Modelování preferencí rozhodovatele

Vícekriteriální rozhodování je modelování rozhodovacích situací, ve kterých máme definovánu množinu variant a soubor kritérií, podle nichž budeme varianty hodnotit.

Důležitou součástí tohoto modelu je i modelování preferencí rozhodovatele, to znamená vyjádření představ rozhodovatele, čemu dává přednost.

1. Modelování preferencí mezi kritérii, jakou mají jednotlivá kritéria důležitost pro rozhodovatele.

2. Modelování preferencí mezi variantami z hlediska jednotlivých kritérií a jejich agregace pro vyjádření celkové preference.

Modelování preferencí mezi kritérii (stanovení vah kritérií)

Většina metod vícekriteriálního rozhodování vyžaduje kardinální informaci o relativní důležitosti jednotlivých kritérií, kterou můžeme vyjádřit pomocí vektoru vah kritérií:

k

v = (v1, v2, …, vk), ∑ vi = 1, vi ≥ 0.

i=1

Čím je důležitost kritéria větší, tím je větší i jeho váha. Získat od rozhodovatele přímo hodnoty vah je velmi obtížné, avšak existují metody, které na základě jednodušších subjektivních informací od rozhodovatele konstruují odhady vah. Např. Metoda pořadí, která vyžaduje pouze ordinální informaci, tj. stanovení pořadí kritérií podle důležitosti. Dále Bodovací metoda, která předpokládá, že rozhodovatel je schopen kvantitativně ohodnotit důležitost kritérií, přičemž pro zvolenou bodovací stupnici musí rozhodovatel ohodnotit i-té kritérium hodnotou ležící v dané stupnici. Čím je kritérium důležitější, tím je bodové hodnocení vyšší. Bodovací metoda sice vyžaduje od rozhodovatele kvantitativní ohodnocení kritérií, ale umožňuje diferencovanější vyjádření subjektivních preferencí než metoda pořadí.

Další metodou odhadu vah je Metoda párového srovnání, která používá informace, které ze dvou kritérií je při párovém srovnání důležitější. Rozhodovatel tedy postupně srovnává každá dvě kritéria mezi sebou. Výhodou této metody je jednoduchost vyžadované informace od rozhodovatele, přičemž metoda nepožaduje nutně tranzitivnost preferencí, což však může způsobit zkreslení odhadu vah. Často se používá Metoda kvantitativního párového srovnání kritérií (tzv. Saatyho metoda). Při vytváření párových srovnání S=(s_ij), i,j=1,2,…,k, se často používá stupnice 1,2,…,9 a reciproké hodnoty. Prvky matice s_ij jsou interpretovány jako odhady podílu vah i-tého a j-tého kritéria

~

sij = vi / vj, i,j=1,2,…,k.

Této matici se říká Saatyho matice. Pro prvky matice S platí sii= 1 i=1,2,…,k,

sji= 1 / sij i,j=1,2,…,k.

Důvody pro zvolený rozsah stupnice jsou okolnosti, že všechny prvky by měly být stejného řádu. Existuje i vhodná verbální stupnice:

1 – rovnocenná kritéria i a j,

3 – slabě preferované kritérium i před j, 5 – silně preferované kritérium i před j, 7 – velmi silně preferované kritérium i před j, 9 – absolutně preferované kritérium i před j.

Hodnoty 2,4,6,8 vyjadřují mezistupně. Prvky matice S jako odhady podílu vah nejsou většinou přesně konzistentní, tzn. Neplatí shj = shisij pro všechna h,i,j=1,2,…,k. Pro samotný

geometrického průměru. Váhy tedy vypočítáme jako normalizovaný geometrický průměr řádku matice S

k 1/k k k 1/k

vi = [ ∏ s_ij]

/

^{∑ [ ∏ s}ij] , i=1,2,…,k.

j=1 i=1 j=1

Modelování preferencí mezi variantami (metody s kardinální informací)

Jak už bylo řečeno, většina metod vícekriteriálního hodnocení variant vyžaduje kardinální informaci o relativní důležitosti kritérií, kterou můžeme vyjádřit pomocí vektoru vah kritérií.

Tyto metody rozdělujeme podle výpočetního principu, který metody využívají. Mezi základní výpočetní principy metod vícekriteriálního hodnocení variant patří princip maximalizace užitku, princip minimalizace vzdálenosti od ideální varianty a princip vyhodnocování variant na základě preferenční relace.

Maximalizace užitku

Princip maximalizace užitku vychází z konstrukce hodnoty užitku, kterou přináší výběr určité varianty, na škále mezi 0 a 1. Čím je varianta vhodnější podle nějakého kritéria, tím je vyšší hodnota užitku. Z hlediska všech kritérií se varianta ohodnotí celkovou hodnotou užitku, kterou dostaneme agregací dílčích hodnot užitku s použitím vah kritérií.

Na pojmu užitek je založena celá řada metod „americké školy“ vícekriteriálního rozhodování, např. Metoda váženého součtu WSA (Weighted Sum Approach), která se dopouští zjednodušení v tom, že předpokládá pouze lineární funkci užitku. Tato metoda je speciálním případem metody funkce užitku, přičemž výpočty jsou dobře zvládnutelné i „ručně“.

Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici R=(r_ij), jejíž prvky získáme z kriteriální matice Y=(y_ij) pomocí transformačního vzorce

y_ij – D_ij r_ij = _____________

Hij – Dij

Tato matice již představuje matici hodnot užitku z i-té varianty podle j-tého kritéria. Podle vzorce lineárně transformujeme kriteriální hodnoty tak, že r_ij є <0,1>, D_j odpovídá hodnota 0 a Hj odpovídá hodnota 1. Při použití aditivního tvaru vícekriteriální funkce užitku potom užitek z varianty ai je roven

k

u(a_i) = ∑ v_ij r_ij.

i=1

Varianta, která dosáhne maximální hodnoty užitku je vybrána jako „nejlepší“, případně je možno uspořádat varianty podle klesajících hodnot užitku.

Maximalizace vzdálenosti od ideální varianty

Dalším výpočetním principem je princip minimalizace vzdálenosti od ideální varianty. Ideální variantou nazveme variantu, pro kterou všechny hodnoty kritérií dosahují nejlepších hodnot.

Ideální varianta je většinou hypotetická, tzn. neleží v množině variant A. Potom se jako

„nejlepší“ varianta vybírá taková, která je podle určité metriky nejblíže k ideální variantě.

Metody se liší způsobem měření vzdálenosti variant od ideální varianty. Reprezentantem této třídy metod je Metoda TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution), která poskytuje úplné uspořádání množiny všech variant, tj. je určena i pro výběr nejlepší varianty. Požadovanými vstupními údaji jsou kriteriální hodnoty pro jednotlivé varianty a váhy jednotlivých kritérií.

Kriteriální hodnoty pro jednotlivé varianty jsou uspořádány v kriteriální matici Y=(yij), kde yij

je hodnota i-té varianty hodnocené podle j-tého kritéria.

Metoda je založena na výběru varianty, která je nejblíže k ideální variantě reprezentované normalizované kriteriální matice R násobíme odpovídající váhou vj:

w11 w12 … w1k v1r11 v2r12 … vkr1k

W = w21 w22 … w2k = v1r21 v2r22 … vkr2k

… … … …

wp1 wp2 … wpk v1rp1 v2rp2 … vkrpk

Krok 3: Určíme ideální variantu H=(H₁,H₂,…,H_k)a bazální variantu D=(D₁,D₂,…,D_k) vzhledem k hodnotám ve vážené kriteriální matici, kde

H_j = max w_ij, j=1,2,…,k

i

Dj = min wij, j=1,2,…,k

i

Krok 4: Výpočet vzdálenosti variant od ideální varianty

k 1/2

V obou případech je použita Euklidova míra vzdálenosti.

Krok 5: Výpočet relativního ukazatele vzdáleností variant od bazální varianty:

di

Varianty uspořádáme podle klesajících hodnot ukazatele ci , čímž získáme úplné uspořádání všech variant.

Vyhodnocování podle preferenční relace

Významnou skupinu metod jsou metody založené na principu vyhodnocování podle preferenční relace. Metody založené na konstrukci preferenční relace vycházejí z relací (vztah preference, indiference, nesrovnatelnosti) mezi dvojicemi variant vzhledem k jednotlivým kritériím.

a_i R_h a_j, h = 1,2,…,k,

a pomocí agregačních procedur získávají párové relace mezi dvojicemi variant z hlediska všech kritérií

a_i R a_j.

Agregační procedury bývají založeny na porovnávání určitých stupňů preference, indiference atd. s prahovými hodnotami. Celková párová relace potom závisí na hodnotě prahu, pro různé prahové hodnoty dostáváme různé relace. Ze změn relací na základě změn prahových hodnot je možno si udělat představu o citlivosti problému a jeho řešení. Analýza podle prahových hodnot však vyžaduje jisté zkušenosti. Výhodou těchto metod je skutečnost, že nevyžadují žádnou normalizaci kriteriální matice. Způsob normalizace matice může totiž ovlivnit výsledek metody.

Výsledná párová relace však nemusí být tranzitivní, proto jsou agregační procedury doplněny postupem, který nalezne celkové uspořádání variant nebo varianty rozdělí do několika

jež obsahuje indexy zbývajících kritérií, tj. kritérií, ve kterých je varianta a_i horší než varianta a_j. Zřejmě platí, že hodnocena alespoň tak dobře jako varianta aj:

cij = ∑ v_h , i, j = 1, 2, …, p.

hєC ij

Hodnota c_ij představuje stupeň preference varianty a_i před variantou a_j a platí:

c_ij є <0,1>.

V dalším kroku metody se pro každou dvojici variant vypočte hodnota d_ij, která se označuje jako stupeň dispreference mezi variantami a_i a aj:

0, pokud Dij = Ø

Pro určení celkové preference P mezi dvojicí variant musí rozhodovatel zadat práh preference c* a práh dispreference d*:

ai P aj právě tehdy, jestliže c_ij ≥ c* a d_ij ≤ d*.

Tyto celkové párové preference pro všechny dvojice variant můžeme zapsat do matice P=(p_ij):

1, jestliže a_i P a_j

pij = pro i, j = 1, 2, …, p.

0, jinak

Vztah párové preference mezi všemi dvojicemi můžeme vyjádřit také graficky, kdy uzly grafu odpovídají variantám ai, i = 1, 2, …, p, a mezi dvojicí uzlů a_i, aj existuje orientovaná hrana ve směru od a_i k aj právě tehdy, jestliže mezi dvojicí variant platí

ai P aj.

Rozdělení na efektivní a neefektivní varianty se uskuteční podle pravidla, že za efektivní varianty jsou brány ty, ke kterým vzhledem k celkové preferenční relaci neexistuje žádná preferující varianta a samy jsou preferovány alespoň před jednou variantou. Množinu efektivních variant můžeme vyčlenit podle matice P.

Množina efektivních variant E a množina neefektivních variant N jsou potom definovány jako E = { ai; pij = 0 pro všechna j, pih = 1 pro alespoň jedno h},

N = A – E.

Rozdělení variant je možno určit i z grafu preferenční relace. Efektivní varianty budou ty, do jejichž uzlů nesměřuje žádná orientovaná hrana a vychází z nich alespoň jedna orientovaná hrana.

Výsledek analýzy závisí na prahu preference a prahu dispreference. Jejich změnami dostáváme různé výsledky. Jejich stanovení není jednoduché, někdy se doporučuje vyjít z hodnot, které jsou průměrnými hodnotami prvků v matici C a D. Postupnými změnami prahů je možno dospět i k jednoprvkové množině efektivních variant a tato varianta je potom brána jako „nejlepší“. [FIA03]

In document Hlavní práce6887_xchop08.pdf, 6.6 MB Stáhnout (Stránka 25-33)