Cvičení k přednášce Termodynamika a statistická fyzika (NUFY094)

Cvičení k přednášce

Termodynamika a statistická fyzika (NUFY094)

Určeno pro 3. ročník učitelství fyziky pro SŠ Verze z října 2014 pro kombinované studium

Další úlohy včetně jejich podrobného řešení lze nalézt v elektronické sbírce, v kapitole Termodynamika a molekulová fyzika, viz fyzikalniulohy.cz.

Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo výuky.

Zdeňka Koupilová (Zdenka.Koupilova @ mff.cuni.cz)

1. Matematické okénko

Co je třeba znát z teorie:

• totální a parciální derivace - rozdíl, význam, vzájemné vztahy

• Taylorův rozvoj

• složená funkce - zejména její derivace

• derivace inverzní funkce

• implicitní funkce - její derivace

• totální diferenciál

Funkce více proměnných

1.1.) Ukažte, že platí: (

∂U

∂T )

V

̸

= (∂U

∂T )

p

.

1.2.) Uvažujte potenciální energii V v tíhovém poli s osou z orientovanou svisle vzhůru. V rovině xz platí V(x, z) = mgz. Spočtěte parciální derivaci podle x pro V(x, z) a pro U(x, r), kde r je vzdálenost od počátku (tj. sou- řadnice r z polárních souřadnic).

1.3.) Pomocí derivace implicitní funkce ukažte, že platí (∂A

∂B )

C

(∂B

∂C )

A

(∂C

∂A )

B

=−1.

Aplikujte tento obecný vzorec na termodynamický systém v rovnovážném stavu podrobený působení jediné zobecněné síly A ≡ p sdružené se zobec- něnou souřadnicí a ≡ V a vnitřním parametrem T. Odvoďte vztah mezi teplotním součinitelem objemové roztažnosti γ = _V¹ (_∂V

∂T

)

p, teplotním sou- činitelem rozpínavosti β = _p¹(_∂p

∂T

)

V a součinitelem izotermické stlačitelnosti α ≡K_T = _V¹

(∂V

∂p

)

T

.

Pfaffovy formy

1.4.) Zjistěte, zda se jedná o totální diferenciál? Pokud ano, zintegrujte. Po- kud ne, pokuste se nalézt integrační faktor.

a) ðF(x, y) = 2xsinydx+ (

x²cosy− _y¹2

) dy b) ðF(x, y) = x²dx+³₂xy²dy

c) ðF(x, y) = 6xy³dx+ 9x²y²dy d) ðF(x, y) = 6xy²dx+ 9x²ydy e) ðF(x, y) = 2xydx+x²dy f) ðF(x, y) = 2xydx+ (x²+y²)dy g) ðF(x, y) = ydx−xdy

h) ðF(x, y, z) = dx+ydz

i) ðF(x, y, z) = (siny−ycosx+yz)dx+ (xcosy−sinx+xz)dy+xydz j) ðF(x, y, z) = (y²+ 5x⁴z⁶+ 2yz²)dx+ (2xy+ 3y²z⁴+ 2xz²)dy+ (4y³z³+ 6x⁵z⁵+ 4xyz)dz.

1.5.) Výrazy ðF(x, y) = 6xy³dx+ 9x²y²dy a ðF(x, y) = 6xy²dx+ 9x²ydy zintegrujte po křivkáchγ₁aγ₂. Před integrací se pokuste odhadnout výsledek (využijte výsledky předchozí úlohy).

Křivka γ₁ se skládá ze dvou částí. Začíná v bodě (x₁, y₁). Na první části se nemění proměnná x a první část končí v bodě (x₁, y₂). Na druhé části se nemění proměnná y a křivka končí v bodě (x₂, y₂). U druhé křivky je to naopak – v první části se nemění proměnná y a v druhé proměnnáx. Křivka γ₂ tedy vede z bodu (x₁, y₁) přes bod (x₂, y₁) do bodu (x₂, y₂). Obě křivky tedy mají stejný počátek a konec. Nakreslete si obrázek obou křivek.

1.6.) Integrujte Pfaffovu formu ðW(x, y) =ydx−xdy po křivce Γ, která vede z bodu [0,0] do bodu [1,1], a to a) ve směru os v pořadí x, y;

b) ve směru os v pořadí y, x;

c) přímo (po diagonále). Při integraci využijte parametrizace křivky.

1.7.) Integrujte Pfaffovu formu

ðW = (y²+5x⁴z⁶+2yz²)dx+(2xy+3y²z⁴+2xz²)dy+(4y³z³+6x⁵z⁵+4xyz)dz.

po křivce Γ, která vede z bodu [0,0,0] do bodu [1,1,1], a to a) ve směru os v pořadí x, y, z;

b) ve směru os v pořadí z, y, x;

c) přímo (po diagonále).

Při integraci využijte parametrizace křivky.

Proveďte totéž s Pfaffovou formouðW(x, y, z) = dx+ydz. Diskutujte rozdíly.

1.8.) a) Dokažte, že výraz ðQ pro infinitezimální množství tepla dodaného systému nemůže být úplným diferenciálem.

b) Dokažte, že diferenciální výraz pro elementární práci ðW =

∑n

i=1

A_ida_i

není totální diferenciál nějaké stavové funkce soustavy.

2. Základní pojmy

2.1.) [sbírka 333] Představte si železné závaží o hmotnosti 1 kg. Určete:

a) O jaké látkové množství se jedná?

b) Kolik obsahuje atomů?

c) Kolik obsahuje elektronů celkem a kolik jich je valenčních?

d) Určete, kolik procent hmotnosti tohoto závaží je tvořeno elektrony?

e) Jak velký objem odpovídá jednomu atomu?

f) Kdybychom si představili atomy jako malé krychličky naskládané vedle sebe, jak velká by byla hrana takové „ jednoatomové krychličkyÿ?

g) Jak dlouhá řada by vznikla, pokud bychom tyto „krychličkyÿ seřadili těsně za sebe? Přirovnejte tuto vzdálenost ke vzdálenosti nějakých dvou skutečných míst.

2.2.) [sbírka 336] a) Za pomoci tabulek určete hmotnost a objem vody, mědi, zlata a dusíku o látkovém množství 1 mol. b) Odhadněte objem a rozměr připadající na jeden atom, resp. molekulu uvedených látek.

2.3.) [sbírka 338] Do jezera, které má průměrnou hloubku 10 m a plochu 10 km², byla nasypána lžička soli (cca 2 g). Předpokládejte, že se sůl v jezeře rozpustila rovnoměrně. Určete, kolik iontů sodíku bude obsaženo v jedné lžičce jezerní vody (5 ml).

2.4.) [Nahodil 7.9/s. 116] Benjamin Franklin byl jen krůček k přibližnému ur- čení velikosti molekul, když zjistil, že 1 ml oleje se na hladině vody rozprostře do kruhu o průměru 32 metrů. Dokončete jeho výpočet.

2.5.) [Nahodil 7.12/s. 117] Jakou část objemu vzduchu za normálních pod- mínek zabírají molekuly v něm obsažené? Molekuly si lze představit jako krychličky či kuličky s rozměrem asi 4·10⁻¹⁰m.

2.6.) [Macháček 2/s.30] Z následujícího výčtu vyberte soustavy v rovnováž- ném stavu:

a) od okolí izolovaná směs nasyceného roztoku chloridu sodného a nerozpuš- těných krystalů této soli,

b) od okolí izolovaná směs nenasyceného roztoku chloridu sodného a neroz- puštěných krystalů této soli,

c) od okolí izolovaná soustava voda-olej ve zkumavce (dole vrstva vody, na- hoře vrstva oleje,

d) zemská atmosféra, e) zemské jádro.

2.7.) Dokažte, že libovolná funkce (veličina), která závisí jen na intenzivních parametrech (veličinách), je opět intenzivní.

2.8.) Uvažujme nabitý ideální kondenzátor o kapacitě C, beze svodu.

a) Určete stavové veličiny, rozdělte je na vnitřní a vnější a intenzivní a ex- tenzivní.

b) Kolik veličin bude závislých a kolik nezávislých.

c) Které veličiny jsou závislé a které nezávislé, jestliže měníme kapacitu (např.

změnou vzdálenosti desek) a kondenzátor je připojen ke zdroji napětí?

d) Které veličiny jsou závislé a které nezávislé, jestliže měníme kapacitu (např. změnou vzdálenosti desek) a kondenzátor je izolován od okolí?

e) Nalezněte dvojici sdružených veličin a napište elementární přírůstek práce.

3. Nultý termodynamický zákon, teplota

3.1.) Uvažujme systém složený ze stejným částic. Má součet jejich kinetické energie vlastnosti empirické teploty?

3.2.) Z údajů v následující tabulce nalezněte převodní vztahy mezi jednot- livými teplotními stupnicemi a tabulku doplňte Do posledních dvou řádků doplňte teplotu dvou vámi vybraných bodů.

stupnice termodynamická Celsiova Fahrenheitova

jednotka kelvin stupeň Celsia stup. Fahrenheita

značka K ^◦C ^◦F

absolutní nula 0 -273,15

teplota varu/kapalnění dusíku -192

teplota tuhnutí lihu -115

teplota tuhnutí rtuti -39

tepl. směsi vody, ledu a soli 0

tání/tuhnutí vody 273,15 0 32

teplota lidského těla 36,5

var vody za normálního tlaku 100 212

teplota tání olova 327

pozn.: Teplota 0 ^◦F je nejnižší teplota, jaké se podařilo Fahrenheitovi dosáh- nout (roku 1724) smícháním chloridu amonného, vody a ledu a 98 ^◦F teplota

lidského těla. Později byly referenční body upraveny na 32^◦F pro bod mrazu vody a 212 ^◦F bod varu vody.

3.3.) [sbírka 431] Při jaké teplotě ukazuje Fahrenheitova stupnice: a) dvakrát větší číselnou hodnotu než Celsiova, b) poloviční hodnotu oproti Celsiově?

Při jaké teplotě se číselný údaj na Fahrenheitově stupnici shoduje s údajem na Celsiově stupnici?

3.4.) [sbírka 366] Měděný a zinkový pásek mají při teplotě 20 ^◦C stejnou délku 20 cm. a) O kolik se bude lišit jejich délka při teplotě 100 ^◦C?

b) Pásky byly při teplotě 20 ^◦C snýtovány a vytvořily tzv. bimetal. Předpo- kládejme, že se při zahřívání ohýbá do oblouku. Určete, který kov bude na vnější straně oblouku a jaký bude poloměr tohoto oblouku při teplotě 100^◦C, jestliže jsou 1 mm silné.

3.5.) Výpočtem odhadněte tloušťku kapiláry lékařského (rtuťového) teplo- měru.

3.6.) Podle kinetické teorie plynů platí mezi (termodynamickou) teplotou T a střední rychlostí ¯v vztah

¯ v =

√8RT πMm

.

Určete střední rychlost molekul kyslíku a dusíku při pokojové teplotě. O kolik procent se liší střední rychlost molekuly v zimě a v létě? Určete jejich střední kinetickou rychlost, vyjádřete je také v eV a vymyslete/vyhledejte jinou energii podobné velikosti.

3.7.) Teplotu lze odhadnout podle zbarvení železného drátu (viz tabulka níže). Co na to Wienův posunovací zákon?

Barva Teplota (^◦C) vínově červená 500-600 jasně červená 650-750

oranžová 750-900

žlutá 900-1100

bílá >1 100

4. První termodynamický zákon

4.1.) Napište elementární přírůstek práce pro následující situace: a) plyn posune pístem; b) elektrický náboj se posune v el. poli; c) do elektrického pole přidáme „malý kousekÿ náboje; d) dojde ke změně polarizace dielektrika;

e) dojde ke změně magnetizace materiálu.

Stavové rovnice

4.2.) Napište/vyhledejte stavové rovnice rovnice termické i kalorické pro a) ideální plyn, b) van der Waalsův plyn, c) záření černého tělesa, d) ideální paramagnetikum. Ověřte, že mezi nimi platí vztah:

(∂U

∂V )

T

=T (∂p

∂T )

V

−p,

kde V je nezávislý parametr, p je závislý parametr, T teplota a U vnitřní energie.

4.3.) Nový materiál je popsán stavovými rovnicemi:

p= AT³ V , U =BTⁿln V

V₀ +f(T).

Určete vztahy mezi konstantami A,B an.

4.4.) Předpokládejme, že vnitřní energie plazmy se řídí kalorickou stavovou rovnicí ve tvaru:

U(T, V) = C_VT − B

√T V,

kde C_V a B jsou konstanty. Určete termickou stavovou rovnici, za předpo- kladu, že pro velké objemy se chování plazmy blíží chování ideálního plynu.

4.5.) Určete molární tepelnou kapacitu ideálního plynu při ději pV² = konst.

a porovnejte ji s molární tepelnou kapacitou za konstantního objemu, resp.

tlaku. Počítejte přímo a potom porovnejte s výsledkem získaným dosazením do vztahu pro tepelnou kapacitu polytropického děje.

4.6.) Magnetická látka je popsána Curieovým zákonem (stavovou rovnicí) M = ^CH_T , resp.H = ^CM_T a její vnitřní energie je jen funkcí teploty.

a) Jakou práci práci vykonáme při magnetizaci z nuly na hodnotu M? b) Určete rozdíl tepelných kapacit C_M aC_H.

c) Najděte rovnici adiabaty pro tento systém.

4.7.) Nalezněte rovnici popisující stav vzduchu uzavřeného v mýdlové bublině.

Vzduch považujte za ideální plyn.

4.8.) [sbírka 347] Za velmi nízkých teplot se molární tepelná kapacita chlo- ridu sodného mění s teplotou podle tzv. Debyeova zákona C = k^T_Θ³3, kde hodnota konstanty k = 1948,8 J mol⁻¹K⁻¹ a Debeyova teplota pro chlorid sodný je Θ = 281 K. Spočtěte:

a) tepelnou kapacitu C₁ při teplotě 10 K a tepelnou kapacitu C₂ při teplotě 50 K,

b) jaké teplo Q je zapotřebí k ohřátí 2 molů NaCl z teploty 10 K na teplotu 50 K,

c) průměrnou molární tepelnou kapacitu C_pr v teplotním intervalu 10 K až 50 K.

4.9.) [sbírka 462] V ocelové bombě o objemu 0,53 m³ je oxid uhličitý o látkovém množství 1 kmol a tlaku 5,07 MPa. Jak se liší teplota plynu spočtená podle modelu ideálního plynu od teploty spočtené podle van der Waalsovy rovnice?

4.10.) [sbírka 459] Za atmosférického tlaku 101 325 Pa a teploty 273,15 K izotermicky stlačíme 28 g dusíku na desetinu původního objemu. Určete práci plynu za předpokladu, že se jeho chování řídí van der Waalsovou rovnicí.

4.11.) Ocelová vzpěra [sbírka 393]

Ocelová tyč se při dané teplotě oběma svými konci právě dotýká pevných stěn. Určete, o kolik může vzrůst teplota, aby tlak na stykové ploše nepřesáhl bezpečnou hodnotu 5 MPa. Předpokládejte, že změna teploty je tak malá, že chování oceli bude stejné v tahu jako při tlaku.

4.12.) Do jaké hloubky je třeba ponořit do vody tenkostěnnou kádinku obrá- cenou dnem vzhůru, aby se „utopilaÿ, tj. klesla ke dnu? Hmotnost kádinky je 100 g, její objem 200 ml a atmosférický tlak 100 kPa.

Materiálové charakteristiky, vedení tepla, kalorimetrie

4.13.) Určení měrné tepelné kapacity lihu [sbírka 390]

a) Při určování měrné tepelné kapacity lihu jsme ke 200 g lihu o teplotě 29,9^◦C v kalorimetru o tepelné kapacitě 180 J K⁻¹ přilili 160 g vody o tep- lotě 15,0^◦C. Teplota se ustálila na hodnotě 22,4^◦C. Pomocí měrné tepelné kapacity vody určete měrnou tepelnou kapacitu lihu a porovnejte ji s tabul- kovou hodnotou.

b) Měření teploty je velmi obtížné, protože vyžaduje, aby došlo k dokona- lému promíchání měřených látek a ustanovení teplotní rovnováhy. Předpo- kládejme, že odchylky v měření teploty v této úloze jsou maximálně±0,5^◦C.

Za tohoto předpokladu odhadněte interval hodnot, ve kterém se měrná te- pelná kapacita lihu nachází.

4.14.) Studený zábal [sbírka 391]

Odhadněte, o kolik stupňů lze snížit teplotu nemocného dítěte pomocí zábalu do mokrého prostěradla.

Pozn.: Vzhledem k tomu, že se lidský organismus skládá převážně z vody, uva- žujte, že jeho měrná tepelná kapacita má stejnou hodnotu. Předpokládejte, že 30 % tepla ”odevzdaného” dítětem se ztratí do okolí. Také neuvažujte metabolismus, tj. fakt, že v těle probíhají chemické procesy, ve kterých se teplo uvolňuje a které udržují tělesnou teplotu. Potřebné údaje odhadněte nebo změřte.

4.15.) Transformátor chlazený olejem transformuje výkon 10 MW s účin- ností 98 %. Určete teplotu oleje na výstupu z transformátoru, jestliže jeho vstupní teplota je 10^◦C. Olej má hustotu 960 kg/m³, měrnou tepelnou kapa- citu 2,09 kJ kg⁻¹K⁻¹ a objemový tok oleje pláštěm transformátoru je 2,1 l/s.

4.16.) Vytápění dřevěného srubu [sbírka 326]

a) Jaké teplo projde za jeden zimní den bočními stěnami dřevěného srubu?

Délka srubu je 10 m, šířka 7 m a výška stěn 3,5 m a jejich tloušťka 50 cm.

Průměrná venkovní teplota je -10^◦C a teplotu uvnitř udržujeme na hodnotě 18^◦C.

b) Kolik dřeva je třeba na udržení dané vnitřní teploty spálit v kamnech s tepelnou účinností 30^◦ % za jeden den?

c) Kolik by stálo elektrické vytápění tohoto srubu za jeden den? Účinnost elektrického vytápění je prakticky 100 % a průměrná cena elektrické energie je 4,30 Kč/kWh.

d) Jaký musí být průtok vody radiátorem, jestliže na vstupu do radiátoru má teplotu 80^◦C a radiátor opouští s teplotou 70^◦C?

Předpokládejme, že střecha je tak dobře tepelně izolovaná, že ztráty tepla střechou můžeme zanedbat.

4.17.) Chlazení piva [sbírka 172]

V horském potůčku proudí voda o teplotě 8^◦C s průtokem 450 l za minutu.

Turisté z nedaleké chaty bez zavedené elektrické energie si v něm ochlazují pivo, které na slunci dosáhlo teploty 22^◦C. Jak dlouho bude turista chla- dit pivo na svých oblíbených 12^◦C? Kolik litrů vody za tu dobu proteče potůčkem? Předpokládejte, že do potůčku je ponořena pouze válcová část pivní lahve. Měrnou tepelnou kapacitu piva uvažujte rovnou měrné tepelné kapacitě vody.

4.18.) Zateplení domu [sbírka 356]

Majitelé staršího panelového domu s obvodovými zdmi tloušťky 20 cm se roz- hodli ušetřit na vytápění tím, že dům z vnější strany obloží izolační vrstvou polystyrénu o tloušťce 10 cm. Předpokládejme modelový případ zimního dne, kdy venkovní teplota je -10^◦C a vnitřní teplota je vytápěním udržována na 20^◦C. Určete, teplotu mezi zdí a polystyrénem. Kolikrát zateplení zmenší únik tepla zdmi?

4.19.) Měděná tyč délky 15 cm je připojená k ocelové tyči stejného průřezu a délky 8 cm. Volný konec měděné tyče udržujeme na stálé teplotě 150^◦C, konec ocelové tyče na teplotě 20^◦C. Určete teplotu na stykové ploše obou tyčí, předpokládáme-li, že je zabráněno tepelným ztrátám do okolí. Součinitel tepelné vodivosti mědi je 395 W m⁻¹K⁻¹, součinitel tepelné vodivosti oceli je 50 W m⁻¹K⁻¹.

5. Druhý termodynamický zákon

5.1.) [sbírka 348] Účinnost Carnotova motoru je 22 %. Pracuje s ohříva- čem a chladičem, jejichž tepelný rozdíl je 75^◦C. Jaké jsou teploty chladiče a ohřívače?

5.2.) [sbírka 426] Carnotův stroj pracuje s účinností 40 %. Jak se má změnit teplota ohřívače, aby účinnost vzrostla na 50 %? Teplota chladiče zůstane na hodnotě 9^◦C.

5.3.) Tepelný stroj má jako pracovní látku ideální plyn. Jeho pracovní cyklus se skládá postupně z izobarické komprese (AB), adiabatické komprese (BC) a izotermické expanze (CA), kterou se stroj dostane do původního stavu.

Nakreslete cyklus do pV-diagramu a určete jeho účinnost.

5.4.) [sbírka 349] Motor chladničky má výkon 200 W. Vypočítejte její ide- ální chladící faktor, jestliže teplota uvnitř chlazeného prostoru je 275 K a vně 300 K. Jaké je maximální teplo, které může být odebráno z chlazeného prostoru za 10 min? Kolik vody by tato chladnička dokázala za daný čas ochladit?

5.5.) [sbírka 406] Určete účinnost skutečného kruhového děje skládajícího se z izotermické expanze při teplotě 700 K, izochorického ochlazení, izotermické komprese při teplotě 400 K a následného izochorického ohřátí na počáteční teplotu 700 K. Při izotermické kompresi se plyn stlačil na polovinu svého předchozího objemu. Měrná tepelná kapacita pracovního plynu při stálém objemu je C_V = 6,5R, látkové množství tohoto plynu je 1 mol. Celý cyklus znázorněte graficky a spočtenou skutečnou účinnost srovnejte s účinností, kterou by měl při práci mezi danými teplotami ideální Carnotův cyklus.

5.6.) Ottův cyklus [sbírka 412]

Stanovte účinnost Ottova cyklu skládajícího se z následujících 4 dějů:

• Adiabatická komprese z objemu V₁ na objem V₂.

• Izochorické zahřátí z teploty T2 na teplotu T3.

• Adiabatická expanze z objemu V₂ zpět na objem V₁.

• Izochorické ochlazení z teploty T₄ zpět na počáteční teplotu T₁.

Máte zadánu Poissonovu konstantu plynu κ a tzv. kompresní poměr r= ^V_V¹

2.

5.7.) Lim[1034] Určete vykonanou práci na jeden cyklus a účinnost ideálního vratného Carnota tepelného stroje, jestliže T₁ = 4T₂ a pracovní látkou je a) jednoatomový ideální plyn, b) dvouatomový ideální plyn.

5.8.) Lim[1035] Mějme dvě stejná tělesa, jejichž vnitřní energie je vyjádřena jako U = ncT, kde konstanta c je stejná pro obě tělesa a obě tělesa mají stejné látkové množství n. Počáteční teploty obou těles jsou T1 > T2. Tělesa propojíme ideálním vratným Carnotovým strojem, který bude pracovat, do- kud obě tělesa nedosáhnou společné teplotyT_f. Ztráty do okolí neuvažujme.

Jaká je výsledná teplota Tf? Jak velká bude celková vykonaná práce?

5.9.) Lim[1037] Voda na dně 110 m hluboké vodní přehrady má teplotu 10^◦C.

Porovnejte teoreticky možnou získanou práci z 1 kg vody a) Carnotovým strojem, který by jako chladič použil vodu na dně přehrady a ohřívač vzduch za teploty 25^◦C a b) práci získanou při průchodu vodou turbínou.

Entropie

5.10.) Dokažte, že celková změna entropie v Carnotově cyklu je rovna nule.

5.11.) [skripta] Vyjádřete entropii ideálního plynu, plynu řídícího se van der Waalsovou rovnicí, ideálního krystalu a DeByeova krystalu. Diskutujte cho- vání pro T →0.

5.12.) [sbírka 438] Z nádoby, v níž je uskladněno hélium pod tlakem 10 MPa, začne poškozeným ventilem plyn pomalu utíkat, až tlak klesne na hodnotu tlaku atmosférického 100 kPa. Celý děj probíhá izotermicky za pokojové tep- loty 20^◦C. Určete změnu entropie u tohoto ideálního plynu o hmotnosti 1,0 kg.

5.13.) [sbírka 432] Určete změnu vnitřní energie a entropie ideálního plynu o teplotě 20^◦C, tlaku 100 kPa a objemu 2 l, rozpíná-li se do vakua na dvoj- násobný objem. Uvažujte, že děj probíhá při konstantní teplotě.

5.14.) Lim[1045] Těleso o konstantní tepelné kapacitěC_pa teplotěT_ije v kon- taktu s rezervoárem o teplotěT_f. Určete celkovou změnu entropie a dokažte, že je kladná bez ohledu na to, zda Ti > Tf, či Ti < Tf. Rovnováha nastává při konstantním tlaku.

5.15.) Lim[1078] Paramagnetická látka je popsána magnetizací M, mag- netickou indukcí B a termodynamickou teplotou T. Stavové rovnice jsou M = CB/T, kde C je Curieova konstanta a U = −M B. Přírůstek práce vykonané systémem na okolí je ðW =MdB.

a) Napište výraz pro změnu dodaného tepla ðQ ve tvaru:

ðQ= ( ) dM + ( ) dB.

b) Najděte přírůstek entropie systému dS

ðS= ( ) dM+ ( ) dB.

c) Odvoďte výraz pro entropii.

Termodynamické potenciály

5.16.) [skripta] Pomocí matematické formulace spojených termodynamických zákonů odvoďte vztah mezi termickou a kalorickou stavovou rovnicí:

(∂U

∂V )

T

=T (∂p

∂T )

V

−p,

5.17.) Pomocí magického čtverce odvoďte/dokažte následující vztahy:

Gibbsovy rovnice:

dU =TdS−pdV dH=TdS+Vdp dF =−SdT −pdV dG=−SdT +Vdp Obdoba vztahu mezi kalorickou a termickou rovnicí:

(∂H

∂p )

T

=V −T (∂V

∂T )

p

,

Derivace podle přirozených proměnných (napište podobné vztahy pro deri-

vace U a H): (

∂G

∂T )

p

=−S,

(∂G

∂p )

T

=V

(∂F

∂T )

V

=−S,

(∂F

∂V )

T

=−p

Maxwellovy vztahy (uvedené jsou ty užitečnější dva, napište zbývající dva):

(∂S

∂V )

T

= (∂p

∂T )

V

,

(∂S

∂p )

T

=− (∂V

∂T )

p

5.18.) Odvoďte vztah pro Joulův-Thomsonův koeficient:

µ≡ (∂T

∂p )

H

= 1 C_p

( T

(∂V

∂T )

p

−V )

.

5.19.) [sbírka 434] Původní objem dusíku o hmotnosti 2 g a počáteční teplotě 27^◦C byl při stálém tlaku zmenšen o čtvrtinu. Určete změnu entalpie plynu.

5.20.) [sbírka 413] Určete změnu volné entalpie dusíku o hmotnosti 100 g, jestliže byl plyn při teplotě 300 K izotermicky stlačen na tři čtvrtiny původ- ního objemu.

5.21.) [sbírka 433] Ideální plyn necháme při tlaku 40 kPa expandovat z ob- jemu 15 l na objem 29,2 l. Expanze probíhá za konstantní teploty. Stanovte změnu volné energie při tomto ději.

5.22.) [skripta 5.3.2] Pro obecný systém odvoďte vztah C_p−C_V =T

(∂p

∂T )

V

(∂V

∂T )

p

.

5.23.) Lim[1073] Pro kažkou z následujících podmínek nalezněte a popište vhodný systém, který ji splňuje. Omezte se na klasické jednosložkové systémy s konstatním množstvím látky.

a) (_∂U

∂V

)

T = 0, b) (_∂S

∂V

)

p <0, c) (_∂T

∂S

)

p = 0, d) (_∂S

∂V

)

T = 0, e) (_∂T

∂V

)

S =−(_∂p

∂S

)

V.

6. Třetí termodynamický zákon

6.1.) [skripta 5.4.2] Ze stavových rovnic pro záření černého tělesa U = 3pV a p = ¹₃σT⁴ odvoďte tepelnou kapacitu C_V. Vyneste ji do grafu. Souhlasí její průběh s třetím termodynamickým zákonem?

7. Skupenské přeměny

7.1.) Míchání ledu, vody a páry

V kalorimetru o tepelné kapacitě 0,10 kJ K⁻¹ je 300 g vody o teplotě 14^◦C. Do kalorimetru napustíme 20 g vodní páry o teplotě 100^◦C a vhodíme 50 g ledu o teplotě 0^◦C. Jaká bude výsledná teplota vody v kalorimetru po zkapalnění páry i ledu a po vyrovnání teplot?

7.2.) [sbírka 433] Na jakou hodnotu se z atmosférického tlaku 101 325 Pa musí změnit vnější tlak, aby se teplota tání vody snížila z běžné hodnoty 0^◦C na hodnotu −1^◦C?

7.3.) [sbírka 463] Teplota tání olova při tlaku 100 kPa je 327^◦C. Určete měrné skupenské teplo tání olova, jestliže při zvětšení vnějšího tlaku na hodnotu 200 kPa se teplota tání zvětšila o hodnotu 0,008^◦C. Olovo táním zvětší svůj objem o 3,4 %.

7.4.) Lim[1107] Na uvolnění molekuly z povrchu určité kapaliny při teplotě 300 K je třeba energie 0,05 eV. Určete molární skupenské teplo vypařování.

7.5.) Lim[1116] Při normálním tlaku a teplotě 0^◦C je skupenské teplo tuhnutí vody 1,44 kcal/mol. Hustota ledu je 0,917 g/cm³a vody 0,9998 g/cm³. Jestliže necháme rozpustit 1 mol ledu, určete

a) vykonanou práci (a kdo ji vykonal), b) změnu vnitřní energie,

c) změnu entropie.

7.6.) Lim[1139] Tekuté helium⁴He vře při normálním tlaku při teplotě 4,2 K.

Při tlaku 130 Pa se teplota varu sníží na 1,2 K. Určete průměrné skupenské teplo varu. Porovnejte s hodnotou pro vodu za normálních podmínek.

7.7.) skripta[6.2.1] Kolik stupňů volnosti má a) voda a její nasycená pára; b) voda a její nenasycená pára; c) vodný roztok soli a jeho páry?

7.8.) skripta[6.2.3] Zahříváním vápence CaCO3 vzniká pálené vápno CaO a oxid uhličitý. Zapište chemickou reakci a určete počet stupňů volnosti.

7.9.) [sbírka 322] Led a dvě různě teplé vody

Do vody o teplotě 70^◦C a hmotnosti 1 kg vhodíme kostku ledu o teplotě

−10^◦C a hmotnosti 2 kg. Do soustavy vzápětí přilijeme další vodu o tep- lotě 40^◦C a hmotnosti 1 kg. Celý děj probíhá za normálního atmosférického tlaku. Stanovte, v jakém stavu se bude soustava nacházet po dosažení ter- modynamické rovnováhy.

7.10.) [sbírka 322] Ledová dieta

Voda nedodává lidskému tělu žádnou využitelnou energii, ale při ohřívání ledu na teplotu lidského těla člověk naopak energii spotřebuje (musí dodat).

Kolik kostek ledu o hmotnosti 50 g a teplotě −20^◦C by člověk musel spoly- kat, aby se zbavil pěti kilogramů tuku? Při spálení jednoho gramu tuku při metabolismu v lidském těle se uvolní teplo 38 kJ.

8. Statistická fyzika

8.1 Matematické okénko

8.1.) a) Jestliže ∫_∞

0 e^−x2 = √

π, určete, čemu se rovná ∫_∞

0 e^−ax2 (pomocí substituce) a ∫_∞

0 x²ⁿe^−ax2 (derivováním podle parametru a).

b) Pomocí vhodné substituce určete velikost integrálu∫_∞

0 xe^−x2 a následným derivováním podle parametru a vypočtěte integrály typu ∫_∞

0 x²ⁿ⁺¹e^−x2. c) Jaká bude hodnota výše uvedených integrálů, pokud by meze byly ∫_∞

−∞. Pozn.: n je přirozené číslo.

8.2.) Nalezněte extrémy funkce W(x, y, z) =x²y²z² na množině S(x, y, z) = x²+y²+z² =c².

8.2 Úvod, fázový objem, Liouvilleův teorém

8.3.) Najděte fázové trajektorie jednorozměrného pohybu tělesa o hmotnosti m v homogenním tíhovém poli. Ověřte pro element fázového objemu dxdp platnost Liouvilleova teorému.

8.4.) Najděte fázové trajektorie a určete časovou změnu fázového objemu dxdppro jednorozměrný pohyb částice, na niž působí odporová síla úměrná rychlosti F =−kv.

8.5.) Najděte fázové trajektorie a určete časovou změnu fázového objemu dxdppro lineární harmonický oscilátor a pro oscilátor v odporovém prostředí s třecí silou úměrnou rychlosti.

8.6.) Hmotný bodmse pohybuje podél úsečky 0 < x < L, přičemž se pružně odráží od stěn v x= 0 a x=L.

a) Ilustrujte pohyb bodu ve fázovém prostoru (x;p).

b) Najděte fázový objem Θ(E) = ∫

H≤E0dΘ.

c) Ukažte, že fázový objem Θ se nemění, pokud se stěna v x = L pomalu pohybuje.

d) Určete počet kvantově-mechanických stavů Σ(E) takového systému a srov- nejte s fázovým objemem Θ(E).

8.7.) Najděte rozdělovací funkci pro pohybující se harmonický oscilátor (jed- norozměrný). Porovnejte výsledek s průběhem hustoty pravděpodobnosti na- lezení částice v harmonickém oscilátoru pro velká n.

8.8.) Najděte střední hodnotu kinetické energie pro lineární harmonický os- cilátor.

8.9.) V čase t = 0 se částice nachází v počátku souřadného systému. Každou sekundu se posune o jednotku, a to s pravděpodobností 1/2 vlevo a s pravdě- podobností 1/2 vpravo. Najděte pravděpodobnost P_n(x), že po n sekundách souřadnice částice rovna x.

8.3 Kanonický soubor

8.10.) Mějme N částic ideálního plynu v objemu V. Určete Z, F, S, E pro případ kanonického rozdělení.

8.11.) Mějme ideální ultrarelativistický plyn s N částicemi (např. proud fo- tonů), pro energii jedné částice platí E₁ = pc. Spočtěte statistický integrál (partiční sumu), vnitřní energií, volnou energií F a entropii.

8.12.) Ve válci o poloměru R a výšcel, který se otáčí úhlovou rychlostí ω se nachází N molekul ideálního plynu. Hmotnost jedné molekuly jem. Najděte rozložení hustoty plynu ve válci. Gravitační působení zanedbejte.

8.13.) Pro kanonickou partiční sumu platí Z(T, V, N) = 1

N! (V

h³

∫ exp

(

− E kTd³p

))N

a dáleE =pc, (cje konstanta). VypočtěteF(T, V, N),S(T, p, N),U(T, V, N), H(T, p, N), c_V,N, c_p,N a stavovou rovnici. O jaký systém se může jednat?

8.14.) Pro partiční sumu Z souboru N částic platí:

Z = (

ω₀+ω₁exp(− E kT)

)N

,

kde ω₀, ω₁ a E jsou konstanty. Vypočítejte vnitřní energií U a tepelnou kapacitu CV. Nalezněte asymptotické chování tepelné kapacity pro nízké a vysoké teploty.

8.15.) Umístíme-li částici se spinem 1/2 do magnetického pole B, rozštěpí se její energetická hladina na dvě:−µB a +µB, kde µje velikost magnetického momentu částice. Předpokládejme system tvořeny N takovýmito rozlišitel- nými částicemi v poliB při teplotěT. Určete pro takový system (a) statistic- kou sumu, (b) střední energii, (c) celkový magneticky moment, (d) tepelnou kapacitu, (e) entropii. U jednotlivých veličin načrtněte jejich závislost na β = 1/k_BT a na teplotě T.

8.16.) Magnetický materiál

Materiál skládající se z N nezávislých částic je umístěn ve slabém magne- tickém poli intenzity H. Každá z částic má magnetický moment mµ, kde m je celé číslo v rozmezí −J ≤ m ≤ J, J ∈ N a µ je konstanta. Energie jedné takové částice je dána vztahem E(m) =−µmH. Systém je umístěn v tepelném rezervoáru o teplotě T. Určete partiční funkci systémuZ a střední magnetizací M = µm. Nalezněte asymptotický vztah pro M při vysokých¯ teplotách kT ≫µH.

8.17.) Pro hustotu energie záření absolutně černého tělesa platí u(β;ω) = ~

π²c³

ω³ expβ~ω−1.

a) Najděte limitu pro malé frekvence (Rayleigh-Jeansův zákon) a velké frek- vence (Wienův zákon) a diskutujte tzv. ultrafialovou katastrofu.

b) Najděte tvar Planckova rozdělení pro vlnové délky u(β;λ) c) Odvoďte Wienův posunovací zákon.