Didaktika matematiky I

Didaktika matematiky I

Přednáška 1

Kurz v moodlu:

Didaktika matematiky I. - III. 2017-2018 OK03100 51, O01210051

Klíč k zápisu

kombinované studium KSdidmat2017

prezenční studium didmat2017

Podmínky k zápočtu - pro KS

(vybráno ze sis)

- aktivní účast na společných přednáškách v rozsahu 100%

- vytvoření souboru slovních úloh s řešením a rozborem na každý typ sémantické situace operace A+B=C.

- reflexe 2 shlédnutých videonahrávek vyučovací hodiny matematiky, z čehož jedna bude vedena instruktivně a druhá v duchu konstruktivismu.

Videonahrávky dostupné na internetu budou doporučené v materiálech v moodlu, nebo je možné i dodat na flashdisku vlastní nahrávky.

Oba materiály je nutné odevzdat v tištěné formě.

Podmínky k zápočtu - pro PS

(vybráno ze sis)

KONTROLOVANÉ POŽADAVKY (pro prezenční studium)

1. 100% aktivní účast na seminářích

V případě nemoci doložené lékařem lze semináře nahradit buď návštěvou jiné seminární skupiny, nebo písemnou prací po dohodě s vyučujícím semináře.

Semináře vede Mgr. J. Kloboučková

2. Tvorba materiálů ke každému probíranému tématu na přednášce či semináři

Každý materiál bude obsahovat:

- složku řešitelskou - student ukáže, popíše vlastní řešitelský proces.

- složku didaktickou, kde například komentuje svůj řešitelský proces z hlediska didaktiky matematiky, - složku experimentální (nepovinně), ve které

ukáže svou práci s nějakým žákem na dané téma, - složku edukační, kde prokáže svůj odborný

rozvoj v oblasti matematiky, didaktiky matematiky i

obecné pedagogiky ve vztahu k matematice.

2. Tvorba materiálů ke každému probíranému tématu na přednášce či semináři.

Cílem tvorby tohoto materiálu je založit evidenci své práce jako studenta připravujícího se na

učitelské povolání, která bude podkladem pro reflexi vlastního profesního rozvoje.

Materiál bude předložen v tištěné formě v

termínech stanovených vedoucím semináře pro

jednotlivé skupiny.

Dále pro všechny (KS i PS)

- zapojení se do fóra v moodlu – reflexe k

přednášce, komentáře k výuce, návrhy na činnosti - Povinné čtení – zadáváno v prezentacích a v

moodlu

Příprava na 2. setkání

• Bude zadána v moodlu - povinné

VSTUP DO DIDAKTIKY MATEMATIKY

Povinná četba:

„Modrá knížka“

• Hejný, M. Vyučování v matematice orientované na budování schémat : Aritmetika 1. stupně.

Praha: UK v Praze, PedF, 2014

3. kap, str. 81-134

VSTUP DO DIDAKTIKY MATEMATIKY

1.1 Cíle předmětu DM pro učitele 1. st.

Naučit učit matematiku Předpoklady:

1. my to víme 2. umíme to

zkušenosti jsou nepřenosné, každý je musí nabýt sám

Učitel, který se prochází mezi svými žáky ve stínu chrámu, nedává ani tak ze své moudrosti jako spíše ze své víry a láskyplnosti. Je-li opravdu moudrý, nevyzývá vás, abyste vstoupili do příbytku jeho moudrosti, ale spíše vás vede k prahu vašeho vlastního myšlení.

Chálil Džibrán (1990, s.50)

1) smyslem vyučování matematice na 1. stupni je rozvoj osobnostních a intelektuálních daností žáka, ne hbité a bezchybné počítání

2) kvalitní matematické znalosti jsou ve vědomí uloženy v souboru vzájemně provázaných mentálních schémat, nikoli v souboru izolovaných pravidel, vzorečků a algoritmů

3) schémata si buduje žák sám z vlastních životních a

matematických zkušeností

4) existují dvě cesty, jimiž žák získává matematické znalosti: řešení úloh a diskuse se spolužáky

5) úlohou učitele je vytvářet příznivé pracovní klima, dávat žákům přiměřené úlohy a iniciovat a organizovat diskusi;

jeho úlohou není vysvětlovat nebo upozorňovat na chyby

1.2 Transmisivní x konstruktivní způsob vyučování matematice

• transmisivní (instruktivní) - výklad učitele

- učitel ukáže vzorové řešení

- žáci procvičují – imitace, reprodukce

Ilustrace - výzkum

Důsledky:

negativní vztah žáků k matematice

Příčiny?

