GLOBÁLNÍ NAVIGAČNÍ SYSTÉMY
Doc. Ing. Jiří Šebesta, Ph.D.
CZ.1.07/2.3.00/09.0092 Komunikační systémy pro perspektivní kmitočtová pásma operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost
Finanční podpora byla poskytnuta Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Recenzenti: Doc. Ing. Karel Hanousek, CSc.
Doc. Ing. Slavomír Vosecký, CSc.
© Jiří Šebesta, 2012 ISBN 978-80-214-4500-0
Obsah
SEZNAM SYMBOLŮ... 5
SEZNAM ZKRATEK... 5
PŘEDMLUVA... 9
1 ÚVOD DO NAVIGACE ... 10
2 GEODETICKÉ SOUŘADNÉ SOUSTAVY ... 14
2.1 VZTAH MEZI KARTÉZSKÝMI A GEODETICKÝMI SOUŘADNICEMI... 15
2.2 REFERENČNÍ PLOCHY GEODETICKÝCH SOUŘADNICOVÝCH SOUSTAV... 20
3 POHYB NAVIGAČNÍCH DRUŽIC ... 25
3.1 DEFINICE POLOHY A POHYB DRUŽICE... 26
3.2 RUŠENÝ POHYB DRUŽICE... 30
3.3 DOPPLERŮV POSUV FREKVENCE... 32
3.4 DRÁHY NAVIGAČNÍCH DRUŽIC... 34
3.4.1 Nízké kruhové dráhy LEO ... 34
3.4.2 Střední kruhové dráhy MEO ... 35
3.4.3 Geostacionární dráhy GEO ... 35
3.4.4 Vysoké eliptické dráhy HEO ... 35
4 PRINCIPY DRUŽICOVÉ NAVIGACE ... 36
4.1 METODA ÚHLOMĚRNÁ... 36
4.2 METODA DOPPLEROVSKÁ... 37
4.3 METODA INTERFEROMETRICKÁ... 39
4.4 INTERFEROMETRICKÉ MĚŘENÍ NOSNÉ... 39
4.5 DÁLKOMĚRNÁ METODA... 40
4.5.1 Výpočet polohy uživatele... 43
4.5.2 Měření pseudovzdálenosti ... 46
4.5.3 Modulační schémata navigačních signálů... 49
4.5.4 Chyby měření... 54
5 DRUŽICOVÉ NAVIGAČNÍ SYSTÉMY... 60
5.1 TRANSIT... 60
5.2 TSIKADA... 62
5.3 GEOSTAR... 62
5.4 LOCSTAR... 62
5.5 GRANAS... 62
5.6 NAVSAT... 63
5.7 STARFIX... 63
5.8 OMNITRACS... 63
5.9 EUTELTRACS ... 63
5.10 GPS–NAVSTAR ... 64
5.10.1 Kosmický segment GPS – NAVSTAR ... 65
5.10.2 Řídicí segment GPS – NAVSTAR ... 73
5.10.3 Navigační signály GPS – NAVSTAR... 74
5.10.4 Navigační zprávy GPS – NAVSTAR... 86
5.11 GLONASS ... 90
5.11.1 Kosmický segment systému GLONASS ... 91
5.11.2 Řídicí segment systému GLONASS ... 93
5.11.3 Uživatelský segment systému GLONASS... 93
5.11.4 Navigační signály systému GLONASS ... 93
5.11.5 Navigační zprávy systému GLONASS ... 95
5.12 GALILEO... 96
5.12.1 Historie a plány systému Galileo ... 97
5.12.2 Kosmický segment ... 97
5.12.3 Řídicí a kontrolní segment... 99
5.12.4 Uživatelský segment ... 100
5.12.5 Služby systému Galileo... 100
5.12.6 Signály systému Galileo ... 101
5.12.7 Navigační zprávy systému Galileo ... 103
5.13 SYSTÉM COMPASS... 105
5.14 SYSTÉM QZSS ... 106
5.15 SYSTÉM IRNSS... 107
6 AUGMENTACE GNSS ... 109
6.1 DIFERENČNÍ SYSTÉMY... 109
6.1.1 Referenční stanice ... 110
6.1.2 Experimentální měření ... 111
6.2 ZJIŠŤOVÁNÍ INTEGRITY... 112
6.3 VELKOPLOŠNÉ SYSTÉMY AUGMENTACE GNSS ... 113
6.3.1 Systém WAAS... 114
6.3.2 Systém EGNOS... 115
6.3.3 Interoperabilita augmentačních systémů pro GNSS ... 117
7 GNSS PŘIJÍMAČE... 119
7.1 SYSTÉM ZPRÁV NMEA0183 ... 123
8 APLIKACE GNSS ... 127
LITERATURA ... 130
Seznam symbolů
a velká poloosa
b malá poloosa
c rychlost šíření elektromagnetické vlny e excenticita
E excentrická anomálie
f frekvence, zploštění, pravá anomálie fD Dopplerova frekvence
fo frekvence oscilátoru fRX přijímaná frekvence fs symbolová frekvence fTX vysílací frekvence G gravitační konstanta hA výška apogea hP výška perigea H elipsoidická výška Hniv nivelační výška
i inklinace
M hmotnost Země, střední anomálie n střední pohyb
N výška geoidu
P perioda
r průvodič
Tc čipová perioda Ts symbolobá perioda
u argument deklinace (šířky)
V rychlost
vr radiální rychlost
α úhel mezi vektorem rychlosti družice a směrem k pozorovateli λ geodetická délka
μ gravitační parametr Země φ geodetická šířka
ω argument perigea
Ω rektascenze
Seznam zkratek
ADS Automatic Dependent Surveillance Automatický závislý přehledový systém
AFS Atomic Frequency Standard Atomový kmitočtový normál AltBOC Alternative BOC Alternativní (jednostr.) BOC AOC Advanced Operation Capability Zvýšená operační schopnost
AOR Atlantic Ocean Region Atlantická oblast
AOR-E Atlantic Ocean Region – East Atlantická oblast – východ AOR-W Atlantic Ocean Region – West Atlantická oblast – západ
ARTEMIS Advanced Relay and Technology
Mission Satellite Družice systému EGNOS
ATC Air Traffic Control Řízení letového provozu
BER Bit Error Rate Bitová chybovost
BOC Binary Offset Carrier Binární modulace se
zpožděnou nosnou
BPF Band Pass Filter Pásmový filtr
BPSK Binary Phase Shift Keying Dvoustavové klíčování fázovým posuvem
BW Band Width Šířka pásma
C/A Coarse Acquisition Hrubá akvizice
CDMA Code Division Multiple Access Kódový multiplex CIS Cooperative Independent System Kooperativní nezávislý
přehledový systém CNS Communications, Navigation &
Surveillance
Komunikace, navigace a přehledování
CRPA Controlled Radiation Pattern Antenna Anténa s řízenou směrovou charakteristikou
CS Commercial Service Komerční služba
CS Control Station Řídicí stanice
DCU Display and Control Unit Zobrazovací a řídicí jednotka
DGPS Differential GPS Diferenciální GPS
DMA Direct Memory Access Přímý přístup do paměti DME Distance Measurement Equipment Systém pro měření dálky DOP Dilution of Precision Činitel zhoršení přesnosti DPU Data Processing Unit Jednotka zparacování dat DRAIM Differential RAIM Diferenční autonomní integrita DSSS Direct Sequence Spread Spectrum Technika přímého rozprostření
spektra
EC European Commission Evropská komise
ECEF Earth Centered Earth Fixed Souřadný systém spojený se Zemí
EDAS EGNOS Data Access System/Server Datový server systému EGNOS EGNOS European Geostationary Navigation
Overlay Service Evropský augmentační systém ESA European Space Agency Evropská vesmírná agentura EUROCONTROL European Organization for the Safety
of Air Navigation Evropská agentura pro
bezpečnost leteckých navigací EWAN EGNOS Wide Area Network Datová síť systému EGNOS FAA Federal Aviation Administration Federální letecký úřad v USA FDMA Frequency Division Multiple Access Kmitočtový multiplex
FEC Forward Error Correction Dopředné protichybové kódování
FOA Frequency of Arrival Frekvence příchozího signálu FOC Full Operational Capability Plná operační schopnost FRPA Fixed Radiation Pattern Antenna Anténa s pevnou směrovou
charakteristikou GAGAN GPS-Aided GEO-Augmented
Navigation Indický augmentační systém
GBA Geostationary Broadcast Area Oblast pokrytí signálem geostacionární družice GBAS Ground Based Augmentation System Pozemní augmentační systém GCC Ground Control Centre Pozemní řídicí středisko GCS Ground Control System Pozemní řídicí systém
GEO Geostationary Earth Orbit Geostacionární dráha
GLONASS Globalnaja Navigacionnaja
Sputnikovaja Sistěma (Rus.) Ruský GNSS
GMS Ground Mission System/Segment Pozemní systém řízení misí GNSS Global Navigation Satellite System Globální navigační systém GPS-NAVSTAR Global Positioning System Americký GNSS
GS Ground Segment Pozemní segment
GSA (European) GNSS Agency Evropská agentura pro GNSS HDOP Horizontal Dilution Of Precision Horizontální činitel zhoršení
přesnosti ICAO International Civil Aviation
Organization
Mezinárodní organizace pro civilní letectví
ICO Intermediate Circular Orbit Střední kruhová dráha
IF Intermediate Frequency Mezifrekvence
IMU Inertial Measurement Unit Inerciální (nezávislá) měřicí jednotka
IOC Initial Operational Capability Částečná operační schopnost
IOD Issuance Of Data Datum vydání (aktualizace)
IODC Issuance Of Data Clock Datum vydání časových param.
