenia. Z dôvodu prehľadnosti a snahe predísť ne- správnemu použitiu je v tejto práci namiesto všeobecného znenia rozdelené pou- žitie zákona šírenia chýb na tri najčastejšie prípady.

Prípad 1: Lineárna kombinácia nezávislých premenných

Častým a najjednoduchším prípadom v jadrových aplikáciách je, že funkciaf z rovnice (2.13) má tvar lineárnej kombinácie veličínX_i. Stredná hodnota meranej veličiny je potom:

Y¯ =^∑︂N

i=1

aiX¯_i, (2.14)

5Názov „Zákon šírenia chýb“ je bežne používaný názov (viď. napr. (Knoll, 2000; Rataj a kol., 2016)) ale z hľadiska používanej terminológie prevzatej z (Úřad pro technickou normalizaci, 2010) je nekonzistentný. V niektorých publikáciách (viď. napr. (Ellison a Williams, 2012; Taylor a Kuyatt, 1994)) je preto použitý názov „Law of Propagation of Uncertainty“, ktorý by sme v súlade s používanou terminológiou mohli preložiť ako „Zákon šírenia neistôt“.

kdea_i sú konštanty. Lineárna kombinácia nezávislých náhodných premenných ria- diacich sa normálnym rozdelením sa tiež riadi normálnym rozdelením. V takomto prípade je neistota daná vzťahom:

u_Y =

⌜

⃓

⃓

⎷

N

∑︂

i=1

a²_iu²_Xi. (2.15)

Prípad 2: Nelineárna kombinácia nezávislých premenných

Druhým najjednoduchším prípadom je, že funkcia f z rovnice (2.13) je síce nelineárna, ale hodnoty Xi sú stále nezávislé. Podľa (Meloun a Militký, 2004) každá nelineárna transformácia náhodnej premennej skreslí jej rozdelenie a zmení závislosť rozptylu na strednej hodnote. Dôležité je tiež, že strednú hodnotuY¯ nie je možné určiť dosadením do f:

Y¯ ̸=f^(︂X¯₁, X¯₂, X¯₃, . . . , X¯_N^)︂.

Pre strednú hodnotu Y¯ a neistotu uY sa dá za predpokladu nezávislosti Xi

odvodiť (Meloun a Militký, 2004):

Y¯ =f^(︂X¯₁, X¯₂, X¯₃, . . . , X¯_N^)︂+ 1 2

N

∑︂

i=1

∂f²

∂X_i²u²_X

i, (2.16)

u_y =

⌜

⃓

⃓

⎷

N

∑︂

i=1

(︄ ∂f

∂X_i

)︄2

u²_Xi (2.17)

Vo veľkom množstve prípadov (napríklad súčin/podiel) je člen so sumou v rovnici (2.16) nulový.

Prípad 3: Nelineárna kombinácia závislých premenných

Všeobecne sa podľa (Meloun a Militký, 2004) dá stredná hodnota a jej neistota vyjadriť ako:

Y¯ =f^(︂X¯₁, . . . , X¯_N^)︂+1 2

N

∑︂

i=1

∂f²

∂X_i²u²_Xi+^N−1∑︂

i=1 N

∑︂

j=i+1

∂f²

∂X_iX_jcov (Xi,Xj), (2.18)

u_y =

⌜

⃓

⃓

⃓

⎷

N

∑︂

i=1

(︄ ∂f

∂X_i

)︄2

u²_Xi+ 2^N∑︂−1

i=1 N

∑︂

j=i+1

∂f

∂X_i

∂f

∂X_jcov (X_i,X_j). (2.19)

2.6 Metóda Monte Carlo

V predchádzajúcich kapitolách boli diskutované tri najpoužívanejšie štatis- tické modely, ktorými sa zvyčajne riadia dáta v jadrových aplikáciách. V pod- kapitole 2.5 bol prezentovaný najčastejšie používaný prístup pre odhad neistoty nepriamych meraní. Vo väčšine prípadov je tento prístup dobre použiteľný aj s diskutovanými zjednodušeniami. Dvomi najvážnejšími prípadmi, v ktorých pres- nosť odhadnutej strednej hodnoty meranej veličiny a jej neistoty môže byť nižšia ako je žiadúce sú:

• funkciaf z rovnice (2.13) nie je dostatočne dobre aproximovateľná kvadra- tickou funkciou,

• veličiny X_i merané priamo sa neriadia normálnym rozdelením.

Princíp metódy Monte Carlo spočíva v generovaní pseudonáhodných čísel ria- diacich sa požadovaným rozdelením. Tieto sú vstupom do modelu merania, z ktorého sa vypočíta štatistický model výstupnej veličiny. Postup tejto metódy je pomerne jednoduchý a dá sa zhrnúť nasledovne:

Zvolí sa model merania podľa rovnice (2.13). Častým príkladom v jadrových aplikáciách môže byť odčítanie pozadia od odozvy detektora pri nejakom výkone.

Funkcia f má v tomto prípade tvar rozdielu. Veličina X₁ je v tomto prípade odozva detektora pri nejakom výkone a veličina X₂ je v tomto prípade odozva detektora na pozadie. Model merania má teda tvar:

Y =f(X₁,X₂) =X₁−X₂.

Z predchádzajúcich meraní sú známe štatistické modely jednotlivých veličín, rov- nako ako výsledky merania týchto veličín. V diskutovanom príklade by to bolo normálne rozdelenie veličiny X₁ so strednou hodnotou µˆ a rozptylom σˆ² a Pois- sonovo rozdelenie veličiny X₂ so strednou hodnotou λˆ. Zvolí sa počet opakovaní.

Podľa (Šíra, 2014) je vhodné zvoliť počet opakovaní rádovo:

počet opakovaní = 10⁴ až 10⁶.

Pre každú veličinu X_i je vygenerované pseudonáhodné číslo podľa príslušného rozdelenia pravdepodobnosti a je následne dosadené do modelu merania. Tento krok sa opakuje zvolený počet krát. Výsledkom simulácie je veľké množstvo vy- počítaných výstupných hodnôt veličinyY, ktoré tvoria štatistický model veličiny Y. Jednoduchým príkladom kódu v jazyku Matlab je:

mu = 100;

sigma = sqrt(mu);

lambda = 2;

X1 = normrnd(mu,sigma,[1,10000]);

X2 = poissrnd(lambda,[1,10000]);

Y = X1-X2;

histogram(Y);

Výstupom je histogram veličiny Y. Tento sa dá ďalej spracovať štatistickými metódami.

3. Teoretický popis

experimentálnych metód

Ako bolo uvedené v úvode, podstatu diplomovej práce je vytvorenie automati- zovaného systému pre spracovanie vybraných experimentov na školskom reaktore VR-1. Pre potreby tejto práce boli vybrané štyri experimentálne metódy týkajúce sa stanovenia váhy a kalibračnej krivky regulačnej tyče, ktoré patria medzi naj- častejšie vykonávané experimenty na školskom reaktore. Konkrétne je táto práca venovaná:

• určeniu váhy absorpčnej tyče metódou Rod-Drop,

• určeniu reaktivity absorpčnej tyče metódou Source-Jerk,

• určeniu kalibračnej krivky absorpčnej tyče metódou inverzných početností,

• určeniu kalibračnej krivky absorpčnej tyče metódou využívajúcou reakti- meter.

V tejto kapitole je stručne zhrnutý teoretický popis vybraných experimentálnych metód.

3.1 Základné pojmy

Reaktivita je jedným zo základných parametrov používaných pri prevádzke jadrového reaktora. Je definovaná ako relatívna odchýlka od kritického stavu reaktora:

ρ= keff −1

k_eff , (3.1)

kde k_eff je efektívny koeficient násobenia. Veľkosť reaktivity a jej časová závislosť majú priamy vplyv na bezpečnosť prevádzky reaktora a sú preto limitované.

Súvislosť reaktivity a kritickosti reaktora vyjadruje vzťah:

reaktor je

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

podkritický, ak ρ <0 kritický, ak ρ= 0 nadkritický, ak ρ >0

. (3.2)

Aj napriek tomu, že je reaktivita bezrozmerná veličina, v praxi sa často pou- žívajú jednotky:

ρ[%] =ρ·100, (3.3)

ρ[pcm] =ρ·10⁵, (3.4)

ρ[β_eff] =ρ· 1

β_eff, (3.5)

kde β_eff je efektívny podiel oneskorených neutrónov.