1) nerespektuje vývojové zákonitosti dítěte;

Dítě je „naprogramováno“ k aktivnímu poznávání světa.

2) poznatky nelze přenášet z hlavy učitele do hlavy žáka; přenosné jsou pouze informace; poznatky si konstruuje mozek jedince sám na základě

životních zkušeností

3) poznatky nejsou ve vědomí člověka uloženy

kumulativně, jako balíky na poště; jsou přítomny

v mentálních schématech

Kritika transmisivního vyučování M

Důsledkem je zavedení množin - zpočátku úspěch, pak kolaps

Od konce 50. let do začátku 80. let minulého století ve všech vyspělých zemích světa - pokus přivést do hodin matematiky tvořivost pomocí

změny kurikula.

Iniciativa z USA, důsledek „Sputnik crisis“- potřeba zvýšit odbornost inženýrů.

V SSSR A. N. Kolmogorov a v západní Evropě osobnosti jako G. Papy, J. Diedonne, H. Freudenthal, R. Thom též naléhavě žádali změnu

vyučování matematice na základních a středních školách.

Nejprůraznější - myšlenka změny kurikula.

Konstruktéři těchto změn věřili, že když tradiční učivo zaměřené na kalkulativní algoritmy nahradí množinami, změní se instruktivní

vyučování na dialogické a tvůrčí.

Kritika transmisivního vyučování M

Očekávaná změna k lepšímu skutečně nastala. Nové kurikulum mělo veliké úspěchy zejména v oblasti motivace žáků.

Strach z M - vystřídán radostí z množinové tvořivosti jak Ž, tak U.

M - jedním z nejoblíbenějších předmětů.

V Československu byl pro zavedení množin do škol rozhodující dopis z roku 1965, ve kterém vědecké kolegium matematiky ČSAV dává

řediteli VÚP toto doporučení:

a) Odstranit izolovanost složek školské matematiky i jednotlivých poznatků tím, že se učivo pojme důsledně na základě poznatků o množinách.

b) Tradiční didaktický systém dát do souladu se současným stavem teorie, seznamovat žáky s nejjednoduššími prvky logiky.

Kritika transmisivního vyučování M

c) Prohloubit výchovu k tvořivému myšlení, zvýšit náročnost učiva, zvýšit úroveň abstrakce a zobecňování, rozvíjet kombinační schopnosti žáků.

d) Zvýraznit odborný jazyk a symboliku již od 1. ročníku.

e) Zajistit jednotnou koncepci přírodovědného a matematického vzdělání.

f) Prohloubit výchovné působení a modernizovat metody.

Postupně se tvořivý zápal učitelů i žáků vytrácel a do škol se vrátil dril.

V USA se v roce 1973 objevil článek M. Kline: Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Mathematics. Ten předznamenal konec množinové iniciativy.

Kritika transmisivního vyučování M

U nás - množiny do škol v roce 1976 v 90. letech – útlum

Zcela nové učebnice - po roce 1990 ale k žádnému výraznému zlepšení vyučování M to nevedlo, spíše naopak.

Co je příčinou kolapsu množin?

Celosvětová zkušenost s množinami ukázala, že problém zvýšení tvořivosti ve vyučování matematice vyžaduje změnu edukační

strategie učitele.

Kritika transmisivního vyučování M

Ukázalo se: o kvalitě vyučování matematice rozhoduje učitel a ne učivo

Pozornost didaktiků matematiky se zaměřila na poznávací proces žáka

- znalosti nelze převzít od učitele, každý žák si je musí konstruovat sám.

Základní teze konstruktivizmu:

Každé poznání je konstruováno

1.3 Dvě základní teze našeho přesvědčení

U nás zpracoval myšlenky konstruktivismu M. Hejný, F. Kuřina

Dítě, škola a matematika, Praha: Portál, 2009 - Cesta konstruktivismu do škol je pomalá

Od roku 1992 prof. M. Hejný - nová koncepce výuky matematice zde dostala jméno Vyučování orientované na budování mentálních

schémat (VOBS),

Teorie generického modelu (TGM) Jak dostat do praxe?