IODE Issuance Of Data Ephemeris Datum vydání efemeridů IODI Issuance Of Data Ionosphere Datum vydání parametrů
ionosferického modelu IOP Initial Operations Phase Počáteční operační fáze
IOR Indian Ocean Region Region Indického oceánu
IOV In-Orbit Validation Fáze validace na orbitě LAAS Local Area Augmentation System Lokální podpůrný systém LADGPS Local Area Differential GPS Lokální diferenční GPS
LEO Low Earth Orbit Nízká orbitální dráha
LHCP Left Hand Circular Polarization Levotočivá kruhová polarizace
LNA Low Noise Amplifier Nízkošumový zesilovač
LO Local Oscillator Místní (lokální) oscilátor
MCC Master Control Centre Hlavní řídicí stanice (Galileo) MCS Master Control Station Hlavní řídicí stanice (GPS) MCU Management & Control Unit Řídicí jednotka
MD Miss Detection Chybná detekce
MDU Mission Data Unit Datová jednotka mise
MEO Medium Earth Orbit Střední kruhová dráha
MS Monitoring Station Monitorovací stanice
MSAS Multi-functional transport Satellite-
based Augmentation System Japonský augmentační systém
MSB Most Significant Bit Nejvýznamnější bit
NAV NAVigation sub-system Navigační subsystem
NAVSAT Navy Navigation Satellite System Jiný název pro systém Transit NDU Navigation Data Unit Navigační datová jednotka
NLES Navigation Land Earth Station Vysílací stanice k družicím OAS Open Access Service Veřejně přístupná služba
OBSW On-Board SW Palubní programové vybavení
OBU On Board Unit Palubní jednotka
OS Open Service Veřejně přístupná služba
(Galileo)
PDOP Position Dilution Of Precision Činitel zhoršení přesnosti polohy
PFD Power Flux Density Výkonová hustota
PLL Phase Lock Loop Fázový závěs
PPS Precise Positioning Service (GPS) Služba určení přesné polohy
PRN Pseudo Random Noise Pseudonáhodný šum
PRS (Galileo) Public Regulated Service
PVT Position, Velocity, Time Poloha, rychlost, čas RAIM Receiver Autonomous Integrity
Monitoring
Autonomní integrita prováděná na straně přijímače
RF Radio Frequency Radiofrekvenční
RHCP Right Hand Circular Polarisation Pravotočivá kruhová polarizace RIMS (EGNOS) Ranging and Integrity
Monitoring Station
Měřicí a monitorovací stanice systému EGNOS
RNSS Radio Navigation Satellite Service Radiový navigační system
RX Receiver Přijímač
SA Selective Availability Výběrová dostupnost
SBAS Satellite Based Augmentation System Satelitní augmentační system SoL Safety of Life (service) Navigační služba se zvýšenou
bezpečností
SPS (GPS) Standard Positioning Service Standardní navigační služba
SS Space Segment Kosmický segment
SV Space Vehicle or Satellite Vehicle Družice
TDOA Time Difference Or Arrival Rozdíl časů příchodu signálů
TLM TeLeMetry Telemetrie
TOA Time Of Arrival Čas příchodu signálu
TTC (TT&C) Telemetry, Tracking and Command Telemetrie, sledování a řízení UERE User Equivalent Range Error Ekvivalentní chyba měřené
dálky vzdálenosti na trase družice-uživatel
UHF Ultra High Frequency Ultra krátké vlny
ULS Up-Link Station Vysílací stanice
UTC Universal Time Coordinated Univerzální světový koordinovaný čas
VDOP Vertical Dilution Of Precision Vertikální činitel zhoršení přesnosti
VHF Very High Frequency Velmi krátké vlny
WAAS Wide Area Augmentation System Americký ugmentační systém WADGPS Wide Area Differential GPS Systém se sití diferenčních
stanic
WGS World Geodesic System Globální souřadný systém WRC World Radio Conference Světová radiokomunikační
konference
Předmluva
Předložený text je zaměřen především na technické aspekty globálních navigačních systémů s důrazem na zpracování signálů a řešení elektronických subsystémů. V textu jsou popsány základní principy činnosti globálních navigačních družicových systémů jako v současnosti jediných globálních polohových systémů s další perspektivou. Základním konceptem je hlubší rozbor dané problematiky z hlediska aplikovaných měřicích (navigačních) signálů a vlivu šíření těchto signálů reálným prostředím na dosažitelnou přesnost určení polohy. Text je určen nejen pro studenty vysokých a případně středních škol, ale i pro odborníky z praxe, kteří vyvíjejí aplikace pro navigační účely. Text je doplněn praktickými příklady včetně jejich řešení.