Absorpčné tyče sú v reaktore VR-1 využívané jednak ako regulačný a jed- nak ako bezpečnostný prvok. Vzhľadom na ich funkciu je nutné poznať detailnú charakteristiku absorpčných tyčí, ktorá popisuje vplyv tyče na násobiacu schop- nosť reaktora. Základnými charakteristikami absorpčných tyčí sú váha, integrálna a diferenciálna charakteristika. Rataj a kol. (2016)

Váhou ρ₀ absorpčnej tyče sa rozumie maximálna reaktivita, ktorú je možno do reaktora vniesť jej kompletným zasunutím.

Charakteristikou absorpčnej tyče sa rozumie závislosť vplyvu absorpčnej tyče na násobiacu schopnosť systému na polohe, resp. na zmene polohy tyče. Podľa toho o akú závislosť sa jedná hovoríme o integrálnej, resp. diferenciálnej charakte- ristike. Integrálna charakteristikaρ(z) je závislosť reaktivity vnesenej do aktívnej zóny na polohe tyče. Diferenciálna charakteristika ∆ρ(z)/∆z je závislosť zmeny reaktivity na zmene polohy absorpčnej tyče. Rataj a kol. (2016)

3.2 Určovanie reaktivity metódou Rod-Drop a Source-Jerk

Metóda Rod-Drop je založená na štúdiu dynamiky odozvy kritického systému na skokovo vnesenú zápornú reaktivitu do aktívnej zóny reaktora. Jej hlavné vy- užitie je pri určovaní váhy regulačnej tyče. Metóda Source-Jerk je založená na štú- diu dynamiky odozvy podkritického systému s externým neutrónovým zdrojom na odstránenie zdroja. Používa sa na určenie veľkosti reaktivity prislúchajúceho podkritického stavu, alebo na určenie váhy regulačnej tyče. (Rataj a kol., 2017)

Obe metódy vychádzajú z rovníc bodovej kinetiky, z ktorých je možné odvo- diť vzťah pre výpočet veľkosti reaktivity. Rovnice sa integrujú od momentu dy- namickej zmeny v reaktore do bodu, v ktorom hustota neutrónov klesne na nulu.

Výsledný vzťah pre výpočet reaktivity (Rataj a kol., 2016) v jednotkách β_eff sa dá napísať v tvare:

ρ[β_eff] =− An₀

∫︁∞

0 n(t)dt, (3.6)

kden₀je odozva neutrónového detektora na ustálený stav reaktora pred dynamic- kou zmenou,n(t) je časová závislosť odozvy neutrónového detektora na dynamické zmeny v reaktore a konštanta A je určená podľa vzťahu:

A =^∑︂6

i=1

βeff,i

β_effλ_i. (3.7)

V uvedenom vzťahu jeβ_eff,iefektívny podieli-tej skupiny oneskorených neutrónov a λi je rozpadová konštantai-tej skupiny oneskorených neutrónov.

3.3 Kalibrácia absorpčnej tyče metódou inverz- ných početností

Kalibrácia absorpčnej tyče metódou inverzných početností je založená na ná- sobení neutrónov z externého neutrónového zdroja v podkritickom systéme. Re- aktor je v podkritickom stave počas celej doby kalibrácie tyče. Násobiaca schop-

nosť systému je menená zmenou polohy kalibrovanej absorpčnej tyče. Výsledkom kalibrácie je integrálna charakteristika tyče, tzv. kalibračná krivka.

Pomocou úvahy o násobení neutrónov je možné dostať geometrickú postup- nosť, z ktorej súčtu sa dá odvodiť vzťah pre výpočet zmeny reaktivity v závislosti na polohe kalibrovanej absorpčnej tyče (Rataj a kol., 2016):

∆ρ(z) = ρ₀

1 N(z) − _N¹

↓

1 N↑ − _N¹

↓

, (3.8)

kde ρ₀ je váha kalibrovanej absorpčnej tyče, N(z) je detegovaná početnosť ne- utrónov v momente, v ktorom je tyč v polohe z, N_↑ je detegovaná početnosť neutrónov v momente, v ktorom je tyč v hornej koncovej polohe a N↓ je detego- vaná početnosť neutrónov v momente, v ktorom je tyč v dolnej koncovej polohe.

3.4 Kalibrácia absorpčnej tyče metódou využí- vajúcou reaktimeter

Dynamická kalibrácia absorpčnej tyče je rýchla metóda kalibrácie tyče vy- užívajúca reaktimeter. Reaktimeter je systém obsahujúci neutrónový detektor, vhodnú aparatúru pre spracovanie signálu z detektoru a procesor. Reaktimeter poskytuje informáciu o časovej závislosti reaktivity v reálnom čase riešením rov- nice inverznej kinetiky odvodenej z rovníc bodovej kinetiky. (Rataj a kol., 2016) Pri zavádzaní, resp. vyťahovaní, kalibrovanej absorpčnej tyče z reaktora, resp.

do reaktora, konštantnou známou rýchlosťou v je možné na základe dát z reak- timetra získať závislosť reaktivity na polohe tyče. Výsledkom kalibrácie je integ- rálna charakteristika tyče, tzv. kalibračná krivka.

3.5 Korekcie

V predchádzajúcich podkapitolách boli stručne popísané základné typy expe- rimentov vykonávané na školskom reaktore, ktorým je táto práca venovaná. Tento popis vychádza prevažne z rovníc bodovej kinetiky. Tá predpokladá priamu úmer- nosť medzi odozvou neutrónového detektora a tokom neutrónov v aktívnej zóne reaktora. Táto podmienka v praxi nie je splnená a jej splnenie nie je možné zais- tiť. K zohľadneniu tohto a aj iných rozdielov je možné zaviesť špeciálne korekčné faktory. Stanovenie jednotlivých korekčných faktorov nie je cieľom tejto práce, ale pri návrhu systému bola možnosť využitia týchto korekčných faktorov vzatá do úvahy systém poskytuje používateľovi možnosť rôzne korekčné faktory zahrnúť do výpočtov.

Praktická aplikácia vyššie prezentovaných metód často zahŕňa odčítanie po- zadia, zohľadnenie nelinearity detekčného systému alebo prevod nevlastného in- tegrálu na vlastný pre zohľadnenie konečného času trvania experimentu.

4. Základný popis softvéru

Jedným z cieľov diplomovej práce bolo vytvoriť systém s grafickým používa- teľským rozhraním pre vyhodnocovanie najčastejších experimentov vykonávaných na reaktore VR-1. Táto kapitola je preto venovaná základnému popisu vytvo- reného systému a jeho grafického rozhrania. Systém bol vytvorený v prostredí Matlab, ako samostatne stojaca aplikácia, pomocou súčasti Matlab App Desig- ner. Systém bude pre potreby používateľov dostupný vo forme softvéru s názvom VRABLAB, ktorý sa dá používať nezávisle na softvéri Matlab. Kvôli zachovaniu možnosti využiť systém aj počas rôznych medzinárodných projektov, na ktorých sa katedra zúčastňuje, je grafické rozhranie systému v anglickom jazyku.

4.1 Grafické používateľské rozhranie

Grafické rozhranie systému, viď obrázok 4.1, sa skladá zo šiestich hlavných častí:

• hlavného menu,

• panelu s nástrojmi,

• hlavného okna s kartami,

• panelu výberu intervalu,

• informačného panelu a

• päty.

V nasledujúcich častiach textu budú jednotlivé časti podrobne popísané.

Hlavné menu

Hlavné menu sa nachádza v hornej časti okna softvéru a skladá zo samotného menu (horná časť) a z lišty so skratkami (spodná časť). Menu pozostáva z troch úrovní, ktorých štruktúra je zrejmá zo schémy na obrázku 4.2.

Voľby:

File > Import a File > Export

slúžia na import vstupného a export výstupného dátového súboru v definovaných formátoch.

Voľba:

File > Export > Selection

Exportuje interval z načítaných dát zvolený pomocou panelu výberu intervalu.

Voľbou:

Data > Set Type of Experiment

Obr. 4.1: Grafické používateľské rozhranie.

/

File Import Export + Data

Set Type of Experiment + Plot +

Transform Crop Tools

Expected Value of Constant Parameter + Background Tool +

Area Under Graph + Detector

Plot Correction Factor Reload Correction Factor Quick

Quick RD/SJ Help

Obr. 4.2: Schéma štruktúry menu. Symbolom „+“ je znázornená tretia úroveň menu, ktorá pre prehľadnosť nie je zobrazená.