Učebnice matematiky pro 1.-5. roč. Hejný a kol. (Fraus)

Pozornost orientována na učitele, na jeho pedagogické přesvědčení

Vyučování založené na budování mentálních schémat

(schema-oriented education)

Spočívá na dvou tezích, dávají jen počáteční orientaci

v didaktice matematiky, jak ji budeme rozvíjet

První teze - Učitel:

– buduje vstřícné pracovní klima ve třídě;

– žákům nic nevysvětluje, nedemonstruje, žádné matematické „moudro“ neprozradí;

– na chyby žáky neupozorňuje,

– nevstupuje do myšlenkových pochodů žáka;

– průběžně diagnostikuje znalosti a schopnosti jednotlivých žáků, aby mohl

– každému žákovi dávat jemu přiměřené kaskády úloh;

– iniciuje a řídí diskusi třídy;

– organizuje řešení dlouhodobých problémů;

– hodnocením práce žáků orientuje hodnotový systém žáků;

– analýzou chyb učí žáky jak vytěžit z chyby poznání;

– spoluprožíváním úspěchu žáka nebo třídy motivuje zájem žáků;

– povzbuzuje žáky, kterým hrozí rezignace a následný komplex méněcennosti.

– vlastním přístupem k matematice vede žáky k potřebě

rozumět nejen matematice jako takové, ale i k tomu,

jak ji mohou chápat spolužáci,

Druhá teze - Žák:

• řeší různé úlohy;

• o svém řešení diskutuje se spolužáky;

• učí se porozumět tomu, co říká nebo píše spolužák;

• učí se formulovat vlastní myšlenku tak, aby jí spolužák rozuměl;

• řešením kaskád úloh získává dílčí poznatky;

• procesem zobecňování nachází poznatky obecnější;

• důležité poznatky pak formuluje;

• sám tvoří úlohy pro spolužáky, nebo pro učitele/učitelku.

1.4 Schéma je hlavní nositel poznání

• Ilustrace

- když je žák při řešení úlohy řízen učitelem, obohacuje se jeho příslušné matematické schéma jen málo, nebo vůbec ne.

Základem budování matematických schémat je práce v

matematických didaktických prostředích

Co je to prostředí?

1. semestr – USMA I Geometrie

• Krychlové stavby a jejich znázorňování (koncept i proces)

• Krychlové těleso jako prekoncept pojmu těleso

• Další tělesa - atributy

• Sítě krychle

• Sítě jiných těles

• Poznávání 2D objektů – hra možné,

nemožné, Sova

2. semestr – USMA II Aritmetika

Sémantická prostředí:

- Autobus

- Děda Lesoň

Strukturální prostředí:

- Sčítací trojúhelníky, Hadi, Násobilkové čtverce, Šipkové grafy, Posloupnosti – Kaprekar, Vývojové diagramy,

Triády, Operace – algoritmy násobení, indické násobení, egyptské násobení, římská čísla

Jak které prostředí pracuje s číslem? Co přináší za

matematické myšlenky?

3. Semestr - Geometrie

Poznávání 2D útvarů, jejich vlastností, vztahů, situací v prostředí

čtverečkovaného papíru

Přítomnost čísla?

4. Semestr - Aritmetika

• Stovková tabulka (pravidelnosti, vztahy)

• Cik-cak čtverce

• Číselná dvojčata, trojčata

• Číselné soustavy, Biland

• Desítková soustava a operace v ní

• Dělitelnost, znaky dělitelnosti

• Nsn, Nsd

• Provočísla, čísla složená

• Diofantovské rovnice

• Zlomky a racionální čísla

• Figurální čísla a ciferníková aritmetika

5. Semestr - MŘMÚ

• Krokování a schody,

• Parkety,

• Pavučiny,

• Úlohy o věku,

• Součtové trojúhelníky,

• Barevné trojice,

• Sousedé,

• Výstaviště.

1.5 Rytmus a řád

Podstatou matematiky je příčinné myšlení.

