5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny P

(1)

5.2.9 Vzdálenost bodu od roviny

Předpoklady: 5208

Opakování z minulé hodiny (definice vzdálenosti bodu od přímky):

Je dána přímka p a bod A. Vzdáleností bodu A od přímky p rozumíme vzdálenost bodu A od bodu P, který je patou kolmice vedené v rovině Ap k přímce p z bodu A.

Máme A bod a rovinu

ρ

, vzdálenost bodu A od roviny

ρ

^op^ě^{t pot}^ř^{ebujeme p}^ř^{evést na} vzdálenost dvou bodů. Jaký bod máme v rovině

ρ

^najít?

Podobně jako u vzdálenosti bodu od přímky půjde o kolmý průmět bodu A do roviny

ρ

^. Př. 1: Zformuluj definici vzdálenosti bodu od roviny analogickou definici vzdálenosti bodu

od přímky.

Je dána rovina

ρ

a bod A. Vzdáleností bodu A od roviny

ρ

rozumíme vzdálenost bodu A od bodu P, který je patou kolmice vedené z bodu A k rovině

ρ

^.

Takto definovaná vzdálenost bodu od roviny je nejkratší vzdáleností mezi bodem A a libovolným bodem roviny

ρ

^.

Př. 2: Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV,

AB = = a 4 cm

^,

SV = = v 5cm

^{. Ur}^č^i:

a) vzdálenost bodu V od roviny ABC, b) vzdálenost bodu B od roviny S S V , _AB _CD c) vzdálenost bodu S_BC od roviny ADV .

a) vzdálenost bodu V od roviny ABC

A B

D C S

V

v

Z obrázku je vidět, že kolmým průmětem bodu V do roviny ABC je střed podstavy S ⇒ vzdálenost bodu V od roviny ABC je tedy rovna v=5 cm.

b) vzdálenost bodu B od roviny S S V _AB _CD

(2)

A B D C

V

S_AB

S_CD

Přímka AB je kolmá k rovině

AB CD

S S V , kolmým průmětem bodu B do roviny

AB CD

S S V je tedy bod S_AB ⇒ vzdálenost bodu B od roviny S S V je rovna _AB _CD

2 2 cm a = .

c) vzdálenost bodu S_BC od roviny ADV

A B

C D

V

S_BC S_AD

P

Kolmý průmět bodu S_BC (označíme si ho P) do roviny ADV bude určitě ležet v rovině

AD BC

S S V (je kolmá na rovinu ADV a prochází bodem S_BC). Nakreslíme si trojúhelník

AD BC

S S V .

V

S

_BC

S

_AD

P

a v

S

Vypočteme délku strany S V z pravoúhlého trojúhelníku _BC S VS . _BC

V

S_BC S

v

a 2

2 2 2

2 2 2 2 4

2 4

BC BC

a a v

S V SS SV   v +

= + =  + =

 

2 2

4

BC 4

a v

S V = +

2 2

4

BC

2 a v S V = +

Doplníme do obrázku trojúhelníku S_ADS V . _BC

(3)

V

S

_BC

S

_AD

P

a v

S

2 2

a + 4v 2

2 2

a + 4v 2

Možností jak určit úsečku PS_BC je více, nejjednodušší vychází ze vzorce pro obsah trojúhelníka:

2 2 2

a b c

av bv cv

S = = = .

Jednu dvojici strana-výška tvoří úsečky S_ADS_BC a SV (obě známe), druhou úsečky S V a _AD PS_BC (druhou chceme určit) ⇒

2 2 2

AD BC BC BC

a S S SV S V PS

S =av = =

AD BC BC BC

S S SV = S V PS

2 2 2 2

2

4 4

2

AD BC BC

BC

S S SV av av

PS = S V = a v = a v

+ +

Dosadíme:

2 2 2 2

2 2 4 5

cm 3, 71cm

4 4 4 5

BC

PS av

a v

= = ⋅ ⋅ =

+ + ⋅ .

Př. 3: Je dána standardní krychle ABCDEFGH a=4 cm. Urči vzdálenost bodu E od roviny AFH.

A B

D C

E F

H G

P

S Hledáme kolmý průmět bodu E do roviny

AFH. Víme z předchozích příkladů, že přímka EC je kolmá k rovině AFH a hledaným

průmětem bude její průsečík s rovinou AFH.

Předchozí informaci pro vyřešení příkladu nepotřebujeme, stačí si uvědomit, že krychle je souměrná podle roviny ACEG a kolmice na E i kolmý průmět musí ležet v této rovině (jinak by průměty byly dva a to není možné).

Nakreslíme si obdélník ACGE.

A C

E S G

P a

a 2 a 2

2

Dopočteme délku úsečky AS:

2

2 2 2 2 2

2

AS ES EA a a 

= + = + 

 

2 2 2 2 3 2

4 2

AS =a + a = a

3 AS = a 2

.

Doplníme obrázek:

(4)

a 2 2

A C

E S G

a P

a 3 2

Využijeme podobnost trojúhelníků ASE a AEP. E

ES AS

EP

= A

2 2 2 3

2 3 2 3 3 3

2 a

ES a

EP AE a a a

AS a

= = = = =

Dosadíme: 3 3

4 cm 2, 31cm

3 3

EP =a = =

Př. 4: Zformuluj kritérium pro rovnoběžnost přímky s rovinou pomocí vzdálenosti bodu od roviny.

Přímka p je rovnoběžná s rovinou

ρ

, jestliže lze na přímce p najít dva různé body ležící v témže poloprostoru ohraničeném rovinou

ρ

, které mají od roviny

ρ

stejnou vzdálenost.

Př. 5: Zformuluj kritérium pro rovnoběžnost dvou rovin pomocí vzdálenosti bodu od roviny.

Dvě roviny

ρ

^a

σ

jsou rovnoběžné, jestliže lze v rovině

σ

^{najít t}^ř^{i r}^ůzné body, které neleží v přímce, ale leží ve stejném poloprostoru s hraniční rovinou

ρ

a které mají od roviny

ρ

stejnou vzdálenost.

Př. 6: Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV,

AB = = a 4 cm

,

SV = = v 6 cm

. Urči vzdálenost bodu F od roviny ABV.

A

B C

D E F

V

S_AB S

S_DE

Potřebujeme najít kolmý průmět bodu F do roviny ABV ⇒ problém pata kolmice z bodu F leží mimo jehlan ⇒ hledáme jiný bod se stejnou vzdáleností, jehož pata leží na hranici jehlanu.

Přímka CF je rovnoběžná s přímkou AB ⇒ je rovnoběžná s rovinou ABV ⇒ vzdálenost všech bodu této přímky od roviny ABV je stejná jako vzdálenost bodu A.

Kolmice z bodu S na rovinu ABV leží v rovině

AB DE

S S ⇒ vzdálenost bodu S od roviny ABV určíme pomocí trojúhelníku S S V_AB _DE .

Nakreslíme si trojúhelník S S V_AB _DE .

(5)

S_AB S S_DE v

V Délku úsečky S S_AB určíme z obrázku podstavy:

S_AB

A B

C E D

F S

a a x a a

a

Vzdálenost

S S

_AB je také výškou v rovnostranném trojúhelníku se stranou a.

2 2 2 2

2 2 4 3 3

2 4 4 2

a a a a a

x a   −

= −  = = =

  .

Vzdálenost

S V

_AB je přeponou pravoúhlého trojúhelníku S SV : _AB

2 2 2 2 2

2 2 2 3 4 3 4 3

2 4 2

AB

v a v a

S V = v +x = v +a  = + = +

  .

Doplníme obrázek:

S P

S_AB S_DE

v V

d

2 2

4v + 3a 2

a 3 2

Využijeme podobnost trojúhelníků

S SVAB a S SPAB .

B AB

A

S V

PS S S V

S =

2 2 2 2

3 2 3

4 3 4 3

2

AB AB

S S a v a

PS SV v

S V v a v a

= = = ⋅

+ +

Dosadíme:

2 2 2 2

3 6 4 3

cm 3cm

4 3 4 6 3 4

PS v a

v a

⋅ ⋅

= = =

+ ⋅ + ⋅ .

Př. 7: Petáková:

strana 93/cvičení 24 c) f) strana 93/cvičení 25 b) strana 93/cvičení 26 c) strana 93/cvičení 27 c)

Shrnutí: Vzdálenost bodu od roviny určujeme opět pomocí kolmého průmětu.