7.3.13 Vzdálenost bodu od p

1

7.3.13 Vzdálenost bodu od p

ímky II

Př. 1: Najdi přímku, která je rovnoběžná s přímkou x−3y+ =2 0 a je od ní vzdálena 10 . Bod na ose y: A0;a_y. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost:

( )

1 2

2 2 2

1 0 3 2

10

1 3

ay

ap bp c d

a b

⋅ − ⋅ + + +

= = =

+ + − 3 2

10 10

ay

− +

= −³ay+ =^{2 3}ay−²

3a_y− =2 10 rovnice s absolutní hodnotou ⇒ dělíme na intervaly 2

3 2 0

y y 3

a − = ⇒a =

;2

y 3 a 

∈ −∞

 3− a_y+ =2 10 8

y 3 a = −

2;

y 3

a 

∈ ∞

 3a_y− =2 10

y 4 a =

[ ]

1 0; 4 A

3 12 0

x− y+ = ²

0; 8 A  3

 − 

  x−3y− =8 0

Př. 2: Na přímce x+3y− =1 0 najdi bod, který je od přímky 2x+ − =y 7 0 vzdálen 2 5 . Souřadnice bodu A a a _x; _y

Bod A je od přímky 2x+ − =y 7 0 vzdálen 2 5 : ^{1 2}

2 2 2 2

2 7

2 5

2 1

x y

a a ap bp c

d

a b

⋅ + − + +

= = =

+ +

Bod A leží na přímce x+3y− =1 0 a_x+ ⋅ − =3 a_y 1 0 ⇒ a_x = −1 3a_y dosadíme:

( )

2 1 3 7

2 5 / 5

5

y y

a a

⋅ − + −

= ⋅ 2 6− a_y+ − =a_y 7 10 −5a_y− =5 10 5 a_y 1 10

− + = ^{ay− − =}

( )

1 1

ay = ⇒ a_x = −1 3a_y = − ⋅ = −1 3 1 2 ⇒ ^A1

[

]

2 3

ay = − ⇒ ^{ax = −1 3ay = − ⋅ − =1 3}

( )

[

]

Př. 3: Jsou dány dvě rovnoběžné přímky x−2y+ =6 0 a 2x−4y− =5 0. Najdi přímku, která je s nimi rovnoběžná a má od obou stejnou vzdálenost.

Analytické řešení:

Hledaná přímka je rovnoběžná s přímkou 2x−4y− =5 0 ⇒ je popsána rovnicí

2x−4y+ =c 0. Koeficient c určíme pomocí libovolného bodu na této přímce. Zvolíme si například bod s nulovou x-ovou souřadnicí: 2 0 4⋅ − y+ =c 0 ⇒

4 y= c.

Vzdálenost bodu 0;

4

 c

 

  je stejně vzdálen od přímek x−2y+ =6 0 a 2x−4y− =5 0.

( )

( )

0 2 6 2 0 4 5

4 4

1 2 2 4

c c

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − + − = + −

⇒

6 5

2 / 2 5

5 20

c

− + − −c

= ⋅

2

2 1 6 1 5

2

c c

− − = − + c−12 = +c 5 ^{⇒ ř}ešíme po intervalech:

• ^{c∈ −∞ −}

(

• c∈ −5;12 ^⇒ − + = +^{c 12 c 5} ⇒ 7

2c= 2 ⇒ 7 c= 2

• ^{c∈ 12;∞}

)

Hledanou přímkou je přímka 7

2 4 0

x− y+ =2 . Konstrukční řešení:

rovnoběžku, která je osou pásu můžeme vést středem libovolné úsečky, která má krajní body na přímkách x−2y+ =6 0 a 2x−4y− =5 0.

• průsečík přímky x−2y+ =6 0 s osou y: 0 2− y+ =6 0 ⇒ y=3 ⇒ bod ^A

[ ]

• průsečík přímky 2x−4y− =5 0 s osou y: 2 0 4⋅ − y− =5 0 ⇒ 5

y= −4 ⇒ 5

0; 4

B 

 − 

 

5 12 5 7

3 4 4 4

−

 

+ − = =

  ⇒ střed úsečky AB: 7

0;8 SAB 

 

 

Rovnice rovnoběžky: 2x−4y+ =c 0, dosadíme bod 7 0;8 SAB 

 

 : 7

2 0 4 0

8 c

⋅ − ⋅ + = ⇒ 7 c=2 Př. 4: Najdi všechny body roviny, které mají stejnou vzdálenost od přímek

: 2 3 0

p x+ y− = a : 2q x− − =y 1 0. od přímky p x: +2y− =3 0:

2 2

2 3

0

1 2

x+ y−

+ = . přímky : 2q x− − =y 1 0:

2 2

2 1

0

2 1

x− −y

+ = .

2 3 2 1

x+ y− = x− −y ^⇒ musíme odstranit absolutní hodnoty. Dvě možnosti:

• oba výrazy záporné: x+2y− =3 2x− −y 1 ^{⇒ − +}

(

) (

)

3 2 0

x− y+ =

• oba výrazy kladné: x+2y− =3 2x− −y 1 ^{⇒ x}+^2y− =^{3 2x}− −^{y 1}

3 2 0

x− y+ = - stejná přímka jako v předchozím případě

• levý výraz kladný, pravý záporný: x+2y− =3 2x− −y 1 ^⇒

( )

2 3 2 1

x+ y− = − x− −y 3x+ − =y 4 0

• levý výraz záporný, pravý kladný: x+2y− =3 2x− −y 1 ^⇒

(

)

− + − = − − 3x+ − =y 4 0

dvojice přímek x−3y+ =2 0 a 3x+ − =y 4 0. Př. 5: Petáková:

strana 109/cvičení 65 strana 109/cvičení 66 strana 109/cvičení 68 strana 109/cvičení 74