Je provázáno s dalšími kognitivními funkcemi jako je schopnost

• experimentovat,

• třídit, uspořádat, hierarchizovat,

• odhalovat vztahy,

• argumentovat apod.

Kdy se utváří u dítěte příčinné myšlení?

- již od prvních hodin po narození a asi již i v prenatálním věku.

- Kanadští výzkumníci - již 7denní dítě pozná, zda řeč, kterou teď slyší, je řečí mu známou nebo

ne.

Kdy se utváří u dítěte příčinné myšlení?

- Živnou půdou pro nárůst uvedených potencí je životní rytmus, řád (tlukot srdce).

- Člověk se bojí chaosu. Jestliže se něco opakuje a ukládá do rytmu, přestává působit nepokoj.

Může být pochopeno a předvídáno… jako první

schopnost člověka rozvíjí se jeho způsobilost

uvědomovat si to, co se opakuje. (EG-K)

Opakující se rituál dává dítěti životní jistoty.

Opakující se proces buduje ve vědomí dítěte příčinný řetězec: když vrznou dveře, uslyším mámin hlas, budu rozbalen, pocvičím, budu zabalen, dostanu pít.

Když tento rituál schází, hlásí se dítě o jídlo

agresivněji, protože má strach.

Když tento rituál schází, hlásí se dítě o jídlo agresivněji, protože má strach.

Když zde rituál je, dítě ví, že bude papat. Každý krok rituálu je příčinou a krok následující je

následkem. Ve vědomí dítěte se rodí to, co po několika letech bude formulovat slovy

„jestliže A, pak B“.

Dítě, které se rodí do prostředí s pevným řádem, má lepší předpoklady vývoje kauzálního

myšlení než dítě, které to štěstí nemá.

Jak rozvíjet schopnost vnímat rytmus

- v jakém prostředí?

- Tleskni, dupni

Další materiál je uveden v moodlu

Dále povinná četba k tématu Číslo

„Modrá knížka“

Hejný, M. Vyučování v matematice orientované na

budování schémat : Aritmetika 1. stupně. Praha: UK v Praze, PedF, 2014

odstavce 4.1-4.5

str. 135-167

ČÍSLO

představy

sémantické + strukturální

Zkušenosti

Např.algebrogramy AB  B = CAB trojúh., hadi, …

Škodlivé jsou nácvikové úlohy

rychlost a spolehlivost kalkuací Při řešení slovních úloh

Kvalitu matematické zdatnosti

uvidět a uchopit problém,

- umět jej zkoumat,

- umět experimentovat a evidovat pozorované jevy, - umět z jevů vyvozovat zákonitosti a tyto

- zdůvodňovat,

- umět o problému diskutovat a

- pomocí diskuse jej i řešit

Sémantické podoby čísla a jeho sémantické ukotvení

sémantická podoba čísla 3 kuličky

sémantické ukotvení čísla

  

Sémantické podoby čísla

1. V pravé ruce mám 3 kuličky a v levé 2 kuličky. Kolik kuliček mám dohromady?

2. V akváriu bylo 28 litrů vody. Karel z ní odebral 3 litry. Kolik vody je v akváriu teď?

3. Měl jsem 3 kuličky a vyhrál jsem 2 kuličky. Kolik mám teď kuliček?

4. Zdeňce je 6 let a Gitě je o 3 roky více. Kolik je Gitě?

5. Zdeňce je 6 let a Gitě je 9 let. O kolik let je Gita starší?

6. Gitě je 9 let. Je o 3 roky starší než Zdeňka. Kolik je Zdeňce?

7. Na narozeniny mi do prasátka přidal můj bratr 3 Kč a sestra 2 Kč. O kolik korun mám teď v prasátku více?

8. V lednu byla Lenka o 3 cm vyšší než stůl. Do listopadu povyrostla o 2 cm. O kolik cm je dnes Lenka vyšší než stůl?

9. Bydlím ve 3. podlaží a můj kamarád bydlí o dvě podlaží výše. Ve kterém podlaží bydlí?

10. Linka autobusu číslo 57 má 18 zastávek a linka autobusu číslo 61 jich má 17. Která linka má více zastávek? O kolik?

Sémantické podoby i ukotvení čísla

• kvantita

• identifikátor

• symbol