1
5.2.11 Vzdálenost roviny a p
římky
Předpoklady: 5210Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvažovat o vzdálenosti přímky od roviny a navrhni definici této vzdálenosti.
Uvažovat o této vzdálenosti můžeme pouze v případě, že přímka je s rovinou rovnoběžná. Ve všech ostatních případech se přímka s rovinou protíná.
Za vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné považujeme vzdálenost libovolného bodu přímky od této roviny.
Př. 2: Je dána standardní krychle ABCDEFGH, AB = =a 4 cm. Urči vzdálenost:
a) přímky EG od roviny ABC b) přímky SHDF od roviny ADSBF a) vzdálenost přímky EG od roviny ABC
A B
D C
E F
G H
a
Přímka EG je rovnoběžná s rovinou ABC.
Zvolíme na přímce EG libovolný bod
například bod E. Jeho kolmým průmětem do roviny ABC je bod A.
Vzdálenost přímky EG od roviny ABC je tedy rovna délce hrany EA, která je dlouhá 4 cm.
b) vzdálenost přímky SHDF od roviny ADSBF
A B
D C
E F
H G
SCG
SBF SHD
SAE
Přímka SHDF je rovnoběžná s rovinou ADSBF (leží v rovině
FGSHD, která je s rovinou ADSBF rovnoběžná) ⇒ můžeme na ní zvolit libovolný bod a pomocí jeho kolmého průmětu do roviny ADSBF určit vzdálenost přímky od roviny.
2 Kolmým průmětem přímky SHDF do roviny
ADSBF je přímka DSBF. Obě tyto přímky leží v rovině BDH (rovina kolmá k rovině
ADSBF). Na přímce SHDF si můžeme zvolit libovolný bod a určit v rovině BDH jeho průmět do roviny ADSBF. Zvolíme například bod SHD.
A B
D C
E F
G H
SCG
SBF SHD
P
Nakreslíme si obdélník BDHF:
D B
H F
SBF SDH
P a
2
a 2 a
2
2 a
Musíme určit délku úsečky DSBF, například z trojúhelníku DBSBF.
( )
2 22 2 2
2 2
BF BF
DS BD BS a a
= + = +
2
2 2 9 2
2 4 4
BF
DS = a +a = a
2 3
BF 2
DS = a Doplníme vzdálenost do obrázku.
D B
H F
SBF SDH
P a
2
a 2 a
2
2 a
3 2a
Můžeme využít podobnosti trojúhelníků DPSDH a S BDBF .
BF
DH DH
BF DH
DH
S DB
S P S
P D D
S
S D S
B
D D
= ⇒ =
2 2 3
2
DH DH
BF
DB a a
S P S D
DS a
= =
2 2 2
2 3 3
DH
a a
S P = =
Dosadíme: 2 2
4 cm 1,89 cm
3 3
SDHP =a = ⋅ =
Př. 3: Petáková:
strana 93/cvičení 28 b)
Shrnutí:
