7.3.12 Vzdálenost bodu od p

1

7.3.12 Vzdálenost bodu od p

ř

ímky I

Př. 1: Urči vzdálenost bodu P od přímky p. Příklad řeš ve dvou sloupcích, vlevo konkrétně pro bod ^P

[

^{−4; 2}

]

^{a přímku p: 3x−4y− =5 0}, vpravo obecně pro bod ^{P p p}

[

^{1; 2}

]

^a

přímku p ax by: + + =c 0. Přímku kolmou na přímku p vyjádři parametricky.

1. Najdeme přímku q, která prochází bodem P a je kolmá na přímku p 2. Najdeme průsečík Q přímek p a q

3. Vzdálenost d = PQ je vzdáleností bodu P od přímky p Určení přímky q:

normálový vektor přímky p ^{np =}

(

^{3; 4−}

)

^je

směrovým vektorem kolmice q ⇒

q: 4 3

2 4

x t

y t

= − +

= −

Určení přímky q:

normálový vektor přímky p ^{np =}

( )

^{a b; je}

směrovým vektorem kolmice q ⇒ q: ¹

2

x p at y p bt

= +

= + Průsečík Q přímek p a q:

: 3 4 5 0

p x− y− =

q: 4 3

2 4

x t

y t

= − +

= −

( ) ( )

3 − +4 3t −4 2 4− t − =5 0 1

t=

Dosadíme do rovnice přímky q:

4 3 4 3 1 1

x= − + = − + ⋅ = −t

2 4 2 4 1 2

y= − = − ⋅ = −t

Průsečíkem je bod ^Q

[

^{− −1; 2}

]

^.

Průsečík Q přímek p a q:

: 0

p ax by+ + =c q: ¹

2

x p at y p bt

= +

= +

(

¹

) (

²

)

⁰

a p +at +b p +bt + =c

( )

2 2

1 2

a t+b t= − ap +bp +c

(

^{1 2}

)

2 2

ap bp c

t a b

+ +

= − +

Průsečíkem je bod ^{Q p}

[

^{1+at p; 2+bt}

]

^.

Vzdálenost bodů P a Q

( ) ( )

( ( ) ) ( )

2 2

1 1 2 2

2 2

1 4 2 2 5

PQ = q −p + q −p =

= − − − + − − =

Vzdálenost bodů P a Q

(

^{1 1}

) (

^{2 2 2}

)

^{2 2 2}

PQ = q −p + q −p = t a +b Dosadíme parametr

(

^{1 2}

)

2 2

ap bp c

t a b

+ +

= − +

1 2

2 2

2 2

ap bp c

PQ t a b

a b

+ +

= + =

+ Vzdálenost bodu ^{P p p}

[

^{1; 2}

]

^{od přímky p ax by: + + =c 0} je dána vzorcem

1 2

2 2

ap bp c d Pp

a b

+ +

= =

+

Z jakých částí se vzorec skládá:

• ap₁+bp₂ +c = dosazení bodu do rovnice přímky

2 2

a +b = velikost normálového vektoru

2

Př. 2: Urči vzdálenost bodu ^P

[

^{−4; 2}

]

^{od přímky p: 3x−4y− =5 0} pomocí odvozeného vzorce.

: 3 4 5 0

p x− y− = ^P

[

^{−4; 2}

]

^{( )}

( )

1 2

2 2 2 2

3 4 4 2 5 25

5 5

3 4

ap bp c d

a b

⋅ − − ⋅ −

+ + −

= = = =

+ + −

Př. 3: V trojúhelníku ABC: ^A

[

^{2; 1−}

]

^{, B}

[ ]

^{1; 4 , C}

[

^{− −3; 3}

]

^urči:

a ) výšku v _c b) výšku v . _b a) AB: ^{sAB = −}

(

^1;5

)

^{⇒nAB =}

( )

^{5;1 5x+ + =y c 0}

Dosadíme bod ^A

[

^{2; 1−}

]

^{: 5 2⋅ + − + =}

( )

^{1 c 0⇒c= −9 př}ímka AB: 5x+ − =y 9 0

( ) ( )

1 2

2 2 2 2

5 3 1 3 9 27 27

26 26

5 1

C

ap bp c v

a b

⋅ − + ⋅ − −

+ + −

= = = =

+ + ^.

b) AC: ^{sAC = − −}

(

^{5; 2}

)

^{⇒nAC =}

(

^{2; 5−}

)

^{2x−5y+ =c 0}

Dosadíme bod ^A

[

^{2; 1−}

]

^{: 2 2 5⋅ − − + =}

( )

^{1 c 0⇒c= −9 př}ímka AC: 2x−5y− =9 0

1 2

2 2 2 2

2 1 5 4 9 27 27

29 29

2 5

b

ap bp c v

a b

+ + ⋅ − ⋅ − −

= = = =

+ + .

Př. 4: Na ose x najdi bod A, který má od přímky p x: −2y+ =2 0 vzdálenost 5 . Než začneš příklad řešit analyticky, odhadni pomocí náčrtku počet řešení.

x y

p

A1

A2

Souřadnice hledaného bodu: ^{A a}

[

^{x; 0}

]

(leží na ose x)

Určujeme jediné číslo ⇒ dosadíme do vzorce pro vzdálenost bodu od přímky

1 2

2 2 5

ap bp c d

a b + +

= =

+ ²

( )

²

1 2 0 2

5

1 2

ax

⋅ − ⋅ +

+ − = 2

5 5

ax+

= 2 5

ax+ = ^⇒ na číselné ose hledáme čísla vzdálená od čísla –2 o 5

1 3

ax = a_x2 = −7 Na ose x splňují zadání dva body: ^A1

[ ]

^{3; 0 a A2}

[

^{−7; 0}

]

^.

Př. 5: Petáková:

strana 109/cvičení 63 strana 109/cvičení 66 strana 109/cvičení 68