V první kapitole je uvedena obecná struktura globálního družicového systému, jeho základních částí a principů činnosti. Ve druhé kapitole publikace jsou vysvětleny základní pojmy týkající vlastní definice polohy v geodetických souřadných soustavách. Čtenář je seznámen s matematickým popisem geodetických souřadných soustav, s definicí parametrů a metodami transformace mezi kartézskými souřadnicemi a geodetickými (zeměpisnými) souřadnicemi. Ve třetí kapitole je shrnut přístup k definici drah družic a jejich matematický popis. Ten je nutný pro stanovení aktuální polohy družice a přesné znalosti této polohy pro aplikaci řady navigačních metod. Je zde uvedena metodika predikce polohy družic na základě kepleriánských elementů. Ve čtvrté kapitole jsou čtenáři seznámeni s obecnými metodami určení polohy s využitím družic jako majákových stanic, především pak s metodou dálkoměrnou. Opět nechybí matematický popis a definice požadavků na parametry navigačních systémů využívajících těchto metod k dosažení určení polohy s požadovanou přesností. V kapitole jsou rovněž prezentovány základní algoritmy, které jsou pro dané metody v navigačních systémech aplikovány. V páté kapitole jsou popsány globální navigační systémy z hlediska jejich systémového popisu, současného stavu, budoucích rozšíření a okruhu aplikací. V této části textu je pro nejvýznamnější systémy proveden rozbor navigačních signálů, stanoveny jejich spektrální vlastnosti a charakteristiky, definovány navigační zprávy a rozšířené služby. V šesté kapitole je čtenář seznámen s technikami podpory (augmentace) navigačních systémů za použití diferenčních metod a s aplikací diferenčních stanic a jejich sítí. Sedmá kapitola je věnována přijímačům navigačních signálů, jejich architekturám, požadavkům na jednotlivé subsystémy přijímačů a dosažitelným vlastnostem. V kapitole jsou rovněž uvedeny standardizované navigační formáty výstupních zpráv přijímačů využitelné pro rozličné aplikace. V závěrečné osmé kapitole jsou pak shrnuty aplikace GNSS včetně současného vývoje a budoucích plánů.
1 Úvod do navigace
Potřeba navigace, určování polohy a směru pohybu provází člověka od raného budování civilizací. Navigace (cit. z [52]) je souhrnný název pro postupy, jimiž lze kdekoliv na zeměkouli, moři či obecně v nějakém prostoru (ještě obecněji v nějaké situaci) stanovit svou polohu (nebo polohu jiného přemisťovaného objektu) a nalézt cestu, která je podle zvolených kritérií nejvhodnější (například nejrychlejší, nejkratší atd.). Termín je odvozen z latinského slova navis znamenajícího loď. Původně tento termín definoval plavbu po moři, význam se metonymicky přenesl na zjišťování polohy a směru a volbu trasy a metaforicky pak rozšířil na další druhy dopravy a další činnosti.
V dávných dobách mořeplavci používali k navigaci Slunce a hvězdnou oblohu.
Sextantem měřili elevaci mimozemských objektů, jejichž polohu na nebeské báni je možno časově predikovat. Pro několik měření (ve dne podle elevace Slunce pro několik časových okamžiků, v noci prakticky současně podle elevací k několika významným hvězdám či planetám) pomocí jednoduchého aparátu určil navigátor – mořeplavec kýženou polohu s relativně velkou přesností. Metoda měla jednu zásadní slabinu: měření se poněkud zkomplikovalo při zamračené obloze. Zásadní pokrok v navigaci přišel na začátku 20. století s objevem bezdrátové komunikace. Postupně se začaly objevovat navigační systémy určené jak pro námořní plavbu tak i pro leteckou dopravu. Některé systémy již vykazovaly jistou globálnost (např. LORAN nebo OMEGA), přesto celkové globální pokrytí byly schopny zajistit až systémy družicové ve druhé polovině 20. století. Možnost určit svoji polohu kdekoli na zemském povrchu je značná strategická výhoda a je nasnadě, že o budování prvních globálních navigačních systémů se postaraly armády světových mocností.
Ke konci 20. století již tyto systémy hluboce zasáhly i do civilní sféry.
V současné době dochází k velmi významným pokrokům při zajištění přesné, rychlé a spolehlivé navigace. V procesu jsou modernizace stávajících navigačních systémů a budování nových systémů s rozšířenými funkčními možnostmi. Požadavky globálnosti (ve smyslu globálního pokrytí zemského povrchu) splňují tedy výhradně družicové navigační systémy GNSS (Global Navigation Satellite System). Ty umožňují určení polohy prakticky libovolného místa na Zemi (souši i moři) ve společném geodetickém souřadném systému.
Družice tvoří soustavu majáků, tzv. kosmický segment, (viz obr. 1.1) s vhodnou konstelací pro optimální pokrytí Země s minimální chybou určení polohových souřadnic navigačním zařízením (přijímačem) v uživatelském segmentu. Dalším prvkem každého družicového navigačního systému je řídicí segment obsahující soustavu monitorovacích stanic, které měří přesnou polohu navigačních satelitů a kvalitu a obsah navigačních signálů.
Monitorovací stanice jsou rozmísťovány pokud možno po celém zemském povrchu tak, aby každá navigační družice mohla být trvale monitorována. Naměřená data z monitorovacích stanic jsou pak vhodným komunikačním kanálem předávána do řídicí stanice (může to být i systém distribuovaných a záložních řídicích stanic). Zde dochází k výpočtu parametrů celého kosmického segmentu a opravě navigačních signálů (dat), které navigační družice distribuují uživatelskému segmentu. Nová opravená data jsou bezprostředně vysílána (uploadována) k jednotlivým satelitům prostřednictvím uploadovacích stanic, které jsou pokud možno opět rozmístěné po celém zemském povrchu, často ve stejném objektu s monitorovací stanicí. V neposlední řadě je součástí řídicího segmentu i administrativní
centrum, jako je například budované centrum GSA (European GNSS Agency) v Praze, a pochopitelně i obslužný personál.
Obr. 1.1. Obecná architektura družicového navigačního systému
Počátky družicové navigace se datují do období šedesátých let minulého století, kdy byly prováděny první pokusy využití satelitů při úlohách navigace. Strategický význam kosmického prostoru omezil v počátcích vývoj těchto systémů především pro vojenské využití. Nejvíce se o použití systému družic jako majáků navigačního systému zasloužily americké vzdušné síly a námořnictvo, které položily základní kámen v současnosti nejznámějšího systému GPS – NAVSTAR. V polovině devadesátých let minulého století se systém GPS – NAVSTAR začal rozšiřovat i do civilní sféry. S mírným zpožděním za americkým systémem GPS – NAVSTAR byl vyvinut ruský (dříve sovětský) systém GLONASS (Globalnaja Navigacionnaja Sputnikovaja Sistema). V současné době probíhá intenzivní vývoj a budování nových globálních družicových navigačních systémů GNSS (Global Navigation Satellite System) včetně modernizace stávajícího GPS – NAVSTAR i GLONASS. Pod záštitou Evropské unie se buduje systém GALILEO, který v kombinaci se stávajícími i dalšími systémy zajistí vysokou spolehlivost i přesnost s uplatněním v dalších odvětvích a aplikacích, např. pro přesné navigace v letecké dopravě. Další družicové navigační systémy vyvíjí a provozují Japonsko, Čína a Indie.
Jaké jsou základní požadavky na globální navigační systém? Vždy se vychází z pohledu uživatele. Obecně je třeba sledovat pokrytí, dostupnost služby a spolehlivost služby.
Pokrytí reprezentuje statistickou veličinu, která definuje procento časového intervalu o specifické délce, po které uživatel na zemském povrchu má dostupný („vidí na“) minimální počet družic navigačního systému [5]. Problém je v tom, že satelity navigačních systémů jsou vůči pozemskému pozorovateli (uživateli) v neustálém pohybu a i jejich poloha se vzájemně neustále mění. Konstelace (rozmístění) navigačních družic globálních systémů na orbitách je vždy navrhována se záměrem nepřetržitého využití systému kdekoli na zemském povrchu. U aspektu pokrytí se nepřihlíží k tomu, zda daná družice aktuálně vysílá navigační signál a zda je připravena k použití. Obecně se v normách minimální výkonnosti navigačního systému specifikují dvě základní hlediska.
Pokrytí jednoho bodu jako procento časového intervalu o dané délce (např. u GPS 24 h), po které uživatel nacházející se v daném bodě má k dispozici stanovený minimální
počet družic (např. 4 u pasivních dálkoměrných systémů), přičemž jejich elevace je vyšší než stanovená hodnota (obvykle 5°, pod tuto hodnotu jsou signály pro navigaci prakticky nepoužitelné – nesou s sebou velkou chybu). Další požadavek pro stanovení pokrytí je maximum parametru zhoršení přesnosti vlivem konstelace (viz kapitola 4 – u GPS – NAVSTAR musí být PDOP ≤ 6).
Druhým přístupem je specifikace globálního pokrytí jako procento časového intervalu o dané délce (např. u GPS 24 h), po které uživatel nacházející kdekoli na povrchu Země nebo v její blízkosti má k dispozici stanovený minimální počet družic s elevací větší než je jistá stanovená hodnota a opět s uvažováním definovaného maxima parametru zhoršení přesnosti vlivem konstelace.
Dostupnost služby opět definujeme statisticky jako procento času, kdy je služba pro daného (nebo zobecněného) uživatele dostupná. Do dostupnosti služby se však promítá jak konstelace družicového systému tak i pravděpodobnost poruchy (výpadku navigačního signálu). Pro normy minimální výkonnosti se dostupnost služby definuje čtyřmi charakteristikami podobně jako v případě pokrytí. Jde o dostupnost v jednom bodu během jednoho dne, průměrnou globální dostupnost během jednoho dne, dostupnost v jednom bodu během 30 dnů a průměrnou globální dostupnost během 30 dnů.
Dostupnost v jednom bodě během jednoho dne je procento časového intervalu o délce 24 hodin, po které je daný bod pokryt družicemi, které vysílají signál použitelný k navigaci. Průměrnou globální dostupností během jednoho dne se rozumí průměrné procento časového intervalu o délce 24 hodin, po které je kterýkoliv bod na Zemi nebo v blízkosti Země pokryt satelity se signálem použitelným k navigaci. Dostupností v jednom bodě během 30 dnů se rozumí procento časového intervalu o délce 30 dnů, po které je daný bod pokryt družicemi, které vysílají signál použitelný k navigaci. Průměrnou globální dostupností během 30 dnů je míněno průměrné procento časového intervalu o délce 30 dnů, po které je kterýkoliv bod na Zemi nebo v blízkosti Země pokryt družicemi, které vysílají signál použitelný k navigaci.
Spolehlivost služby je definována jako procento daného časového intervalu, po který horizontální chyba určení polohy nepřekročí stanovený práh spolehlivosti.
Velikost tohoto prahu se volí tak vysoká, aby během bezporuchového provozu systému prakticky nemohlo dojít k jeho překročení. Porucha některé družice nemusí nutně vést k hrubému narušení přesnosti měření. Aby uživatel případnou poruchu zaregistroval, musí být družice po dobu poruchy pro uživatele viditelná a uživatel ji musí používat k určování polohy.
Porucha musí být tak závažná, aby způsobila dostatečně velkou chybu určení polohy. Pro účely norem minimální výkonnosti byly přijaty dvě definice spolehlivosti. Jedná se, podobně jako v předchozích případech, o spolehlivost v jednom bodu a průměrnou globální spolehlivost.
Spolehlivostí v jednom bodě se rozumí procento časového intervalu o délce jednoho roku, po který horizontální chyba určení polohy uživatele, který se nachází v daném bodu, nepřekročí jistou hodnotu (např. původně u SPS služby GPS – NAVSTAR to byla hodnota 500 m). Průměrnou globální spolehlivostí se míní průměrné procento časového intervalu o délce jednoho roku, po který horizontální chyba určení polohy uživatele, který se nachází kdekoli na Zemi nebo v blízkosti Země, nepřekročí stanovenou hranici (500 m).
Přesnost určení polohy je soubor parametrů vyjadřující do jaké míry změřené údaje odpovídají skutečnosti. Pro účely norem minimální výkonnosti byly definovány čtyři typy přesnosti tak, aby bylo pokryto chování systému z hlediska všech možných aplikací. Je to přesnost určení polohy, opakovatelná přesnost, relativní přesnost a přesnost přenosu času.
Přesnost určení polohy vyjadřuje, do jaké míry poloha určená prostřednictvím služby odpovídá skutečné poloze. Definuje se horizontální přesnost a přesnost výšky. V obou případech se jedná o hodnoty, u nichž chyba v jakémkoliv místě na Zemi nepřekročí po 95 %, respektive 99,99 % časového intervalu o délce 24 hodin.
Opakovatelná přesnost udává, do jaké míry souhlasí údaje o poloze změřené s určitým časovým odstupem v témže bodu. Jedná se tedy o přesnost, se kterou může uživatel opět vyhledat bod, jehož polohu předtím určil a zaznamenal. Definuje se horizontální opakovatelná přesnost a opakovatelná přesnost výšky. V obou případech jsou to hodnoty, které chyba v jakémkoli bodu na Zemi nepřekročí po 95 % časového intervalu o délce 24 hodin.
Relativní přesnost vyjadřuje, do jaké míry rozdíl polohových údajů změřených dvěma nepříliš vzdálenými přijímači odpovídá skutečnosti, přičemž se předpokládá, že oba přijímače určují polohu přibližně ve stejném čase a na základě měření ke stejným družicím. Jedná se o dosažitelnou přesnost při diferenčním měření. Definuje se horizontální relativní přesnost a relativní přesnost výšky. V obou případech se jedná o hodnoty, které chyba v jakémkoli bodu na Zemi nepřekročí po 95 % časového intervalu o délce 24 hodin.
Přesnost přenosu času vyjadřuje, do jaké míry časové údaje určené prostřednictvím služby odpovídají časové stupnici UTC (USNO). Jedná se o hodnotu, kterou chyba určení času v jakémkoli bodu na Zemi nepřekročí po 95 % časového intervalu o délce 24 hodin.
Přesnost také závisí na vlastnostech použitého přijímače. Všechny definice přesnosti u globálních dálkoměrných systémů však předpokládají, že k měření se používá přijímač, který určuje polohu a čas na základě měření ke čtyřem družicím s nejlepším činitelem zhoršení PDOP (viz kapitola 4) a neprovádí žádnou filtraci změřených nebo vypočtených údajů.
Posledním významným aspektem k hodnocení globálního navigačního systému je integrita. Ne vždy je tento parametr vztažen k danému systému, protože primárně navigační systém integritu často sám o sobě nezajišťuje. Integrita specifikuje schopnost systému informovat uživatele o chybě v systému či výpadku některé jeho části. V podstatě je to čas, za který budou uživateli dostupné informace o nějaké chybě v navigačním systému (myšleno v kosmickém, případně řídicím segmentu). A i integritu lze definovat statisticky ve smyslu: „Za jakou maximální dobu získá uživatel informaci o poruchách pro dané procento vzniknuvších chyb?“ Integritu můžeme zkoumat z hlediska autonomních schopností systému vyhledat závadu nebo v souvislosti s doplněným systémem (augmentací), který zajišťuje integritu navigačního systému nezávisle. Je zřejmé, že integrita je důležitá pro některé kritické navigační úkoly. Je jasné, že pro navigaci automobilu není integrita kritická, chybné určení může nejvýše řidiče zaskočit a ten bude muset vyhledat starou papírovou automapu. Naopak chyba určení polohy způsobená nezjištěnou závadou navigačního systému např. při přistávání letadla může mít katastrofální důsledky. Velmi důležitým aspektem moderních navigačních systémů je právě budování rozsáhlých monitorovacích sítí družicových systémů, které zajišťují integritu i pro ty nejkritičtější navigační úlohy.
2 Geodetické souřadné soustavy
Popis tvaru Země pro přesné navigační účely určuje geoid. Ten je matematickým modelem Země vycházejícím z elipsoidu v daném referenčním systému. Vycházíme z definice referenčního elipsoidu, jehož středem je střed Země, a určujeme (podle obr. 2.1):
• Geodetickou (zeměpisnou) šířku ϕ jako úhel, který svírá rovina rovníku (nulté rovnoběžky) s normálou n k ploše elipsoidu s vrcholem ve středu země 0 (kladná hodnota geodetické šířky je na severní polovině zemského elipsoidu);
• geodetickou (zeměpisnou) délku λ jako úhel, jež svírá rovina místního poledníku s rovinou referenčního (nultého) poledníku s vrcholem ve středu země 0 (kladná východním směrem) a
• elipsoidickou výšku H jako vzdálenost od referenčního elipsoidu, měřenou po normále (kladná vně elipsoidu). Pro geodetickou nadmořskou výšku je pak třeba uvažovat diferenci mezi referenčním elipsoidem a geoidem (viz dále).
Elipsoid je těleso, které vznikne rotací klasické (2D) elipsy okolo osy rotace (kterou je jedna z poloos elipsy). V případě geodetických souřadných systémů je osa rotace elipsoidu shodná s rotační osou Země a orientace rotované elipsy je dána shodou malé poloosy s rotační osou Země (Země je na pólech „zploštělá“).
Obr. 2.1. Definice geodetických a kartézských souřadnic
Rovník a nultý poledník jsou základními referencemi pro určování zeměpisných souřadnic, které jednoznačně určují polohu jakéhokoliv bodu na zemském povrchu nebo v jeho okolí. Rovník rozděluje Zemi na severní a jižní polokouli, přičemž geodetická šířka na severní polokouli je prezentována jako kladná, na jižní pak záporná, a udává se ve stupních, je tedy v rozsahu +90° (severní pól) až -90° (jižní pól). Referenční nultý poledník (λ = 0°), který prochází londýnskou observatoří v Greenwichi, rozděluje Zemi
na východní a západní polokouli. Konvence pro geodetickou délku je stanovena tak, že směrem na východ od referenčního poledníku je definována kladnou hodnotou úhlu λ a směrem na západ zápornou hodnotou úhlu λ. Rozsah geodetické délky je tudíž od 180° do -180°.
Pro určení zeměpisných souřadnic daného bodu v prostoru Země se vychází z definice zeměpisných kartézských souřadnic. Obecně se při výpočtu polohy daného bodu měřením družicových navigačních signálů nejprve určí zeměpisné kartézské souřadnice tohoto bodu, neboť pro výpočet se používá výpočet průsečíků kulových ploch, což je v kartézských souřadnicích podstatně jednodušší. Získané kartézské souřadnice se následně přepočítají na souřadnice geodetické v příslušném referenčním souřadném systému daném použitým elipsoidem. Definice zeměpisných kartézských souřadnic je zřejmá z obrázku 2.1. Počátek souřadného systému je ve středu Země, osa z je v severním směru osy rotace, osu x definuje polopřímka vedená ze středu Země k průsečíku nultého poledníku a rovníku na povrchu Země a osa y je polopřímkou od středu Země k průsečíku rovníku a devadesátého poledníku na východní polokouli (λ = +90°) na povrchu Země.
2.1 Vztah mezi kartézskými a geodetickými souřadnicemi
Pokud použijeme standardní konvenci kartézských souřadnic podle obrázku 2.1, respektive 2.2, pak mezi kartézskými pravoúhlými a zeměpisnými (geodetickými) souřadnicemi pro polohu bodu P (viz obr. 2.2) platí transformační vztahy:
(
P P)
P PP N H cos
ϕ
cosλ
X = + , (2.1)
(
P P)
P PP N H cos
ϕ
sinλ
Y = + , (2.2)
[ ( )
2 P P]
PP
1 e N H sin ϕ
Z = − +
, (2.3)kde e je excentricita (výstřednost) referenčního elipsoidu:
2 2
1 a
e= − b (2.4)
a NP je tzv. příčný poloměr křivosti elipsoidu závisející na zeměpisné šířce dané polohy bodu:
P 2 P 2
sin
1 e
ϕ
N a
= − . (2.5)
Parametry a a b určují hlavní, resp. vedlejší poloosu elipsoidu. Často je však vztah mezi hlavní a vedlejší poloosou definován pomocí zploštění f, pro nějž platí:
a b f a−
= . (2.6)
Srovnáním rovnice (2.4) a (2.6) získáme vzájemný vztah mezi excentricitou a zploštěním:
( )
2 222 1
1 a
f b e = − =
− . (2.7)
Obr. 2.2. Vztah mezi geodetickými a kartézskými souřadnicemi definovaného bodu
V Příklad 2.1:
Zadání: Určete kartézské souřadnice bodu daného geodetickými souřadnicemi v systému WGS-84: severní šířka 50°, východní délka 15° a elipsoidická výška (výška nad referenčním elipsoidem) 500 m. Referenční elipsoid má parametry: a = 6 378 137 m (délka hlavní poloosy) a 1/f = 298,257 223 563 pro geodetický souřadný systém WGS-84 (viz dále).
Parametr f definuje tzv. zploštění elipsoidu, které je přímo spjato s jeho excentricitou.
Řešení: Podle rovnice (2.7) nejprve určíme délku vedlejší poloosy b:
(
f)
a
b= ⋅ 1− , (2.8)
přičemž si pro další výpočty určíme doplněk zploštění do 1:
67 9966473916 ,
257223563 0 ,
298 1 1
1− f = − = , (2.9)
(
1−)
=6378137⋅0,996647189335=6356752,3m⋅
=a f
b . (2.10)
Z vypočtené hodnoty délky vedlejší poloosy je zřejmé, že je zhruba o 23 km menší než hlavní poloosa a že pro přesná určování polohy nelze Zemi považovat za těleso kulového tvaru (chyba by byla v kilometrech). Excentricita zemského elipsoidu je:
0842622 0,08181919
9335 0,99664718 1
1 2 2
2 == − =
−
= a
e b . (2.11)
Příčný poloměr křivosti pro zeměpisnou šířku 50° je:
( ) 50 6390702 , 0 m sin
834 0818167261 ,
0 1
6378137 sin
1
2 2 P 2 2P
=
°
= −
= −
ϕ e
N a
. (2.12)Nyní již můžeme vypočítat kartézské souřadnice bodu P:
( ) ( ) ( ) ( )
m 5 , 3968202
15 cos 50
cos 500 6390702
cos cos
P PP P P
=
=
°
⋅
°
⋅ +
= +
= N H ϕ λ
X
, (2.13)( ) ( ) ( ) ( )
m 6 , 1063276
15 sin 50 cos 500 6390702
sin cos
P PP P P
=
=
°
⋅
°
⋅ +
= +
= N H ϕ λ
Y
, (2.14)( )
[ ] [ ( ) ]
( ) 50 4863172 , 1 m
sin
500 6390702 834
0818167261 ,
0 1 sin
1
2 P P P 2P
=
°
⋅
⋅ +
⋅
−
= +
−
= e N H ϕ
Z
. (2.15)
Inverzní postup, tedy získání geodetických souřadnic z kartézských, je poněkud komplikovanější. Nechť je bod P’ kolmým průmětem bodu P do roviny geodetického rovníku, pak jeho vzdálenost od počátku souřadných systémů (kartézského i geodetického) bude dána:
2 P 2 P
P X Y
d = + . (2.16)
Pro geodetickou délku pak budou platit rovnice:
P
sin P
d
= Y λ a
P
cos P
d
= X
λ . (2.17)
Z rovnic (2.17) lze jednoznačně určit geodetickou délku v celém jejím rozsahu <180°, 180°>:
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= +
P P
arctg P
2 X d
λ Y . (2.18)
Dosadíme-li takto určenou geodetickou délku do rovnice (2.16), resp. (2.1) a (2.2), a do rovnice (2.3), získáme po úpravách soustavu rovnic se zbylými neznámými:
elipsoidickou výškou H a geodetickou šířkou ϕ :
( )
ϕϕ ϕ ϕ
sin sin 1
1 sin cos 1
2 2
2 P
2 P 2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
= −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
= −
e H e Z a
e H d a
. (2.19)
Soustava rovnic (2.19) je naneštěstí z hlediska proměnných (elipsoidická výška H a geodetická šířka ϕ) transcendentní a její řešení není triviální. Nabízí se několik způsobů.
Jedna z možností je zavést substituci:
( )
ϕ=tg
t , (2.20)
přičemž po eliminaci elipsoidické výšky a zavedení této substituce získáme rovnici:
(
2)
22 P
P
1
1 e t
d ae t Z
⋅
−
− +
= .
(2.21)
Tuto rovnici lze řešit, buď přímo pomocí úpravy na mnohočlen čtvrtého stupně:
(
1)
2(
1) [ (
1) ]
2 P P P2 02 2 P 4 2 2 P 2 2 P P 3 2 2 P
4d −e − t d Z −e +t d −a e +Z −e − td Z +Z =
t (2.22)
a aplikovat vztahy pro kořeny bikvadratické rovnice, nebo použít iterační výpočet pomocí postupu prosté iterace:
(
2)
22 P
P 1
1
1 n
n
t e d ae
t Z
⋅
−
− +
+ = ,
(2.23)
pro počáteční hodnotu:
P 2
P
0 (1 e ) d
t Z
⋅
= − . (2.24)
Počet kroků iterace je dán požadovanou přesností řešení, prakticky však pro malé elipsoidické výšky není příliš vysoký. Po N krocích pak již můžeme ze substitučního vztahu (2.20) získat geodetickou šířku:
( )
tN arctgϕ = (2.25)
a elipsoidickou výšku:
( )
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
− + +
= 2 2
2
1 1 1
N P
N e t
d a t
H . (2.26)
V Příklad 2.2:
Zadání: Určete zpětně geodetické souřadnice z kartézských souřadnic bodu P z příkladu 2.1 v geodetickém souřadném systému s referenčním elipsoidem WGS-84. Využijte prosté iterační metody.
Řešení: Podle rovnice (2.16) nejprve určíme vzdálenost bodu P’ od počátku souřadných systémů, který je kolmým průmětem bodu P do roviny geodetického rovníku:
m 5011627 4108185,48
4334745 1063276,64
9158612
3968202,45 2 2
2 2
=
= +
= +
= P P
P X Y
d . (2.27)
Aplikací vztahu (2.18) získáme geodetickou délku:
( )
= ⋅ = °=
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= +
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= +
15 5 , 7 2 7587396 0,13165249
arctg 2
5011627 4108185,48
9158612 3968202,45
4334745 1063276,64
arctg 2
arctg 2
P P
P
d X λ Y
. (2.28)
Pro zbylé dvě geodetické souřadnice provedeme iterační proces s využitím substituce (2.20).
Nejprve určíme počáteční hodnotu proměnné t podle (2.24):
43885 1917542209
, 1
5011627 4108185,48
) 0842622 0,08181919
1 (
9927993 4863172,05
) 1 (
2 P
2 P 0
=
⋅ =
= −
⋅ =
= −
d e t Z
. (2.29)
Nyní určíme geodetickou šířku a elipsoidickou výšku pro tuto počáteční hodnotu:
( )
=( )
= °=arctg 0 arctg1,191754220943885 50,0000148750655
0 t
ϕ , (2.30)
( )
( )
m 034 9719590553 ,
501
0943885 1,19175422
0842622 0,08181919
1 1
6378137 5011627
4108185,48
0943885 1,19175422
1 1 1 1
2 2
2 2
0 P 2
2 0 0
=
⎟=
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
− +
⋅
⋅ +
⎟=
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
− + +
= e t
d a t H
. (2.31)
Z výsledků pro počáteční hodnotu parametru t podle rovnice (2.24) je patrné, že řešení je velmi blízké cíli, chyba ve výšce je jen asi 2 m. Pokud budeme dále iterovat podle rovnice (2.23), získáme výsledky podle tabulky 2.1.
Tab. 2.1. Výsledky iteračního procesu příkladu 2.2
Iterace tn ϕn [°] Hn [m]
n = 0 1,191754220943885 50,0000148750655 501,9719590553034 n = 1 1,191753590116247 49,9999999413386 499,9922233735762 n = 2 1,191753592603982 50,0000000002313 500,0000306691074 n = 3 1,191753592594171 49,9999999999991 499,9999998801500 n = 4 1,191753592594210 50,0000000000000 500,0000000018656
Z výsledků v tabulce 2.1 je zřejmé, že numerický výpočet poměrně rychle konverguje ke správnému řešení, navíc uvedený postup neobsahuje příliš náročné matematické operace a je vhodný pro výpočet i v mikrokontroléru pro aplikace v ručních navigačních přijímačích.
Na druhou stranu je třeba pro přesnou navigaci s výpočetní chybou do několika centimetrů využívat číselné proměnné s velkým rozlišením.
2.2 Referenční plochy geodetických souřadnicových soustav
Zobecněnou referenční plochou Země je geoid. Geoid je definován jako plocha, která je kolmá ve všech bodech k tíhovému zrychlení s hodnotou odpovídající nerušené (příliv, odliv) střední hladině světových moří s „protažením“ i pod kontinenty. Protože geoid je definován jako fyzikální těleso, na nějž má vliv jak vlastní rotace Země, tak především i nehomogenita tělesa Země, je jeho matematické vyjádření velmi složité. Tvar zemského geoidu je naznačen na obrázku 2.3, deformace jsou zde ilustrativně zvýrazněny.
Ve skutečnosti je maximální odchylka skutečného tvaru Země (geoidu) od elipsoidu v řádu desítek metrů. Pro potřeby praktického mapování a kartografie je proto nahrazován referenčním elipsoidem, přičemž souřadnice zeměpisné šířky a délky zůstávají zachovány (nezávisí na tom, zda se použije přesný model geoidu nebo referenčního elipsoidu v daném souřadném systému). Tzn., že výpočet geodetické šířky a výšky lze provést matematicky jednodušším modelem v příslušném referenčním elipsoidu. Skutečnou nadmořskou výšku odpovídající výšce nad geoidem je potom nutné z elipsoidické výšky přepočíst. Rozdíl mezi elipsoidickou výškou Hel a nadmořskou (vztaženou ke geoidu) výškou osvětluje obrázek 2.4.
Nadmořská výška je v geodézii rovněž označována jako nivelační výška Hniv. Pro daný referenční geodetický systém musí být určitým způsobem vyjádřena výška geoidu N, která je závislá jen na geodetické šířce a délce. Vztah mezi jednotlivými výškami je zřejmý z obrázku 2.4:
N H
Hniv = el− (2.32)
Obr. 2.3. Tvar tělesa Země – geoid, deformace vůči elipsoidickému tvaru jsou zvýrazněny
Obr. 2.4. Vztah mezi elipsoidickou a nivelační výškou a výška geoidu
Výška geoidu pak může být definována vhodnou tabulkou pro diskrétní hodnoty geodetické šířky a délky N = f (ϕ, λ). Hodnoty výšky geoidu jsou pak získány interpolací od známých hodnot pro rohy čtverce, které vytyčí nejbližší známé hodnoty výšek geoidu (pro diskrétní hodnoty ϕ a λ).
Parametry elipsoidu jsou voleny tak, aby v maximální míře nahrazovaly geoid v požadované části Země (národní reference) nebo pro globální navigaci pak nahrazovaly celý geoid. Elipsoid je plně definován dvěma parametry, kterými mohou být:
• a, b – velikost hlavní a vedlejší poloosy,
•a, e – velikost hlavní poloosy a výstřednost (excentricita),
•a, f – velikost hlavní poloosy a zploštění.
Do současné doby byla odvozena velká škála referenčních elipsoidů specifikovaných jak pro globální (celkový) popis Země, tak i pro určité území se zvýšenou přesností. Pro civilní národní mapová díla se na území České republiky používá Besselův elipsoid, systém je označen jako systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JSTK). Krasovského elipsoid je zemský referenční elipsoid, jejž v roce 1940 definoval sovětský geodet F. N.
Krasovskij na základě rozsáhlých geodetických měření. Na Krasovského elipsoidu je postaven souřadný systém S-42 používaný na vojenských mapách v někdejším „východním socialistickém bloku“. Přebírají ho i mapy z těchto vojenských map odvozené, např. edice turistických map 1 : 50 000 vydávaných Klubem českých turistů cca do roku 1998. Česká armáda opustila Krasovského elipsoid v roce 2005 a z důvodu sjednocení s armádami NATO přešla na elipsoid WGS-84. World Geodetic System 1984 (zkratka WGS-84) je světově uznávaný geodetický standard vydaný ministerstvem obrany Spojených států v roce 1984, který používá jako referenční družicový navigační systém GPS – NAVSTAR. Původní systém WGS-84 byl založen na referenčním elipsoidu GRS-80, v roce 1996 byl zpřesněn o definici geoidu (EGM96) s revizí v roce 2004. Systém WGS-84 se dnes standardně používá i v nových českých (turistických) mapách. Okolo roku 2000 se v mapách Klubu českých turistů vyskytovaly oba souřadné systémy (souřadnice podle Krasovského modelu byly příznačně značeny červenou barvou). S vývojem velmi přesného evropského družicového navigačního systému Galileo se připravuje nový přesnější model pro extrémně náročné aplikace, jako je například automatické přistávání letadel. Parametry základních elipsoidů jsou uvedeny v tabulce 2.2.
Tab. 2.2. Parametry nejčastěji používaných referenčních elipsoidů
Ref. elipsoid GRS-80 WGS-84 Besselův Krasovského Velká poloosa
a [m] 6378137,00000 6378137,00000 6377397,15508 6378245,00000 Malá poloosa
b [m] 6356752,31414 6356752,31425 6356078,96290 6356863,01877 Reciproká
hodnota zploštění 1/f
298,257222101 298,257223563 299,152812853 298,3
Výška geoidu je vždy vztažena k použitému referenčnímu elipsoidu. Příklad výšky geoidu pro elipsoid WGS-84 je znázorněn na obrázku 2.5. Hodnota výšky geoidu je závislá na geodetické poloze (šířce a délce) a pro referenční systém WGS-84 se pohybuje v rozsahu od -105 m do +85 m. Vzhledem k rozměrům Země to není příliš mnoho, avšak pro přesné určení nivelační výšky je nutné výšku geoidu uvažovat a stanovit s dostatečnou přesností.
V navigačních zařízeních jsou buď definovány vhodné interpolační vztahy, nebo je v paměti uložena tabulka výšek geoidu pro vhodnou síť zeměpisných šířek a délek a aproximace se provádí na této síti.
Přepočet mezi jednotlivými souřadnými systémy lze nejlépe realizovat v kartézských souřadnicích, pro které lze definovat jednoznačné transformační vztahy. Například pro přepočet mezi WGS-84 a S-JSTK jsou definovány následující transformace v kartézské soustavě v metrech:
( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
= −
−
−
−
−
−
−
− −
6 , 421
4 , 119
4 , 574 1
10 162 , 3 10
83 , 3
10 162 , 3 1
10 5 , 2
10 83 , 3 10
5 , 2 1
10 39 , 7
1 WGS 84
5 6
5 5
6 5
6 JSTK
S r
r (2.33)
a reciproce:
( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ +
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅ +
= −
−
−
−
−
−
−
−
−
6 , 421
4 , 119
4 , 574 1
10 162 , 3 10 83 , 3
10 162 , 3 1
10 5 , 2
10 83 , 3 10 5 , 2 1
10 39 , 7
1 S JSTK
5 6
5 5
6 5
6 84
WGS r
r , (2.34)
kde r je vektor kartézských souřadnic [x, y, z]. Geodetické souřadnice se pak vypočítají z kartézských postupem podle kapitoly 2.1. Z rovnic (2.33) a (2.34) vyplývá, že systémy WGS-84 a S-JSTK vzájemně vykazují odchylku nejen ve tvaru elipsoidu, ale i v posunutí jejich středu řádově o stovky metrů. Stejně tomu je i v praxi, kdy pro shodné geodetické souřadnice pro systém WGS-84 i S-JSTK vykazuje v reálném prostoru rozdíly ve stovkách metrů. V literatuře [5] lze najít i grafické řešení přepočtů souřadnic mezi WGS-84 a S-JSTK pro Českou republiku.
Obr. 2.5. Výška geoidu pro systém WGS-84
V Příklad 2.3:
Zadání: Určete kartézské souřadnice bodu P z příkladu 2.1 v systému S-JSTK, který je definován v geodetickém souřadném systému s referenčním elipsoidem WGS-84.
Řešení: Do rovnice (2.33) dosadíme vypočtené kartézské souřadnice bodu P podle rovnic (2.13) až (2.15):
( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
3 , 4862677
1 , 1063147
8 , 3967718 6
, 421
4 , 119
4 , 574
1 , 4863172
6 , 1063276
5 , 3968202 1
10 162 , 3 10
83 , 3
10 162 , 3 1
10 5 , 2
10 83 , 3 10
5 , 2 1
10 39 , 7 1
5 6
5 5
6 5
6 JSTK
rS
. (2.35)
Rozdíl mezi kartézskými souřadnicemi WGS-84 a S-JSTK je:
m 7 , 483 8 , 3967718 5
, 3968202
JSTK S P 84 WGS P
P = − = − =
ΔX X − − X − − , (2.36)
m 5 , 129 1 , 1063147 6
, 1063276
JSTK S P 84 WGS P
P = − = − =
ΔY Y − − Y − − , (2.37)
m 8 , 494 3 , 4862677 1
, 4863172
JSTK S P 84 WGS P
P = − = − =
ΔZ Z − − Z − − . (2.38)
Z výsledků je patrné, že rozdíl v souřadnicích dosahuje hodnot řádů stovek metrů a je nutno vždy uvažovat daný referenční systém. Stejně tak každý referenční systém musí mít definovanou příslušnou výšku geoidu (např. model výšky geoidu na obrázku 2.5 platí pouze pro systém WGS-84).
3 Pohyb navigačních družic
Znalost přesné aktuální polohy navigačních družic je nezbytnou podmínkou pro řešení úlohy výpočtu polohy uživatele (GNSS přijímače), kdy se využívá signálů umělých navigačních družic jako majáků. Následující čtvrtá kapitola je věnována metodám stanovení polohy GNSS přijímače na základě signálů generovaných těmito družicemi, přičemž všechny dále popisované metody vyžadují aktuální znalost polohy družice. Situace je obvykle o to komplikovanější, že navigační družice jsou nejčastěji umístěny na negeostacionárních drahách a vůči pozemskému uživateli jsou v neustálém pohybu. Rychlost takových družic je pak několik jednotek km/s a je jasné, že precizní určení polohy vyžaduje velmi přesné stanovení parametrů dráhy satelitu, ze kterých lze aktuální polohu vypočítat. Stanovení polohy družice je navíc komplikováno vlastním pohybem referenční soustavy Země (vlastní rotace), protože je nutné stanovit polohu satelitu v geodetické souřadné soustavě (nejčastěji pomocí geodetických kartézských souřadnic).
Pohyb tělesa po oběžné dráze kolem Země lze popsat pomocí keplerovské mechaniky pohybu těles v gravitačním poli [15]. Ta vychází ze tří základních zákonů. Podle prvního Keplerova zákona se oběžná tělesa (družice) pohybují okolo mateřského tělesa (Země) po eliptických drahách, přičemž v jednom ohnisku elipsy je těžiště soustavy oběžné těleso – mateřské těleso (v případě zemských satelitů jde tedy o střed Země). Často využívanými drahami jsou kruhové dráhy, které ve své podstatě odpovídají speciálnímu případu dráhy eliptické, kdy obě ohniska splývají. U obecné eliptické dráhy (orbity) je zavedena terminologie pro bod, v němž má družice vůči středu Země nejmenší průvodič. Tento bod se nazývá perigeum (bod P na obrázku 3.1). Naopak bod nejvzdálenější od středu Země je nazýván apogeum (bod A na obrázku 3.1). Oba tyto body určují tzv. přímku apsid, na které leží hlavní poloosa dráhové elipsy a. Aby bylo možné definovat přesnou polohu satelitu v daném okamžiku, je nutné znát a pomocí určitých parametrů definovat tvar dráhy, její umístění v prostoru a polohu satelitu na této dráze v jistém časovém okamžiku (v minulosti).
Pak lze pro jakýkoli jiný čas (v budoucnosti, přítomnosti i minulosti) polohu satelitu určit na základě znalosti dráhy a implementace pohybových rovnic na družici se pohybující po této dráze. Tento přístup je obecně nazýván jako predikce polohy družice.
Druhý Keplerův zákon vysvětluje rychlost pohybu satelitu kolem Země na obecné dráze. Obsahy ploch opsaných průvodičem družice a středu Země za stejný čas jsou stejné.
V perigeu se tedy oběžnice pohybuje nejrychleji, naopak v apogeu nejpomaleji.
Třetí Keplerův zákon definuje vztah mezi oběžnou dobou, tzv. periodou, vzdáleností od mateřského tělesa. Pro planety sluneční soustavy je definován takto: poměr druhých mocnin period P dvou planet je stejný jako poměr třetích mocnin jejich velkých poloos a. Pro družice Země lze přímo definovat vztah mezi oběžnou periodou P a velkou poloosou a:
2 3
2 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=μ Pπ
a , (3.1)
kde parametrem μ je gravitační parametr Země (398 600,3 km3⋅s-2) definovaný jako součin hmotnosti Země M a univerzální gravitační konstanty G:
2 3 24
2 2
11 Nm kg 5,9736 10 kg 398600,3km s 10
67384 ,
6 ⋅ − − ⋅ ⋅ = −
=
⋅
=G M
μ . (3.2)
Obr. 3.1. Definice parametrů polohy družice
3.1 Definice polohy a pohyb družice
Tvar elipsy družicové dráhy je dán délkou hlavní poloosy a a vzdáleností ε, která reprezentuje vzdálenost (libovolného) ohniska F od středu elipsy S. Vztah mezi velkou poloosou a, malou poloosou b a délkou ε lze odvodit z Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník, protože přepona trojúhelníku FSB je rovna délce hlavní poloosy:
2 2 2 =a −b
ε . (3.3)
Dále je definována tzv. výstřednost (excentricita) e (někdy uváděná jako číselná excentricita, zatímco ε se definuje jako excentricita, v dalším výkladu bude excentricitou míněno e) vyjadřující „míru zploštění“ elipsy:
1
1 2
2 <
−
=
= a
b e εa
. (3.4)
Pro kruhovou dráhu jsou obě ohniska totožná s bodem středu S a excentricita e je nulová, naopak pro hodnotu excentricity blížící se jedné získáváme značně výstřednou elipsu, velikost malé poloosy se v tomto případě blíží k 0. Mezi výškou apogea hA, výškou perigea hP a hlavní poloosou a platí vztah:
0 P A
2 h R
a = h + + , (3.5)
kde R0 je poloměr Země (přibližně 6 378 km). Rovněž lze odvodit vztah mezi excentricitou e, výškou apogea, výškou perigea a hlavní poloosou:
a h e h
2
P A −
= . (3.6)
Rovina dráhy je definována pomocí dvou úhlů. Prvním je inklinace i, ta určuje úhel mezi základní rovinou (rovinou rovníku) a rovinou dráhy. Druhý úhel je nazýván délka vzestupného uzlu Ω nebo také tzv. rektascenze. Ten je sevřen mezi směrem k jarnímu bodu a uzlovou přímkou. Směr k jarnímu bodu (znamení Berana – první jarní znamení) se nachází v rovině rovníku a určuje směr ke Slunci přesně v okamžiku jarní rovnodennosti (Slunce je v tu chvíli právě v rovině zemského rovníku). Směr k jarnímu bodu je tedy jakousi referencí (směrovým počátkem) v základní rovině. Uzlovou přímku definuje průsečík roviny dráhy satelitu a roviny rovníku. Na uzlové přímce se nachází dva význačné body dráhy družice, které jsou průsečíkem uzlové přímky a vlastní dráhy satelitu.
Jsou to vzestupný uzel , ve kterém družice přechází z jižních zeměpisných šířek do severních, a sestupný uzel , ve kterém družice přechází ze severních zeměpisných šířek do jižních.
Posledním parametrem pro specifikaci dráhy družice je tzv. argument perigea ω, který definuje natočení eliptického tvaru dráhy družice v její rovině. S výhodou se využívá vzájemné pootočení dvou přímek (polopřímek) v rovině dráhy (přímka apsid a uzlová přímka), přesněji řečeno argument perigea je úhel, který svírá průvodič k vzestupnému uzlu a průvodič k perigeu.
Pět výše vysvětlených veličin definuje přesně dráhu družice, pro zopakování to jsou:
• Délka hlavní poloosy a v [m],
• excentricita e.
• inklinace i v [rad] .
• rektascenze Ω v [rad].
• argument perigea ω v [rad].
Posledním parametrem je třeba definovat polohu satelitu na dráze v určitém čase.
Obecně je poloha družice na dráze určena průvodičem r a úhlem f, který je nazýván pravou anomálií a je sevřen mezi průvodičem k perigeu a průvodičem družice. Velikost vektoru rychlosti v podle obrázku 3.1 je dána vztahem:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
= r a
v μ 2 1 . (3.7)
